WSTĘP TEORETYCZNY
Stabilność układów automatyki
Zapewnienie stabilnej pracy układu regulacji jest jednym z zasadniczych zadań
przy jego projektowaniu. Warunek ten jest tym ważniejszy, że o ile np.
niekorzystna charakterystyka częstotliwościowa układu regulacji lub
występowanie nieliniowości zmniejsza jedynie dobroć regulacji, o tyle
występowanie niestabilności może pociągnąć za sobą uszkodzenie układu
regulacji, a zwłaszcza wzmacniacza mocy i członu wykonawczego.
PojÄ™cie stabilnoÅ›ci ukÅ‚adu wiąże siÄ™ intuicyjnie z pojÄ™­ciem trwaÅ‚ej równowagi
układu. O ile w przypadku ogólnym dla układów nieliniowych można wyodrębnić
wiele sposobów okreÅ›­lania stabilnoÅ›ci, w zależnoÅ›ci od wymagaÅ„ stawianych
ukÅ‚a­dom, o tyle w przypadku liniowych ukÅ‚adów dynamicznych defi­nicja
stabilności jest prosta i jednoznaczna. Brzmi ona w sformułowaniu Laplace'a
następująco: Układ liniowy nazywany jest układem stabilnym, jeżeli dla
dowolnych warunków poczÄ…­tkowych, przy dowolnym i ograniczonym sygnale
wejściowym sygnał wyjściowy pozostaje również ograniczony.
Dla układów regulacji stabilność definiuje się nieco inaczej, a mianowicie są
one stabilne, jeżeli dla dowolnych warunków początkowych, przy zerowych
sygnałach wejściowych (wymuszeniach i zakłóceniach), sygnał wyjściowy w stanie
ustalonym dąży do wartości zerowej.
Dla tak definiowanej stabilności (zerowe wymuszenia) przy jej badaniu wystarczy
posługiwać się jednorodnym równaniem różniczkowym dynamiki układu:

lub związanym z nim operatorowym równaniem algebraicznym:

zwanym równaniem charakterystycznym. Równanie to otrzymuje się przyrównując do
zera mianownik funkcji przejścia układu zamkniętego:

czyli:

gdziejest transmitancją układu otwartego.

Kryteria stabilności układów regulacji
Kryterium pierwiastków równania charakterystycznego
Warunkiem koniecznym i wystarczającym stabilności układu regulacji jest, aby
wszystkie pierwiastki równania charakte­rystycznego miaÅ‚y części rzeczywiste
ujemne, tj.:

Wynika to z faktu, iż rozwiązanie jednorodnego równania różniczkowego: składa
się w zależności od pierwiastków sm równania charakterystycznego (jednokrotne,
wielokrotne lub równe zero) z sumy wyrażeń typu: Każde rozwiązanie danego
jednorodnego równania różniczkowego będzie dążyć do zera przy gdy części
rzeczywiste wszystkich pierwiastków równania charakterystycznego będą ujemne ze
względu na malejący charakter funkcji typu
Przy zachowaniu warunku wszystkie pierwiastki równania charakterystycznego
znajdują się w lewej półpłaszczyźnie zmiennej zespolonej "s" (w układzie
współrzędnych: oś X - osią rzeczywistą (Re) , oś Y - urojoną (Im)). Jeśli
dowolny z pierwiastkówma część rzeczywistą równą zero, to układ znajduje się na
granicy stabilności i mogą w nim wystąpić drgania o stałej amplitudzie. Jeśli
natomiast, choć jeden z pierwiastków ma dodatnią część rzeczywistą (znajduje
się w prawej półpłaszczyźnie zmiennej zespolonej "s"), wówczas układ jest
niestabilny - amplituda drgań w układzie narasta, a układ "rozbiega się".
Przypadki te prezentuje rys. 9.1.




Rys.9.1. Pierwiastki równania charakterystycznego: a) układu stabilnego, b)
układu na granicy stabilności, c) układu niestabilnego
Badanie stabilnoÅ›ci za pomocÄ… kryterium pierwiastków rów­nania
charakterystycznego jest bardzo kÅ‚opotliwe, szczegól­nie dla ukÅ‚adów wyższych
rzędów.
Kryterium algebraiczne Hurwitza
Kryterium to pozwala ocenić stabilność układu regulacji na podstawie
współczynników równania charakterystycznego bez konieczności obliczania
pierwiastków tego równania.
Według kryterium Hurwitza układ jest stabilny, jeśli zachodzą następujące
warunki:
- wszystkie współczynniki równania charakterystycznego są dodatnie,
- wyznacznik głównyi wszystkie podwyznaczniki
(2,3,...n) utworzone z wyznacznika głównego są dodatnie:

Kryterium częstotliwościowe Nyquista
Kryterium Nyquista dotyczy przypadku badania stabilności zamkniętego układu
regulacji na podstawie charakterystyk amplitudowo-fazowych układu otwartego.
Metoda ta pozwala stwierdzić już na etapie projektu i budowy układu regulacji,
czy po zamknięciu obwodu regulacyjnego układ będzie stabilny. Ważnym elementem
kryterium Nyquista jest oparcie się na charakterystykach częstotliwościowych,
które mogÄ… być wyznaczane doÅ›wiadczalnie, a niekoniecznie metodÄ… anali­tycznÄ….
W myÅ›l kryterium pierwiastków równania charakterystycz­nego ukÅ‚ad regulacji
jest stabilny, jeżeli wszystkie pier­wiastki tego równania majÄ… części
rzeczywiste ujemne, to znaczy znajdują się w lewej części płaszczyzny zmiennej
zespolonej "s". Istota tego kryterium polega, wiÄ™c na wyzna­czeniu rozkÅ‚adu
pierwiastków równania na pÅ‚asz­czyźnie "s". Kryterium Nyquista opiera siÄ™ na
kontroli poÅ‚o­Å¼enia pierwiastków równania charakterystycznego na pÅ‚asz­czyźnie
"s" poprzez odwzorowanie tej pÅ‚aszczyzny na pÅ‚asz­czyznÄ™ zmiennej zespolonej .
Aby odnaleźć na pÅ‚asz­czyźnie punkt odpowiadajÄ…cy danemu punktowi na
płaszczyźnie "s", należy dokonać podstawienia:

a z otrzymanego rezultatu wyodrębnić część rzeczywistą i urojoną, czyli:

Wartości są współrzędnymi punktu odpowiadającego na płaszczyźniepunktowi na
pÅ‚asz­czyźnie "Å›". Jeżeli jest jednym z pierwiastków równania czyli jeżeli (lub
w innym zapisie: Ko(jw)=-l+jO), to takiemu punktowi na płaszczyźnie "s"
odpowiada na płaszczyźnie punkt o współrzędnych (-l,jO).
Po dokonaniu transformacji wszystkie pierwiastki równania charakterystycznego
przejdą w punkt (-l,jO) na płaszczyźnie W celu sprawdzenia stabilności układu
regulacji wystarczy skontrolować, czy na płaszczyźnie punkt (-l,jO) znajduje
się w obszarze odpowiadającym lewej pół-płaszczyźnie zmiennej s lub (co jest
równoznaczne) , czy znajduje się poza obszarem odpowiadającym prawej
półpłasz-czyźnie zmiennej s. Dokonuje się w tym celu odwzorowania brzegów
prawej półpłaszczyzny zmiennej s. Odwzorowanie płaszczyzny zmiennej zespolonej
"s" na płaszczyznę przedstawiono na rysunku 9.2.


Rys.9.2. Odwzorowanie płaszczyzny zmiennej zespolonej "s" na płaszczyznę
W przypadku więc stabilnego zamkniętego układu regulacji wykres charakterystyki
amplitudowo-fazowej układu otwartego nie może obejmować punktu o współrzędnych
(-l,jO) dla częstotliwości zmieniających się od Jest te równoznaczne z faktem,
że posuwajÄ…c siÄ™ po tej charakte­rystyce w kierunku rosnÄ…cych czÄ™stotliwoÅ›ci
mija się punkt (-1,jO) w ten sposób, że znajduje się on po lewej stronie
wykresu. Dla większości przypadków wystarczająca jest analiza przebiegu
charakterystyki amplitudowo-fazowej dla częstotliwości zmieniających się od 0
do oo. Jeśli charakterystyka amplitudowo-fazowa przecina się z ujemna częścią
osi rzeczywistej w i (i=l,2..n) punktach, wówczas należy określić
częstotliwościdla których:

a następnie sprawdzić czy spełnione są zależności:

PrzykÅ‚ady zastosowaÅ„ kryterium Nyquista do oceny sta­bilnoÅ›ci przedstawia
rysunek 9.3.



Rys.9.3. Przykłady zastosowania kryterium Nyquista do oceny stabilności
Pewne niejasnoÅ›ci mogÄ… pojawić siÄ™ przy ukÅ‚adach zawiera­jÄ…cych elementy
caÅ‚kujÄ…ce (charakterystyki dążące do nie­skoÅ„czonoÅ›ci dla. Należy wtedy
narysować peÅ‚nÄ… charak­terystykÄ™ dla czÄ™stotliwoÅ›ci lub uzupeÅ‚nić Åšwykres o
krzywą zaczynającą się na dodatniej części osi rzeczywistej - rysunek 9.4.

Rs.9.4. Przykłady zastosowania kryterium Nyquista do oceny stabilności w
przypadkach układów z elementami całkującymi
Jeżeli dla niektórychwaruneknie jest spełniony, to układ nie musi być
niestabilny. Może to być rzadko spotykany przypadek, taki jak pokazany na
rysunku 9.5.


Rys.9.5. Przykłady zastosowania kryterium Nyquista do oceny stabilności w
szczególnych przypadkach układów
Korzystając z kryterium Nyquista, można określić warunki stabilności układu
regulacji analitycznie, bez konieczności sporządzania wykresu charakterystyki
amplitudowo-fazowej układu otwartego. Zakłada się, że moduł transmitancji
widmowej jest funkcjÄ… monotonicznie malejÄ…cÄ… dla et zmieniajÄ…cej siÄ™ od zera do
nieskończoności. Jest to praktycznie dość często występujący przypadek -
rysunek 9.6.

Rys.9.6. Typowa charakterystyka amplitudowo-fazowa układu otwartego
Określenia warunków stabilności układu regulacji można w tej sytuacji dokonać
trojako:

I sposób:
1. Wyznaczyć częstotliwośćz warunku:

2. Układ regulacji będzie stabilny, jeżeli:

II sposób:
1. Wyznaczyć częstotliwośćz warunku:

2. Układ regulacji będzie stabilny, jeżeli:

III sposób:
1. Wyznaczyć częstotliwośćz warunku:

2. Układ regulacji będzie stabilny, jeżeli:

W praktyce samo stwierdzenie, że układ regulacji jest stabilny, bywa
niewystarczajÄ…ce. Ważne jest również okreÅ›­lenie, jak duży jest tak zwany
"zapas stabilności", czy też jak daleko od "granicy stabilności" znajduje się
ukÅ‚ad regu­lacji. OczywiÅ›cie, im bliżej tej granicy bÄ™dzie znajdowaÅ‚ siÄ™ ukÅ‚ad,
tym mniejszy bÄ™dzie zapas stabilnoÅ›ci, a w, przy­padku, gdy któryÅ› z
pierwiastków równania charakterys­tycznego bÄ™dzie miaÅ‚ część rzeczywistÄ… równÄ…
zeru, to układ taki będzie znajdował się na granicy stabilności.
0 zapasie stabilności decyduje odległość od osi na płaszczyźnie "s" najbliżej
tej osi położonego pierwiastka (lub pierwiastków). Im ta odległość będzie
mniejsza, tym mniejszy będzie zapas stabilności układu. Miarą zapasu
stabilności jest więc minimalna co do wartości bezwzględnej część rzeczywista
pierwiastków równania charakterystycznego, odpowiadającego układowi
stabilnemu:


Podobnie z kryterium Nyquista wynika, że układ jest na granicy stabilności,
jeżeli charakterystyka amplitudowo-fazowa układu otwartego przechodzi przez
punkt o współrzędnych (-l, jO). Stąd o zapasie stabilności decyduje odległość
punktu (-l, jO) od charakterystyki amplitudowe -fazowej układu otwartego. Im ta
odległość będzie mniejsza tym mniejszy zapas stabilności Am będzie posiadał
układ. M. jest tak zwanym amplitudowym zapasem stabilności. Przez jego miarę
można rozumieć odwrotność modułu wartości części rzeczywistej transmitancji
widmowej układu otwartego dla częstotliwościdla której charakterystyka
amplitudowo-fazowa przecina ujemną oś części rzeczywistych:

Podobnie przez miarę fazowego zapasu stabilności rozumie się wartość
kątaokreślanego jako różnica argumentów transmitancji widmowej dla
częstotliwości dla której charakterystyka amplitudowo-fazowa przecina okrąg
jednost­kowy, majÄ…cy Å›rodek w poczÄ…tku ukÅ‚adu współrzÄ™dnych, i dla
częstotliwości

Częstotliwośćnazywana jest częstotliwością graniczną fazy (częstotliwość
odcięcia fazy):

Częstotliwośćnazywana jest częstotliwością graniczną modułu (częstotliwość
odcięcia modułu):

Pojęcia amplitudowego i fazowego zapasu stabilności ilustruje rysunek 9.7.


Rys.9.7. Ilustracja pojęć amplitudowegoi fazowego zapasu stabilności
Zapas amplitudy określa więc, ile razy można zwiększyć moduł transmitancji,
zanim osiągnie on wartość 1, a zapas fazy określa, o ile można zwiększyć
przesuniÄ™cie fazowe, zanim osiÄ…gnie ono wartość OkreÅ›lanie zapasu stabil­noÅ›ci
dotyczy oczywiście tylko układów stabilnych. Układy niestabilne nie mają zapasu
stabilności, choć czasami określa się dla nich ujemne wartości zapasu w celu
wyzna­czenia parametrów korygujÄ…cych, stabilizujÄ…cych ukÅ‚ad.
Zapewnienie odpowiedniego zapasu stabilnoÅ›ci dla projek­towanych ukÅ‚adów
regulacji jest zagadnieniem istotnie ważnym w teorii układów automatycznej
regulacji. Zaleca się na ogół, aby:
amplitudowy zapas stabilności:
fazowy zapas stabilności:
Dokładność statyczna układów automatyki
Z punktu widzenia analizy właściwości układów regulacji istotną sprawą jest
ocena wartości ustalonego uchybu (błędu) regulacji.
Schemat blokowy prostego układu regulacji przedstawia rysunek 9.8.

X(s) - wielkość zadana
Y(s) - wielkość regulowana
Z(s) - zakłócenia
E(s) - uchyb (błąd) regulacji
W(s) - wielkość nastawiająca (sterująca)
Rys.9.8. Schemat blokowy układu regulacji
Miarą dokładności statycznej układu regulacji są uchyby w stanie ustalonym,
które definiuje się następująco:

Dla układu regulacji z rysunku 9.8 uchyb regulacji E(sj można opisać równaniem:

(szczegółowe wyprowadzenie tego równania można znaleźć w rozdziale 10) , przy
czym określić można uchyb nadążania i uchyb zakłóceniowy


Uchyby te w stanie ustalonym określa się następująco:



Przy czym, ponieważ: więc:
Jak widać, ocena błędu ustalonego polega na ocenie uchybu nadążania i uchybu
zakłóceniowego. Dopuszczalne wartości tych błędów określa się oddzielnie w
procentach wartości maksymalnych wielkości zadanej lub wielkości regulowanej.
W przypadku analizy właściwości układów regulacji istotny jest podział tych
układów na statyczne i astatyczne układy regulacji automatycznej.
Celem ukÅ‚adu regulacji automatycznej jest takie stero­wanie obiektem, aby
przebieg sygnaÅ‚u regulowanego jak naj­mniej różniÅ‚ siÄ™ od przebiegu sygnaÅ‚u
zadanego, to znaczy, by uchyb regulacji był jak najmniejszy, a w idealnym
-kładzie regulacji dążył do zera.
Układ regulacji jest układem statycznym, jeśli uchyb regulacji w stanie
ustalonym dla skokowego sygnału x(t) jest różny od zera i równy Wielkość
nazywana jest uchybem statycznym.
Układem astatycznym nazywany jest układ, w którym uchyb ustalony jest równy
zeru. Aby zamknięty układ regulacji był układem astatycznym, układ otwarty musi
mieć właściwości całkujące.
Przy wymuszeniu liniowo narastającym statyczny układ regulacji (statyczny przy
wymuszeniu w postaci skoku jed­nostkowego) nie może dziaÅ‚ać prawidÅ‚owo,
ponieważ uchyb ustalony jest nieskończony, natomiast układ astatyczny przy
takim wymuszeniu wykazuje różny od zera, tak zwany uchyb prędkościowy. Aby
uchyb prędkościowy był równy zero, układ musi być układem astatycznym drugiego
stopnia (musi zawiera: dwa elementy całkujące). Aby układ astatyczny drugiego:
stopnia mógł wykazywać uchyb ustalony, wymuszenie musi t paraboliczne. Uchyb
ustalony przy wymuszeniu parabolicznym nazywa siÄ™ uchybem przyspieszeniowym.
Oczywiście układ astatyczny wyższego rzędu ma zerowe uchyby ustalone
wszys­tkich niższych stopni.

Aby przybliżyć zagadnienia statycznych i astatycznych układów regulacji,
rozważone bÄ™dÄ… ukÅ‚ady o schematach bloko­wych podanych na rysunku 9.9. Dla
układów tych transmitancje układu otwartego wynoszą odpowiednio:

Uchyb ustalony dla skokowego wymuszenia x(t)=a 1(t), czylidla tych układów
wynosi:




Rys.9.9. Przykłady układów statycznych i astatycznych

Z obliczeń wynika, więc, że układ z rys. 9.9a jest układem statycznym, a
pozostałe dwa są układami astatycznymi. Dla układu z rys. 9.9b błąd ustalony
różny od zera otrzymuje się dla wymuszenia liniowo narastającego w czasie:



Jest to więc układ astatyczny pierwszego rzędu. Natomiast dla układu z rys.
9.9c błąd ustalony różny od zera występu: dopiero dla wymuszenia parabolicznie
narastajÄ…cego:



Jest to więc układ astatyczny drugiego rzędu.
Rozważania dotyczące statyzmu lub astatyzmu układu można prowadzić tylko wtedy,
gdy układ jest stabilny, gdyż tylko wtedy wartość uchybu e(t) może ustalić się
po odpowiednim czasie jakoNiestety, wymagania dużego zapasu stabil­noÅ›ci i
dużej dokÅ‚adnoÅ›ci (maÅ‚ej wartoÅ›ci sÄ… wymaga­niami wzajemnie sprzecznymi.
Projektując układ regulacji trzeba się liczyć z pewnym kompromisem między tymi
wymaga­niami, a mianowicie należy okreÅ›lić niezbÄ™dny zapas stabil­noÅ›ci i
zgodzić siÄ™ na uzyskanÄ… dokÅ‚adność statycznÄ…. Waru­nek stabilnoÅ›ci jest
warunkiem pierwszorzędnym.

Inne wskaźniki jakości regulacji
Kolejnym parametrem charakteryzującym jakość regulacji jest tak zwany
czÄ™stotliwoÅ›ciowy wskaźnik regulacji. Poka­zuje on, jak silnie tÅ‚umione sÄ…
zakłócenia w zamkniętym układzie regulacji w stosunku do układu otwartego. Tor
zakłóceń Z(s) w układzie bez regulatora (czyli w układzie otwartym) ma
następującą funkcję przejścia (rys. 9.8):

Natomiast w układzie zamkniętym funkcja przejścia zakłóceń ma postać:

Stosunek funkcji przejścia zakłóceń w układzie zamkniętym do funkcji przejścia
zakłóceń w układzie otwartym nazywany jest wskaźnikiem regulacji:

Częściej operuje siÄ™ pojÄ™ciem czÄ™stotliwoÅ›ciowego wskaź­nika regulacji, który
jest określany przez stosunek wartości bezwzględnych odpowiednich transmitancji
widmowych:

Charakterystyka częstotliwościowego wskaźnika regulacji jest przedstawiona na
rysunku 9.10.


Rys.9.10. Charakterystyka częstotliwościowego wskaźnika regulacji
Na charakterystyce wskaźnika regulacji można wyróżnić: - pasmo tłumienia
zakłóceń dla którego
W paśmie tym wpływ zakłóceń jest mniejszy w układzie ze sprzężeniem zwrotnym
niż dla obiektu regulacji bez sprzężenia. W przypadku większości układów
największe tłumienie jest dla kiedy to:


- pasmo krytyczne - rezonansowe dla którego Zakłócenia o częstotliwościach z
tego pasma są wzmacniane w układzie ze sprzężeniem zwrotnym w stosunku do
układu otwartego. Najsilniej zjawisko to występuje dla częstotliwości
rezonansowej dla której:

Dla częstotliwości i zakłócenia oddziałują w ten sam sposób w układzie
zamkniętym, jak i w układzie otwartym;
- pasmo nadrezonansowe dla którego
W paśmie tym nie ma tłumienia zakłóceń, co wynika ze zmniejszania się
transmitancji widmowej do zera dla ty:: częstotliwości co oznacza "otwarcie"
pętli sprzężenia zwrotnego).
Tak więc, aby tłumienie zakłóceń w zamkniętym układzie regulacji było bardziej
skuteczne niż w układzie otwartym, częstotliwości zakłóceń muszą leżeć w paśmie
tłumienia. W praktyce ogranicza się pasmo regulacji dla którego wpływ zakłóceń
w zamkniętym układzie regulacji jest słabszy aniżeli w układzie otwartym
(rys.9.10).
Duży wpÅ‚yw na przebieg charakterystyki czÄ™stotliwoÅ›­ciowego wskaźnika regulacji
ma współczynnik wzmocnienia układu otwartego - rys. 9.11. Ze wzrostem tego
współczynnika poprawia się tłumienie, ale następuje pogorszenie się własności
układu w paśmie rezonansowym.


Rys.9.11. Wpływ współczynnika wzmocnienia układu otwartego na częstotliwościowy
wskaźnik regulacji

O jakoÅ›ci regulacji, oprócz zapasu stabilnoÅ›ci, dokÅ‚a­dnoÅ›ci statycznej i
wskaźnika regulacji decydują jeszcze następujące wskaźniki (rys. 9.12):
czas regulacji tr - czas liczony od chwili wprowadzenia wymuszenia do chwili,
po której uchyb regulacji zmaleje poniżej 5% swojej wartości maksymalnej,
przeregulowanie- stosunek największej wartości błędu regulacji o znaku
przeciwnym niż błąd maksymalny do wartości tego maksymalnego błędu.

Rys.9.12. Ilustracja wskaźników regulacji: czasu regulacji tr i przeregulowania
c



















Praca dotyczy zakresu wykładów z Podstaw Automatyki, zajęć prowadzonych przez
dr Jerzego Mikulskiego.
Obecne zajęcia podlegają egzaminowaniu, więc dodatkowe informacje w przyjemnej
elektronicznej formie bardzo siÄ™ przydadzÄ….