Tablica 1 Zestawienie ważniejszych transformat operatorowych


Funkcja przejścia zależy tylko od własności układu dynamicznego, nie zależąc od
sygnału wejściowego. Transmitancja operatorowa określa równie syntetycznie
własności układu dynamicznego jak równanie różniczkowe. Z tego też powodu
bardzo często wpisuje się funkcję przejścia K(s) wewnątrz schematów blokowych -
rys. 1.8.

Rys.1.8. Blokowe oznaczenie z funkcją przejścia

Z zależności definicyjnej wynika, że
Y(s)=K(s)X(s),
co oznacza, że transformata operatorowa odpowiedzi układu dynamicznego jest
równa iloczynowi funkcji przejścia i transformaty operatorowej sygnału
wymuszającego. Znając transmitancję operatorową K(s) oraz sygnał wejściowy x(t)
nożna wyznaczyć jednoznacznie (przy zerowych warunkach początkowych) odpowiedź
układu y(t) na to wymuszenie, korzystając z dwukrotnego przekształcenia
operatorowego:

Z przedstawionej zależności wynika, że przebieg czasowy k(t) funkcji przejścia
można wyznaczyć jako odpowiedź układu na wymuszenie impulsowe (na impuls
Diraca), którego transfor­macja Laplace'a jest równa jednoÅ›ci. Wtedy:
Y(s)=K(s)-l oraz lub
co oznacza, że funkcja przejÅ›cia jest transformatÄ… odpo­wiedzi impulsowej przy
pobudzaniu układu sygnałem skoku jednostkowego, które to wymuszenie jest
bardziej rzeczywiste, otrzymuje siÄ™:
a wtedy:


Jest to tak zwana odpowiedź skokowa, bÄ™dÄ…ca charak­terystykÄ… czasowÄ… ukÅ‚adu (w
odróżnieniu od funkcji k(t), będącej czasową postacią transmitancji
operatorowej).
Z transmitancji operatorowej można wyznaczyć współczynnik wzmocnienia liniowego
układu dynamicznego jako wartość graniczną odpowiedzi skokowej układu:

Powyższa granica nie zawsze istnieje, dlatego też czasami współczynnik
wzmocnienia definiuje się inaczej (dotyczy to układów wielokrotnie
różniczkujących lub całkujących).
Jeżeli znana jest czasowa postać funkcji przejścia k(t), to przebieg sygnału
wyjściowego jako odpowiedź na dowolne wymuszenie x(t) można otrzymać z relacji
całki splotowej:

Często przy określaniu transformat operatorowych innych funkcji niż podane w
tablicy 1 pomocna jest znajomość właściwości przekształcenia Laplace'a.
Własności te podano poniżej bez dowodów.
Twierdzenie o liniowości
Jeżeli funkcja f(t) jest kombinacją liniową dwóch funkcji mających transformaty
Laplace'a są współczynnikami stałymi), to po przekształceniu operatorowym
odpowiada jej kombinacja liniowa transformat tych funkcji:


Twierdzenie o różniczkowaniu względem czasu
Jeżeli istnieje pochodna funkcji f(t) majÄ…cej transfor­matÄ™ F(s), to:
gdzie f(0) jest wartością początkową funkcji w punkcie t=0.

Przy wielokrotnym różniczkowaniu:

gdzie jest wartością k-tej pochodnej funkcji w punkcie t0, co na przykład dla
n=3 daje następującą zależność:


Twierdzenie o całkowaniu względem czasu
Transformata całki funkcji wyraża się zależnością:

co można uogólnić:

Twierdzenie o przesunięciu w płaszczyźnie zmiennej zespolonej
Jeżeli funkcja f(t) ma transformatę F(s), to transformata funkcji pomnożonej
przez wyrażenie tłumiącewyraża się zależnością:

gdzie a jest dowolnÄ… liczbÄ… zespolonÄ….
Twierdzenie o przesunięciu w płaszczyźnie zmiennej rzeczywistej (opóźnieniu)
Jeżeli funkcja f(t) posiada transformatę F(s), to transformata funkcji
przesuniętej o czas T w kierunku dodatnich czasów (transformata funkcji
opóźnionej o cz_as__T) wyraża się wzorem:


Twierdzenie o zmianie skali
Jeżeli transformatą funkcji f(t) jest F(s), to:

gdzie a jest liczbÄ… rzeczywistÄ….
Twierdzenie Duhamela (twierdzenie o splocie funkcji)
Jeżeli funkcje i sÄ… odpowiednio transfor­matami funkcji i to transformatÄ…
odwrotną ich iloczynu jest całka splotowa tych funkcji:

Twierdzenie o wartościach granicznych

Twierdzenie to jest prawdziwe dla przypadku, kiedy granicaistnieje.
Wyprowadzenie transformat operatorowych przykładowych funkcji:
Transformata skoku jednostkowego
Funkcja ta przedstawiona jest na rys. 1.4. Określa ona pojawienie sygnału
równego 1 w chwili t=0, stąd jej definicja jest następująca:

Zgodnie z definicjÄ… transformacji Laplace'a:


Innymi słowy:

Transformata skoku jednostkowego dowolnej wartości będzie wynosiła na podstawie
twierdzenia o mnożeniu przez wartość stałą:
Transformata funkcji impulsowej
Impuls Diraca jest przedstawiony na rys. 1.5, a zdefinio­wany jest nastÄ™pujÄ…co:


przy czym
Charakterystyczne dla funkcji Diraca jest to, że:

Prawdziwe są również relacje:

Transformata funkcji impulsowej wynosi więc na podstawie twierdzeń o
różniczkowaniu lub całkowaniu:


Transformata funkcji liniowo narastajÄ…cej
Funkcja skoku prędkości przedstawiona jest na rys. 1.6. Skok prędkości jest
całką z funkcji skoku jednostkowego:

lub odwrotnie, funkcja skoku jednostkowego jest pochodnÄ… funkcji liniowo
narastajÄ…cej.
Transformata operatorowa tej funkcji będzie zgodnie z definicją określona jako:

Stosując całkowanie przez części:

gdzie:

otrzymuje siÄ™:

a zatem:

Transformata funkcji liniowo narastającej wynosi więc:

Zastosowanie transformacji Laplace'a do rozwiązywania równań różniczkowych
Szerokie stosowanie rachunku operatorowego wynika z moż­liwoÅ›ci stosowania
przeksztaÅ‚cenia Laplace'a do rozwiÄ…zy­wania równaÅ„ różniczkowych zwyczajnych o
staÅ‚ych współczyn­nikach. I tak dla równania niejednorodnego:

z warunkami poczÄ…tkowymi:

można dokonać transformacji operatorowej obu stron równania:

gdzie W(s) reprezentuje wielomian warunków początkowych.

Rozwiązując to równanie algebraiczne względem Y(s) otrzymuje się:

Oryginał tej funkcji y(t) można odnaleźć (czasami dopiero po rozkładzie na
ułamki proste) z transformat jako:

Przykładowo, w przypadku równania różniczkowego:

z warunkiem poczÄ…tkowym:
y(0)=l operatorowe równanie algebraiczne ma postać:
sY(s) - y(0) + Y(s) = 0, skÄ…d:

a stąd (otrzymane na podstawie tablicy 1) rozwiązanie równania różniczkowego ma
postać:


WSKAZÓWKI PRAKTYCZNE

Mając daną operatorową funkcję przejścia K(s) oraz wymuszenie X(s), znaleźć i
narysować funkcjÄ™ y(t) korzys­tajÄ…c z przeksztaÅ‚cenia Laplace'a

stąd Y(s) = K(s)X(s) dla przyjętych danych


po dokonaniu przekształceń otrzymuje się

a stąd na podstawie tablicy 1 otrzymuje się postać czasową odpowiedzi układu
y(t)

co odpowiada wykresowi z rys. 1.9.

Rys.1.9. Wykres funkcji y(t) dla przeprowadzonych obliczeń