Rozdział 7

CHARAKTERYSTYKI CZĘSTOTLIWOŚCIOWE ELEMENTÓW AUTOMATYKI

WSTĘP TEORETYCZNY

Analiza częstotliwościowa układów dynamicznych polega na rozpatrywaniu układu
pod kątem jego zdolności przenoszenia sygnałów sinusoidalnych oraz na badaniu
zmian, jakim ulega sygnał tego typu po przejściu przez układ dynamiczny.
Podstawowymi pojÄ™ciami charakteryzujÄ…cymi wymienione wÅ‚as­noÅ›ci ukÅ‚adu
dynamicznego sÄ…: transmitancja widmowa i cha­rakterystyki czÄ™stotliwoÅ›ciowe.
Dla układu dynamicznego o jednym wejściu i jednym wyjściu sygnał wejściowy jest
sygnałem sinusoidalnym o następującej postaci:

Ponieważ rozpatrywany układ dynamiczny jest układem liniowym, w stanie
ustalonym sygnał wyjściowy będzie również sygnałem sinusoidalnym, o tej samej
częstotliwości, lecz : innej amplitudzie oraz innym przesunięciu fazowym

Graficzną interpretację odpowiedzi układu liniowego na wymuszenie sinusoidalne
przedstawia rysunek 7.1.



Rys.7.1. Odpowiedź układu liniowego y(t) na wymuszenie sinusoidalne x(t)

Na podstawie powyższego stwierdzenia określa się transmitancję widmową układu
dynamicznego jako stosunek wartości symbolicznej sinusoidalnego sygnału
wyjściowego o stałych w czasie parametrach, będącego odpowiedzią na
sinusoidalny sygnał wejściowy do tego wejściowego sygnału.

Ponieważ dla każdego ustalonego o transmitancja widmowa jest liczbą zespoloną,
więc można ją przedstawić w następującej postaci:

gdzie:

Transmitancja widmowa jest ściśle związana z transmitancją operatorową K(s)

Transmitancję widmową przedstawia się też często wyodrębniając jej część
rzeczywistą oraz część urojoną:

Część rzeczywistą: opisuje się jako natomiast część urojoną: jako Zależność
między częścią rzeczywistą i urojoną a modułem i fazą funkcji jest
następująca:
czyli:
Właściwości układów dynamicznych o transmitancji widmowej przedstawia się
czÄ™sto w postaci wykresów tak zwa­nych charakterystyk czÄ™stotliwoÅ›ciowych.
Charakterystyki te otrzymuje się na podstawie transmitancji widmowej, jeśli
potraktuje siÄ™ jako zmiennÄ… niezależnÄ…, przybierajÄ…cÄ… war­toÅ›ci od
Charakterystyki częstotliwościowe mają nie tylko sens pojęciowy, lecz także
pomiarowy, ponieważ wprowadzajÄ…c eks­perymentalnie do ukÅ‚adu wymuszenie
harmoniczne o nastawianej pulsacjimożna mierzyć charakterystyki
czÄ™stotliwoÅ›­ciowe na wyjÅ›ciu ukÅ‚adu.
Rozróżnia siÄ™ nastÄ™pujÄ…ce charakterystyki czÄ™stotliwoÅ›­ciowe:
amplitudowÄ…
fazowÄ…
rzeczywistÄ…
urojonÄ…

Ponadto okreÅ›la siÄ™ charakterystyki czÄ™stotliwoÅ›ciowe lo­garytmiczne, bardzo
dogodne, gdy operuje siÄ™ wykresami. Osie i skaluje siÄ™ logarytmicznie,
wprowadzając tak zwany moduł logarytmiczny którego jednostką jest decybel (dB);
wzmocnieniu 10-krotnemu odpowiada wtedy 20 dB, wzmocnieniu jednostkowemu - 0
dB.
Jak można byÅ‚o zauważyć, charakterystyki czÄ™stotliwoÅ›cio­we sÄ… zestawione
parami. Prowadzi to do kilku typowych sposobów ich graficznego przedstawienia w
postaci wykresów.

Rys. 7.2. Charakterystyka amplitudowo-fazowa

Na rysunku 7.2 przedstawiono elementarnÄ… interpretacjÄ™
na płaszczyźnie zmiennej zespolonej o osiach i. Traktując o jako zmienną
otrzymuje siÄ™ krzywÄ… jako tak zwany wykres Nyquista lub charakterystykÄ™
ampli­tudowo- fazowÄ…, ponieważ współrzÄ™dne biegunowe każdego punktu na wykresie
wyrażają

Rys. 7.3. Charakterystyki: rzeczywista i urojona

Charakterystykiprzedstawione na rysunku 7.3 są rzadziej stosowane, jednakże
wiele wyspecjalizowanych urządzeń pomiarowych podaje wyniki właśnie w tej
postaci.

Rys.7.4. Charakterystyki: amplitudowa i fazowa

Również charakterystyki w skali liniowej (rysunek 7.4) są rzadko stosowane.

Rys. 7.5. Charakterystyki logarytmiczne: amplitudowa i fazowa

Bardzo powszechnie natomiast stosuje siÄ™ sposób przed­stawiania w postaci
podanej na rysunku 7.5. SÄ… to tak zwane wykresy Bodego, czyli charakterystyki
logarytmiczne.

Rys.7. 6. Charakterystyka moduł logarytmiczny-argument

Na rysunku 7.6 pokazano tak zwany wykres Blacka, stano­wiÄ…cy poÅ‚Ä…czenie pary
charakterystyk moduł logarytmiczny -argument przy pulsacjitraktowanej jako
parametr wykresu.
Charakterystyki amplitudowo-fazowe całkujących układów dynamicznych zaczynają
siÄ™ na osi zespolonej w nieskoÅ„­czonoÅ›ci, a koÅ„czÄ… w punkcie zerowym - ukÅ‚ady
całkujące idealne (rys. 7.7) lub zaczynają się w trzeciej ćwiartce układu
współrzędnych i kończą się w punkcie zerowym - układy całkujące rzeczywiste -
rys. 7.8.

Rys.7.7. Charakterystyka amplitudowo-fazowa elementu całkującego idealnego

Rys.7.8. Charakterystyka amplitudowo-fazowa elementu całkującego rzeczywistego

Charakterystyki amplitudowo-fazowe różniczkujÄ…cych ukÅ‚a­dów dynamicznych
zaczynają się w punkcie zerowym, a kończą na osi liczb rzeczywistych - układy
rzeczywiste (rys. 7.9) lub w nieskończoności na osi zespolonej - układy idealne
(rys. 7.10).

Rys. 7.9. Charakterystyka amplitudowo-fazowa elementu różniczkującego
rzeczywistego

Rys.7.10. Charakterystyka amplitudowo-fazowa elementu różniczkującego idealnego

Charakterystyki amplitudowo-fazowe większości pozostałych układów dynamicznych
zaczynajÄ… siÄ™ na osi liczb rzeczy­wistych w punkcie odpowiadajÄ…cym
współczynnikowi wzmocnienia k, a kończą się w punkcie zerowym - rysunek 7.2.
Charakterystyki częstotliwościowe układów dynamicznych wykorzystuje się głównie
przy projektowaniu ukÅ‚adów automa­tycznej regulacji oraz badaniu stabilnoÅ›ci.

WSKAZÓWKI PRAKTYCZNE

Aby uzyskać charakterystyki częstotliwościowe danego układu należy najpierw
przeprowadzić pomiary, których specy­fikÄ™ opisano poniżej.
Charakterystyki częstotliwościowe elementu liniowego uzyskuje się przez podanie
sygnału sinusoidalnego o częstotliwościi amplitudziena wejście:

i pomiar na wyjściu sygnału:

Ponieważ częstotliwości są identyczne, uzyskuje się w wyniku dwie funkcje
częstotliwości: i z których pierwsza jest zwykle modyfikowana,

Zakres czÄ™stotliwoÅ›ci praktycznie mierzalnych jest ogra­niczony: od doÅ‚u
czÄ™stotliwoÅ›ciÄ… niestaÅ‚oÅ›ci obrazu oscylos­kopowego a od góry ograniczeniem
pasma w modelach elementów. Amplituda sygnału choć teoretycznie dowolna dzięki
przejściu do wyznaczania amplitudowej funkcji przejścia w praktyce jest też
ograniczona: od dołu bliskością szumów sygnałowych i czułością przyrządów, od
góry zaÅ› możliwoÅ›ciÄ… pojawienia siÄ™ efektów nieliniowych w najbar­dziej na nie
narażonych elementach toru pomiarowego. Amplitudy wygodnie jest wyrażać w skali
logarytmicznej: A=201g(u) [dB]. Daje to korzyÅ›ci przy wyznaczaniu amplitudo­wej
funkcji przejścia:

która jest różnicą logarytmicznych miar wartości sygnałów wyjściowego i
wejściowego.
Jako przykÅ‚ad posÅ‚użyÅ‚y dane zebrane z czterech dziaÅ‚a­jÄ…cych modeli elementów
automatyki: elementu proporcjo­nalnego, caÅ‚kujÄ…cego idealnego, różniczkujÄ…cego
rzeczywis­tego i inercyjnego pierwszego rzÄ™du, na podstawie których można
wykreÅ›lić charakterystyki czÄ™stotliwoÅ›ciowe (amplitu­dowe) tych elementów.


Element proporcjonalny











fwe[Hzl
5
10
20
50
100
200
500
1000
2000
5000
10000
UwefYl
1.88
1.88
1.88
1.88
1.91
1.91
1.91
1.91
1.91
1.91
1.91
Uwv(V]
8.91
9.44
9.44
9.44
9.44
9.55
9.55
9.33
8.66
6.17
3.63
Kf-1
4.73
5.01
5.01
5.01
4.95
5.01
5.01
4.9
4.54
3.24
1.91
AweFdBl
5.5
5.5
5.5
5.5
5.6
5.6
5.6
5.6
5.6
5.6
5.6
AwyWBl
19
19.5
19.5
19,5
19.5
19.6
19.6
19.4
18.75
15.8
11.2
KLMQ1
13.5
14
14
14
13.9
14
14
13.8
13.15
10.2
5.6
Element całkujący
Ä…cy











fwefH?!
5
10
20
50
100
200
500
1000
2000
5000
10000
UweP/1
9r2?
P25
0.2$
0.25
0.25
0 25

0.25
025
0 25
0 25
UWYlYl
7.5
4.34
2.05
0.79
0 43
0.22
Q.13
0.04
0.02
0.01
0.01
KI-1
29 85
17.28
8.18
3.16
1.73
0.89
0.5
0.17
0.08
0.04
0.03
AwefdBl
-12
-12
-12
-12
-12
-12
-12
-12
-12
-12
-12
AwyFdBl
17.5
12.75
6.25
-2
-7.25
-13
-18
-27.25
-33.5
-40
-44
KLfdBl
29.5
24.75
18.25
10
4.75
-1
-6
-15.25
-21.5
-28
-32
Element różniczkujący












5
10
20
50
100
200
500
1000
2000
5000
10000
UwelYl
025
0.25
0.25
0.25
0.25
0 25
0.25
0.25
0 25
0 25
0 25
UwyM
0.04
0.07
0.15
0.38
0.75
1.58
4.07
6.68
10.59
9.44
5.46
Kf-1
0.17
0.28
0.6
1.5
2.99
6.31
16.22
26.61
42.17
37.58
21.75
AweTdBl
-12
-12
-12
-12
-12
-12
-12
-12
-12
-12
-12
AwvfdBI
-27.5
-23
-16.5
-8,5
-2.5
4
12.2
16.5
20.5
19.5
14.75
KJJdBL-
-15.5
-11
-4.5
3.5
9.5
16
24.2
28.5
32.5
31.5
26.75
Element inercyjny 1 rzędu











fweFHzi
5
10
20
50
100
200
500
1000
2000
5000
10000
UweM
10.00
10.00
10.00
10.00
10.00
10.00
10.00
10.00
10.00
10.00
10.00
Uwyty]
1000
10.59
10.59
9.7?
8.41
6.31
2.99
1.58
0.75
0.45
0.22
K[-]
1.00
1.06
1.06
0.9.7
0.84
0.63
0.3
0.16
0.07
0.04
0.02
AwefdBl
20
20
20
20
20
20
20
20
20
20
20
AwtfdBl
20
20.5
20.5
19.75
18.5
16
9.5
4
-2.5
-7
-13
KLFdBl
0
0.5
0.5
-0.25
-1.5
-4
-10.5
-16
-22.5
-27
-33
Rys.7.11. Wyniki pomiarów dla poszczególnych elementów

wyrażone w skali logarytmicznej (w decybelach). Różnica i czyli - także w
decybelach - posłużyła do wykreślenia charakterystyk częstotliwościowych
amplitudowych badanych elementów.

Na rysunkach zaznaczono linią przerywaną przykładowe przebiegi charakterystyk
dla elementów idealnych.

Rys.7.12. Charakterystyka częstotliwościowa amplitudowa elementu
proporcjonalnego

W przypadku elementu proporcjonalnego (rys. 7.12) otrzymana charakterystyka w
swej początkowej i środkowej części jest zbliżona do charakterystyki
teoretycznej. Spadek wartości dla częstotliwości powyżej 5000 Hz można
tÅ‚umaczyć pojawiajÄ…cym siÄ™ dla takich wysokich czÄ™stotli­woÅ›ci ograniczeniem
pasma badanego elementu.
Charakterystyka elementu całkującego idealnego wyznaczona doświadczalnie (rys.
7.13) ma postać zbliżonÄ… do charakte­rystyki teoretycznej.
W przypadku charakterystyki elementu różniczkującego rzeczywistego - rys. 7.14
- jej przebieg jest, z wyjątkiem jej końcowego odcinka, dość zbliżony do
idealnego (teore­tycznego) . OpadajÄ…cy charakter koÅ„cowego odcinka można
tÅ‚u­maczyć - podobnie jak dla elementu proporcjonalnego - ogra­niczeniem pasma
badanego modelu elementu dla wyższych częstotliwości.

Rys. 7.13. Charakterystyka częstotliwościowa amplitudowa elementu całkującego

Rys.7.14. Charakterystyka częstotliwościowa amplitudowa elementu
różniczkującego

Rys. 7.15. Charakterystyka częstotliwościowa amplitudowa elementu inercyjnego I
rzędu

Charakterystyka elementu inercyjnego pierwszego rzędu -rzeczywistego -
wykazuje, jak widać to na rys. 7.15, dość duże podobieństwo do jej
teoretycznego odpowiednika.

PROGRAM ĆWICZENIA
I. Przygotowanie teoretyczne do ćwiczenia
Określenie transmitancji widmowej układu dynamicznego
K(jra)
Sposoby prezentacji transmitancji K(jo)
Rodzaje charakterystyk częstotliwościowych:

charakterystyka amplitudowa,
charakterystyka fazowa,
charakterystyka rzeczywista,
charakterystyka urojona,
charakterystyki logarytmiczne,
charakterystyka amplitudowo-fazowa
Zastosowanie charakterystyk częstotliwościowych