Rozdział 2
PODSTAWOWE ELEMENTY AUTOMATYKI

Każdy bardziej skomplikowany układ dynamiczny składa się z prostych elementów,
które odpowiednio połączone, w odpowiednich konfiguracjach dają złożone
struktury.
Znajomość tych podstawowych elementów pozwala na badanie dynamiki bardziej
złożonych układów automatyki.
Oto kilka podstawowych elementów dynamicznych:
Element proporcjonalny (bezinercyjny)
a) i funkcja przejścia:
K(s)=k,
gdzie k - współczynnik wzmocnienia,
b) równanie dynamiki:
y(t)=kx(t),
c) odpowiedź skokowa:

d) czasowy wykres odpowiedzi skokowej - rys. 2.1,

Rys.2.1. Odpowiedź skokowa elementu proporcjonalnego
e) transmitancja widmowa:


f) charakterystyka amplitudowo - fazowa - rys. 2.2.

Rys.2.2. Charakterystyka amplitudowo-fazowa elementu proporcjonalnego

Element inercyjny I rzędu
a) funkcja przejścia:

gdzie: k - współczynnik wzmocnienia, T - stała czasowa,
b) równanie dynamiki:

c) odpowiedź skokowa:

d) czasowy wykres odpowiedzi skokowej - rys. 2.3,

Rys.2.3. Odpowiedź skokowa elementu inercyjnego I rzędu

e.) transmitancja widmowa:
f) charakterystyka amplitudowo - fazowa - rys. 2.4.

Rys.2.4. Charakterystyka amplitudowo-fazowa elementu inercyjnego I rzędu

Element II rzędu - inercyjny
a) funkcja przejścia:

zdzie: k - współczynnik wzmocnienia,
- stałe czasowe,
b: równanie dynamiki:

c) odpowiedź skokowa:

d) czasowy wykres odpowiedzi skokowej - rys. 2.5,

Rys.2.5. Odpowiedź skokowa elementu inercyjnego II rzędu


e) transmitancja widmowa:

f) charakterystyka amplitudowo-fazowa - rys. 2.6.

Rys.2.6. Charakterystyka amplitudowo-fazowa elementu inercyjnego II rzędu

Element II rzędu - oscylacyjny
a) funkcja przejścia:

gdzie: k - współczynnik wzmocnienia,
- odwrotność częstotliwości drgań nie tłumionych, - współczynnik tłumienia.

W mianowniku funkcji przejÅ›cia wystÄ™puje wielomian dru­giego rzÄ™du, którego
pierwiastki zależą od znaku wyróżnika:

b) równanie dynamiki:

c) odpowiedź skokowa:

Wielkość nazywana jest częstotliwością
irgań własnych (częstotliwość drgań swobodnych układu tłumionego). Jest to
częstotliwość drgań odpowiedzi układu na wymuszenie o charakterze skoku
jednostkowego.
d) czasowy wykres odpowiedzi skokowej:
- gdy wtedyrównanie w mianowniku funkcji przejścia będzie miało pierwiastki
zespolone sprzężone,
a odpowiedź skokowa w funkcji czasu będzie miała wykres jak na rys. 2.7.

Rys.2.7. Odpowiedź skokowa elementu II rzędu -oscylacyjnego
- gdywtedy ; równanie w mia­nowniku funkcji przejÅ›cia bÄ™dzie miaÅ‚o pierwiastki
rzeczy­wiste (dlajeden podwójny pierwiastek), a odpowiedź skokowa bÄ™dzie miaÅ‚a
postać drgań krytycznych - wartość h(t) dochodzi bez oscylacji do wartości
ustalonej.
- gdy wówczas w układzie wystąpią drgania nie tłumione,
- gdyw układzie występują oscylacje o charakterze narastającym.
e) transmitancja widmowa:

f) charakterystyka amplitudowo-fazowa - rys. 2.8.

Rys.2.8. Charakterystyka amplitudowo-fazowa elementu II rzędu - oscylacyjnego

Charakterystyka amplitudowo-fazowa wykazuje maksimum dla częstotliwości zwanej
częstotliwością rezonansową:
Wtedy:

Jest to wyrażenie, będące funkcją tłumienia o tendencji dążenia
dodlazdążającego do 0.

Element różniczkujący - element różniczkujący idealny
a) funkcja przejścia:
K(s)=ks, gdzie k - współczynnik wzmocnienia,
b) równanie dynamiki:

c) odpowiedź skokowa:

gdzie 8(t) jest impulsem Diraca,
d) czasowy wykres odpowiedzi skokowej - rys. 2.9,

Rys.2.9. Odpowiedź skokowa elementu różniczkującego idealnego
e) transmitancja widmowa:

f) charakterystyka amplitudowo-fazowa - rys. 2.10.

Rys.2.10. Charakterystyka amplitudowo-fazowa elementu różniczkującego idealnego

- element różniczkujący rzeczywisty
Element różniczkujący idealny w praktyce nie istnieją dlatego rozważa się
elementy różniczkujące rzeczywiste.
a) funkcja przejścia:

gdzie: k - współczynnik wzmocnienia, T - stała czasowa,
b) równanie dynamiki:

c) odpowiedź skokowa:

d) czasowy wykres odpowiedzi skokowej rys. 2.11,

Rys.2.11. Odpowiedź skokowa elementu różniczkującego rzeczywistego

e) transmitancja widmowa:

f) charakterystyka amplitudowo-fazowa - rys. 2.12.

Rys.2.12. Charakterystyka amplitudowo-fazowa elementu różniczkującego
rzeczywistego
Element całkujący - element całkujący idealny
a) funkcja przejścia:

gzie k - współczynnik wzmocnienia,
b) równanie dynamiki:

lub:
c) odpowiedź skokowa:

d) czasowy wykres odpowiedzi skokowej - rys. 2.13,

Rys.2.13. Odpowiedź skokowa elementu całkującego idealnego

e) transmitancja widmowa:

f) charakterystyka amplitudowo-fazowa - rys. 2.14.

Rys.2.14. Charakterystyka amplitudowo-fazowa elementu całkującego idealnego

- element całkujący rzeczywisty
a) funkcja przejścia:

gdzie: k - współczynnik wzmocnienia, T - stała czasowa,
b) równanie dynamiki:

c) odpowiedź skokowa:

d) czasowy wykres odpowiedzi skokowej - rys. 2.15.

Rys.2.15. Odpowiedź skokowa elementu całkującego rzeczywistego

e) transmitancja widmowa:

f) charakterystyka amplitudowo - fazowa - rys. 2.16.

Rys.2.16. Charakterystyka amplitudowo-fazowa elementu całkującego rzeczywistego

Element opóźniający
- element opóźniający idealny

a) funkcja przejścia:

gdzie: k - współczynnik proporcjonalności, - czas opóźnienia (czas martwy),
b) równanie dynamiki:

c) odpowiedź skokowa:

d) czasowy wykres odpowiedzi skokowej - rys.2.17,

Rys.2.17. Odpowiedź skokowa elementu opóźniającego idealnego
e) transmitancja widmowa:

f) charakterystyka amplitudowo - fazowa - rys.2.18.

Rys.2.18. Charakterystyka amplitudowo-fazowa elementu opóźniającego idealnego

(n=0,l,2,...),

- element opóźniający rzeczywisty
Powstaje on w wyniku szeregowego połączenia elementu opóźniającego idealnego z
elementem inercyjneym I rzędu.
Jest to ukÅ‚ad stosowany do aproksymacji ukÅ‚adów inercyj­nych wyższych rzÄ™dów.
a) funkcja przejścia:

gdzie: k - współczynnik proporcjonalności, T - stała czasowa,
- czas opóźnienia (czas martwy) ,
b) równanie dynamiki:

c) odpowiedź skokowa:

d) czasowy wykres odpowiedzi skokowej - rys.2.19.

Rys.2.19. Odpowiedź skokowa elementu opóźniającego rzeczywistego
e) transmitancja widmowa:

f) charakterystyka amplitudowo - fazowa - rys.2.20.

Rys.2.20. Charakterystyka amplitudowo-fazowa elementu opóźniającego
rzeczywistego
Charakterystyka amplitudowo-fazowa jest spiralą kończącą się w początku układu.
Dla spirala ta przecina ujemną oś części rzeczywistej dla częstotliwości


Zlement przesuwajÄ…cy fazÄ™
= funkcja przejścia:

idzie: T - stała czasowa, z równanie dynamiki
:
z odpowiedź skokowa:

i czasowy wykres odpowiedzi skokowej - rys.2.21,

Rys.2.21. Odpowiedź skokowa elementu przesuwającego fazę
e) transmitancja widmowa:

f) charakterystyka amplitudowo-fazowa - rys.2.22.

Rys.2.22. Charakterystyka amplitudowo-fazowa elementu przesuwajÄ…cego fazÄ™

Element o właściwościach korekcyjnych
a) funkcje przejścia:

gdzie: k - współczynnik wzmocnienia, - stałe czasowe,
b) równanie dynamiki:

c) odpowiedź skokowa:
Dla funkcji opisanej równaniem

po dokonaniu przekształceń otrzymuje się funkcję postaci a podstawiając

zaotrzymuje siÄ™:

W zależności od wartościparametr a jest:


z czasowy wykres odpowiedzi skokowej - rys.2.23,

Rys.2.23. Odpowiedzi skokowe elementów o właściwościach korekcyjnych
e) charakterystyka amplitudowo-fazowa - rys.2.24.



Rys.2.24. Charakterystyki amplitudowo-fazowe elementów o właściwościach
korekcyjnych