Rozdział 1

MATEMATYCZNY OPIS UKŁADÓW DYNAMICZNYCH

Automatyka zajmuje się badaniem zachowania w czasie (czyli badaniem dynamiki)
układów o różnym charakterze i różnej budowie, układów elektrycznych,
mechanicznych, itp. Ogólnie, automatyka bada układy dynamiczne. Układem
dynamicznym jest układ fizyczny z wyróżnionymi sygnałami wejściowymi oraz
wyjściowymi, którego zachowanie się w czasie może być opisane relacjami
matematycznymi, zwanymi modelem matematycznym.
Model matematyczny układu dynamicznego uzyskuje się zwy�kle na podstawie
znajomości praw fizycznych lub chemicznych rządzących danym układem. Taki model
matematyczny składa się w ogólności z równania różniczkowego, opisującego
zależności dynamiczne i z równania (lub wykresu) zależności, określa�jącej
zachowanie się układu w stanie ustalonym (czyli tak zwanej charakterystyki
statycznej). Równanie różniczkowe obejmuje stan ustalony i nieustalony oraz
przechodzi w równanie statyczne, jeżeli założyć brak "dynamiki" układu (stałe
sygnały wejściowe i wyjściowe - zanik pochodnych).

Rys.1.1. Charakterystyka statyczna dynamicznego układu liniowego

Dla układów liniowych charakterystyka statyczna jest linią prostą (rys. 1.1.),
opisaną liniowym równaniem:
y=kx,
gdzie k jest stałym współczynnikiem, który określa nachy�lenie charakterystyki
statycznej i dlatego nazywa się go współczynnikiem wzmocnienia. Dla układów o
prostoliniowych charakterystykach statycznych do modelu matematycznego
wystarczy równanie różniczkowe liniowe. W innym przypadku, jeżeli
charakterystyka statyczna jest krzywoliniowa (rys. 1.2.), dochodzi się wówczas
do równań różniczkowych nieliniowych. Za najbardziej typowe nieli�niowości
można uznać np. y=ln(x), y=sin(x). Inna grupa elementarnych nieliniowości to
przypadki, w których występuje kilka zakresów liniowości na charakterystyce
sta�tycznej, np. nieliniowości typu: nasycenie, strefa nieczu-łości, dioda
idealna lub wartość bezwzględna. Przykłady tego typu nieliniowości
przedstawiono na rysunku 1.3.

Rys.1.2. Charakterystyka statyczna dynamicznego układu nieliniowego


Rys.1.3. Charakterystyki statyczne dynamicznych układów nieliniowych: diody
idealnej oraz wartości bezwzględnej
Ponieważ rozwiązywanie równań różniczkowych liniowych jest o wiele prostsze,
można w wielu przypadkach badania układów automatycznej regulacji - gdy wahania
wartości sygnałów wokół statycznego punktu pracy są niewielkie -dokonać
linearyzacji charakterystyki statycznej. Lineary-zacja jest to uproszczenie
modelu nieliniowego w taki sposób, że charakterystykę nieliniową przybliża się
lokal�nie, to znaczy w pewnym obszarze, odpowiednio dobraną zależnością
liniową. Odbywa się to poprzez zastąpienie krzywej odcinkiem linii prostej,
stycznej do rzeczywistej charakterystyki w określonym punkcie. Pozwala to
przyjąć, że w otoczeniu tego punktu charakterystyka jest prostoliniowa, a tym
samym umożliwia określenie współczynników równania różniczkowego, stałe w tym
otoczeniu. Wtedy równanie charak�terystyki statycznej ma postać:

Dla układów dynamicznych o jednym wejściu i jednym wyjściu ich modelem
matematycznym jest liniowe równanie różniczkowe o stałych współczynnikach w
postaci:

gdzie: y(t) - wielkość wyjściowa, x(t) - wielkość wejściowa,
- współczynniki stałe, t - czas,

przy czym dla układów rzeczywistych, fizycznie reali�zowalnych zachodzi warunek
nłm.
Własności dynamiczne układów określa się na podstawie tak zwanej odpowiedzi
układu (czyli na podstawie przebiegu sygnału wyjściowego (y(t)) na określony
sygnał wejściowy x(t) (na określone wymuszenie). Aby więc określić przebieg
y(t), należy rozwiązać równanie różniczkowe. W przypadku równań różniczkowych
wyższego rzędu jest to dosyć kłopotliwe do przeprowadzenia metodami
klasycznymi. W automatyce stosowany jest więc powszechnie rachunek operatorowy,
znacznie upraszczający tok obliczeń. Metoda operatorowa pozwala na
przekształcenie równań różniczkowych w równania algebraiczne.
Przekształcenie operatorowe Laplace'a danej funkcji czasu f(t) przyporządkowuje
jej w sposób wzajemnie jednoznaczny funkcję F(s) zmiennej zespolonej (gdzie
zmienna Funkcja F(s) zwana jest transformatą operatorową funkcji f(t) i jest
określona ze wzoru:

Ponieważ posługiwanie się definicyjnymi zależnościami transformacji Laplace'a
jak i transformacji odwrotnej:

jest trudne i czasochłonne, w praktyce korzysta się z gotowych tablic funkcji
czasowych i ich transformat operatorowych. Tablica 1 stanowi zestawienie
ważniejszych transformat operatorowych najczęściej spotykanych funkcji
czasowych.
Oprócz transformacji Laplace'a niektórzy autorzy stosują transformację
Laplace'a - Carsona, określoną wzorem:


Poza formalnymi różnicami we wzorach oba przekształcenia są równoważne.
Podstawę przekształcenia operatorowego stanowi transfor�macja Laplace'a,
przyporządkowująca w sposób wzajemnie jed�noznaczny funkcji czasowej f(t)
funkcję F(s) zmiennej zes�polonej s:

Założeniem transformacji Laplace'a jest:
f(t)=O dla t<0,
f(t) ma w każdym skończonym przedziale wartość skończoną,
f(t) ma pochodną w każdym skończonym przedziale,
istnieje taka liczba rzeczywista c, dla której spełniona
jest nierówność:

(zapewnienie bezwzględnej zbieżności całki
płaszczyźnie zmiennej zespolonej).
Funkcje występujące w technice spełniają wymienione warunki, mogą więc być
poddawane transformacji.
Na rysunkach 1.4 - 1.7 przedstawione zostały przebiegi czasowe standardowych
wymuszeń stosowanych w automatyce. Transformaty operatorowe tych wymuszeń
przedstawiają się następująco:
- dla skoku jednostkowego (funkcja Heaviside'a):

dla funkcji impulsowej(impuls Diraca):
dla funkcji liniowo narastającej (skok prędkości) t:

- dla funkcji parabolicznej (skok przyspieszenia):


Rys.1.4. Funkcja skoku jednostkowego

Rys.1.5. Funkcja impulsowa

Rys.1.6. Funkcja liniowo narastająca


Rys. 1.7. Funkcja paraboliczna
Liniowy, stacjonarny i jednowymiarowy układ dynamiczny z wyróżnionymi sygnałami
wejściowym x(t) i wyjściowym y(t) opisany jest równaniem różniczkowym:

lub w skrócie:

Dokonując transformacji Laplace'a obu stron tego równania przy zerowych
warunkach początkowych można otrzymać algebraiczne równanie operatorowe:

lub stosunek transformaty wielkości wyjściowej Y(s) do transformaty wielkości
wejściowej X(s):

Funkcję określoną przez stosunek transformat nazywa się transmitancją
operatorową K(s) układu dynamicznego lub operatorową funkcją przejścia, a
więc: