WSKAZÓWKI PRAKTYCZNE

Przedstawione na rysunkach 9.13 - 9.17 wykresy to chara­kterystyki
amplitudowo-fazowe kilku podstawowych elementów automatyki.
Rysunek 9.13 przedstawia charakterystykę elementu inercyjnego I rzędu o
transmitancji:


Rys.9.13. Charakterystyka amplitudowo-fazowa elementu inercyjnego I rzędu

Rysunek 9.14 przedstawia charakterystykÄ™ elementu iner­cyjnego II rzÄ™du o
transmitancji:

Rysunek 9.15 przedstawia charakterystykÄ™ elementu oscyla­cyjnego II rzÄ™du o
transmitancji:



Rys.9.14. Charakterystyka amplitudowo-fazowa elementu inercyjnego II rzędu

Rys.9.15. Charakterystyka amplitudowo-fazowa elementu oscylacyjnego II rzędu

Rysunek 9.16 przedstawia charakterystykÄ™ elementu róż­niczkujÄ…cego
rzeczywistego o transmitancji:


Rys.9.16. Charakterystyka amplitudowo-fazowa elementu różniczkującego
rzeczywistego

Rysunek 9.17 przedstawia charakterystykÄ™ elementu caÅ‚ku­jÄ…cego rzeczywistego o
transmitancji:

Rys.9.17. Charakterystyka amplitudowo-fazowa elementu całkującego rzeczywistego


Dla układu regulacji zamodelowanego jak na rysunku 9.18 można zbadać wpływ
parametrów obiektu oraz wpływ regulatora na zmiany uchybu regulacji e(t) w
czasie, wpÅ‚yw na stabil­ność oraz na statyzm/astatyzm ukÅ‚adu.

Rys.9.18. Rozpatrywany układ regulacji

Rys.9.19. Wykresy uchybu regulacji dla elementu inercyjnego I rzędu z
regulatorem proporcjonalnym

Z wykresów e(t) dla elementu inercyjnego I rzędu z regulatorem proporcjonalnym
(rys. 9.19) widać, że zwiÄ™­kszenie wzmocnienia (k) regulatora powoduje
zmniejszenie błędu w stanie ustalonym, nie mniej jednak układ zawsze pozostaje
układem statycznym - błąd nigdy nie osiąga zera. Na rysunku tym pokazano
również, jak zmieniłby się wykres, gdyby rozważany był przypadek obiektu o
innej stałej czasowej.

Rys.9.20. Wykresy uchybu regulacji dla elementu inercyjnego I rzędu z
regulatorem proporcjonalnym

Na rysunku 9.20 pokazano dokładnie, że np. przy 10-krotnym zwiększeniu stałej
czasowej wykres e(t) osiąga te same wartości co wykres e(t) dla elementu o
stałej czasowej nie zwiększonej, ale po czasie 10-krotnie dłuższym.
Dla elementu oscylacyjnego połączonego z regulatorem proporcjonalnym wykonano
dwa zestawy wykresów. Wykresy przedstawione na rysunku 9.21 pokazują wpływ
współczynnika tłumienia na charakter przebiegu uchybu regulacji w czasie:
dlaukład rozbiega się i nie osiąga wartości ustalonej, jest to więc wtedy
przykład członu niestabilnego (przypadek ten jest możliwy jedynie w układach z
dodatkowym źródłem energii, a więc właśnie w układach ze sprzężeniem zwrotnym),
dla = 0 w układzie występują drgania nietłumione, a dla błąd gasnący oscylując
osiąga pewną ustaloną wartość. Dlauchyb osiąga tę wartość bardzo


Rys.9.21. Wykresy uchybu regulacji dla elementu oscylacyjnego z regulatorem
proporcjonalnym
szybko, nie wykonując żadnych oscylacji, a tylko dochodząc po pewnym czasie do
wartości ustalonej.

Rys.9.22. Wykresy uchybu regulacji dla elementu oscylacyjnego z regulatorem
proporcjonalnym

Jeśli natomiast zmianom będzie podlegać wzmocnienie regulatora (rys. 9.22),
wówczas wraz z jego wzrostem rosnąć będzie początkowa amplituda drgań, jednakże
ostateczny błąd ustalony będzie się zmniejszał. Nigdy nie osiągnie on zera
-układ jest statyczny.

Rys.9.23. Wykresy uchybu regulacji dla elementu inercyjnego I rzędu z
regulatorem proporcjonalno-całkującym

W przypadku elementu inercyjnego I rzędu z regulatorem proporcjonalno -
całkującym (rys. 9.23), gdy zwiększa się wzmocnienie regulatora, błąd szybciej
osiąga zero - układ jest astatyczny.
Podobnie układem astatycznym jest połączenie elementu oscylacyjnego z
regulatorem proporcjonalno - całkującym. Tu zwiększenie wzmocnienia regulatora
powoduje wzrost poczÄ…tko­wej amplitudy drgaÅ„, jednakże po pewnym czasie
wielkość błędu ustala się na wartości zerowej - rysunek 9.24. Dla tego układu
istnieje niebezpieczeÅ„stwo "wypadniÄ™cia" ze sta­bilnoÅ›ci - element oscylacyjny
jest elementem drugiego rzędu; jego połączenie z regulatorem PI tworzy układ
trzeciego rzędu, który może być już niestabilny.


Rys. 9.24. Wykresy uchybu regulacji dla elementu oscylacyjnego z regulatorem
proporcjonalno-całkującym
Poniżej podany zostaÅ‚ przykÅ‚ad obliczania warunku stabil­noÅ›ci dla ukÅ‚adu
trzeciego rzędu o transmitancji:

oznaczajÄ…c:= k

Z kryterium Hurwitza:






Wobec tego współczynniki:

oraz wyznacznik

określają warunki, przy zachowaniu których rozważany układ będzie stabilny.

Rys.9.25. Wykresy uchybu regulacji dla elementu oscylacyjnego z regulatorem
proporcjonalno-całkującym

Podczas badania elementu oscylacyjnego z regulatorem PI, zmieniajÄ…c
współczynnik tłumienia (rys. 9.25), można zauważyć, iż układ ten zaczyna się
rozbiegać już dla np. a nie jak w przypadku samego elementu oscylacyjnego dla
Poniżej podane zostały obliczenia dla takiego właśnie układu (element
oscylacyjny + regulator PI) .

Transmitancja elementu oscylacyjnego:

Transmitancja regulatora PI:

Wobec tego funkcja przejścia całego układu (otwartego):

przy czym jako k oznaczony został iloczyn Z kryterium Hurwitza:



Współczynniki:

Wyznacznik:

Wobec tego:

Przy wartościach, dla jakich były wykonane wykresy z rysunku 9.25:
k=2,
T=l[s],
dlaukład jest stabilny.
Podobne obliczenia można wykonać dla stałej czasowej: Z warunku:

otrzymuje siÄ™:




Rys.9.26. Wykresy uchybu regulacji dla elementu oscylacyjnego z regulatorem
proporcjonalno-całkującym

Dla wartości, przy których były wykonywane wykresy z rysunku 9.26:

k=4
wynikiem jest T<1,5, co zostało pokazane na rys. 9.26.
Zmiany i zmiany T wymagajÄ… ingerencji w obiekt regulacji, co w praktyce rzadko
kiedy jest możliwe. Możliwa jest natomiast zmiana sumarycznego wzmocnienia
układu poprzez zmianę wzmocnienia regulatora. Dla rozważanego układu:

Przypadek pierwszy:


wtedy:


Można zauważyć, iż w tym przypadku mianownik jest liczbą dodatnią, licznik
ujemną, co daje w rezultacie liczbę ujemną, a ponieważ k zawsze jest >0, więc
warunek ten jest zawsze spełniony.

Rys.9.27. Wykresy uchybu regulacji dla elementu oscylacyjnego z regulatorem
proporcjonalno-całkującym

Dla przykładu:

T=l[s],
wtedy k>-6.
Przypadek ten został pokazany na wykresie 9.27.

Przypadek drugi:



wtedy:




Rys.9.28. Wykresy uchybu regulacji dla elementu oscylacyjnego z regulatorem
proporcjonalno-calkujÄ…cym

Dla przykładu:

T=l[s],
wtedy k<4 (i oczywiÅ›cie >0), aby ukÅ‚ad byÅ‚ stabilny, co zos­taÅ‚o przedstawione
na rysunku 9.28.
Przydatna jest także znajomość praktycznego wyznaczania z wykresów uchybu
regulacji takich wskaźników regulacji, jak: czas regulacji oraz
przeregulowanie.
Dla ukÅ‚adu regulacji jak na rysunku 9.29 wykreÅ›lone zos­taÅ‚y za pomocÄ…
rejestratora XY wykresy zmienności błędu (uchybu) regulacji w funkcji czasu.

Rys.9.29. Schemat blokowy układu regulacji
Wykres z rysunku 9.30 wykonany został dla sygnału wymuszającego typu (wobec
tego X(s)=10/s).
Ponieważ w układzie tym występuje jedynie błąd nadążania (nie występuje błąd
zakłóceniowy), to uchyb w stanie ustalonym liczony będzie ze wzoru:

Funkcja przejścia układu otwartego:




Rys.9.30. Wykres uchybu regulacji w funkcji czasu BÅ‚Ä…d ustalony:

co oznacza, iż układ jest statyczny. Wykres (rys. 9.30.) potwierdza wynik
powyższych obliczeń. Z wykresu można odczytać ponadto następujące
wartości:=9,4[V],=7,1[V], Można, więc obliczyć:
- przeregulowanie:
- czas regulacji:
Wykres przedstawiony na rysunku 9.31 został wykonany dla wymuszenia (wobec tego
X(s)=20/s).

Uchyb w stanie ustalonym:

Układ jest więc statyczny.

Rys.9.31. Wykres uchybu regulacji w funkcji czasu Z wykresu można odczytać:

Tak więc:
- przeregulowanie:
- czas regulacji:
Wykres przedstawiony na rysunku 9.32 został wykonany dla wymuszenia liniowo
narastajÄ…cego: x(t)=2t, (czyli
Uchyb w stanie ustalonym:


Rys. 9.32. Wykres uchybu regulacji w funkcji czasu

Rys.9.33. Wykres uchybu regulacji w funkcji czasu

Uchyb w stanie ustalonym jest nieskończony, więc układ nie może w ogóle
działać. Widać to na wykresie - uchyb rośnie wraz z upływem czasu i wyraźnie
nie ma charakteru stabilizującego się. Nie można więc tu mówić o żadnych
wskaźnikach regulacji.
Wykres przedstawiony na rysunku 9.33 został wykonany dla wymuszenia
parabolicznego: (czyli
Uchyb w stanie ustalonym:

Uchyb w stanie ustalonym dąży do nieskończoności - układ rozbiega się i nie
może działać. Również w tym przypadku nie można mówić o żadnych wskaźnikach
regulacji.
Przedstawić, jak zmieni się wartość wskaźnika regulacji, jeżeli dla
przedstawionego układu sygnał zakłóceniowy będzie oddziaływał w pierwszym
przypadku za obiektem, a w drugim przed obiektem regulacji.




- dla układu z zakłóceniem działającym za obiektem:
funkcja przejścia dla zakłócenia działającego w układzie bez regulatora (układ
otwarty)

funkcja przejścia dla zakłócenia działającego w układzie z regulatorem (układ
zamknięty)

Wartość wskaźnika regulacji wynosi:


- dla układu z zakłóceniem działającym przed obiektem:
funkcja przejścia dla zakłócenia działającego w układzie bez regulatora (układ
otwarty)


funkcja przejścia dla zakłócenia działającego w układzie z regulatorem (układ
zamknięty)

Wartość wskaźnika regulacji wynosi:


Jak widać z przeprowadzonych obliczeń, zmiana miejsca oddziaływania zakłócenia
nie ma wpływu na wartość wskaźnika regulacji q(s).

PROGRAM ĆWICZENIA
I. Przygotowanie teoretyczne do ćwiczenia
1) Zapoznanie się z pojęciem stabilności układu
2) Definicja stabilności liniowych układów dynamicznych oraz definicja
stabilności układów regulacji
Pojęcie równania charakterystycznego
Kryteria stabilności układów regulacji
5) Przykłady zastosowań kryterium Nyquista do oceny stabilności
Amplitudowy i fazowy zapas stabilności
Statyczne i astatyczne układy regulacji
Stabilność a dokładność
Częstotliwościowy wskaźnik regulacji
10) Inne wskaźniki regulacji: czas regulacji i przeregulowanie

II. Ćwiczenie
Zamodelować za pomocą maszyny cyfrowej kilka podstawowych
elementów automatyki i wykreślić ich charakterystyki
amplitudowo-fazowe.
Za pomocą maszyny cyfrowej zamodelować:

element inercyjny I rzędu z regulatorem proporcjonalnym,
element inercyjny I rzędu z regulatorem PI,
element oscylacyjny z regulatorem proporcjonalnym,
element oscylacyjny z regulatorem PI.

Dla poszczególnych modeli wykonać wykresy e(t).
Zbadać wpływ zmian: wzmocnienia, stałych czasowych, stałej tłumienia na
stabilność i statyczność układów.
Dla elementu oscylacyjnego z regulatorem PI wykonać obliczenia warunku
stabilności.
Zamodelować, stosując maszynę analogową, dowolny zamknięty układ regulacji i
wykonać wykresy zależności
uchybu od czasu dla różnych sygnałów wymuszających.
Dla każdego przypadku obliczyć przeregulowanie i czas regulacji.