Wykład 04 Metody Elementów Skończonych

Metoda Elementów Skończonych
Zagadnienia Jednowymiarowe
Metoda Elementów Skończonych
d2 f df
a + = x2 - 2a2
dx2 dx
x " 0,1
f(0) = 0
1
f(1) =
3
" Rozwiązanie ścisłe:
f(x)
f(x)
-1
-1
1 a
1 a
0,45
f(x) = x3 - ax2 + (1 - e-xa )
( ) ( )
-1
0,4
3
1 - e-a
0,35
0,3
0,25
0,2
0,15
0,1
0,05
x
0
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1
Metoda Elementów Skończonych
d2 f df
a + = x2 - 2a2
dx2 dx
x " 0,1
f(0) = 0
1
f(1) =
3
" Rozwiązanie MES
he = xi - xi-1
x = xi-1 x = xi
� = 0 � = 1
xi
�k(x) - funkcje wagowe
łł
d2 f df
�k(x)�ła + + 2a2 - x2śłdx = 0
+" �ł
k = 1,2
dx2 dx
�ł �ł
xi-1
Metoda Elementów Skończonych
xi xi
d df
�ła + f �ł�
(x)dx + (x)(2a2 - x2)dx = 0
�ł �ł
k k
+" +"�
dx dx
�ł łł
xi-1 xi-1
xi xi
d�k
�ła df + f �ł� �ła df + f �ł� �ła df + f �ł
(x) - (x) - dx + (x)(2a2 - x2)dx = 0
�ł �ł �ł �ł �ł �ł
k k k
+" +"�
dx dx dx dx
�ł łł �ł łł �ł łł
xi xi-1 xi-1 xi-1
" Aproksymacja liniowa
L1(�)=1-�
L2(� )= �
�
�
Metoda Elementów Skończonych
F(x) = F1L1(�)+ F2L2(�)
e e e e e e e e
x = xi-1L1(�)+ xiL2(�)= x1 L1(�)+ x2L2(�)= x1 (1-�)+ x2� = x1 + �(x2 - x1 )= x1 + he�
dx d� 1 Ostatecznie przyjmujemy:
J = = he =
d� dx he
�1(� )= L1(� )=1-�
� (� )= L2(� )= �
� (� )= L2(� )= �
f = f1 L1(�)+ f2 L2(� )
f = f1eL1(�)+ f2eL2(� )
2
2
df df d� �ł dL1(� ) dL2(�)łł d�
dL1(�) dL2(�)
= = f1e + f2e
= -1 = 1
�ł śł
dx d� dx d� d� dx
d� d�
�ł �ł
f = f1e(1-� )+ f2e� = f1e +�(f2e - f1e)
df
= f2e - f1e
d�
xi
2
łł
d f df
e
� (x)�ła + + 2a2 - x2 śłdx = 0 x = x1 + he�
k �ł
+"
dx2 dx
�ł �ł
xi-1
1
ńł �ł
�ł df d� 2
e
+ f (�)łł d� +� (� )[2a2 -(x1 + he�) ] = 0 k =1,2
żłJd�
k k
�ła śł
+"�ł� (� )dd
� d� dx dx
�ł �ł
0 ół �ł
1
�ł df d� �ł df d� �ł df d�
k
+ f (� )łł � (1)- + f (�)łł � (0)- + f (� )łł d� d� Jd� +
k k
�ła śł �ła śł �ł śł
+"�ła
d� dx d� dx d� dx d� dx
�ł �ł �ł �ł �ł
0
� =1 � =0
1
2
e
+ (� )[2a2 -(x1 + he�) ]Jd� = 0
k
+"�
0
k = 1
1
1
a
a
łł
łłd� +
e' e e e e e e
- - + ( -
- af1e' - f1e + (f2e - )+ +( - )� � +
+"�ł
+"�ł
�łhe - f1e)+ f1e +(f2e f1e)� śł
�ł �ł
0
1
2 2
e e 2
+ he -� )[2a2 -(x1 ) - 2x1he� +(he) � ]d� = 0
+"(1
0
k = 2
1
a
łłd� +
af2e' + f2e - (f2e -
+"�ł
�łhe - f1e)+ f1e +(f2e f1e)� śł
�ł �ł
0
1
2 2
e e 2
+ he [2a2 -(x1 ) - 2x1he� -(he) � ]d� = 0
+"�
0
1 a a 1 1 2 1 1 2
ńł
�ł �ł e e łł
f1e�ł- - + f2e�ł + - af1e' + he �ła2 - (x1 ) - x1he - (he) = 0
�ł �ł �ł �ł
�ł
�ł śł
2 he he 2 2 3 12
�ł �ł łł �ł łł �ł �ł
�ł
a 1 1 a 1 2 2 1 2
�ł �ł e e łł
�ł
f1e�ł - + f2e�ł - + af2e' + he �ła2 - (x1 ) - x1he - (he) = 0
�ł �ł �ł �ł
�ł śł
�ł
he 2 2 he 2 3 4
�ł łł �ł łł �ł �ł
ół
1 a 1 a
�ł łł �ła - 1 2 1 x1he 1 2łł
2 e e
+ (x1 ) - - (he)
�ł- - �ł-1 śł �ł0łł
2 he 2 he śł�ł f1ełł a�ł 0łł�ł f1e'łł he �ł 2 3 12
+ =
�ł śł�ł f2eśł + śł �ł0śł
1 a 1 a 2 2 1 2
0 1śł�ł �ł �ł 1 e e
�ł �ł
- a2 - (x1 ) - x1he - (he)
�ł- + śł�ł �ł �ł �ł�ł f2e'śł �ł śł
�ł 2 he 2 he �ł �ł 2 3 4 �ł
Dla dowolnego i-tego oraz i+1 elementu:
Dla dowolnego i-tego oraz i+1 elementu:
1 a 1 a
�ł łł �ła - 1 2 1 xiehe 1 2łł
2
+ (xie) - - (he)
�ł- - �ł-1 śł �ł0łł
2 he 2 he śł�ł fie łł a�ł 0łł�ł fie' łł he �ł 2 3 12
+ =
�ł śł�ł fie śł +
1 a 1 a
0 1śł�ł śł �ł 1 2 2 xiehe 1 2 śł �ł0śł
fie'
�ł �ł �ł
�ł +1�ł
- a2 - (xie) - - (he)
�ł- + śł�ł +1�ł �ł �ł śł
�ł 2 he 2 he �ł �ł 2 3 4 �ł
1 a 1 a
�ł łł �ła - 1 2 1 xie he 1 2łł
2
+ (xie ) - - (he)
+1 +1
�ł- - �ł-1 śł �ł0łł
+1 +1
2 he 2 he śł�ł fie łł a�ł 0łł�ł fie' łł he �ł 2 3 12
+ =
�ł śł�ł fie śł +
1 a 1 a
0 1śł�ł śł �ł 1 2 2 xie he 1 2 śł �ł0śł
fie'
�ł �ł �ł
�ł +2�ł
- a2 - (xie ) - - (he)
�ł- + śł�ł +2�ł �ł �ł śł
+1 +1
�ł 2 he 2 he �ł �ł 2 3 4 �ł
Agregacja macierzy
Agregacja macierzy
1 2 1 1 2
�ł e e łł
1 a 1 a
�ł łł
a2 - (x1 ) - x1he - (he)
+ 0 0 0 0 0
�ł śł
�ł- - śł
2 he 2 he 2 3 12
�ł łł
f1e
�ł śł
�ł śł
1 a a 1 a
1 2 2 1 2 1 2
2 e e e e
+
�ł śł
�ł- + - 2 śł
[(x1 ) +(x2) ]- x2he - x1he - (he)
�ł2a - śł
f2e
2 he he 2 he
�ł śł
�ł śł
2 3 3 3
1 a a 1 a �ł śł
�ł śł
�ł śł f3e
- + - 2 + '
�ł śł
�ł-1 0łł�ł łł
f1e
2 he he 2 he �ł śł
�ł śł
+ a�ł + he �ł
�ł śł śł
�ł śł
0 1śł�ł fne' śł
�ł �ł�ł śł
�ł +1�ł
�ł śł
�ł śł
fne �ł śł
-1
�ł śł
�ł śł
�ł śł
1 a a 1 a fne
�ł śł
�ł śł
- + - 2 +
�ł śł
�ł śł
�ł 2 he he 2 he fne
śł�ł +1�ł
�ł śł
1 a 1 a
�ł śł 1 2 2 1 2
e e
- + -
a2 - (xn) - xnhe - (he)
�ł śł
�ł
�ł 2 he 2 he śł
�ł
�ł 2 3 4 �ł
' '
e e e e
Niewiadome n+3: f1e , f ,..., f , f oraz (f1e ), (f )
2 n n + 1 n + 1
f1e = 0
Równania n+1 + dwa warunki brzegowe:
1
fne =
+1
3
Spełnienie warunków brzegowych
f1e = 0
' 2 2
1 a a 1 1 1 1
�ł �ł0 + �ł �ł e e łł
+ f2e - a(f1e) + he �ła2 - (x1 ) - x1he - (he) = 0
�ł- - �ł �ł �ł
�ł śł
2 he he 2 2 3 12
�ł łł �ł łł �ł �ł
a 1 a 1 1 2 2 1 2 1 2
�ł �ł0 a �ł �ł e e e e łł
- - 2 f2e + + f3e + he �ł2a2 - [(x1 ) +(x2) ]- x2he - x1he - (he) = 0
�ł �ł �ł �ł
�ł śł
he 2 he he 2 2 3 3 3
�ł łł �ł łł �ł �ł
1
fne =
+1
3
a 1 a a 1 1 2 2 1 2 1 2
�ł �ł �ł �ł1 e e e e łł
- fne - 2 fne + + + he �ł2a2 - [(xn-1) +(xn) ]- xnhe - xn-1he - (he) = 0
�ł �ł �ł �ł
-1
�ł śł
he 2 he he 2 3 2 3 3 3
�ł łł �ł łł �ł �ł
a 1
�ł �ł �ł1 a �ł1 + a(fne ' he �ła - 1 2 2 xnhe 1 2łł
2 e e
- fne + - ) + (xn) - - (he) = 0
�ł �ł �ł �ł
+1
�ł śł
he 2 2 he 3 2 3 4
�ł łł �ł łł �ł �ł
Ostateczna postać układu równań
2
1 1 1 2
�ł e e łł
a2 - (x1 ) - x1he - (he)
�ł śł
' 2 3 12
�ł łł
(f1e)
�ł śł
1 2 2 1 2 1 2
a 1 e e e e
�ł
śł
2a2 - [(x1 ) +(x2) ]- x2he - x1he - (he)
�ł śł
f2e
�ł- a he + 0 0 0 0 0 0 0 0łł�ł śł
śł�ł
2 3 3 3
2
�ł śł
�ł śł�ł śł
a a 1
�ł śł
0 - 2 + 0 0 0 0 0 0 0śł�ł f3e
�ł
śł
�ł śł
he he 2
f4e
�ł śł�ł śł
a 1 a a 1 �ł śł
�ł
0 - - 2 + 0 0 0 0 0 0śł�ł śł
�ł śł
he 2 he he 2
�ł śł�ł śł
�ł śł
�ł śł�ł śł
�ł śł
�ł śł�ł śł
śł
�ł śł�ł śł + he �ł
= 0
�ł śł
�ł śł�ł śł
�ł śł
�ł śł
�ł śł�ł śł
�ł śł�ł śł
�ł śł
�ł śł
�ł śł�ł śł
a 1 a a 1 �ł śł
�ł
0 0 0 0 0 0 - - 2 + 0śł�ł śł
�ł śł
�ł he 2 he he 2 śł�ł śł
�ł śł
a 1 a
�ł
0 0 0 0 0 0 0 - - 2 0śł�ł śł �ł śł
�ł
he 2 he śł�ł fne śł
�ł śł
�ł śł�ł -1 śł
a 1
e e
�ł2a2 1 e 2 e 2 1 xnhe 2 xn-1he 1 2 1 �ł a + 1 �łśł
- [(xn-1) +(xn) ]- - - (he) +
0 0 0 0 0 0 0 0 - a
�ł śł�ł fne �ł �ł
' �ł 2 3 3 3 3he he 2 śł
�ł he 2 �ł�ł śł �ł łł
śł
(fne )�ł
�ł +1
�ł śł
2 2
1 2 1 1 a 1
e e �ł �ł
a2 - (xn) - xnhe - (he) +
�ł- + �ł
�ł śł
2 3 4 3he he 2
�ł łł
�ł �ł
with(LinearAlgebra):
with(plots):
interface(rtablesize=60):
RR := proc(n,a)
local A,Ainv,i,j,W,he,x1,XX1,XX2,f:
A:=Matrix(1..n+1, 1..n+1):
Ainv:=Matrix(1..n+1, 1..n+1):
W:=Vector(1..n+1):
f:=Vector(1..n+1): he:=1.0/n: x1:=0.0:
A[1,1]:=-a: A[1,2]:=0.5+a/he:
for i from 3 by 1 to n+1 do
A[1,i]:=0.0:
end do:
A[2,1]:=0.0: A[2,2]:=-2*a/he: A[2,3]:=0.5+a/he:
for i from 4 by 1 to n+1 do
A[2,i]:=0.0:
end do:
for i from 3 by 1 to n-1 do
for j from 1 by 1 to n+1 do
if i=j+1 then
A[i,j]:=-0.5+a/he:
end if:
if i=j then
A[i,j]:=-2*a/he:
end if:
if i=j-1 then
A[i,j]:=0.5+a/he:
end if:
end do: end do:
for i from 1 by 1 to n+1 do
A[n,i]:=0: A[n+1,i]:=0:
end do:
A[n,n-1]:=-0.5+a/he: A[n,n]:=-2*a/he: A[n+1,n]:=-0.5+a/he: A[n+1,n+1]:=a:
Ainv:=MatrixInverse(A):
print(A);
XX1:=x1:
W[1]:=a*a-XX1*XX1/2.0-XX1*he/3.0-he*he/12.0:
W[1]:=he*W[1]:
XX1:=(n-2)*he:
XX2:=(n-1)*he:
XX2:=(n-1)*he:
W[n]:=2*a*a-(XX1*XX1+XX2*XX2)/2.0-XX2*he/3.0-2*XX1*he/3-he*he/3+(a/he+0.5)/(3*he):
W[n+1]:=a*a-XX2*XX2/2.0-2.0*XX2*he/3-he*he/4.0+(-a/he+0.5)/(3*he):
W[n]:=he*W[n]:
W[n+1]:=he*W[n+1]:
for i from 2 by 1 to n-1 do
XX1:=x1+(i-2)*he:
XX2:=x1+(i-1)*he:
W[i]:=2*a*a-(XX1*XX1+XX2*XX2)/2.0-XX2*he/3.0-2*XX1*he/3-he*he/3:
W[i]:=W[i]*he:
end do:
for i from 1 by 1 to n+1 do
f[i]:=0:
end do:
for i from 1 by 1 to n+1 do
for j from 1 by 1 to n+1 do
for j from 1 by 1 to n+1 do
f[i]:=f[i]+Ainv[i,j]*W[j]:
end do:
f[i]:=-f[i]:
end do:
print(W);
print(f);
end:
RR(10,1);
" Vector[column]([[1.580511034], [.1410089874], [.2496520394], [.3292973405],
[.3831827717], [.4144283205], [.4260473092], [.4209565527], [.4019855510],
[.3718848033], [-.419488966]])
f(x)
0,45
0,4
0,35
0,3
0,25
0,2
0,15
0,1
0,05
x
0
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1
Projekty
Projekt 2
Projekt 1
2
d f f
2
d f f + = x2 + 2ax
+ = x + 2a
dx2 a2
dx2 a2
df
= 0
f (0)= a2
dx
x=0
f (1)= a2
f (0)= a2
Projekt 3
Projekt 4
2
2
d f f
d f df
+ = x2 - 2a2
a2 - 5a + 4 f = 2ex
dx2 a2
dx2 dx
df
df
= 0
= 0
dx
x=0 dx
x=0
f (1) = 2
f (0)= 0
Projekty
Projekt 6
Projekt 5
2
2
d f df
d f df
a2 - 2a = ex
a2 - 4a + 4 f = x2
dx2 dx
dx2 dx
f (0)= -1
f (0)= 1
f (3)= 3
f (2)=1
Projekt 8
Projekt 7
2
2 d f f
d f f
+ = ax
+ = ae-x
dx2 a2
dx2 a2
df
f (0)= 1
= 2
dx
x=0
f (1)= 0
f (1)= a2
Projekty
Projekt 9 Projekt 10
2
2
d f df
d f f
a2 - 5a + 4 f = x - a
+ = ax
dx2 dx
dx2 a2
df
df
= 0
= 0
dx
x=0
dx
x=0
f (0)= 0
f (1) = 2
f (1) = 2
Projekt 11
Projekt 12
2
d f df 2
d f df
a2 - 4a + 4 f = ex
a2 - 4a + 4 f = ax
dx2 dx
dx2 dx
f (0)= 1
f (0)=1
f (2)= 1
f (2)= 1
Projekty
Projekt 14
Projekt 13
2
2
d f
d f
= x2 - 2x + ln(x)
= x2 - 2x + ex
dx2
dx2
f (1)=1
f (0)= 1
f (2)=1
f (2)= 1
Projekt 15 Projekt 16
2 2
d f d f 1
= x ln(x) = x -
dx2 dx2 x
f (1)= 1 f (1)=1
f (2)=1 f (2)=1
Projekty
Projekt 17
Projekt 18
2
2
d f
d f
= x2 - 2x + ex
= x2 - 2x + ln(x)
dx2
dx2
df
df
= 1
= 1
dx
x=0
dx
x=2
f (2)=1
f (3)= 2
Projekt 20
Projekt 19
2
2
d f 1
d f
= x -
= x ln(x)
dx2 x
dx2
df
df
= 1
= 1
dx
dx
x=1
x=2
f (2)= 1
f (3)= 2
Projekty
Projekt 22
Projekt 21
2
2
d f
d f
= x2 - 2x + ln(x)
= x2 - 2x + ex
dx2
dx2
df
df
= 1
= 1
= 1
dx
dx
x=2
dx
dx
x=0
f (3) = 4
f (1) = 2

Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
Wykład 07 Metody Elementów Skończonych 2D
Wykład 05 Metody Elementów Skończonych 1D
Wykład 05 Metody Elementów Skończonych 1D
CATIA Wykorzystanie metody elementow skonczonych w obliczeniach inzynierskich
wyklad 04
Wyklad 7 Nieparametryczne metody statystyczne PL [tryb zgodności]
wyklad 04
Podstawy Systemów Okrętowych wykład 04 Przeciw Pożarnicze
NEGOCJACJE WYKLAD 04 2011
Wykład 04 Rachunek wariacyjny
F II wyklad 04
Mechanika Budowli Sem[1][1] VI Wyklad 04
wyklad 04
2010 11 WIL Wyklad 04
Przykłady postaci larwalnych wykład 04 Tyl ko do odczytu tryb zgodności
04 Wytwarzanie elementów maszyn

więcej podobnych podstron