Metoda Elementów Skończonych
dla zagadnień dwuwymiarowych
dla zagadnień dwuwymiarowych
Dla płaskiego elementu zakładamy, że przemieszczenia poziome u
zależą tylko od poziomych przemieszczeń węzłowych ui.
Nie zależą od przemieszczeń pionowych.
lub
Gdzie d jest wektorem
Gdzie d jest wektorem
przemieszczeń węzłowych
lub
lub Gdzie
Energia odkształcenia zgromadzona w elemencie:
=
Macierz
sztywności:
Liniowy Element Trójkątny
(CST lub T3)
CST  constant strain triangle
Funkcje przemieszczeń w węzłach
powinny być równe przemieszczeniom
węzłowym, co daje sześć równań:
A  pole powierzchni elementu
gdzie:
(trójkąta)
xij = xi - x
xij = xi - x
j
j
gdzie:
yij = yi - y
j
gdzie: t  grubość elementu
Dla liniowego elementu trójkątnego macierz sztywności k jest macierzą symetryczną
o rozmiarze 6 x 6.
Element trójkątny we współrzędnych naturalnych
(układ jednostkowy)
Funkcje kształtu:
w węz
le i-tym
w węzłach
pozostałych
Globalny układ Lokalny (naturalny)
współrzędnych układ współrzędnych
J  macierz Jacobiego
Zastosowanie liniowego elementu trójkątnego:
" W obszarach gdzie przewidujemy mały gradient odkształceń
" W obszarach  przejściowych
" Nie stosuje się w obszarach z koncentracją naprężeń
" Stosowany często w celu wstępnej oceny stanu naprężeń
Kwadratowy element trójkątny
(LST  linear strain triangle)
Kwadratowy element trójkątny
N = ¾(2¾ -1)
N1 = ¾(2¾ -1)
N2 = ·(2· -1)
N3 = (1- ¾ -·)(1- 2¾ - 2·)
N4 = 4¾·
N5 = 4·(1- ¾ -·)
N6 = 4¾(1- ¾ -·)
Biliniowy Element ProstokÄ…tny
c1
c1
îÅ‚ Å‚Å‚
îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚c śł
2
ïÅ‚ śł
ïÅ‚c3śł
ïÅ‚c śł
1 ¾ · ¾· 0 0 0 0
îÅ‚ Å‚Å‚ïÅ‚ 4śł
u = gc =
ïÅ‚0 0 0 0 1 ¾ · ¾·śłïÅ‚c5śł
ðÅ‚
1444442444443ïÅ‚ śł
4 4ûÅ‚
g
ïÅ‚c6śł
ïÅ‚c7śł
ïÅ‚ śł
ðÅ‚c8ûÅ‚
Żądając spełnienia warunków brzegowych, czyli zgodności z przemieszczeniami węzłowymi,
{
c
otrzymujemy układ ośmiu równań:
Biliniowy Element ProstokÄ…tny
u1 1 -1 -1 1 0 0 0 0 c1
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚½ śł ïÅ‚0 0 0 0 1 -1 -1 1 śłïÅ‚c śł
1 2
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śłïÅ‚ śł
ïÅ‚u2śł ïÅ‚1 1 -1 -1 0 0 0 0 śłïÅ‚c3śł
ïÅ‚½ śł ïÅ‚0 0 0 0 1 1 -1 -1śłïÅ‚c4śł
2
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śłïÅ‚ śł
=
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śłïÅ‚ śł
u3 1 1 1 1 0 0 0 0 c5
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śłïÅ‚ śł
ïÅ‚½3śł ïÅ‚0 0 0 0 1 1 1 1 śłïÅ‚c6śł
ïÅ‚u4śł ïÅ‚1 -1 1 -1 0 0 0 0 śłïÅ‚c7śł
u4 1 1 1 1 0 0 0 0 c7
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śłïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śłïÅ‚ śł
0 0 0 c8ûÅ‚
ðÅ‚½4ûÅ‚ ðÅ‚044444421 -1 1 -1 {
{ 1 4 4444444ûÅ‚ðÅ‚
3
d c
h
c = h-1d
u = gh-1d = Nd
{
N
N = gh-1
Biliniowy Element ProstokÄ…tny
W celu obliczenia odkształceń musimy policzyć pochodne funkcji kształtu
po zmiennych niezależnych.
WykorzystujÄ…c: x = x1N1 + x2N2 + x3N3 + x4N4
y = y1N1 + y2N2 + y3N3 + y4N4
x1 = x4, x2 = x3, x2 - x1 = 2a
y1 = y2, y3 = y4 y4 - y1 = 2b
otrzymujemy:
Biliniowy Element ProstokÄ…tny
µ = Du = Bd gdzie B = DN
D =
Pole elementu
P x
lub w postaci:
Biliniowy Element ProstokÄ…tny
Macierz
sztywności:
=
- (1-·) (1-·) (1+·) - (1+·)
îÅ‚ Å‚Å‚
0 0 0 0
ïÅ‚ śł
a a a a
ïÅ‚ śł
1 - (1- ¾) - (1+ ¾ ) (1+ ¾) (1- ¾ )
B = 0 0 0 0
ïÅ‚ śł
4 b b b b
ïÅ‚
(1- (1-·) - (1+ ¾) (1-·) (1+ ¾) (1+·) (1- ¾) - (1+·)śł
ïÅ‚- ¾) - śł
ïÅ‚ śł
b a b a b a b a
ðÅ‚ ûÅ‚
Biliniowy Element ProstokÄ…tny
Macierz
sztywności:
"x "y
îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚"¾ "¾ śł
a 0
1 1
îÅ‚ Å‚Å‚
J = =
ïÅ‚ śł
T T
ïÅ‚0 bśł
det J = ab
"x "y
kij = BikEklBljdV = Bik EklBljt det Jd¾d·
ðÅ‚ ûÅ‚
ïÅ‚ śł
+" +" +"
V -1-1
ïÅ‚
ðÅ‚"· "· śł
ûÅ‚
s w
s w
t - grubość elementu
t - grubość elementu
T
H" tab H"
""B EklBlj
ik
¾ =¾p
·=·q
p=1 q=1
öÅ‚
T T T T
H" tabëÅ‚ BikEklBlj ¾ =1 3 + Bik EklBlj ¾ =1 3 + Bik EklBlj ¾ =-1 3 + BikEklBlj ¾ =-1 3
ìÅ‚ ÷Å‚
·=1 3 ·=-1 3 ·=1 3 ·=-1 3
íÅ‚ Å‚Å‚
Agregacja macierzy sztywności
K11 K12 K13 K14 K15 K16 K17 K18 u1 F1x k11 k12 k13 k14 k15 k16 k17 k18 u2 F2x
K21 K22 K23 K24 K25 K26 K27 K28 v1 F1y k21 k22 k23 k24 k25 k26 k27 k28 v2 F2y
K31 K32 K33 K34 K35 K36 K37 K38 u2 F2x k31 k32 k33 k34 k35 k36 k37 k38 u5 F5x
K31 K32 K33 K34 K35 K36 K37 K38 u2 F2x k31 k32 k33 k34 k35 k36 k37 k38 u5 F5x
K41 K42 K43 K44 K45 K46 K47 K48 v2 F2y k41 k42 k43 k44 k45 k46 k47 k48 v5 F5y
k1 = k2 =
K51 K52 K53 K54 K55 K56 K57 K58 u3 F3x k51 k52 k53 k54 k55 k56 k57 k58 u6 F6x
K61 K62 K63 K64 K65 K66 K67 K68 v3 F3y k61 k62 k63 k64 k65 k66 k67 k68 v6 F6y
K71 K72 K73 K74 K75 K76 K77 K78 u4 F4x k71 k72 k73 k74 k75 k76 k77 k78 u3 F3x
K81 K82 K83 K84 K85 K86 K87 K88 v4 F4y k81 k82 k83 k84 k85 k86 k87 k88 v3 F3y
K11 K12 K13 K14 K15 K16 K17 K18 u1 F1x k11 k12 k13 k14 k15 k16 k17 k18 u2 F2x
K21 K22 K23 K24 K25 K26 K27 K28 v1 F1y k21 k22 k23 k24 k25 k26 k27 k28 v2 F2y
K31 K32 K33 K34 K35 K36 K37 K38 u2 F2x k31 k32 k33 k34 k35 k36 k37 k38 u5 F5x
K41 K42 K43 K44 K45 K46 K47 K48 v2 F2y k41 k42 k43 k44 k45 k46 k47 k48 v5 F5y
k = k =
1 2
K51 K52 K53 K54 K55 K56 K57 K58 u3 F3x k51 k52 k53 k54 k55 k56 k57 k58 u6 F6x
K61 K62 K63 K64 K65 K66 K67 K68 v3 F3y k61 k62 k63 k64 k65 k66 k67 k68 v6 F6y
K71 K72 K73 K74 K75 K76 K77 K78 u4 F4x k71 k72 k73 k74 k75 k76 k77 k78 u3 F3x
K81 K82 K83 K84 K85 K86 K87 K88 v4 F4y k81 k82 k83 k84 k85 k86 k87 k88 v3 F3y
K11 K12 K13 K14 K15 K16 K17 K18 u1 F1x
K11 K12 K13 K14 K15 K16 K17 K18 u1 F1x
K21 K22 K23 K24 K25 K26 K27 K28 v1 F1y
K33+k11 K34+k12 K35+k17 K36+k18
K31 K32 K37 K38 k13 k14 k15 k16 u2 F2x
K43+k21 K44+k22 K45+k27 K46+k28
K41 K42 K47 K48 k23 k24 k25 k26 v2 F2y
K53+k71 K54+k72 K55+k77 K56+k78
K51 K52 K57 K58 k73 k74 k75 k76 u3 F3x
K63+k81 K64+k82 K65+k87 K66+k88
K61 K62 K67 K68 k83 k84 k85 k86 v3 F3y
K71 K72 K73 K74 K75 K76 K77 K78 u4 F4x
K81 K82 K83 K84 K85 K86 K87 K88 v4 F4y
k31 k32 k37 k38 k33 k34 k35 k36 u5 F5x
k41 k42 k47 k48 k43 k44 k45 k46 v5 F5y
k51 k52 k57 k58 k53 k54 k55 k56 u6 F6x
k61 k62 k67 k68 k63 k64 k65 k66 v6 F6y
K11 K12 K13 K14 K15 K16 K17 K18 u1 F1x k11 k12 k13 k14 k15 k16 k17 k18 u2 F2x
K21 K22 K23 K24 K25 K26 K27 K28 v1 F1y k21 k22 k23 k24 k25 k26 k27 k28 v2 F2y
K31 K32 K33 K34 K35 K36 K37 K38 u2 F2x k31 k32 k33 k34 k35 k36 k37 k38 u5 F5x
K41 K42 K43 K44 K45 K46 K47 K48 v2 F2y k41 k42 k43 k44 k45 k46 k47 k48 v5 F5y
K51 K52 K53 K54 K55 K56 K57 K58 u3 F3x k51 k52 k53 k54 k55 k56 k57 k58 u6 F6x
K61 K62 K63 K64 K65 K66 K67 K68 v3 F3y k61 k62 k63 k64 k65 k66 k67 k68 v6 F6y
K71 K72 K73 K74 K75 K76 K77 K78 u4 F4x k71 k72 k73 k74 k75 k76 k77 k78 u3 F3x
K81 K82 K83 K84 K85 K86 K87 K88 v4 F4y k81 k82 k83 k84 k85 k86 k87 k88 v3 F3y
K11 K12 K13 K14 K15 K16 K17 K18 u1 F1x
K21 K22 K23 K24 K25 K26 K27 K28 v1 F1y
K21 K22 K23 K24 K25 K26 K27 K28 v1 F1y
K33+k11 K34+k12 K35+k17 K36+k18
K31 K32 K37 K38 k13 k14 k15 k16 u2 F2x
K43+k21 K44+k22 K45+k27 K46+k28
K41 K42 K47 K48 k23 k24 k25 k26 v2 F2y
K53+k71 K54+k72 K55+k77 K56+k78
K51 K52 K57 K58 k73 k74 k75 k76 u3 F3x
K63+k81 K64+k82 K65+k87 K66+k88
K61 K62 K67 K68 k83 k84 k85 k86 v3 F3y
K71 K72 K73 K74 K75 K76 K77 K78 u4 F4x
K81 K82 K83 K84 K85 K86 K87 K88 v4 F4y
k31 k32 k37 k38 k33 k34 k35 k36 u5 F5x
k41 k42 k47 k48 k43 k44 k45 k46 v5 F5y
k51 k52 k57 k58 k53 k54 k55 k56 u6 F6x
k61 k62 k67 k68 k63 k64 k65 k66 v6 F6y
k11 k12 k13 k14 k15 k16 k17 k18 u5 F5x
k21 k22 k23 k24 k25 k26 k27 k28 v5 F5y
k31 k32 k33 k34 k35 k36 k37 k38 u7 F7x
k41 k42 k43 k44 k45 k46 k47 k48 v7 F7y
k51 k52 k53 k54 k55 k56 k57 k58 u8 F8x
k61 k62 k63 k64 k65 k66 k67 k68 v8 F8y
u1 F1x
k71 k72 k73 k74 k75 k76 k77 k78 u6 F6x
v1 F1y
k81 k82 k83 k84 k85 k86 k87 k88 v6 F6y
u2 F2x
v2 F2y
u3 F3x
u3 F3x
v3 F3y
u4 F4x
v4 F4y
k11 k12 k17 k18 k13 k14 k15 k16 u5 F5x
k21 k22 k27 k28 k23 k24 k25 k26 v5 F5y
k71 k72 k77 k78 k73 k74 k75 k76 u6 F6x
k81 k82 k87 k88 k83 k84 k85 k86 v6 F6y
k31 k32 k37 k38 k33 k34 k35 k36 u7 F7x
k41 k42 k47 k48 k43 k44 k45 k46 v7 F7y
k51 k52 k57 k58 k53 k54 k55 k56 u8 F8x
k61 k62 k67 k68 k63 k64 k65 k66 v8 F8y
Warunki brzegowe
u1 F1x
v1 F1y
u2 F2x
v2 F2y
u3 F3x
v3 F3y
u4 F4x
v4 F4y
k11 k12 k17 k18 k13 k14 k15 k16 u5 F5x
k21 k22 k27 k28 k23 k24 k25 k26 v5 F5y
k71 k72 k77 k78 k73 k74 k75 k76 u6 F6x
k81 k82 k87 k88 k83 k84 k85 k86 v6 F6y
k31 k32 k37 k38 k33 k34 k35 k36 u7 F7x
k41 k42 k47 k48 k43 k44 k45 k46 v7 F7y
k51 k52 k57 k58 k53 k54 k55 k56 u8 F8x
k61 k62 k67 k68 k63 k64 k65 k66 v8 F8y