Wykład 3
Kinematyka
Dynamika
Ruch jednostajny prostoliniowy  ruch ze stałą
prędkością i w stałym kierunku
Ponieważ w ruchu
" Najprostszy przypadek ruchu:
prostoliniowym kierunek
ruchu nie zmienia się, to:
kierunek i zwrot wektora
prędkości jest stały i
zgodny z kierunkiem i
zwrotem ruchu,
" Jeśli ruch odbywa się wzdłuż osi X:
wartość prędkości jest
stała, a więc
przyspieszenie jest równe
zeru, ponieważ wektor
prędkości jest stały.
" Przebyta droga jest liniową funkcją czasu  drogi
przebyte w równych odcinkach czasu są sobie równe.
Ruch jednostajnie przyspieszony
Prędkość jest liniową funkcją czasu.
Ruch jest prostoliniowy, gdy przyspieszenie ma kierunek
zgodny z kierunkiem prędkości:
Ruch jednostajnie przyspieszony  przybliżenie
jednowymiarowe  ruch prostoliniowy
Prędkość jest liniową funkcją czasu:
Dla t1=0, t2=t
droga = v0t +(at2)/2
Ruch jednostajnie przyspieszony  przybliżenie
jednowymiarowe  ruch prostoliniowy
at2
x(t) = v0t +
2
Jeśli w chwili t0=0 ciało spoczywa, V0=V(t0)=0,
położenie jest kwadratową funkcją czasu:
Drogi przebyte w kolejnych równych odcinkach czasu, "tn=tn-tn-1="t,
tn=n�""t, można zapisać jako równe:
Drogi przebyte w kolejnych odcinkach czasu mają się do siebie jak
kolejne liczby nieparzyste:
x1:x2:x3:& =1:3:5:&
Ruch prostoliniowy jednostajnie
przyspieszony
" Równania ruchu:
Ruch jednostajnie zmienny
Ruch jednostajnie zmienny  uogólnienie na
trzy wymiary
W ogólnym przypadku ruch nie jest prostoliniowy  konieczne uogólnienie:
Ruch będzie się odbywał w płaszczyz
nie przechodzącej przez ro i wyznaczonej
przez kierunki wektorów Vo i a. Możemy tak wybrać układ współrzędnych, aby:
�!
W kierunku X ruch będzie jednostajny, w kierunku Y jednostajnie przyspieszony,
a w kierunku Z ciało będzie spoczywać (składowa Vz=0):
Ruch w polu grawitacyjnym
Na powierzchni Ziemi odległość od środka ciężkości planety jest dużo
większa niż wysokość, na której możemy się przemieszczać (bez rakiet).
W takiej sytuacji można założyć, że pole grawitacyjne jest jednorodne.
Jeśli wybierzemy układ współrzędnych tak, że:
W zależności od Vo i kąta �, różne rodzaje ruchu:
" Rzut ukośny, �`"0, Ą/2 &
" Spadek swobodny, Vo=0 (ruch prostoliniowy)
" Rzut pionowy, �=ąĄ/2 (ruch prostoliniowy)
" Rzut poziomy, �=0
Rzut ukośny
" Rzut w płaszczyz
nie pionowej z
prędkością początkową v0 i
przyspieszeniem ziemskim g.
" Na rysunku tor pocisku wystrzelonego z
punktu o współrzędnych x0=0, y0=0 z
prędkością początkową v0.
" Składowa pozioma vx jest stała we
wszystkich momentach lotu  bo
ruch bez przyspieszenia.
" Składowa vy zmienia się w sposób
ciągły.
Rzut ukośny  ruch w polu
grawitacyjnym
" Rzut ukośny można
rozpatrywać jako złożenie
dwóch ruchów 
pionowego i poziomego.
" Prędkość początkowa v0:
v0 = v0x� + v0y5

" Składowe prędkości
początkowej:
v0x = v0cos�0
v0y = v0sin �0
Rzut ukośny  złożenie dwóch ruchów
" Ruch w poziomie bez
przyspieszenia => składowa
vx = vx0 (jest stała w trakcie
całego ruchu).
" Przemieszczenie względem
położenia początkowego x0
(a=0):
x-x0=v0xt => x-x0 = (v0cos�0)t
Rzut ukośny  złożenie dwóch ruchów
" Ruch w pionie  ruch ze stałym przyspieszeniem g:
vy(t) = v0y  gt
droga=y-y0=+"vy(t)dt=+"(v0y-gt)dt
y-y0= v0yt - gt2/2
y-y0 = (v0sin�0)t  gt2/2
Rzut ukośny  złożenie dwóch ruchów
y-y0= (v0sin�0)t - gt2/2
vy = dy/dt
vy = v0sin�0  gt
Składowa pionowa prędkości jest na
początku ruchu skierowana do góry,
potem jej wartość maleje i osiąga
wartość równą zero na wysokości
maksymalnej. W drugiej fazie rzutu
składowa rośnie.
Rzut ukośny  równanie ruchu
" Równanie toru ciała:
x-x0=(v0cos�0)t => t = (x-x0)/(v0cos�0)
y-y0= (v0sin�0)t - gt2/2 =>
y-y0= (v0sin�0) (x-x0)/(v0cos�0) - g(x-x0)2/2(v0cos�0)2
Wybierając układ współrzędnych tak, aby x0= 0, y0= 0
otrzymujemy równanie toru:
y = (tg�0 )x  (gx2)/(2v02cos2�0 )
Rzut ukośny - zasięg
" Zasięg R  odległość w poziomie
przebyta przez ciało do chwili jego
powrotu na wysokość początkową.
x0=0, y0=0
R = x =(v0cos�0)t
0 = y = (v0sin�0)t - gt2/2
Zasięg R jest największy,
gdy kąt � = 45o.
R = (v02/g)�" 2sin�0 cos�0
R = (v02/g)�" sin2�0
Rzut pionowy  ruch w polu
grawitacyjnym
y-y0= (v0sin�0)t - gt2/2
�=90o => rzut pionowy:
y-y0= v0t - gt2/2
v0 = 0 => ciało spada swobodnie
Przy założeniu, że y(t0)=h, vy(t0)=0
odległość od początku układu:
y = h - gt2/2
Położenie ciała jest kwadratową
funkcją czasu
Prędkość ciała po czasie t wyraża
wzór: v = v0 - gt
Przykład: rzut poziomy
Kaskader biegnie po dachu budynku. Jego zadaniem jest wylądować na dachu
następnego budynku. Czy uda mu się to bez odbicia, jeśli biegnie z prędkością
4.5 m/s?
Lot kaskadera wykonującego skok bez odbicia, to rzut poziomy, a więc
rzut z prędkością początkową v0, której kierunek || do osi X => � = 0o
Kaskader wyląduje na dachu budynku, gdy przemieszczenie x-x0 >=6.2 m:
Aby wyznaczyć czas t, wyznaczymy przemieszczenie w pionie:
y-y0= (v0sin�0)t - 1/2�"gt2
-4.8 m = (4.5 m/s)(sin0o)t-1/2(9.8 m/s2)t2 => t=0.99s
x-x0=(v0cos�0)t
x-x0 = (4.5 m/s)(cos0o)(0.99 s) = 4.5 m
Inne rodzaje ruchu  ruch okresowy
Każdy ruch powtarzający się w regularnych
odstępach czasu nazywany jest ruchem
okresowym.
Jeżeli ruch opisywany jest sinusoidalną funkcją
czasu to jest to ruch harmoniczny.
Ruch harmoniczny
Szczególna postać ruchu drgającego: (t)
Gdzie:
A  amplituda
� - częstość kołowa
Ć - faza początkowa
Związek między �
a okresem drgań T:
T = 2Ą/� = 1/�
Ruch harmoniczny
" Równanie oscylatora harmonicznego:
Ruch po okręgu
Jeśli punkt materialny porusza się po okręgu (lub łuku) z
prędkością o stałej wartości bezwzględnej, mówimy o ruchu
jednostajnym po okręgu. Jest to ruch przyspieszony, bowiem
zmienia się kierunek wektora prędkości.
" Współrzędne biegunowe => r=(Ć, r)
" Długość łuku okręgu (Ć w radianach!) s = rĆ
" Prędkość liniowa:
ds dĆ
v = = r
dt dt
dĆ
� =
ponieważ prędkość kątowa
dt
to prędkość liniowa
v = r�
W ruchu po okręgu punkt materialny
Równanie toru: r2 = x2 + y2
przebywa drogę 2Ąr w czasie T
nazywanym okresem obiegu lub
2Ąr 2Ą
okresem ruchu:
T = =
v �
Ruch po okręgu
" Prędkość w zapisie
wektorowym:
" Przyspieszenie w
zapisie wektorowym:
Ruch po okręgu
" Składowa styczna przyspieszenia:
at = ąr
" Składowa styczna at || v i opisuje
zmianę wartości prędkości.
Przyspieszenie kątowe ą jest wektorem
leżącym na osi obrotu i skierowanym zgodnie z
regułą śruby prawoskrętnej.
" Składowa normalna (lub radialna):
an = v2/r = �2r
" Przyspieszenie an, odpowiedzialne
jest za zmianę kierunku wektora v
w czasie  nosi ono nazwę
przyspieszenia dośrodkowego.
Ruch po okręgu
" Ruch jednostajny po okręgu �!
przyspieszenie styczne at = 0
v = vx� + vy5
= (-v�"sin�)� + (v�"cos�)5

v = (- v�"yp/r)� + (v�"xpy/r)5

a = dv/dt
�!
a = ((-v2/r)cos�)� + ((-v2/r)sin�)5

a = (ax2 + ay2)1/2
a = v2/r
Ruch po okręgu
" Ruch po okręgu można przedstawić jako
złożenie dwóch ruchów harmonicznych:
Ruch harmoniczny można przedstawić jako złożenie dwóch ruchów po okręgu
Siła odśrodkowa i przyspieszenie
odśrodkowe
" Tylko dla obserwatora w obracającym się układzie
odniesienia  obserwator podlega przyspieszeniu (a więc
nie jest to układ inercjalny).
Siła Coriolisa powoduje odchylenie toru ruchu ciała w
kierunku przeciwnym do kierunku obrotu układu
odniesienia (np. Ziemi lub płaskiej tarczy).
Na Ziemi obracającej się z zachodu na wschód siła
Coriolisa powoduje odchylenie ciała w kierunku
zachodnim na obu półkulach, jeśli ciało porusza się w
kierunku równika (w kierunku wschodnim, jeżeli ciało
porusza się w stronę biegunów, czyli do środka
układu wirującego).
Z punktu widzenia obserwatora zewnętrznego efekt
Coriolisa nie występuje.
Obserwator na środku obracającej się tarczy turla metalową kulkę ku brzegowi tarczy -
zobaczy ruch po łuku skręcającym w stronę przeciwną do kierunku obrotu tarczy.
Osoba, która będzie stała obok tarczy zobaczy, że kulka toczy się nie po łuku, ale po linii
prostej ruchem jednostajnym.
Satelity Ziemi  dlaczego nie spadają?
" Satelita na orbicie kołowej ma przyspieszenie, którego
z
ródłem jest siła ciężkości:
g=vc2/RZ
gdzie vc  krytyczna prędkość orbitalna
(minimalna prędkość
potrzebna, by umieścić ciało na orbicie
RZ = 6370 km to promień Ziemi
vc = (gRZ)1/2 = 7.90 km/s
T = 2ĄRZ/vc = (40 000 km)/(7.9 km/s) = 5060 s = 84 min
" Rzucamy kamień z góry w kierunku poziomym.
Pomijamy: opór powietrza, obrót Ziemi wokół własnej osi i zakładamy, że . Ziemia jest
dużo cięższa od kamienia.
" Jak spada kamień?
1. Gdyby Ziemia była płaska i nie przyciągała: kamień leci ruchem
jednostajnym w kierunku równoległym do powierzchni Ziemi i nie działa na
niego żadna siła. Będzie tak leciał w nieskończoność.
2. Gdyby Ziemia była płaska i miała przyciąganie: kamień leci ruchem
jednostajnym w kierunku równoległym do powierzchni Ziemi, ale działa na
niego też siła przyciągania ziemskiego, która ściąga go w dół, w kierunku
prostopadłym do powierzchni. Jest to jedyna siła, jaka tu występuje. Żadna
inna siła jej nie równoważy.
" Tor kamienia: jednocześnie w kierunku poziomym zachowałby stałą prędkość,
ale nabierałby też coraz więcej prędkości w kierunku pionowym, w dół. W
końcu zderzyłby się z Ziemią.
3. Ziemia jest okrągła i nie przyciąga: Nadaliśmy kamieniowi ruch
jednostajny w kierunku równoległym do powierzchni Ziemi - ale, uwaga! -
równoległym tylko w punkcie, w którym my stoimy. Kamień będzie leciał wciąż
po prostej, oczywiście nie równolegle do powierzchni Ziemi, lecz oddalając się
od niej coraz bardziej.
4. Ziemia jest okrągła i przyciąga: Nadaliśmy kamieniowi ruch w kierunku
równoległym do powierzchni Ziemi w punkcie, w którym stoimy. Działa też siła
przyciągania ziemskiego skierowana do środka Ziemi. Będzie więc ściągać
kamień w kierunku tegoż środka.
" Tor kamienia: na początku ma on prędkość w kierunku, w którym go
rzuciliśmy. Ale przyciąganie nadaje mu przyspieszenie w dół (tzn. do środka
Ziemi) - jego prędkość ma kierunek ukośny w stosunku do tego pierwotnego.
Ale Ziemia wciąż nadaje kamieniowi przyspieszenie w kierunku jej środka.
Więc prędkość kamienia wciąż się zmienia - jego tor wciąż się zakrzywia.
Jeśli prędkość kamienia wystarczająca, kamień będzie satelitą!
Ruch względny
" Prawa fizyki są jednakowe we wszystkich układach poruszających się względem siebie
bez przyspieszenia (ze stałą prędkością)  w tak zwanych układach inercjalnych.
" Układ inercjalny to układ odniesienia, względem którego każde ciało nie podlegające
zewnętrznemu oddziaływaniu z czymkolwiek pozostaje w spoczynku lub porusza się
bez przyspieszenia (tzn. ruchem jednostajnym prostoliniowym).
" Jeśli istnieje jeden układ inercjalny, to każdy inny układ poruszający się względem
niego z prędkością V = const także jest układem inercjalnym; istnieje więc
nieskończenie wiele układów inercjalnych.
" Na rysunku dwa inercjalne układy odniesienia  inne obserwacje; aby porównać
pomiary obserwatorów z obu układów, musimy znać metodę transformacji (t, x, y, z).
Transformacja Galileusza  niezmienniczość praw fizyki
" Dla dwóch obserwatorów poruszających się z różną prędkością, lecz
bez przyspieszenia względnego prawa fizyki są takie same!
" Dwa inercjalne układy S i S .
" S przemieszcza się wzdłuż osi x z prędkością v << c (pomiar dokonany
w układzie S); oba układy pokrywały się w chwili t=t =0 (synchronizacja
czasu). Osie układów są do siebie równoległe.
" Współrzędne zdarzenia P widziane z układu S:
x = x + v t
y = y
z = z
t = t
t=t oznacza, że czas jest uniwersalny  jest
to podstawowe założenie w fizyce
klasycznej!
Drugie założenie fizyki klasycznej: m=m
Transformacja Galileusza
Zależność między x i x : x = x + vt
Wynika z niej prawo dodawania prędkości:
ux = x/t = x/t = x /t + v = ux + v
Postać wektorowa:
u = u + v
Transformacja odwrotna:
x = x - vt
y = y
z = z
t = t
u = u - v
Przyspieszenie: du/dt = du /dt
Obserwatorzy w dwóch różnych układach odniesienia
poruszających się względem siebie ze stałą prędkością
rejestrują takie samo przyspieszenie:
Światło  Roemer, 1676 r.
" Obserwowany na Ziemi czas zaćmienia satelity Io zależy od
odległości od Ziemi => prędkość światła ma skończoną
wartość.
" Na odległości ok. 300 mln kilometrów (średnica orbity Ziemi)
opóz
nienie 16 37.8 
William Bradley  1727
" Gwiazdy zmieniają swoje
położenie na sferze
niebieskiej o ok. 20.5  w
ciągu roku.
" Aberracja jest wywołana
przez ruch Ziemi dookoła
Słońca, a pojawia się
przy skończonej
prędkości rozchodzenia
się światła.
Fizeau  1849
" Pierwszy pomiar w warunkach laboratoryjnych.
" Odległość między zwierciadłami, L = 8633 m.
" N=720 (liczba zębów w przesłonie)
" Liczba obrotów koła n=12.86s-1
" c=315 300 km/s
Wiązka światła pada na szybko rotującą
tarczę z równomiernie rozłożonymi na
obwodzie n szczelinami i n przesłonami, a
następnie światło przepuszczone przez
szczelinę, odbija się od lustra znajdującego
się w odległości L i pada ponownie na
tarczę. Przy pewnej częstości obrotów f
światło odbite powraca przez sąsiedni
otwór, wtedy c = 4Lfn.
Foucault i inni  od 1850
" Metoda wirującego zwierciadła.
Światło
" W granicach błędów pomiarowych brak zależności od częstości
=> uniwersalna prędkość rozchodzenia się fal
elektromagnetycznych.
Michelson & Morley  od 1887
Jeżeli układ odniesienia poruszałby się z prędkością Vz względem eteru, to mierzona w tym
układzie prędkość światła powinna wynosić, zgodnie z transformacją Galileusza, c = c ą Vz
Jako ruchomy układ odniesienia służyła Ziemia, której prędkość w ruchu orbitalnym wokół
Słońca Vz H" 30 km/s
Doświadczenie przeprowadzono przy użyciu precyzyjnego przyrządu zwanego interferometrem
Michelsona.
Michelson & Morley  od 1887
" Wynik negatywny => sprzeczność
z teorią transformacji Galileusza.
" Wynik negatywny => w
przypadku zjawisk
elektromagnetycznych nie istnieje
żaden wyróżniony inercjalny
układ odniesienia, a tym samym
możemy zakwestionować
istnienie eteru.
" Ujemny wynik d. M.-M. był jedną
z doświadczalnych podstaw teorii
względności.
Einstein  1905  szczególna teoria
względności
Postulaty Einsteina:
" Jednostajny prostoliniowy ruch układu odniesienia nie ma wpływu
na zachodzące w nim dowolne zjawiska fizyczne (mechaniczne,
elektromagnetyczne i inne). Jest to rozszerzenie zasady
względności Galileusza. Wszystkie inercjalne układy odniesienia są
więc równouprawnione, co oznacza, że nie można za pomocą
żadnych doświadczeń fizycznych stwierdzić, czy dany układ
pozostaje w spoczynku czy porusza się ruchem jednostajnym
prostoliniowym.
" Prędkość światła w próżni nie zależy od prędkości obserwatora
i z
ródła światła, i jest jednakowa we wszystkich układach
odniesienia.
Transformacja Lorentza
Założenia: słuszne są postulaty Einsteina; dwa inercjalne układy
Założenia: słuszne są postulaty Einsteina; dwa inercjalne układy
odniesienia, S i S . S porusza się względem S ze stałą prędkością V
odniesienia, S i S . S porusza się względem S ze stałą prędkością V
wzdłuż osi x, w chwili początkowej oba układy się pokrywają.
wzdłuż osi x, w chwili początkowej oba układy się pokrywają.
1. Światło wysłane z początku układu współrzędnych O dociera do
zwierciadła Zw, umieszczonego na końcu pręta i po odbiciu wraca
do punktu O .
3. Czas w S :
7. Czas w układzie S:
Pojęcie czasu w Szczególnej Teorii Względności
Paweł i Gaweł w
jednym stali
domu...
I skonstruowali
identyczne
zegary:
taktowane są
promieniem
światła
odbujającym się
od lustra  tik i
światło uderza w
zwierciadło; tak i
światło powraca
do obserwatora.
Dopóki Paweł i
Gaweł nigdzie
się nie wybierają,
ich zegary tikają
identycznie.
Oba zegary pozostają w spoczynku
http://casa.colorado.edu/~ajsh/sr/time.html
Paweł postanawia
jednak wyruszyć w
podróż z prędkością v
względem
nieruchomego Gawła
w kierunku
prostopadłum do osi,
na której ustawiono
zwierciadło. Paweł nie
zaobseruje u siebie
zmian w tikaniu,
natomiast z punktu
widzenia Gawła choć
odległość między
Pawłem i zwierciadłem
jest taka sama, to
światło ma dłuższą
drogę do przebycia.
Prędkość światła jest
stała, ale droga
dłuższa, więc Gaweł
myśli, że Pawłowy
zegar chodzi wolniej,
niż jego własny.
Jeden z zegarów porusza się
z prędkością
v
. Światło porusza się
z prędkością
c.
http://casa.colorado.edu/~ajsh/sr/time.html
Transformacja Lorentza
" Przekształcając wzór na czas w układzie S i
dzieląc go stronami przez wzór na czas w S :
Czas trwania zjawiska,
zachodzącego w pewnym
punkcie przestrzeni  mierzony
w układzie odniesienia, względem
którego ten punkt się porusza 
jest dłuższy niż czas trwania tego
zjawiska w układzie odniesienia,
w którym punkt spoczywa.
Efekt ten nazywamy dylatacją
czasu.
Potwierdzenie eksperymentalne
" Dylatacja czasu została potwierdzona eksperymentalnie w
doświadczeniach z cząstkami elementarnymi (np. z mezonami Ą+,
nietrwałymi cząstkami, rozpadającymi się na mezon �+ i neutrino (R.P.
Durbin, H.H. Loar i W.W. Hawens, 1952r.)).
" Średni własny czas życia spoczywającego mezonu Ą+ wynosi
2.5 � 10-8 s. We wspomnianym doświadczeniu mierzono odległość
przebytą przez mezony Ą+ poruszające się z prędkością bliską
prędkości światła, V = 0.99995 c. Średni czas życia mezonu w układzie
laboratoryjnym, zgodnie z teorią względności powinien być równy:
Jego średnia droga natomiast:
Eksperyment potwierdził teorię. Gdyby nie brano pod
uwagę dylatacji czasu, średnia droga mezonu byłaby ok.
100 razy krótsza!
Transformacja Lorentza  x, y, z
" W S znajduje się nieruchomy pręt,
skierowany wzdłuż osi x , na końcu
którego jest umocowane zwierciadło.
W S długość pręta można wyrazić
wzorem:
" W układzie S dla ruchu światła w
dodatnim kierunku osi x mamy
zależność:
gdzie
gdzie
�  czas przebiegu impulsu
�  czas przebiegu impulsu
świetlnego z punktu O do
świetlnego z punktu O do
zwierciadła Zw i z powrotem.
zwierciadła Zw i z powrotem.
=>
�1  czas, w jakim impuls
�1  czas, w jakim impuls
świetlny doszedł do
świetlny doszedł do
zwierciadła,
zwierciadła,
Podobnie, dla ruchu światła
�2  czas, w jakim impuls
�2  czas, w jakim impuls
odbitego od zwierciadła: świetlny powrócił do O .
świetlny powrócił do O .
Kontrakcja Lorentza
" Całkowity czas � przebiegu impulsu świetlnego
jest równy:
Długość pręta w S można wyrazić wzorem:
Dzieląc stronami przez:
Otrzymamy:
Ponieważ
Transformacja x, y, z
" Współrzędne końca
pręta:
Gdzie
Transformacja czasu
Dla znalezienia wzoru opisującego transformację czasu, można
skorzystać z postulatu o równouprawnieniu obu układów odniesienia.
Transformacja odwrotna powinna mieć postać:
Transformacja Lorentza
Gdy prędkość względna ruchu obu
układów V jest znacznie mniejsza od
prędkości światła, V << c, powyższe
wzory przechodzą we wzory
transformacji Galileusza. Można
wówczas przyjąć, że ł H" 1 oraz
pominąć czynnik V x/c2 we wzorze na
czas.
Ogólnie, gdy V << c, wszystkie wzory
teorii względności sprowadzają się do
wzorów mechaniki klasycznej.
Transformacja odwrotna:
Mechanika klasyczna nie jest więc
analogiczne wzory, znak V
teorią odrębną od teorii względności,
przeciwny.
ale jej granicznym przypadkiem 
słusznym gdy prędkości ruchu ciała są
małe w porównaniu z prędkością
światła.
Wniosek
" Pojęcia czasu i odległości nie są w teorii
względności pojęciami absolutnymi, ponieważ
zależą od wybranego układu odniesienia.
 Komentarz: W klasycznej mechanice  w
odróżnieniu od teorii względności  pojęcia
odległości i czasu są absolutne, a więc niezależne od
układu odniesienia. Wynika stąd, że transformacja
Galileusza, oparta na założeniach mechaniki
klasycznej, musi być zastąpiona w teorii względności
przez transformację Lorentza.
Transformacja Lorentza  związek
między prędkościami
Transformacja Lorentza  związek
między prędkościami
" Gdy impuls światła rozchodzi się wzdłuż osi x
układu współrzędnych S (vx = c, vy = vz = 0),
składowe jego prędkości w układzie S są równe:
Wynik ten zgadza się z założeniem o stałej prędkości światła we
wszystkich układach odniesienia.
Dynamika
" Oddziaływanie, które może
nadać ciału przyspieszenie
nazywamy siłą.
" Siła => przyspieszenie =>
Newton => mechanika
klasyczna
Duże prędkości => szczególna teoria
względności!
I zasada dynamiki Newtona
" Jeśli na ciało nie działa żadna siła, to nie
może się zmienić jego prędkość, a więc
nie może ono przyspieszyć.

Jeśli ciało spoczywa, to pozostaje w
spoczynku.

Jeśli porusza się ze stałą prędkością, będzie
poruszać się z tą samą prędkością.
I zasada dynamiki Newtona
" Siła ma kierunek i zwrot  wielkość wektorowa.
" Jeśli na ciało działają dwie lub kilka sił => Siła
wypadkowa.
" Siła wypadkowa jest równoważna łącznemu
działaniu sił składowych.
I zasada dynamiki Newtona
" Jeżeli wypadkowa sił działających na ciało
jest równa zeru:
Fwyp = 0
to nie może zmienić się jego prędkość,
czyli nie może ono przyspieszyć.
Układ inercjalny
" I zasada dynamiki nie jest spełniona w każdym układzie.
Przykład:
" Układ inercjalny to układ, w którym spełnione są zasady dynamiki
Newtona.
" Ziemia  tylko przybliżony układ inercjalny.
Siła i masa  II zasada dynamiki Newtona
" Przykład oddziaływania siły: do klocka zamocowana jest sprężyna; jeśli
ruch odbywa się tak, że długość sprężyny pozostaje stała, można
przyjąć, że siła działająca na ciało ma stałą wartość => ruch jednostajnie
przyspieszony, przy czym kierunek siły i kierunek wektora
przyspieszenia są jednakowe.
Jeśli przyłożymy większą siłę (dwie spężyny),
zauważymy, że przyspieszenie a ciała jest wprost
proporcjonalne do działającej na nie siły F:
a <" F Fę! => aę!
Przyspieszenia, jakie uzyskują różne ciała pod
wpływem jednakowej siły, na ogół się różnią.
Wielkością charakteryzującą przyspieszenie ciała
uzyskiwane pod wpływem danej siły  bezwładność
ciała  jest jego masa m.
Przyspieszenie, jakie uzyskuje ciało pod wpływem
danej siły, jest odwrotnie proporcjonalne do jego
masy: a <" 1/m
II zasada dynamiki Newtona
" Przyspieszenie, jakie uzyskuje ciało jest wprost proporcjonalne do
działającej na nie siły i odwrotnie proporcjonalne do jego masy, przy
czym kierunek przyspieszenia jest zgodny z kierunkiem działania
siły.
" Równanie to pozwala wyznaczyć wymiar siły:
1N = (1 kg)(1 m/s2) = 1 kg m/s2
II zasada dynamiki Newtona
Przykład
" Ruch młotka wbijającego gwóz
dz
jest ruchem jednostajnie opóz
nionym, więc wartość
opóz
nienia uzyskujemy dzieląc różnicę "v prędkości początkowej i końcowej (zero)
przez czas wbijania "t.
" Dane:
 masa młotka m=0.5 kg,
 prędkość w momencie uderzenia v0 =10 m/s
 zagłębienie się gwoz
dzia 1cm
 Czas wbijania będzie ilorazem zagłębienia przez średnią prędkość równą połowie prędkości
początkowej, czyli "t = 0.002s.
Siła uderzenia półkilogramowym młotkiem trzykrotnie przekracza średni ciężar
Siła uderzenia półkilogramowym młotkiem trzykrotnie przekracza średni ciężar
ciała człowieka (!). y
ródłem tej siły jest ogromna wartość, 5000 m/s2,
ciała człowieka (!). y
ródłem tej siły jest ogromna wartość, 5000 m/s2,
opóz
nienia.
opóz
nienia.
To dlatego przy wbijaniu gwoz
dzia deska musi spoczywać na twardym
To dlatego przy wbijaniu gwoz
dzia deska musi spoczywać na twardym
podłożu. To właśnie dlatego spadające na kamienną posadzkę naczynia tłuką
podłożu. To właśnie dlatego spadające na kamienną posadzkę naczynia tłuką
się. To dlatego tak tragiczne bywają skutki zderzenia samochodu z drzewem i
się. To dlatego tak tragiczne bywają skutki zderzenia samochodu z drzewem i
znacznie lepiej jest "wylądować w rowie". To dlatego w konstrukcji samochodu
znacznie lepiej jest "wylądować w rowie". To dlatego w konstrukcji samochodu
tworzy się "strefę zgniecenia".
tworzy się "strefę zgniecenia".
II zasada dynamiki
Jest to układ równań
różniczkowych drugiego rzędu.
Równania te są podstawowymi
równaniami dynamiki. Wiążą
one przyczynę (siła) z jej
skutkiem (ruch). Ich konkretna
forma określona jest przez
rodzaj siły, która ruch wywołuje
II zasada dynamiki
" Przykład  ruch w polu grawitacyjnym  postać przyczynowa: Jak
zależy od czasu położenie, prędkość i przyspieszenie ciała, które
poddane jest działaniu siły o stałej wartości i kierunku  siły
grawitacji?
Równania Newtona dla tego przypadku:
Jeśli podzielimy równania przez m, uzyskamy znaną z równań
kinematycznych  teraz jednak powiązaliśmy przyczynę ruchu (siłę o
stałej wartości działającą w kierunku do środka Ziemi) z jej skutkiem,
czyli ruchem jednostajnie przyspieszonym.
III zasada dynamiki Newtona
" Jeżeli pierwsze ciało działa na drugie pewną siłą,
drugie ciało działa na pierwsze siłą równą co do
wartości i przeciwnie skierowaną.
" Siły te, jako działające na różne ciała, nie równoważą się. Wzajemne
oddziaływanie ciał może występować przy ich bezpośrednim kontakcie
lub zachodzić na odległość, np. za pośrednictwem sił grawitacyjnych
lub elektrostatycznych.
III zasada dynamiki  przykład
Na poziomej płaszczyz
nie znajdują się
dwa klocki o masach m1 i m2 połączone
nitką, przy czym na pierwszy klocek
działa równoległa do płaszczyzny siła F,
a tarcie zaniedbujemy.
Siły, działające na pierwszy i drugi
klocek w punktach zaczepienia nitki,
oznaczymy odpowiednio jako F1 i F2.
Zgodnie z II zasadą dynamiki zachodzą
zależności:
Obliczamy a i podstawiamy
Siły wzajemnego
oddziaływania
klocków spełniają
zależność
F1 = -F2
Pęd
Ponieważ przyspieszenie ciała wyraża się
wzorem a= dv/dt, to:
Wielkość mv oznacza się literą p i nazywa pędem ciała:
Wymiarem pędu jest [p] = kg�"m/s
II zasada dynamiki:
Zasada zachowania pędu
" Jeżeli na ciało nie działa żadna siła, F = 0, to
dp/dt = 0 i p = const.
Pęd ciała pozostaje wówczas stały. Jest to inne
sformułowanie I zasady dynamiki, zwane
zasadą zachowania pędu.
Zasada zachowania pędu
" Z II i III zasady dynamiki wynika
ogólniejsze prawo zachowania pędu
układu ciał (punktów materialnych).
" Wyprowadzenie: układ dwóch wzajemnie
oddziałujących ciał, na które nie działają
siły zewnętrzne. Równania II zasady
dynamiki dla obu ciał mają postać:
Zgodnie z III zasadą dynamiki:
Zasada zachowania pędu
Całkowity pęd p układu dwóch ciał, będący sumą wektorową ich
pędów, pozostaje stały:
Pęd układu nie może być zamieniony
na coś innego, w odróżnieniu od energii
mechanicznej, która może ulec
zamianie na inne rodzaje energii.
Zasada zachowania pędu obowiązuje
więc także w procesach, w których
naruszona jest zasada zachowania
energii mechanicznej.
Suma pędów wszystkich
fragmentów ładunku
musi byś bliska zeru, bo
taki jest pęd pocisku u
wierzchołka lotu.
Ciężar ciała a jego masa
" Ponieważ a = F/m, to im większa masa ciała, tym większej
musimy użyć siły, aby przyspieszenie ciała pozostało bez
zmiany  masa jest więc miarą bezwładności ciała.
" To właśnie dlatego konstruktorzy samochodów starają się
zmniejszać ich masę, by uzyskać większe przyspieszenia
przy tej samej mocy silnika, to dlatego otwarcie
masywnych wrót wymaga większej siły, niż otwarcie
zwykłych drzwi.
Ciężar
Siłę ciężkości
Siłę ciężkości
Jaki jest ciężar ciała o masie 70 kg?
wyrażamy w niutonach
wyrażamy w niutonach
[N].
[N].
Ciężar ciała o masie 70 kg wynosi w przybliżeniu:
Masę wyrażamy w
Masę wyrażamy w
kilogramach kg.
kilogramach kg.
Dla ciał umieszczonych
Dla ciał umieszczonych
w pobliżu powierzchni
w pobliżu powierzchni
Ziemi ciężar (liczbowo)
Ziemi ciężar (liczbowo)
jest ok. 10 razy
jest ok. 10 razy
większy od ich mas.
większy od ich mas.
Ciężar
Siła, z jaką Ziemia przyciąga każde ciało jest odwrotnie proporcjonalna do
kwadratu odległości ciała od jej środka.
Siła normalna
" Gdy ciało naciska na powierzchnię,
ulega ona deformacji i działa na
ciało siłą normalną N prostopadłą do
powierzchni.
" Analiza diagramu sił:
II zasada dynamiki: Fwyp,y = m ay
N  Fg = may
N = mg + may = m(g + ay)
Jeśli stół i klocek nie poruszają się
ruchem przyspieszonym względem
Ziemi, ay = 0 => N = m g
Tarcie
Tarcie
a). Klocek spoczywa  siła ciężkości Fg
równoważona przez siłę nacisku N.
b). Kiedy działamy na ciało siłą F,
pojawiająca się siła tarcia fs skierowana w
przeciwną stronę, która przeciwdziała
ruchowi. W rezultacie ciało pozostaje w
spoczynku. Siła tarcia ma jednak pewną
wartość graniczną, zwaną siłą tarcia
statycznego. Warunek pozostawania ciała
w spoczynku możemy więc zapisać w
postaci 0c i d). Gdy zwiększa się wartość przykładanej
siły, wartość siły fs także wzrasta, a gdy
osiąga wartość graniczną&
Tarcie
e). Jeżeli siła F będzie większa od fs ciało
zacznie się poruszać ruchem
jednostajnie przyspieszonym, ale
przyspieszenie będzie jednak mniejsze
niż w przypadku działania tylko siły F,
bowiem siła tarcia, zwana siłą tarcia
kinetycznego fk będzie przeciwdziałać
ruchowi. Zależności te możemy zapisać
następująco:
ma = F  fk
f i wykres). Aby ciało poruszało się ruchem
jednostajnym, zazwyczaj konieczne jest
zmniejszenie przykładanej siły
Mechanizm tarcia
" y
ródłem tarcia statycznego
są punktowe oddziaływania
atomowe.
" Efekty dz
więkowe
stowarzyszone z tarciem
(np. przy ostrym
hamowaniu samochodu,
otwieraniu drzwi z
zardzewiałymi zawiasami)
są związane ze skokowym
charakterem ruchu
ślizgowego.
" Tarciu zawdzięczamy
dz
więki skrzypiec.
Właściwości siły tarcia
" Jeśli ciało się nie porusza, to siła tarcia statycznego fs oraz
składowa siły F równoległa do powierzchni, równoważą się. Siły
mają jednakową wartość, a fs jest przeciwnie skierowana do
składowej równoległej siły F.
" Maksymalna wartość siły fs  oznaczmy ją fs,max, dana jest wzorem:
fs,max= �sN,
gdzie �s jest współczynnikiem tarcia statycznego, N  to wartość siły
normalnej (działającej ze strony powierzchni).
" Jeśli ciało ślizga się po powierzchni, wartość tarcia maleje do
wartości:
fk = �kN, gdzie �k jest współczynnikiem tarcia kinetycznego.
�k i �s są bezwymiarowe, zależą od właściwości ciała.
�k i �s są bezwymiarowe, zależą od właściwości ciała.
Przykład:
Ciało o masie m na równi pochyłej o kącie
pochylenia �. Współczynnik tarcia wynosi �� = �.
Suma rzutów sił na kierunek II
FD - f = ma
f
Suma rzutów sił na kierunek Ą" równa jest 0: N - mg =0
a
FD = Q sin � = mg sin �
N
FD=Q sin�
f = �N = �mg cos �
a = g(sin � - � cos �)
�
�
Q cos�
Q
Ruch ze stałym przyspieszeniem
" Wypadkowa siła działająca na obiekt jest
niezerowa:
"F = m a
i
i
Tylko dla składowej y
a
T - m1g = m1a
ńł
T T
�ł
ółT - m2g = m2(-a)
m2 - m1
a = g
Q1
m1 + m2
y
a m1m2
Q2
T = 2 g
m1 + m2
x