FIZYKA
Kinematyka i dynamika
Kinematyka i dynamika, cz. I
Kinematyka jest działem mechaniki, badającym ruch
ciał niezależnie od czynników fizycznych, które ten
ruch wywołują, tzn. bez wnikania w zależności
między ruchem wykonywanym przez ciało, a siłami
na nie działającymi.
Dynamika to dział mechaniki badający związki
między siłami działającymi na ciało a ich ruchem.
Kinematyka  pojęcia
podstawowe
" Punkt materialny
" Ruch
" Układ odniesienia
" Układ współrzędnych
" Tor
" Prędkość
" Przyspieszenie
Punkt materialny
Punkt materialny jest to ciało fizyczne obdarzone masą, którego rozmiary w
opisie matematycznym analizowanego zjawiska zostały dla prostoty obliczeń
pominięte  ciało jest więc traktowane jako punkt geometryczny.
Przykłady:
" Kamień rzucony pod pewnym kątem do powierzchni Ziemi  jego rozmiary są
nieistotne w porównaniu z odległością jaką przebędzie i dokładnością pomiarów.
" Statek na morzu  jego rozmiary są nieistotne w porównaniu z rozmiarami morza.
" Ziemia poruszająca się po orbicie wokół Słońca  jej wymiary są nieistotne w
porównaniu z promieniem orbity.
Ważne!
Prawa ruchu punktu materialnego mającego masę równą masie ciała
sztywnego są identyczne z ruchem jednego punktu związanego z ciałem.
Punkt ten nazywany jest środkiem masy.
Ruch
" Ruch to zmiana położenia ciała względem wybranego
układu odniesienia.
" Układ odniesienia to punkt lub układ punktów w
przestrzeni względem, którego określa się ruch
wybranego ciała.
" Szczególnie ważne przykłady układów odniesienia:
" układ laboratoryjny - układ, w którym laboratorium jest
nieruchome,
" układ środka masy  ruch opisujemy tak jakby środek
masy opisywanych ciał spoczywał,
" Ziemia  gdy obszar, w którym porusza się opisywane
ciało jest wystarczająco mały, można założyć, że Ziemia
jest płaska i nieruchoma, np. lot pocisku karabinowego,
upadek kamienia, jadący samochód.
Położenie  układ współrzędnych
Z układem odniesienia związuje się
zazwyczaj układ współrzędnych.
" Układ współrzędnych kartezjańskich
Położenie  układ współrzędnych
" Układ współrzędnych biegunowych
Położenie  układ współrzędnych
" Układ współrzędnych walcowych
Tor ruchu  zmiana położenia ciała w czasie
Przypadek ogólny  postać parametryczna toru:
x =x(t) y=y(t) z=z(t)
r = (x(t), y(t), z(t)) = r(t)
r(t) = x(t)� + y(t)5
+z(t)k
Przykład
" Urządzenie GPS  namierza poruszający się obiekt. Jego
współrzędne zmieniają się w czasie t zgodnie ze wzorami:
x(t) = -0.5t2 + 4.3t +28
y(t) = 0.1t2  3t +12
Wartości x, y podane są w metrach, czas t w sekundach.
Zadanie: namierzyć obiekt i śledzić go w czasie czasie 10 s.
Przykład cd.
" Współrzędne x, y to składowe wektora
położenia r.
r(t) = x(t)� + y(t)5

Wektor położenia jest funkcją czasu.
Przykład, cd.
W dowolnej chwili t
możemy wyznaczyć :
" składowe x(t), y(t)
wektora r(t)
" długość i kierunek
wektora r:
r(t) = [(x(t))2 +(y(t)2)]1/2
�(t) = arc tg y(t)/x(t)
Prędkość średnia
Jeśli w przedziale czasu:
punkt materialny doznał
przemieszczenia:
To prędkość średnia:
Prędkość średnia
" Kierunek wektora v jest taki sam jak kierunek
przemieszczenia "r.
" Wektor "r można zapisać za pomocą składowych
i wersorów:
"r = (x2� + y25
+ z2k) - (x1� + y15
+ z1k)
"r = (x2- x1) � +( y2- y1 ) 5
+ (z2 - z1)k
"r = "x� +" y5
+"zk
Stąd, prędkość średnią możemy też wyrazić:
vśr = ("x� +"y5
+"zk)/"t = ("x/"t)� +("y/"t)5
+("z/"t)k
W granicy "r dąży do zera,
kierunek "r/"t (a więc i
kierunek prędkości średniej)
zdąża do kierunku stycznej
do toru punktu materialnego 
jest to kierunek prędkości
chwilowej. Matematycznie
odpowiada to pochodnej
wektora r po czasie t:
Prędkość chwilowa  to prędkość graniczna
prędkości średniej, gdy przedział czasu "t zmierza
do zera wokół tej chwili.
Prędkość chwilowa
" vx=dx/dt vy=dy/dt vz=dz/dt to
składowe wektora v.
" Wektor prędkości chwilowej
pokazuje chwilowy kierunek
ruchu punktu materialnego,
którego położenie jest
początkiem wektora.
" Długość wektora może być
narysowana w dowolnej skali.
Jeśli się zmienia wartość prędkości i(lub) jej kierunek,
punkt materialny doznaje przyspieszenia.
Klasyfikacja ruchów
Ze względu na tor:
" Prostoliniowy  odbywa się wzdłuż linii prostej:
y(t)=z(t)=0 �! r(t)=x(t)�
" Płaski  odbywa się w płaszczyz
nie:
z(t)=0 �! r(t)=x(t)� + y(t)5

" 3D
Ze względu na przyspieszenie:
" Jednostajny  wartość prędkości pozostaje stała:
" Jednostajnie zmienny  przyspieszenie jest stałe:
Ruch jednostajny prostoliniowy  ruch ze stałą
prędkością i w stałym kierunku
" Najprostszy przypadek ruchu:
" Jeśli ruch odbywa się wzdłuż osi X:
" Przebyta droga jest liniową funkcją czasu  drogi
przebyte w równych odcinkach czasu są sobie równe.
Ruch jednostajnie przyspieszony
Prędkość jest liniową funkcją czasu.
Ruch jest prostoliniowy, gdy przyspieszenie ma kierunek
zgodny z kierunkiem prędkości:
Ruch jednostajnie przyspieszony  przybliżenie
jednowymiarowe  ruch prostoliniowy
Prędkość jest liniową funkcją czasu:
Dla t1=0, t2=t
droga = v0t +(at2)/2
Ruch jednostajnie przyspieszony  przybliżenie
jednowymiarowe  ruch prostoliniowy
Jeśli w chwili t0=0 ciało spoczywa, V0=V(t0)=0
Położenie jest kwadratową funkcją czasu:
Drogi przebyte w kolejnych równych odcinkach czasu, "tn=tn-tn-1="t,
tn=n�""t, można zapisać jako równe:
Drogi przebyte w kolejnych odcinkach czasu mają się do siebie jak
kolejne liczby nieparzyste:
x1:x2:x3:& =1:3:5:&
Ruch jednostajnie zmienny
Ruch jednostajnie zmienny  uogólnienie na
trzy wymiary
W ogólnym przypadku ruch nie jest prostoliniowy  konieczne uogólnienie:
Ruch będzie się odbywał w płaszczyz
nie przechodzącej przez ro i wyznaczonej
przez kierunki wektorów Vo i a. Możemy tak wybrać układ współrzędnych, aby:
�!
W kierunku X ruch będzie jednostajny, w kierunku Y jednostajnie przyspieszony,
a w kierunku Z ciało będzie spoczywać:
Ruch w polu grawitacyjnym
Na powierzchni Ziemi odległość od środka ciężkości planety jest dużo
większa niż wysokość, na której możemy się przemieszczać (bez rakiet).
W takiej sytuacji można założyć, że pole grawitacyjne jest jednorodne.
Jeśli wybierzemy układ współrzędnych tak, że:
W zależności od Vo i kąta �, różne
rodzaje ruchu:
" Rzut ukośny, �`"0, Ą/2 &
" Spadek swobodny, Vo=0 (ruch
prostoliniowy)
" Rzut pionowy, �=ąĄ/2 (ruch
prostoliniowy)
" Rzut poziomy, �=0
Rzut ukośny
" Rzut w płaszczyz
nie pionowej z
prędkością początkową v0 i
przyspieszeniem ziemskim g.
" Na rysunku tor pocisku wystrzelonego z
punktu o współrzędnych x0=0, y0=0 z
prędkością początkową v0.
" Składowa pozioma vx jest stała we
wszystkich momentach lotu  bo
ruch bez przyspieszenia.
" Składowa vy zmienia się w sposób
ciągły.
Rzut ukośny  ruch w polu
grawitacyjnym
" Rzut ukośny można
rozpatrywać jako złożenie
dwóch ruchów 
pionowego i poziomego.
" Prędkość początkowa v0:
v0 = v0x� + v0y5

" Składowe prędkości
początkowej:
v0x = v0cos�0
v0y = v0sin �0
Rzut ukośny  złożenie dwóch ruchów
" Ruch w poziomie bez
przyspieszenia => składowa
vx = vx0 (jest stała w trakcie
całego ruchu).
" Przemieszczenie względem
położenia początkowego x0
(a=0):
x-x0=v0xt => x-x0 = (v0cos�0)t
Rzut ukośny  złożenie dwóch ruchów
" Ruch w pionie  ruch ze stałym przyspieszeniem g:
vy(t) = v0y  gt
droga=y-y0=+"vy(t)dt=+"(v0y-gt)dt
y-y0= v0yt - gt2/2
y-y0 = (v0sin�0)t  gt2/2
Rzut ukośny  złożenie dwóch ruchów
y-y0= (v0sin�0)t - gt2/2
vy = dy/dt
vy = v0sin�0  gt
Składowa pionowa prędkości jest na
początku ruchu skierowana do góry,
potem jej wartość maleje i osiąga
wartość równą zero na wysokości
maksymalnej. W drugiej fazie rzutu
składowa rośnie.
Rzut ukośny  równanie ruchu
" Równanie toru ciała:
x-x0=(v0cos�0)t => t = (x-x0)/(v0cos�0)
y-y0= (v0sin�0)t - gt2/2 =>
y-y0= (v0sin�0) (x-x0)/(v0cos�0) - g(x-x0)2/2(v0cos�0)2
Wybierając układ współrzędnych tak, aby x0= 0, y0= 0
otrzymujemy równanie toru:
y = (tg�0 )x  (gx2)/(2v02cos2�0 )
Rzut ukośny - zasięg
" Zasięg R  odległość w poziomie
przebyta przez ciało do chwili jego
powrotu na wysokość początkową.
x0=0, y0=0
R = x =(v0cos�0)t
0 = y = (v0sin�0)t - gt2/2
Zasięg R jest największy,
gdy kąt � = 45o.
R = (v02/g)�" 2sin�0 cos�0
R = (v02/g)�" sin2�0
Rzut pionowy  ruch w polu
grawitacyjnym
y-y0= (v0sin�0)t - gt2/2
�=90o => rzut pionowy:
y-y0= v0t - gt2/2
v0 = 0 => ciało spada swobodnie
Przy założeniu, że y(t0)=h, vy(t0)=0
odległość od początku układu:
y = h - gt2/2
Położenie ciała jest kwadratową
funkcją czasu
Prędkość ciała po czasie t wyraża
wzór: v = v0 - gt
Przykład: rzut poziomy
Kaskader biegnie po dachu budynku. Jego zadaniem jest wylądować na dachu
następnego budynku. Czy uda mu się to bez odbicia, jeśli biegnie z prędkością
4.5 m/s?
Lot kaskadera wykonującego skok bez odbicia, to rzut poziomy, a więc
rzut z prędkością początkową v0, której kierunek || do osi X => � = 0o
Kaskader wyląduje na dachu budynku, gdy przemieszczenie x-x0 >=6.2 m:
Aby wyznaczyć czas t, wyznaczymy przemieszczenie w pionie:
y-y0= (v0sin�0)t - 1/2�"gt2
-4.8 m = (4.5 m/s)(sin0o)t-1/2(9.8 m/s2)t2 => t=0.99s
x-x0=(v0cos�0)t
x-x0 = (4.5 m/s)(cos0o)(0.99 s) = 4.5 m
Inne rodzaje ruchu  ruch okresowy
Każdy ruch powtarzający się w regularnych
odstępach czasu nazywany jest ruchem
okresowym.
Jeżeli ruch opisywany jest sinusoidalną funkcją
czasu to jest to ruch harmoniczny.
Ruch harmoniczny
Szczególna postać ruchu drgającego: (t)
Gdzie:
A  amplituda
� - częstość kołowa
Ć - faza początkowa
Związek między �
a okresem drgań
T: T = 2Ą/� = 1/�
Ruch harmoniczny
" Równanie oscylatora harmonicznego:
Ruch po okręgu
Jeśli punkt materialny porusza się po okręgu (lub łuku) z
prędkością o stałej wartości bezwzględnej, mówimy o ruchu
jednostajnym po okręgu. Jest to ruch przyspieszony, bowiem
zmienia się kierunek wektora prędkości.
" Współrzędne biegunowe => r=(Ć, r)
" Długość łuku okręgu (Ć w radianach!) s = rĆ
Równanie toru: r2 = x2 + y2
" Prędkość liniowa:
v = ds/dt = r dĆ/dt
ponieważ prędkość kątowa
� = dĆ/dt
to prędkość liniowa v = r �
W ruchu po okręgu punkt materialny
przebywa drogę 2Ąr w czasie T nazywanym
okresem obiegu lub okresem ruchu:
T=2Ąr/v=2Ą/�
Ruch po okręgu
" Prędkość w zapisie
wektorowym:
" Przyspieszenie w
zapisie wektorowym:
Ruch po okręgu
" Składowa styczna przyspieszenia:
at = ąr
" Składowa styczna at || v i opisuje
zmianę wartości prędkości.
Przyspieszenie kątowe ą jest wektorem
leżącym na osi obrotu i skierowanym zgodnie z
regułą śruby prawoskrętnej.
" Składowa normalna (lub radialna):
an = v2/r = �2r
" Przyspieszenie an, odpowiedzialne
jest za zmianę kierunku wektora v
w czasie  nosi ono nazwę
przyspieszenia dośrodkowego.
Ruch po okręgu
" Ruch jednostajny po okręgu �!
przyspieszenie styczne at = 0
v = vx� + vy5
= (-v�"sin�)� + (v�"cos�)5

v = (- v�"yp/r)� + (v�"xpy/r)5

a = dv/dt
�!
a = ((-v2/r)cos�)� + ((-v2/r)sin�)5

a = (ax2 + ay2)1/2
a = v2/r
Ruch po okręgu
" Ruch po okręgu można przedstawić jako
złożenie dwóch ruchów harmonicznych:
Ruch harmoniczny można przedstawić jako złożenie dwóch ruchów po okręgu
Siła odśrodkowa i przyspieszenie
odśrodkowe
" Tylko dla obserwatora w obracającym się
układzie odniesienia  obserwator podlega
przyspieszeniu (a więc nie jest to układ
inercjalny).
Satelity Ziemi  dlaczego nie spadają?
" Satelita na orbicie kołowej ma przyspieszenie, którego z
ródłem jest
siła ciężkości:
g=vc2/RZ
gdzie vc  krytyczna prędkość orbitalna (minimalna prędkość
potrzebna, by umieścić ciało na orbicie
RZ = 6370 km to promień Ziemi
vc = (gRZ)1/2 = 7.90 km/s
T = 2ĄRZ/vc = (40 000 km)/(7.9 km/s) = 5060 s = 84 min