Wykład 5
Zderzenia
Bryła sztywna
Doc. dr hab. n. fiz. Maria Sokół
Zderzenia są wokół nas
Doc. dr hab. n. fiz. Maria Sokół
Czas zderzenia jest
na tyle krótki, że
wyraz
nie można
Zderzenia  definicje
wydzielić stan
zderzających się ciał
przed i po zderzeniu.
" Zderzenie, to proces w którym na
uczestniczące w nim ciała działają
wielkie siły, ale w stosunkowo
krótkim czasie  są to tzw. siły
impulsowe.
" Działające podczas zderzenia siły są
na ogół o wiele większe od innych,
długotrwałych sił zewnętrznych
działających równocześnie. Te inne
siły można na ogół pominąć
rozpatrując proces zderzenia.
III zasada dynamiki:
Doc. dr hab. n. fiz. Maria Sokół
Popęd siły
" Siły F(t) i  F(t) działające podczas
zderzenia ciał o różnych masach
stanowią parę akcja-reakcja. W
wyniku ich działania zmienia się pęd
obydwu ciał, a zmiana ta zależy od
średniej wartości tych sił oraz czasu
ich działania, "t.
d p = F(t)d t
" Wychodząc z II zasady dynamiki
Newtona:
pkonc tkonc
d F
+"p = +"(t)dt
Zmiana pędu podczas zderzenia jest
ppocz t
pocz
równa popędowi siły:
Popęd i pęd to wektory o tych samych
tkonc
kierunkach i wymiarach.
J = "p = F
Doc. dr hab. n. fiz. Maria Sokół +"(t)dt
t
pocz
Popęd siły
" Wartość popędu siły jest równa polu powierzchni pod
krzywą F(t).
" Jeśli wartość średnia siły wynosi FŚR, to popęd siły
można wyrazić wzorem:
J = FŚR"t
Doc. dr hab. n. fiz. Maria Sokół
" Ciała podczas zderzenia nie muszą się dotykać
 np. zderzenia cząstki alfa z jądrem =>
odpychanie elektrostatyczne.
" Cząstka alfa (helion) składa się z dwóch protonów i dwóch neutronów. Ma
ładunek dodatni i jest identyczna z jądrem atomu izotopu hel-4, więc często
oznacza się ją jako He2+. Nazwa pochodzi od greckiejlitery ą.
Doc. dr hab. n. fiz. Maria Sokół
Lekcja pana Newtona
Doc. dr hab. n. fiz. Maria Sokół
Zderzenia  definicje
" Prawdziwe zderzenia sprężyste (chociaż
nie zawsze) to zderzenia między
atomami, jądrami i cząsteczkami
elementarnymi. Pozostałe są zawsze w
pewnym stopniu niesprężyste.
Doc. dr hab. n. fiz. Maria Sokół
Zderzenia  definicje
" Jeśli przed zderzeniem ciała poruszały
się wzdłuż jednej prostej, to ich
zderzenie nazywamy centralnym.
Doc. dr hab. n. fiz. Maria Sokół
Zderzenia  definicje
" Jeśli zderzenie zachodzi wzdłuż prostych nie
pokrywających się, to zderzenie nazywamy
niecentralnym lub peryferycznym.
Doc. dr hab. n. fiz. Maria Sokół
Zderzenia sprężyste
Jeżeli podczas zderzenia
zachowane są:pęd i
energia kinetyczna, to
zderzenie takie nazywamy
zderzeniem sprężystym.
Doc. dr hab. n. fiz. Maria Sokół
Zdeżenia niesprężyste
Zachowywany jest pęd.
Energia kinetyczna NIE jest zachowana (np.
zamienia się ona na inną postać energii).
Doc. dr hab. n. fiz. Maria Sokół
Zderzenia niesprężyste
Przykład zderzeń niesprężystych  część
energii zużywana na rozbicie jąder
i produkcję nowych cząstek.
Doc. dr hab. n. fiz. Maria Sokół
Zderzenia całkowicie niesprężyste
Jeśli ciała po zderzeniu łączą się,
zderzenie jest całkowicie niesprężyste.
Doc. dr hab. n. fiz. Maria Sokół
Zderzenia
" Badania zderzeń pozwalają charakteryzować
ruch ciał po zderzeniu na podstawie znajomości
stanu początkowego zderzających się ciał.
" W tym celu stosuje się prawa zachowania do
stanów układu ciał przed i po zderzeniu.
Doc. dr hab. n. fiz. Maria Sokół
Zderzenia  pęd
" Jeśli zderzenie zachodzi w układzie
zamkniętym i izolowanym, to pędy
zderzających się ciał mogą się zmieniać,
lecz całkowity pęd układu nie może ulec
zmianie, niezależnie od tego, czy
zderzenie jest sprężyste, czy
niesprężyste.
Doc. dr hab. n. fiz. Maria Sokół
Zderzenia
Przed zderzeniem
SUMA P
DÓW
PRZED
ZDERZENIEM
=
SUMA P
DÓW
Po zderzeniu
PO ZDERZENIU
Doc. dr hab. n. fiz. Maria Sokół
Zderzenie całkowicie niesprężyste
z nieruchomą tarczą  jeden wymiar
" Zderzenia w jednym wymiarze:
p1pocz + p2pocz = p1konc + p2konc
m1v1pocz + m2v2 pocz = m1v1konc + m2v2konc
" Zderzenia całkowicie niesprężyste:
m2  to nieruchoma tarcza (v2pocz=0);
po zderzeniu ciała pozostają złączone:
m1v1pocz + 0 = (m1 + m2)V
m1
V = v1pocz
m1 + m2
Doc. dr hab. n. fiz. Maria Sokół
Zderzenia niesprężyste  jeden
wymiar
" Ponieważ ciała złączone, więc rŚM = Vt opisuje ruch po
zderzeniu.
m1
rŚM = Vt = v1poczt
m1 + m2
Doc. dr hab. n. fiz. Maria Sokół
Prędkość środka masy
" Prędkość vŚM układu zamkniętego i izolowanego nie zmienia się w wyniku
zderzenia, ponieważ wypadkowa sił zewnętrznych jest dla takiego układu
równa zeru.
p = p1pocz + p2pocz = p1konc + p2konc
" Całkowity pęd jest zachowany:
p = (m1 + m2)vŚM
p1pocz + p2pocz p1konc + p2konc
p
vŚM = = =
m1 + m2 m1 + m2 m1 + m2
Doc. dr hab. n. fiz. Maria Sokół
Zderzenia sprężyste
" W zderzeniach sprężystych może
zmieniać się energia kinetyczna
zderzających się ciał, lecz całkowita
energia kinetyczna układu musi
pozostać stała.
" Przykład: zderzenie kul bilardowych 
w czołowym, niemal cała energia
kinetyczna ciała m1 zostanie
przekazana ciału m2.
Doc. dr hab. n. fiz. Maria Sokół
ENERGIA
P
D
Doc. dr hab. n. fiz. Maria Sokół
P
D
ENERGIA
Dzielimy
stronami
Doc. dr hab. n. fiz. Maria Sokół
Zderzenia sprężyste
Doc. dr hab. n. fiz. Maria Sokół
Zderzenia sprężyste  jeden wymiar,
ruchoma tarcza
" Zasada zachowania pędu:
m1v1pocz + m2v2 pocz = m1v1konc + m2v2konc
" Zasada zachowania energii:
1 1 1 1
2 2 2 2
m1v1pocz + m2v2 pocz = m1v1konc + m2v2konc
2 2 2 2
m1 - m2 2m2
v1konc = v1pocz + v2
" Po przekształceniach:
m1 + m2 m1 + m2 pocz
2m1 m2 - m1
v2konc = v1pocz + v2
m1 + m2 m1 + m2 pocz
Doc. dr hab. n. fiz. Maria Sokół
Zderzenia sprężyste  jeden wymiar,
nieruchoma tarcza (v2pocz = 0)
" Układ zamknięty i izolowany => zachowany
jest pęd:
m1v1pocz + 0 = m1v1konc + m2v2konc
" Zderzenie sprężyste => zachowana jest
całkowita energia kinetyczna:
1 1 1
2 2 2
m1v1pocz + 0 = m1v1konc + m2v2konc
2 2 2
Doc. dr hab. n. fiz. Maria Sokół
Zderzenia sprężyste  jeden wymiar,
nieruchoma tarcza (v2pocz = 0)
1 1 1
2 2 2
m1v1pocz = m1v1konc + m2v2konc
2 2 2
1 1
2 2 2
m1v1pocz = m1v1konc + m2v2konc 2 m1(v1pocz - v1konc) = 2 m2v2konc
2
m1(v1pocz - v1konc)(v1pocz + v1konc) = m2v2konc
m1(v1pocz - v1konc ) = m2v2konc
m1 - m2
v1konc = v1pocz
m1 + m2
Dzieląc równania stronami:
2m1
v2konc = v1pocz
m1 + m2
Doc. dr hab. n. fiz. Maria Sokół
Zderzenia sprężyste
" gdy m1=m2 => v1konc = 0, v2konc = v1pocz,
m1 - m2
v1konc = v1pocz
m1 + m2
2m1
v2konc = v1pocz
Doc. dr hab. n. fiz. Maria Sokół
m1 + m2
Zderzenia sprężyste
" gdy m1>m2 => v1konc >0,
" gdy m1>>m2 => v1konc H" v1pocz, v2konc H" 2v1pocz
m1 - m2
v1konc = v1pocz
m1 + m2
2m1
v2konc = v1pocz
m1 + m2
Doc. dr hab. n. fiz. Maria Sokół
Zderzenia sprężyste
" gdy m1 v1konc <0, tzn. ciało odbija się
od tarczy
" gdy m1< v1konc H" -v1pocz, v2konc H"
(2m1/m2)v1pocz (np. zderzenie muchy z planetą :)
m1 - m2
v1konc = v1pocz
m1 + m2
2m1
v2konc = v1pocz
Doc. dr hab. n. fiz. Maria Sokół
m1 + m2
Zderzenia  2 wymiary
" Gdy zderzają się dwa ciała, a ich kierunki
nie pokrywają się => zderzenie
niecentralne => zderzenie w dwóch
wymiarach.
" Dla zamkniętego i izolowanego układu
zderzających się ciał całkowity pęd i
energia są zachowane:
m1v1pocz + m2v2pocz = m1v1konc + m2v2konc
1 1 1 1
2 2 2 2
m1v1pocz + m2v2 pocz = m1v1konc + m2v2konc
2 2 2 2
Doc. dr hab. n. fiz. Maria Sokół
Zderzenia  2 wymiary - przykład
" Zderzenie niecentralne pocisku z nieruchomą tarczą.
" Po zderzeniu ciała poruszają się w kierunkach tworzących
kąty �1 i �2 z osią x.
" Obliczamy składowe:
m1v1pocz = m1v1konc cos�1 + m2v2konc cos�2
X:
0 = -m1v1konc sin�1 + m2v2konc sin�2
Y:
Zasada zachowania energii, gdy v2pocz = 0:
1 1 1
2 2 2
m1v1pocz + 0 = m1v1konc + m2v2konc
2 2 2
Jeśli znamy 4 ze zmiennych,
możemy obliczyć pozostałe.
Doc. dr hab. n. fiz. Maria Sokół
Zderzenia całkowicie niespężyste
Doc. dr hab. n. fiz. Maria Sokół
 Doc. dr hab. n. fiz. Maria Sokół
Jaka jest prędkość końcowa jabłka?
Doc. dr hab. n. fiz. Maria Sokół
Ruch obrotowy i toczny bryły
sztywnej
Doc. dr hab. n. fiz. Maria Sokół
Co już wiemy z analizy
ruchu po okręgu?
" Położenie kątowe: � = s/r
Rys. 1
" Przemieszczenie kątowe: "� = �2  �1
" Prędkość kątowa: � = d�/dt
" Średnie przyspieszenie kątowe: ąśr = "�/"t
" Prędkość liniowa: v = �r
lub wektorowo: v = � x r
" Okres ruchu: T = 2Ąr/v = 2Ą�
" Przyspieszenie styczne: ast = ąr
" Przyspieszenie normalne: ar = v2/r = �2r
Rys. 2
Doc. dr hab. n. fiz. Maria Sokół
Bryła sztywna
Doc. dr hab. n. fiz. Maria Sokół
Ruch bryły sztywnej
" Bryła doskonale sztywna  odległości między
dowolnymi dwoma punktami są stałe.
" Wszystkie punkty mają jednakowe prędkości i
przyspieszenia. Równanie ruchu jest jednakowe
dla wszystkich punktów.
Doc. dr hab. n. fiz. Maria Sokół
Ruch bryły sztywnej
" Ruch postępowy bryły sztywnej 
dowolna prosta sztywno związana z
bryłą pozostaje równoległa do
położenia początkowego.
Doc. dr hab. n. fiz. Maria Sokół
Ruch bryły sztywnej
" Ruch obrotowy bryły sztywnej  wszystkie punkty zakreślają okręgi o
środkach leżących na jednej prostej zwanej osią obrotu. Oś obrotu jest
prostopadła do płaszczyzny tych okręgów.
" Rozważmy położenie dowolnie wybranego w tej płaszczyz
nie promienia
wodzącego OM0 w chwilach t = 0, t1 i t2.
" Punkty A0, A'0 i A''0 po czasie t1 zajmą położenia A1 , A'1 i A''1, a po czasie t2 
położenia A2, A'2 i A''2 Każdy z tych punktów w odstępie czasu t2 - t1 zakreślił
drogę równą odpowiednio łukowi A1A2, A'1A'2 i A''1A''2. Długości tych łuków
są różne, a więc i prędkości liniowe poszczególnych punktów są różne i
zależne od ich odległości od osi obrotu.
Punkty leżące w różnych
odległościach od osi obrotu
mają różne prędkości liniowe.
Ich promienie zakreślają takie
same kąty w tym samym
czasie  prędkości kątowe są
więc identyczne.
Doc. dr hab. n. fiz. Maria Sokół
Ruch toczny
Ruch każdego ciała okrągłego, toczącego się bez poślizgu, można
rozłożyć na ruch wyłącznie obrotowy i ruch wyłącznie postępowy.
Doc. dr hab. n. fiz. Maria Sokół
Tarcie przy toczeniu
" Z doświadczenia wiemy, że podczas przetaczania ciężkiego
walca po poziomej płaszczyz
nie występuje opór, który
nazywamy oporem toczenia lub przez analogię do tarcia
poślizgowego tarciem tocznym.
" Załóżmy, że sztywny walec o ciężarze G spoczywa na
sztywnej poziomej płaszczyz
nie. Do walca przyłożymy
poziomą siłę F odległą od płaszczyzny o h.
Doc. dr hab. n. fiz. Maria Sokół
" Walec styka się z podłożem w punkcie A. W tym punkcie
wystąpi reakcja podłoża, którą rozłożono na normalną N
i styczną T, czyli siłę tarcia.
" Jeżeli walec znajduje się w spoczynku, to siły działające
na niego muszą być w równowadze, tzn. ich suma
geometryczna musi być równa zeru: T=F i G=N
" Założymy, że siła F jest mniejsza od granicznej wartości
siły tarcia statycznego: Fd"�N, co oznacza, że walec nie
może się ślizgać po płaszczyz
nie.
Doc. dr hab. n. fiz. Maria Sokół
" Dla każdej wartości siły F`"0 i h`"0 siła ta daje moment względem
punktu A, którego wartość jest różna od zera: M=Fh`"0
" W tej sytuacji najmniejsza siła F spowodowałaby obrót walca
(toczenie), co jest sprzeczne z zachowaniem się ciał rzeczywistych
w podobnej sytuacji.
" Zjawisko oporu toczenia jest spowodowane odkształcaniem się
zarówno walca, jak i płaszczyzny, na której on spoczywa  styk
walca i płaszczyzny nie odbywa się wzdłuż tworzącej
przechodzącej przez punkt A, lecz na ograniczonej powierzchni
wynikającej ze wzajemnych odkształceń w miejscu styku walca i
powierzchni.
Doc. dr hab. n. fiz. Maria Sokół
" Siła N jest więc wypadkową nacisków normalnych występujących na
płaszczyz
nie styku i działających na walec i jest przesunięta o pewną
odległość w stosunku do punktu A w kierunku możliwego toczenia się.
" Aby równowaga walca była zachowana, moment siły F względem punktu
A musi być zrównoważony momentem siły normalnej N względem tego
punktu: Fh=M(N).
" Moment M(N) nie może wzrastać nieograniczenie, lecz tylko do pewnej
maksymalnej wartości. W przypadku granicznym jest on proporcjonalny do
reakcji normalnej:
ft
M (N) = F �"h = N �" ft �! F = N
h
" Występujący w tym wzorze współczynnik proporcjonalności f nazywamy
współczynnikiem tarcia tocznego albo ramieniem tarcia tocznego.
Współczynnik ten ma wymiar długości i jest podawany w metrach.
Doc. dr hab. n. fiz. Maria Sokół
Energia kinetyczna w ruchu
obrotowym bryły sztywnej
" Całkowita energia kinetyczna wszystkich
cząstek ciała:
1 1 1 1
2 2 2
Ek = m1v1 + m2v2 + m3v3 +... = mivi2
"
2 2 2 2
Ponieważ
v = �r
1
Ek =
"m (�ri )2 = 1 "(m ri2)�2
i i
2 2
Doc. dr hab. n. fiz. Maria Sokół
Moment bezwładności
1
Ek =
"m (�ri )2 = 1 "(m ri2)�2
i i
2 2
" Wyrażenie w nawiasie po prawej stronie informuje o sposobie
rozłożenia masy wokół osi obrotu. Wielkość tę nazywamy
momentem bezwładności I. Jest ona stała dla danego ciała
sztywnego i określonej osi obrotu.
I =
Dla ciał dyskretnych:
"m ri2
i
Dla ciał rozciągłych:
I = r2dm
+"
" Jednostka momentu bezwładności to kg�m2.
Doc. dr hab. n. fiz. Maria Sokół
Energia kinetyczna a moment
bezwładności
" Energię kinetyczną ciała sztywnego można więc
przedstawić jako:
1
Ek = I�2
2
" Równanie wyrażające energię kinetyczną ciała
sztywnego w ruchu obrotowym jest
odpowiednikiem równania Ek = � mv2 dla ruchu
postępowego.
Doc. dr hab. n. fiz. Maria Sokół
Energia kinetyczna ruchu tocznego
Energia kinetyczna bryły w ruchu ogólnym 
obrotowym i postępowym  jest sumą energii
kinetycznej bryły w jej chwilowym ruchu
obrotowym względem środka masy i energii
kinetycznej masy całkowitej poruszającej się z
prędkością środka masy.
1 1
Ek = IŚM�2 + mvŚM 2
2 2
Doc. dr hab. n. fiz. Maria Sokół
Wyznaczanie momentu
bezwładności
dr
V = SL
dV = Sdr
L
r
S
dm = �dV
Bryły regularne  całkowanie
mdV dr
dm = = mS
V V
dr
I = r2dm = r2mS
+" +"
V
+1/ 2L 3
mS 1 L 1
I = r2dr = mS = mL2
+"
V 12 V 12
-1/ 2L
Doc. dr hab. n. fiz. Maria Sokół
Moment bezwładności
Doc. dr hab. n. fiz. Maria Sokół
Moment bezwładności
" Moment bezwładności
zależy od masy ciała i jej
rozkładu względem osi
obrotu.
" Im mniejszy moment
Długi pręt łatwiej wprawić w
bezwładności, tym łatwiej
ruch względem osi podłużnej
niż względem osi
wprawić ciała w ruch
prostopadłej do pręta i
przechodzącej przez jego
obrotowy.
środek, bo masa jest
skupiona w pierwszym
przypadku bliżej osi.
Doc. dr hab. n. fiz. Maria Sokół
Twierdzenie Steinera
" Moment bezwładności I względem dowolnej osi równa
się sumie momentu bezwładności IŚM względem osi do
niej równoległej i przechodzącej przez środek masy oraz
momentu bezwładności względem danej osi liczonemu
tak, jakby cała masa ciała była skupiona w środku masy:
Doc. dr hab. n. fiz. Maria Sokół
Twierdzenie Steinera  przykład
" Obliczyć moment bezwładności
cienkiego jednorodnego pręta o
masie M i długości L względem osi
obrotu prostopadłej do pręta i
przechodzącej przez jego lewy
koniec:
1 1
2
I = IŚM + Md = ML2 + M ( L)2
12 2
1
I = ML2
3
Doc. dr hab. n. fiz. Maria Sokół
Moment pędu  odpowiednik pędu dla ruchu
obrotowego
" Moment pędu punktu materialnego
jest wielkością wektorową
zdefiniowaną jako:
l = r �p = m(r � v)
" Jednostką momentu pędu w SI jest
kg�m2/s = J � s
Moment pędu układu punktów
materialnych jest sumą wektorową
momentów pędu punktów względem tej
samej osi obrotu:
n
L =
"l
i
i=1
Doc. dr hab. n. fiz. Maria Sokół
Moment pędu
" Moment pędu jest wektorem o tym samym kierunku
i zwrocie co wektor prędkości kątowej:
L = r �p = (r � v)m
v = ��r
L = [r �(��r)]m = m[r �(��r)]
L = m�r2 = mr2� = I�
Doc. dr hab. n. fiz. Maria Sokół
Moment siły
Ważne jest, gdzie przykładamy siłę  na przykład otwórzmy drzwi
popychając je tuż przy zawiasach; jeśli kąt przyłożenia będzie inny niż
900, to konieczna większa siła, niż w przypadku przyłożenia jej w okolicy
klamki.
Moment siły odpowiada za obrót lub skręcenie ciała względem osi obrotu,
gdy działa siła F.
Wielkość M = rFst = (r)(FsinĆ) = (rsinĆ)(F) nazywamy
momentem siły względem danego punktu.
Doc. dr hab. n. fiz. Maria Sokół
Moment siły
" Pod wpływem stałej siły stycznej ciało sztywne obraca się
ruchem jednostajnie przyspieszonym. Przyspieszenie
kątowe ą ciała jest przy tym proporcjonalne do wartości
siły stycznej Fst i odległości r jej punktu przyłożenia,
zwanej ramieniem siły, od osi obrotu: ą<"rFst
Fst = mast
M = Fstr = mastr
ast = ąr więc
M = m(ąr)r = (mr2)ą = Ią
Doc. dr hab. n. fiz. Maria Sokół
Moment siły
" Moment siły jest odpowiednikiem siły w
ruchu postępowym ciała. Wymiarem
momentu siły jest:
[M] = N�"m
Ruch obrotowy Ruch postępowy
analog
Moment siły Siła
Doc. dr hab. n. fiz. Maria Sokół
Moment siły
Doc. dr hab. n. fiz. Maria Sokół
Moment siły
" Co decyduje o skuteczności operacji odkręcania śruby:
 Siła
 Miejsce przyłożenia siły  odległość od punktu przyłożenia do
osi obrotu
Doc. dr hab. n. fiz. Maria Sokół
 Doc. dr hab. n. fiz. Maria Sokół
Moment siły
" W którym z przykładów moment siły jest
największy?
Doc. dr hab. n. fiz. Maria Sokół
Moment siły
Środek masy
Doc. dr hab. n. fiz. Maria Sokół
Moment siły - przykład
Wypadkowy moment siły (działają tu moment siły
pochodzący od siły ciężkości i moment siły od naprężenia
linki) jest równy 0.
Doc. dr hab. n. fiz. Maria Sokół
Moment siły
" Ponieważ Fst = F sin�, to M = rFsin�
Moment siły można więc
uważać za wektor, a zwrot
tego wektora określa
reguła śruby prawoskrętnej:
M = r x F
M
Doc. dr hab. n. fiz. Maria Sokół
II zasada Newtona dla ruchu
obrotowego
L = r �p = (r � v)m
dL dr dp
= �p + r � = v�p + r � F
dt dt dt
v || p �! ą = 0 �! v�p = 0
dL
= r �Fwyp = Mwyp
dt
dp
dL
= Fwyp
Analog:
= Mwyp
dt
dt
Doc. dr hab. n. fiz. Maria Sokół
II zasada Newtona dla ruchu
obrotowego  inna postać
L = m�r2 = mr2� = I�
dL d�
Mwyp = = I = Ią
dt dt
Analog:
Fwyp = ma
Doc. dr hab. n. fiz. Maria Sokół
Moment pędu układu
" Szybkość zmiany momentu pędu L układu jest równa sumie
wektorowej momentów sił działających na wszystkie cząstki 
są tu i momenty sił wewnętrzne (od sił między cząstkami), jak i
momenty sił zewnętrzne (od sił spoza układu).
" Siły działające wewnątrz układu występują zawsze parami
akcja-reakcja (III zasada dynamiki)  zatem ich suma jest
równa zeru. Tylko zewnętrzne momenty sił mogą zmienić
moment pędu układu.
" Wypadkowy zewnętrzny moment siły Mwyp jest równy szybkości
zmiany całkowitego momentu pędu L układu.
n
dL
= Mwyp =
"M
wyp,i
dt
Doc. dr hab. n. fiz. Maria Sokół
i=1
Przykład
Doc. dr hab. n. fiz. Maria Sokół
 Doc. dr hab. n. fiz. Maria Sokół
Energia kinetyczna ruchu obrotowego  toczenie
Doc. dr hab. n. fiz. Maria Sokół
I zasada dynamiki dla ruchu
obrotowego
" Jeśli na ciało działa kilka sił, ich moment
wypadkowy jest równy sumie momentów:
l l
M =
"M = "(r � Fi )
wyp i i
i=1 i=1
" Jeżeli na ciało sztywne nie działają żadne siły
lub wypadkowy moment wszystkich sił jest
równy zeru, ciało pozostaje w spoczynku lub
obraca się ruchem jednostajnym.
Doc. dr hab. n. fiz. Maria Sokół
I zasada Newtona dla ruchu
obrotowego
Jeżeli na układ nie działa żaden wypadkowy moment siły:
To prawo odnosi się nie tylko
dL
Moment siły Mwyp = = 0 do ciał poruszających się
ruchem obrotowym lub po
dt
orbitach zamkniętych 
dotyczy również dowolnych
dL
trajektorii oraz zderzeń.
= 0 więc L = const
dt
Zasada zachowania momentu pędu dla układu odosobnionego:
Ipocz�pocz = Ikońc�końc
Doc. dr hab. n. fiz. Maria Sokół
Moment pędu  wpływ siły centralnej
L = r �p = (r � v)m
dL dr dp
Moment siły Mwyp = = �p + r � = v �p + r �F
dt dt dt
v || p �! ą = 0 �! v �p = 0
Co to jest siła centralna:
F || r bo siła centralna �! F�r = 0
Siła, która skierowana jest
dL
stale do (lub od) tego
= 0 więc L = const
samego punktu zwanego
dt
środkiem lub centrum siły.
Ciało pod działaniem siły centralnej
Jeśli siła centralna, to:
ma stały moment pędu.
F = f(r) r
Nie ma natomiast zależności
od � i Ć.
Doc. dr hab. n. fiz. Maria Sokół
Zachowanie momentu pędu  przykład
Ponieważ przy zbliżeniu hantli maleje moment bezwładności
układu względem osi obrotu, prędkość kątowa rośnie:
��"I = const, gdzie I jest momentem bezwładności względem
osi obrotu, � jest prędkością kątową.
Doc. dr hab. n. fiz. Maria Sokół
Analogia praw
Doc. dr hab. n. fiz. Maria Sokół
Sprężystość
" Właściwości sprężyste ciał  a więc rodzaje i wielkość ich
odkształcenia pod wpływem działających na nie sił  opisuje
się za pomocą trzech modułów sprężystości.
" Moduły sprężystości to współczynniki proporcjonalności
między przyłożonym do ciał naprężeniem (siła działająca na
jednostkowe pole powierzchni) a odkształceniem ciała
(względna zmiana jego rozmiarów), zgodnie z ogólnym
równaniem:
Naprężenie = (moduł sprężystości)�(odkształcenie)
Naprężenie = (moduł sprężystości)�(odkształcenie)
Doc. dr hab. n. fiz. Maria Sokół
Moduł Younga  rozciąganie i ściskanie
" Gdy ciało jest rozciągane lub ściskane
ogólne równanie z poprzedniego slajdu ma
postać (prawo Hooke a):
Naprężenie =F/S = E "L/L
"L/L to odkształcenie ciała przy rozciąganiu lub ściskaniu
F to wartość siły F powodującej to odkształcenie
S jest polem przekroju poprzecznego, na który działa F (prostopadle
do pola przekroju => rysunek)
E nazywa się modułem Younga materiału, z którego wykonane jest
ciało.
Moduł Younga jest hipotetycznym
naprężeniem, które wystąpiłoby przy
dwukrotnym wydłużeniu próbki materiału, przy
założeniu, że jej przekrój nie ulegnie zmianie.
Doc. dr hab. n. fiz. Maria Sokół
Jednostka: 1 Pa [1 Pa = 1 kg�m-1�s-2 = 1N/m2]
Moduł Younga
" Moduł Younga ma taką samą wartość przy
rozciąganiu i ściskaniu.
" Naprężenie niszczące jest zazwyczaj
różne przy rozciąganiu i ściskaniu.
" Odkształcenia mierzy się tensometrem
(czujnik w wyniku odkształcenia zmienia
opór).
Doc. dr hab. n. fiz. Maria Sokół
Moduł Younga
" Stal chromowo-molibdenowa gatunku 4130, o
gęstości większej niż gęstość aluminium czy
tytanu, wykazuje stosunkowo duży moduł
sprężystości (moduł Younga) rzędu 2 109 000
kg/cm2 (30 Mpsi  mega mega pounds per
square inch).
" Moduł Younga dla tytanu wynosi około połowy
tej wartości, a dla aluminium  jedną trzecią.
Podobna zależność wynika z porównywania
gęstości tych trzech materiałów.
Doc. dr hab. n. fiz. Maria Sokół
Moduł ścinania  naprężenie ścinające
" Gdy ciało jest poddane naprężeniu ścinającemu
ogólne równanie ma postać:
Naprężenie =F/S = G "x/L
"x/L to odkształcenie ciała przy ścinaniu,
"x to przemieszczenie jednego końca ciała w kierunku przyłożonej siły F,
F to wartość siły F powodującej to odkształcenie,
S jest polem przekroju poprzecznego, na który działa F (równolegle do
pola przekroju  rysunek),
G nazywa się modułem ścinania materiału, z którego wykonane jest ciało.
Doc. dr hab. n. fiz. Maria Sokół
3. Moduł sprężystości to moduł ściśliwości
materiału  naprężenie objętościowe

Gdy ciało podlega ściskaniu w całej objętości
pod wpływem naprężenia działającego na nie
ze strony otaczającej je cieczy, ogólne
równanie ma postać:
Ciśnienie = p = K "V/V
p jest o ciśnieniem (naprężeniem objętościowym)
działającym ze strony cieczy,
"V/V to względna zmiana objętości (odkształcenie)
pod wpływem tego ciśnienia,
K nazywa się modułem ściśliwości materiału, z którego
wykonane jest ciało.
Doc. dr hab. n. fiz. Maria Sokół
Moduł Younga i moduł ścinania a
właściwości sprężyste kości
" Naprężenia częstą przyczyną złamań kości
(głównie ścinające!).
" Model  kość udowa człowieka.
" Co badano: moment bezwładności i własności
sprężyste.
" Wnioski:
" Największa wartość modułu Younga warstwy
korowej kości długiej jest w okolicy jej środka i
maleje w kierunku stawu biodrowego lub
kolanowego.
Miejsca złamań kości udowej
" Najmniejsza wartość momentu bezwładności kości
długiej i wartość wskaz
nika wytrzymałości kości
jest w okolicy jej środka i zwiększa się w kierunku
stawu biodrowego lub kolanowego.
" Czajkowski A, Mechanika w medycynie, 2000;(5)
Doc. dr hab. n. fiz. Maria Sokół