Geodezja Satelitarna
Wstęp do mechaniki
nieba
WAT 2007
Prawa Keplera  podstawy mechaniki nieba
1.Prawo orbit  wszystkie planety poruszają się po orbitach eliptycznych w
którym w jednym z ognisk znajduje się słońce
P
F1
S
2. Prawo pól  odcinek łączący planetę ze Słońcem zakreśla w równych
odstępach czasu równe pola.
3. Prawo okresowości  kwadrat okresu obiegu każdej planety jest wprost
proporcjonalny do sześcianu średniej odległości planety od Słońca.
2
T
= const
a3
III prawo Keplera
Satelita o masie Mp odległy o r od Ziemi, którego masę oznaczymy przez Ms. Ciała
te oddziałują na siebie siłami grawitacji:
III prawo Keplera
Kwadraty okresów obiegu planet dookoła Słońca są
proporcjonalne do sześcianów wielkich półosi elips, po których się
poruszają
Charakterystyczne prędkości w astronautyce.
1. Pierwsza prędkość kosmiczna (prędkość eliptyczna)  prędkość jaką powinien
mieć satelita aby poruszać się po orbicie eliptycznej.
G �" M
VI =
R
2. Druga prędkość kosmiczna (prędkość paraboliczna)  prędkość jaką powinien
mieć satelita aby opuścić ziemskie pole grawitacyjne.
G �" M
VII = 2�" = 2 �"VI
R
3. Trzecia prędkość kosmiczna prędkość jaką powinien mieć satelita aby opuścić
układ słoneczny.
W przypadku Ziemi prędkości te wynoszą odpowiednio
VI =7,9km/s VII = 11,2km/s VIII = 16,7km/s*
* - dla przypadku wystrzelenia z Ziemi w kierunku ruchu Ziemi
Prędkość satelitarna na orbicie
ź
� =
r + h
r  promień Ziemi, h  wysokość orbity
�
k
Prędkość kątowa
� =
R
Zagadnienie dwóch ciał
Czyli problem wyznaczenia ruchu dwóch odosobnionych punktów materialnych
pod działaniem wzajemnego przyciągania Newtonowskiego.
M
m
r1 r2
3
- G �" M �" m3 �" r1 - G �" m �" M �" r2
F1 = F2 =
2 2
(M + m) �" r12 �" r1 (M + m) �" r22 �" r2
Ponieważ masa M>>m można zaniedbać siłę pochodzącą od masy m i wtedy
zależność redukuje się do postaci:
- G �" M �" m �" r
F =
r2 �" r
1. ruch satelity względem ciała centralnego, ogólne zagadnienie dwóch ciał.
2. ograniczone zagadnienie dwóch ciał nie uwzględnia się oddziaływania satelity
na ciało centralne, czyli oraz położenie ciała centralnego względem układu
współrzędnych pozostaje niezmienne
3. ruch sztucznego satelity ziemi, w pierwszym przybliżeniu, oba ciała mogą być
traktowane jako masy punktowe, a masa satelity może zostać zaniedbana
Uwzględniając prawo dynamiki Newtona pod postacią.

r- F / m = 0
Po podstawieniu w miejscu siły F obliczonej wcześniej otrzymamy ostateczne
wyrażenie na równania ruchu.

G �" M �" r
r- = 0
r2 �" r
Teraz pozostało scałkować dwukrotnie powstałe równanie wektorowe z
odpowiednimi warunkami aby otrzymać kompletne równania ruchu z 6 stałymi
całkowania zwanymi elementami orbity nieperturbowanej (�,i,�,a,e,T)
Rodzaje orbit
Z własności geometrycznych krzywych stożkowych danych poniższym
równaniem wynika ze:
p
r =
1+ ecos�
1. e=0 to orbita jest kołem, r = a
2. 03. e = 1 to orbita jest parabolą a = ", p = 2�q gdzie q jest odległością
wierzchołka paraboli od jej ogniska
4. e>1 to orbita jest hiperbolą p =a�(e2  1)
Rodzaje orbit
kołowe, eliptyczne, paraboliczne, hiperboliczne
Zmiana orbity satelity
" impulsowa zmiana orbity (Hohmann transfer)
ź ź
V1 = V2 =
r1 r2
ź 1+ � ź 1-�
V1e = �" V2e = �"
a 1-� a 1+ �
"V1 = V1e -V1
2r2
ź
"V2 = V2e -V2
"V = �" -1
r1 r1 + r2
"Vc = V1 +V2
" ciągła zmiana orbity
Energia całkowita wynosi
Prędkość na orbicie kołowej
Ec = Ep + Ek
ź m �" ź
2
2
V = �! Ec = -
m �" ź m �"V
r 2r
Ec = - +
r 2
Zmiana orbity satelity  typowe wartości
a(AU) T (lata) "V(km/s)
Merkury 0,847 0,289 5,6
Wenus 0,931 04 3,5
Mars 1,131 0,709 3,6
Jowisz 2,051 2,731 6,3
Saturn 3,137 6,056 7,3
Uran 5,534 15,972 8,0
Neptun 8,253 30,529 8,3
Pluton 10,572 45,208 8,4
Rodzaje układów współrzędnych  krótkie wprowadzenie
" układ ekliptyczny  środek układu w środku masy, oś x skierowana ku
punktowi średniej równonocny wiosennej, układ używany do określania
położeń obiektów w układzie słonecznym
Rodzaje układów współrzędnych
" układ równikowy  środek układu w środku masy, oś x skierowana ku
punktowi średniej równonocny wiosennej, układ używany do określania
położeń obiektów w układzie słonecznym i nie tylko.
Równanie ruchu keplerowskiego
G ( m1 + m2)
ź

r + r = r = 0
r3 r3


wektor pozycji r = r
r

2
d r

r =
Wektor przyspieszenia, G stała grawitacji
dt2
-2
ź = GM = 3 986 005�"108 m3s
E
t - jest czasem inercjalnym. W rzeczywistości, czas inercjalny jest
określony przez czas systemu GPS
Rozwiązanie równań ruchu
dwa stałe i niezależne wektory: tzw. wektorową całkę pola C
oraz tzw. wektor Laplace a . Dodatkowo uzyskać możemy
jeszcze jedną całkę  skalarną stałą energii h.
Na podstawie całkowania równania ruchu otrzymujemy 7
wielkości skalarnych:
" trzy składowe wektora C,
" trzy składowe wektora Laplace a 
" stałą energii.
Z teorii równań różniczkowych wiemy jednak, że rozwiązaniami
równania mogą być tylko stałe całki niezależne. Natomiast uzyskane
wielkości związane są dwiema zależnościami. Wynika to stąd, że z
siedmiu znalezionych wielkości można wziąć dowolnie tylko 5, dwie
pozostałe muszą spełniać owe zależności

C = r � v
Wektor iloczyn wektorowy dwóch
wektorów:
" odległości do satelity r
" prędkości satelity v.
Wniosek:
Oba te wektory leżą w płaszczyz
nie orbity, zatem stały wektor C jako iloczyn
wektorowy musi być prostopadły do płaszczyzny orbity, a to oznacza, że
płaszczyzna orbity zajmuje stałe położenie w przestrzeni
Położenie płaszczyzny orbity w przestrzeni
określają dwa elementy orbity:
i  nachylenie płaszczyzny orbity względem
równika,
&!  położenie węzła wstępującego orbity (tj.
punktu, w którym rzut orbity na sferę niebieską
przecina się z równikiem niebieskim; w punkcie
tym satelita przechodzi z półkuli południowej na
północną); elementem orbity może być albo
długość geograficzna węzła wstępującego &!
(liczona od południka Greenwich), albo
rektascensja węzła wstępującego ą &! (liczona od
punktu równonocny wiosennej, czyli punktu
Barana).
Położenie orbity w jej płaszczyz
nie określa jeden
element orbity pokazujący położenie punktu
perigeum, czyli punktu orbity położonego najbliżej
Ziemi; elementem tym jest � odległość kątowa
punktu perigeum od węzła wstępującego liczona
wzdłuż orbity
Wielkość i kształt orbity określają (w najbardziej
ogólnym przypadku orbity eliptycznej) dwa
Powiązanie ruchu satelity z czasem:
przez określenie czasu przejścia satelity przez wybrany
elementy:
punkt orbity (w zależności od rodzaju orbity i jej
a  duża półoś orbity,
nachylenia względem równika mogą to być: perigeum
e  mimośród orbity
orbity, węzeł wstępujący orbity, przecięcie z południkiem
Greenwich itd.)
Umiejscowienie orbity w przestrzeni
North poleę
Satellite
Perigee
r
�
w

Earth
�
�
i
Ascending node
Orbita kołowa: brak mimośrodu
Apogee
e=0 i brak punktu perigeum
Ć
x
Vernal equinox
a  półoś wielka, określa rozmiary orbity oraz okres obiegu
e  mimośród określający kształt orbity
�  długość węzła wstępującego
i  nachylenie orbity do płaszczyzny ekliptyki
�  długość pericentrum w orbicie określa położenie orbity w jej
własnej płaszczyz
nie
T  czas przejścia przez pericentrum
Algorytm obliczania położenia satelity
na orbicie keplerowskiej
Z trzeciego prawa Keplera wynika, że mając okres obiegu P można
wyznaczyć średni ruch satelity n , z zależności:
2Ą ź
n = = . (3)
P
a3
ź = GM = 3986005�"108 m3s-2
E
Dla orbit GPS wielka półoś elipsy a = 26 560 km . Podstawienie a w równaniu
(3) otrzymujemy okres obiegu P wynoszący 12 godzin gwiazdowych.
Oznacza to, że obserwator na powierzchni Ziemi będzie obserwował dwa
przelot satelity w ciągu doby.
Algorytm obliczania położenia satelity
na orbicie keplerowskiej
Chwilowa pozycja satelity w obrębie własnej orbity jest opisana przez
wielkość kątową, nazywaną anomalią (nazwa ta używana jest z przyczyn
historycznych).
Oznaczenie Anomalia
M
Anomalia średnia
(t )
E(t )
Anomalia
mimośrodowa
f(t)
Anomalia prawdziwa
Anomalia prawdziwa  jest to kąt od perygeum do satelity widziany z
geocentrum.
Anomalia mimośrodowa  otrzymuje się ją z anomalii średniej przez
rozwiązanie równania Keplera:
E(t)- esin E(t)= M (t)
Anomalia średnia  kątowa odległość od perygeum przy założeniu orbity
kołowej:
2Ą T0
M (t)= .
P
Algorytm obliczania położenia
satelity na orbicie keplerowskiej
Anomalia średnia M (t) jest abstrakcją matematyczną, podczas gdy
anomalia mimośrodowa E(t ) i anomalia prawdziwa v(t) są wielkościami
geometrycznymi. Te trzy anomalie są powiązane ze sobą za pomocą
zależności matematycznych. Znając czas T0 obliczamy najpierw anomalię
średnią:
M = n ( t -T0 )
(t )
i rozwiązujemy równanie Keplera otrzymując anomalię mimośrodową.
Zakładamy, że E0 = M (t) i obliczamy kolejne przybliżenia E(t) . Można
i+1
podejść do tego zagadnienia w sposób następujący:
M - Ei + esin Ei
Ei+1 = Ei -
ecos Ei -1
Algorytm obliczania położenia satelity na
orbicie keplerowskiej
Najpierw należy obliczyć anomalię mimośrodową E wykorzystując w tym
celu specjalne funkcje Bessla. Do obliczenia kąta anomalii mimośrodowej
wykorzystamy anomalię średnią M
2�"Ą
G �"(M + m)
M = �"(t -T ) M = �"(t -T)
lub
a3
P
1 1 1 1 1
E = M + sin(M )�"(e - �"e3 + �"e5) + sin(2M )�"( e2 - �"e4 + �"e6)&
8 192 2 6 48
Teraz wystarczy obliczyć wartości elementów wektorialnych i podstawić
do równań ruchu napisanych wcześniej.
Algorytm obliczania położenia
satelity na orbicie keplerowskiej
W literaturze można znalez
ć prostszą postać zależności, ale jest ona słabo zbieżna.
E(t ) = M + e sin E(t )
(t )
Odległość i anomalię prawdziwą uzyskujemy z poniższych zależności.
r = a(1- ecos E)
Ą# E(t ) ń#
1+ e
f(t ) = 2 arctan tan
ó# Ą#
1- e 2
Ł# Ś#
gdzie e oznacza mimośród orbity.
Równanie zwane jest równaniem Keplera i jest wynikiem analitycznego całkowania
równania. Kąty f(t ) i E(t ) zawsze leżą w jednej ćwiartce pierwszej lub drugiej.
współrzędne kartezjańskie X,Y,Z satelity
X = r[cos(� + f )cos� - sin(� + f )sin �cosi]
Y = r[cos(� + f )sin � - sin(� + f )cos�cosi]
Z = r sin(� + f )sini
Ostateczne równania ruchu po orbicie eliptycznej
x = a �" Pxe �"(cos E - e)+ a �"Qxe �" 1- e2 �"sin E
y = a �" Pye �"(cos E - e)+ a �"Qye �" 1- e2 �"sin E
z = a �" Pze �"(cos E - e)+ a �"Qze �" 1- e2 �"sin E
Gdzie w powyższych zależnościach Pxe, Pye, Pze, Qxe, Qye, Qze zwane elementami
wektorialnymi odniesionymi do układu współrzędnych ekliptycznych.
Px = cos� �"cos� - sin� �"sin � �"cosi
Qx = -sin� �"cos� - cos� �"sin � �"cosi
Py = cos� �"sin � + sin� �"cos� �"cosi
Qy = -sin� �"sin � + cos� �"cos��"cosi
Pz = sin� �"sin i
Qz = cos� �"sin i
Zakłócenia ruchu po orbicie - perturbacje
Rozważając ruch sztucznego satelity Ziemi aby zagadnienia było pełne, należy
uwzględnić wpływy innych sił działających na satelitę i zakłócających jego
ruch. Siły te mogą pochodzić od hamującego wpływu atmosfery ziemskiej,
anizotropii pola grawitacyjnego, wpływu jonosfery i egzosfery czy też
ciśnienia promieniowania słonecznego. Wpływ tych różnych czynników może
być bardzo różny w zależności od wysokości orbity.
Bardzo trudnym do oceny elementem jest atmosfera Ziemi, ponieważ nie
wystarczy uwzględnić jedynie wpływu hamującego. Jonosfera i egzosfera
zawiera bowiem cząstki naładowane elektrycznie które ładują też metalowy
korpus satelity. Gdy satelita przecina linie ziemskiego pola grawitacyjnego w
jego korpusie powstają prądy indukcyjne o natężeniu rzędu kilku mA, a one z
kolei generują znaczne ciepło  oczywiście kosztem energii ruchu satelity.
Przy dużych powierzchniach satelity znaczenia nabiera ciśnienie
promieniowania słonecznego.
Zakłócenia ruchu po orbicie  strefy oddziaływań
Strefę wokół Ziemi można podzielić na trzy części w których to czynniki
zakłócające występują z różnym natężeniem:
1. Strefa zewnętrzna  w której praktycznie zakłócenia ruchu satelitów
powodowane są przez duże ciał niebieskie (Słońce i Księżyc).
2. Strefa środkowa  w której wpływy zakłócające spowodowanie anizotropią
pola grawitacyjnego są tego samego rzędu co wpływ ciał obcych.
3. Strefa wewnętrzna  w której działanie hamujące atmosfery jest na tyle
znaczne, że należy je już uwzględniać.
Największa trudność polega na tym iż nie ma dokładnych granic tych stref lecz
częściowo się pokrywają.
Zakłócenia ruchu po orbicie  zasięg działania
Obserwowane zakłócenia niegrawitacyjne w górnych warstwach atmosfery
zmniejszają się szybko wraz ze wzrostem odległości od Ziemi i praktycznie
można je pominąć w odległości przekraczającej 2�Ro od środka Ziemi, czyli h =
6371km od powierzchni.
Dużo dalej sięga wpływ anizotropii pola grawitacyjnego, które zachowuje się
podobnie jak wpływy niegrawitacyjne i maleją ze wzrostem odległości od
środka Ziemi. W odległości 10�Ro praktycznie nie mają już znaczenia. Powyżej
tej odległości ruchy sztucznego satelity wystarczająco dokładnie opisują
równania różniczkowe klasycznej mechaniki nieba w której wszystkie
przyciągające się ciała można traktować jak punkty materialne.
Zakłócenia ruchu po orbicie  wartości przyśpieszeń.
y
ródło Przyśpieszenie (m/s2)
500km GEO
Opór atmosfery 6�"10-5A/M 1,8 �"10-13A/M
Ciśnienie światła 4,7 �"10-6A/M 4,7 �"10-6A/M
Słońce 5,6 �"10-7 3,5 �"10-6
Księżyc 1,2 �"10-6 7,3 �"10-6
Jowisz 8,5 �"10-12 5,2 �"10-11
A/M  stosunek powierzchni satelity do jego masy
Ze względu na interwał czasu w jakim perturbacje się
powtarzają, klasyfikuje się je jako:
1. krótkookresowe o okresie równym okresowi obiegu satelity
wokół Ziemi, dobowe o okresie równym okresowi czasu, w ciągu
którego Ziemia obróci się o kąt względem płaszczyzny orbity.
2. długookresowe powtarzające się w okresie równym okresowi
czasu, w ciągu którego następuje obrót perygeum o kąt .
3. Można jeszcze dołączyć perturbacje zmienne w sposób ciągly
tzw. perturbacje wiekowe.
Parametry orbity Wpływ perturbacji
Wiekowych długookresowych krótkookresowyc
h
a nie nie tak
eNie tak tak
iNie tak tak
&! Tak tak tak
� Tak tak tak
MTak tak tak
Orbita perturbowana
" Orbita perturbowana nie jest przekrojem stożkowym.
Wszystkie jej elementy zmieniają się z upływem czasu, są
więc funkcją czasu. Można powiedzieć, że satelita porusza
się po orbicie keplerowskiej o stale zmieniających się
parametrach.
" Rzeczywista orbita satelity jest zawsze ściśle styczna do
coraz to innej, zmieniającej się orbity keplerowskiej, a
punktem styczności jest punkt, w którym znajduje się
satelita.
" Ciągle zmieniającą się orbitę nazywamy orbitą oskulacyjną
(chwilową), a jej elementy obliczone przez scałkowanie
równań elementami oskulacyjnymi
Rodzaje orbit wokółziemskich
Orbita różni się:
1. Kształtem
2. Odległościami od powierzchni
3. Kątem nachylenia płaszczyzny orbitalnej do równika
Ze względu na i:
1. Równikowe
2. Nachylone
3. Biegunowe
Rodzaje orbit wokółziemskich
Orbita różni się:
1. Kształtem
2. Odległościami od powierzchni
3. Kątem nachylenia płaszczyzny orbitalnej do równika
" Low Earth Orbit  niska orbita
" Medium Earth Orbit  średnia orbita
" High Earth Orbit  wysoka orbita
" Orbita Geosynchroniczna
" Orbita geostacjonarna
" Orbita polarna
" Orbita przejściowa
Orbita typu Low Earth Orbit
" wysokość orbity  100 � 1500km
" okres obiegu  w przybliżeniu 90 minut
" orbita jest używana przez ISS, Space Shuttle, satelity pogodowe i
telekomunikacyjne
" zasięg orbity znajduje się poza pasami Van Allena
LEO
Chwilowy widok z orbity h = 500km (zielone kółko)
Orbita typu Medium Earth Orbit
" wysokość orbity  8000 � 20000km
" satelity są narażone na zwiększone promieniowanie za strony pasów Van
Allena
" orbita doskonale nadaje się do używania przez satelity telekomunikacyjne,
których wystarczy kilka aby zapewnić łączność na całym globie
" umieszczenie satelitów nawigacji satelitarnej typu GPS, GALILEO
MEO
Chwilowy widok z orbity h = 10000km
Orbita typu Geosynchroniczna
" wysokość orbity  35786km
" okres obiegu  24h, satelita znajduje się w stałym punkcie na d
powierzchnią Ziemi
" orbita jest używana satelity komercyjne i wojskowe, satelity programu
DSP (Defense Support Program) oraz przez TDRSS (Tracking and Data
Relay Satellite System)
" satelita z i=0  nazywa się geostacjonarnym
" wystarczą 3 satelity dla zapewnienia ciągłej komunikacji (wyjątek obszary
biegunowe)
2
gRZ
3
RG =
2
�k
GEO
Promień satelity
geostacjonarnego
Chwilowy widok z perigeum orbity
Orbita typu High Earth Orbit
" rozwijana jako alternatywa dla geosynchronicznej orbity, głównie
przez Rosjan
" dogodna dla telekomunikacji głównie z północnymi szerokościami
geograficznymi
" apogeum orbity można  umieścić w interesującym nas obszarze
Apogee E" 40,234 km
" wystarczy umieścić 3 satelity dla zapewnienia ciągłej komunikacji
6
7
5
8
4
9
Molniya
3
10
60� inclination
Time between each
dot is one hour 12- hour orbits
2
11
1
Chwilowy widok z apogeum orbity
12
Perigee E" 483 km
Orbita synchronizowana słonecznie i polarna
" Synchronizowana słonecznie   wędrująca orbita, płaszczyzna orbity obraca
się z prawie takim samym okresem jak okres obrotu Ziemi wokół Słońca. Satelita
przechodzi przez perigeum w tym samym słonecznym czasie lokalnym. Orbita ta
nadaje się satelity mapujące powierzchnię planety.
" Orbita polarna  kąt inklinacji wynosi 90 stopni, użyteczna dla mapowania
planety lub obserwacji pola walki.
" Orbita typu  escape orbit  ogólnie orbita typu hiperbolicznego (w odniesieniu
do Ziemi) orbity stosowane dla trajektorii statków międzyplanetarnych.
Orbity  normalne i  wsteczne
" Orbity o kącie inklinacji 0� d" i < 90� noszą nazwę  posigrade orbit ,
obracają się przeciwne do wskazówek zegara patrząc z bieguna północnego.
W celu uzyskania takiej orbity kąt azymutu startu rakiety jest wymagany w
zakresie 0� � 180� .
" Orbity o kącie inklinacji z zakresu 90� � 180� noszą nazwę  retrograde
orbit , obracają się zgodnie z kierunkiem wskazówek zegara patrząc z
bieguna północnego. W celu uzyskania takiej orbity kąt azymutu startu
rakiety jest wymagany w zakresie 180� � 360� .
i
i
Retrograde orbit
Posigrade orbit
Punkty Lagrange'a
�# ś#
�# ś#
ą
ś# ź#
3
ź#,0
L1,2 = R �"ś#1ą
ś# ź#
ś# ź#
3
�# #
�# #
�# 5 ś#
ś#,0ź#
L3 = ś#- R �"�#1+ �"ą
ś# ź#
ś# ź#
12
�# #
�# #
�# ś#
�# ś#
R M1 - M 3
2
ś#
ś# ź#
L4,5 = �"ś#
ź#,ą 2 �" Rź#
ś# ź#
2 M1 + M
�# 2 #
�# #
R  odległość pomiędzy masami M1 i M2
ą = M2/(M1+M2)
Układ współrzędnych znajduje się w środku masy układu ciał. Punkty L4 i L5
tworzą trójkąty równoboczne z masami ciał zwane są punktami trojańskimi i są
punktami równowagi stabilnej. Punkty L1 , L1 i L3 są punktami równowagi
warunkowej lub chwiejnej. Każde odchylenie ciała od punktu powoduje
oddalenie się od punktu Lagrange a
Misja Microwave Anisotropy Probe
Celem misji MAP jest drugi punkt Lagrange'a, ok. 1,5 mln km od Ziemi. Stamtąd
sonda rozpocznie tworzenie szczegółowej mikrofalowej mapy nieba. Dokładne
zbadanie promieniowania tła pozwoli naukowcom dowiedzieć się więcej na temat
powstania i historii Wszechświata.
Misja sondy Genesis
Celem sondy Genesis, jest zbieranie cząstek tworzących wiatr
słoneczny, Rysunek poniżej przedstawia tor, po którym
poruszać się będzie sonda w latach 2001-2004 oraz miejsce, w
którym zbierana będzie próbka wiatru słonecznego.
Orbity międzyplanetarne  Voyager 1  dane orbity.
EARTH INJECTION TO JUPITER
JUPITER TO SATURN VOYAGER 1 POST-SATURN VOYAGER 1
VOYAGER 1
Epoch = 4/24/79 07:33:03 ET Epoch = 1/1/91 00:00:00 ET
Epoch = 9/8/77 09:08:17 ET
a = -593,237,000 a = -480,926,000
a = 745,761,000
e = 2.302740 e = 3.724716
e = .797783
i = 2.481580 i = 35.762854
i = 1.032182
� = 112.975465 � = 178.197845
� = -17.565509
� = -1.527299 � = -21.671355
� = -.767558
M = 19.156329 M = 688.967795
M = .304932
JUPITER-CENTERED VOYAGER 1
SATURN-CENTERED VOYAGER 1
Epoch = 3/5/79 12:05:26 ET
Epoch = 11/12/80 23:46:30 ET
a = 1,092,356
a = -166,152
e = 1.318976
e = 2.107561
i = 3.979134
i = 65.893904
� = 119.454908
� = -167.106611
� = -62.062795
� = -58.836017
M = 0.
M = 0.
Orbity międzyplanetarne  Voyager 2  dane orbity.
SATURN-CENTERED VOYAGER 2
EARTH INJECTION TO JUPITER URANUS TO NEPTUNE VOYAGER 2
VOYAGER 2
Epoch = 8/26/81 03:24:57 ET
Epoch = 8/23/77 11:29:11 ET Epoch = 6/9/87 00:00:00 ET
a = -332,965
a = 544,470,000 a = -448,160,000
e = 1.482601
e = .724429 e = 5.806828
i = 3.900931
i = 4.825717 i = 2.496223
� = 60.314852
� = -32.940520 � = -100.376161
� = 88.222252
� = 11.702680 � = -46.104011
M = 0.
M = -.888403 M = 315.018680
SATURN TO URANUS VOYAGER 2
JUPITER-CENTERED VOYAGER 2 NEPTUNE-CENTERED VOYAGER 2
Epoch = 10/17/81 18:43:56 ET
Epoch = 7/9/79 22:29:51 ET Epoch = 8/25/89 03:56:36 ET
a = -579,048,000
a = -2,184,140 a = -24,480
e = 3.480231
e = 1.330279 e = 2.194523
i = 2.665128
i = 6.913454 i = 115.956093
� = 76.860491
� = 147.253921 � = 114.507068
� = 112.289600
� = -95.715216 � = 113.992391
M = 10.350850
M = 0. M = 0.
URANUS-CENTERED VOYAGER 2
JUPITER TO SATURN VOYAGER 2 POST-NEPTUNE VOYAGER 2
Epoch = 1/24/86 17:59:47 ET
Epoch = 9/15/79 11:07:25 ET Epoch = 1/1/91 00:00:00 ET
a = -26,694
a = -2,220,315,000 a = -601,124,000
e = 5.014153
e = 1.338264 e = 6.284578
i = 11.263200
i = 2.582320 i = 78.810177
� = -80.927265
� = 119.196938 � = 100.934989
� = -86.390059
� = -9.170896 � = 130.043962
M = 0.
M = 4.798319 M = 342.970736
Orbity międzyplanetarne  Voyager 1,2
Orbity międzyplanetarne  Voyager 1,2
Orbita Pioniera 10, Pionier 11  dane orbity.
Orbit Central Body Epoch Start/End Date(s)/Time(s) Periapsis Apoapsis Period Inclination(�) Eccentricity
1972.063:01:49:00 (03 Mar)
Interplanetary cruise Sun .991 AU 5.967 AU 2368.33 d 1.9159126 .71514353
- 1973.338:02:25:00 (04 Dec)
Flyby Jupiter 1973.338:02:25:00 (04 Dec) 2.85 AU 13.8
Solar system escape Sun 1973.338:02:25:01 (04 Dec) 5.1 AU 3.13876 1.7372
Orbit Central Body Epoch Start/End Date(s)/Time(s) Periapsis Apoapsis Period Inclination(�) Eccentricity
1973.095:14:11:00 (05 Apr)
Interplanetary cruise Sun 1AU 0
- 1974.336:17:22:00 (02 Dec)
Flyby Jupiter 1974.336:17:22:00 (02 Dec) 1.6 RJ 51.8
1974.336:17:22:01 (02 Dec)
Interplanetary cruise Sun 4.9 AU 6.6
- 1979.244:16:31:00 (01 Sep)
Flyby Saturn 1979.244:16:31:00 (01 Sep) 1.342 RS
Solar system escape Sun 1979.244:16:31:00 (01 Sep) 9.4 AU 12.6
Orbita Pioniera 10, Pionier 11  widok
Algorytm obliczenia
współrzędnych XYZ satelity GPS
1. Obliczenie półosi orbity:
2
a =( a)
2. Keplerowski ruch średni satelity.
ź
n0 =
a3
3. Czas epoki odniesienia efemeryd.
tk = t - t0e
Algorytm obliczenia współrzędnych
XYZ satelity GPS 2
Poprawiony ruch średni
n = n0 + "n
5. Anomalia średnia w czasie
tk
M = M + ntk
k 0
6. Wartość anomalii
Ek
M = Ek - e sin Ek
k
Algorytm obliczenia współrzędnych
XYZ satelity GPS 2
7. Anomalia prawdziwa
�#
1- e2 sin Ek ś#
ś# ź#
ś# ź#
(1- ecos Ek )
-1
fk = tg
ś# ź#
(cos Ek - e)
ś# ź#
ś# ź#
(1- ecos Ek )
�# #
8. Argument szerokości (keplerowski)
Śk = � + fk
9. Korekcja argumentu szerokości
�uk = Cus sin 2Śk + Cuc cos 2Śk
Algorytm obliczenia współrzędnych
XYZ satelity GPS 2
10. Korekcja promienia wodzącego
�rk = Crs sin 2Śk + Crc cos 2Śk
11. Korekcja nachylenia
�ik = Cis sin 2Śk + Cic cos 2Śk
12. Skorygowany argument szerokości
uk = Śk + �uk
13. skorygowany promień orbit
rk = a(1 - e cos Ek )+ �rk