MECHANIKA NIEBA
WYKA
AD 6
09.04.2008 r
Położenie punktu na orbicie
h=0 (uzupełnienie)
h=0 oznacza ruch po paraboli (e=1):
p 2q
p
2
r r q sec
1 e cos 2
P
2
całka pól:
c
p
r
d
d
2
2
r 2q
r c
Å
dt
dt
q
 O
łącząc powyższe równania otrzymujemy:
2 4
q sec d 2q dt
2
Położenie punktu na orbicie
h=0 (uzupełnienie)
Całkując otrzymane równanie dostajemy
równanie Barkera:
1 t T
3
tg tg
3 2
2 3 2 2 q
P
oznaczając ruch średni:
r
n
3
Å
2q
q
 O
i wykorzystując uzyskaną wcześniej zależnośd:
tg E
2 c
można przepisad równanie Barkera w postaci:
2
1 c
3
E E t T
6 2
Położenie punktu na orbicie
h=0 (uzupełnienie)
Różniczkując wyrażenie:
tg E
P 2 c
i uwzględniając uzyskane wcześniej:
r
d nq
n ; tg
3
Å
2q dt 2 r
q
 O
otrzymujemy:
dE
r
dt
które uzasadnia wcześniejszy wybór stałej k
Położenie punktu na orbicie
h`"0
W tym wypadku mamy trzy możliwe rodzaje
ruchu:
a) liniowy  c=0
b) hiperboliczny  c`"0, h>0
c) eliptyczny  c`"0, h<0
Rozpatrzmy równanie (5.5):
O
2
dr
2 2 2
k c 2 r r h
dE
Położenie punktu na orbicie
h`"0
oznaczajÄ…c:
h
2
k ; a ; h
a 2 h h
możemy przekształcid do postaci:
2
2
dr ac
O
2
2ar h r
dE
a następnie korzystając z relacji (5.3):
2 2 2
e 1 2hc
uzyskujemy:
2
dr
2
2 2
a e h h a h r
dE
Położenie punktu na orbicie
h`"0
definiujÄ…c nowÄ… zmiennÄ… Á(E):
ea a h r
otrzymujemy:
2
d
2
h h
dE
O
Rozwiązaniami takiego równania są (poza
przypadkami Á= 1):
cosh E K , h 0
1
(5.6)
cos E K , h 0
2
Położenie punktu na orbicie
h`"0
Podobnie jak to było robione dla przypadku
h=0, z całkowania równania:
k dt r dE
dostajemy:
E
k t T t T r dE
a
0
O
Używając tego w równaniach (5.6):
E
t T a e cosh E 1 dE , h 0
a
0
E
t T a 1 e cos E dE , h 0
a
0
Położenie punktu na orbicie
h<0
Drugie z otrzymanych równao odpowiada
przypadkowi orbity eliptycznej.
Uwzględniając trzecie prawo Keplera możemy
je przekształcid do postaci:
n t T E e sin E
Wprowadzając anomalię średnią M dostajemy
O
ostatecznie równanie Keplera:
M E e sin E
które pozwala otrzymad T  czas przejścia przez
perycentrum w ruchu eliptycznym
Postępując podobnie otrzymamy analogiczne
równanie dla hiperboli.
Położenie punktu na orbicie
h<0
Równanie Keplera ma prostą postad, ale nie
istnieje jego dokładne rozwiązanie.
Jego przybliżone rozwiązania można podzielid
na dwie grupy:
a) analityczne  z własności funkcji
sinus dokonuje się rozwinięcia w
O
szereg
b) numeryczne  wykorzystując różne
metody rozwiązywania równao
nieliniowych otrzymuje się przybliżenia
o różnym stopniu zbieżności i
dokładności
Położenie punktu na orbicie
Rozwiązanie równania Keplera
Na początku należałoby pokazad, że to równanie ma jedno i tylko jedno rozwiązanie.
W tym celu rozpatrzymy funkcjÄ™:
F E E e sin E M
oraz załóżmy:
n M n 1
W takim razie:
F n n M 0
F n 1 n 1 M 0
Funkcja F(E) ma co najmniej jeden pierwiastek w rozpatrywanym przedziale
Położenie punktu na orbicie
Rozwiązanie równania Keplera
Zróżniczkujmy funkcję F(E):
dF E
1 e cos E
dE
iloczyn ecosE jest mniejszy od 1 (mamy do czynienia z elipsÄ…), czyli funkcja jest
rosnąca w całym przedziale.
Wnioskujemy stąd, że mamy tylko jeden pierwiastek w przedziale (nĄ,(n+1)Ą).
Następnym krokiem w rozwiązaniu równania Keplera jest znalezienie zerowego
przybliżenia rozwiązania.
Położenie punktu na orbicie
Rozwiązanie równania Keplera
Zerowe przybliżenie może byd liczone na wiele różnych sposobów.
1. Jeśli mamy kilka wyznaczonych wartości E dla kilku dat to następną otrzymujemy
poprzez ekstrapolacjÄ™.
2. Można skorzystad z jednej z wielu metod graficznych, np.:
rysujemy w jednym układzie współrzędnych dwie krzywe:
1
y sin E ; y E M
e
i znajdujemy E, dla którego przecinają się
3. Znając M i e możemy także skorzystad z rozwinięcia w szereg:
1
2
E M e sin M e sin 2M
0
2
Położenie punktu na orbicie
Rozwiązanie równania Keplera
Znalezione zerowe przybliżenie, E0 może zostad uściślone w następujący sposób.
Mamy:
M E e sin E ; M M M ; E E E
0 0 0 0 0 0 0
gdzie E jest dokładną wartością. Chcemy znalez
d "E0. Z równania Keplera:
M M E E e sin E E
0 0 0 0 0 0
ponieważ "E0 jest bardzo małe więc:
M
0
M E e E cos E
E
0 0 0 0
0
1 e cos E
0
następnie powtarzamy procedurę aż do uzyskania założonej dokładności.
M
k
E E
k 1 k
1 e cos E
k
Położenie punktu na orbicie
Rozwiązanie równania Keplera
(metoda Newtona-Raphsona)
Metoda N-R pozwala znalez
d miejsce zerowe
funkcji f(x).
Liczymy jej pochodnÄ… w punkcie x1, przy
czym f (x1)`"0.
znajdujemy x2:
f x
1
x x
2 1
f ' x
1
wzór ogólny:
f x
n
x x
n 1 n
f ' x
n
pozwala wyznaczyd miejsce zerowe z zadanÄ…
dokładnością
Położenie punktu na orbicie
Rozwiązanie równania Keplera
(metoda Newtona-Raphsona)
Metoda N-R dla równania Keplera:
F E E e sin E M
daje wzór ogólny postaci:
f E
n
E E
n 1 n
f ' E
n
Położenie punktu na orbicie
h<0
Do wyznaczenia położenia ciała na orbicie
eliptycznej otrzymaliśmy następujący zestaw
równao:
3 2
n a
E e sin E M
O
1 e E
tg tg
2 1 e 2
r a 1 e cos E
Położenie punktu na orbicie
h<0
Współrzędne prostokątne i składowe
prędkości wyznaczamy z (dwiczenia):
x r cos a cos E e
2
y r sin a 1 e sin E
2
O
a n sin E
&ð
x
r
2 2
a n 1 e cos E
&ð
y
r
Wródmy do przypadku h>0 (ruch po hiperboli)
Położenie punktu na orbicie
h<0
E
t T a e cosh E 1 dE
a
0
P
całkujemy
r
P
t T e sinh E E
a
3
a
Å H a
Q  oznaczamy:
S O S
n
3
a
n t T e sinh E E
E jest hiperboliczną anomalią mimośrodową
Położenie punktu na orbicie
h<0
Porównując równania:
2
a e 1
r
P
1 e cos
r a e cosh E 1
r
P
otrzymujemy:
a
2
e 1 sinh E
Å H a
sin
Q 
S O S e cosh E 1
e cosh E
cos
e cosh E 1
a następnie:
e 1 E
tg tgh
2 e 1 2
Położenie punktu na orbicie
Uzyskane równania można wyrazid za
h<0
pomocÄ… funkcji trygonometrycznych
wprowadzajÄ…c nowÄ… zmiennÄ… H:
sinh E tg H ; cosh E sec H
P
wtedy:
E H
tgh tg
r
P
2 2
a
Z definicji funkcji hiperbolicznych:
Å H a
Q 
S O S
2 sinh E exp E exp E
2 cosh E exp E exp E
można pokazad, że:
H
exp E tg
2 4