MECHANIKA NIEBA
WYKA
AD 9
30.04.2008 r
Zagadnienie dwóch ciał
Orbity perturbowane
Wyznaczyliśmy równania opisujące zmiany dwóch elementów orbitalnych:
3 2
da a
2 R e sin T 1 e cos
2
dt
1 e
de
1 2
a 1 e R sin T cos cos E
dt
Mogą one byd zmieniane w wyniku działania składowych siły perturbującej leżących
w płaszczyz
nie orbity.
Zagadnienie dwóch ciał
Orbity perturbowane
Nachylenie orbity to kąt między wektorem momentu pędu a jego składową z-ową:
c
Z
c cos I c I arc cos
Z
c
Zróżniczkujmy to równanie:
�
&� &�
dI c c c c
Z Z
2
dt
c c 1
orbita
Z
płaszczyzna
ę
w

odniesienia
Musimy teraz znalez
d składowe wektora %0ł w
ognisko
układzie XYZ
v

&! x
Ć
perycentrum
�
I
węzeł
Ć
X
wstępujący
kierunek
odniesienia
Zagadnienie dwóch ciał
Orbity perturbowane
Wcześniej było pokazane, że zmiana momentu
pędu jest równa przyłożonemu momentowi:
r�
r� r�
d c r� r�
Ć
r dF rT ę rN
dt
a więc składowe zmiany momentu pędu w
układzie związanym z orbitą:
0
r�
&�
c rN
rT
Rys. 3 z Burns (1976)
Inne oznaczenia momentu pędu, anomalii
prawdziwej, nachylenia orbity!
Zagadnienie dwóch ciał
Orbity perturbowane
Składowe w układzie odniesienia dostaniemy dokonując odpowiednich obrotów:
c cos sin 0 0
X
c P P sin cos 0 rN
Y 3 2
c 0 0 1 rT
Z
skąd:
&�
c r T sin I sin N sin cos N cos cos I sin
X
&�
c r T sin I cos N sin sin N cos cos I cos
Y
&�
c r T cos I N cos sin I
Z
Zagadnienie dwóch ciał
Orbity perturbowane
Używając równao:
dc
2
&�
c a 1 e c cos I c rT c r T cos I N cos sin I
Z Z
dt
możemy przepisad wyrażenie na dI/dt w postaci:
1 2
dI a 1 e N cos
dt 1 e cos
lub:
dI rN cos
dt c
W takim razie dI/dt zależy tylko od N, a więc nachylenie orbity może byd zmienione
jedynie przez siły prostopadłe do płaszczyzny orbity.
Zagadnienie dwóch ciał
Orbity perturbowane
Dzieląc przez siebie wyrażenia na X-ową i Y-ową składową momentu pędu otrzymamy:
c
X
tg
c
Y
różniczkując to wyrażenie względem czasu:
�
&� &�
d c c c c
X Y Y X
2 2
dt c c
orbita
Z
płaszczyzna
lub: ę
w

odniesienia
ognisko
&� &�
d c sin c cos
Y X
v

&! x
Ć
dt c sin I
perycentrum
�
I
węzeł
Ć
X
wstępujący
kierunek
odniesienia
Zagadnienie dwóch ciał
Orbity perturbowane
Podstawiając do otrzymanego równania otrzymane wcześniej wyrażenia na %0łX %0łY
oraz następujące wzory:
2
a 1 e
2
c a 1 e r
1 e cos
możemy je przepisad w postaci:
d N sin
1 2
a 1 e
dt sin I 1 e cos
lub:
d rN sin
dt c sin I
Licznik jest składową momentu powodującą precesję, a mianownik  składową
leżącą w płaszczyz
nie XY normalną względem linii węzłów
Zagadnienie dwóch ciał
Orbity perturbowane
Perturbacje dwóch pozostałych elementów orbitalnych otrzymuje się w nieco bardziej
skomplikowany sposób ponieważ � i T nie są jawnymi funkcjami h i c. W celu
wyznaczenia wyrażenia na d�/dt wródmy do równania biegunowego elipsy:
2
a 1 e
r
1 e cos
podstawiamy do niego uzyskane wcześniej wyrażenia na e i c:
2 2 2
c a 1 e e 1 2c h
co daje:
2 2 2
c r 1 1 2h cos u
gdzie u jest wprowadzonym wcześniej argumentem szerokości.
Zagadnienie dwóch ciał
Orbity perturbowane
Różniczkujemy otrzymane wyrażenie przy założeniu, że perturbująca siła wywołuje
natychmiastowy efekt. To znaczy, że zmieniają się parametry orbitalne ale r możemy
traktowad jako stałe. Otrzymujemy:
1
1 2
d r h e cos u c
&�
&� &�
2cc u h ctg u
2 2
dt e sin u e
pochodna du/dt pojawia się dlatego, że nagła zmiana &! pociąga za sobą zmianę u,
który jest odległością obiektu od linii węzłów.
�
orbita
płaszczyzna
ę
w

odniesienia
ognisko
v

&! x
Ć
perycentrum
�
I
węzeł
Ć
X
wstępujący
kierunek
Rys. 4 z Burns (1976)
odniesienia
Zagadnienie dwóch ciał
Orbity perturbowane
wyrażenie na d�/dt można przekształcid przy użyciu:
&�
&� &�
h a c rT
2
2a
do postaci:
d 2 e cos
1 1 2
&�
e a 1 e R cos T sin cos I
dt 1 e cos
Zagadnienie dwóch ciał
Orbity perturbowane
Ostatnim parametrem jaki pozostał do znalezienia jest dT/dt. W tym celu
zróżniczkujemy równanie Keplera. Po podstawieniu �=-nT otrzymujemy:
3 2 3 2
2 2 2
&�
&�
d h 3 1 e 2e cos e cos c 1 e
nt ctg
2 2
dt h 2 2e sin 1 e cos c e
uwzględniając, że d�/dt=-ndT/dt-Tdn/dt mamy ostatecznie:
dT a cos 2
2 1 2
3 T t e sin a 1 e R
2
dt e 1 e cos
1 e
a sin 2 e cos
2 1 2
3 T t 1 e cos a 1 e T
2
e 1 e cos
1 e
Powyższe wyrażenia na zmianę T zawierają zależnośd od czasu. To powoduje,
trudności przy analizie rzeczywistych przypadków ponieważ te pochodne
rosną z czasem.
Zagadnienie dwóch ciał
Przybliżenie  guiding centre
x
y
G
P
r
a
�
M
F
F
W wielu zagadnieniach mechaniki nieba użyteczne są przybliżenia dające dokładnośd
co do rzędu e, gdzie wygodnie jest opisywad wielkośd odchyłki ruchu od przypadku
kołowego.
Tego rodzaju przybliżenie jest między innymi wykorzystywane przy opisie ruchu
perturbowanego w sąsiedztwie punktów równowagi, efektów spłaszczenia ciał, ruchu
bliskiego kołowemu dla orbit prawie równikowych itd..
Zagadnienie dwóch ciał
Przybliżenie  guiding centre
x
y
G
P
r
a
�
M
F
F
W przybliżeniu  guiding centre ruch cząstki P wokół ogniska F jest opisywany w układzie
odniesienia umieszczonym w punkcie G. G jest tzw.  guiding centre , który porusza się
dookoła ogniska F po kole o promieniu a, gdzie a jest wielką półosią orbity cząstki.
Prędkośd z jaką porusza się G jest równa ruchowi średniemu punktu P.
Zagadnienie dwóch ciał
Przybliżenie  guiding centre
x
y
G
P
r
a
�
M
F
F
Tego rodzaju przybliżenie jest bardzo użyteczne również
poza mechaniką nieba.
Np. ruch naładowanej cząstki w polu magnetycznym.
Taki ruch najłatwiej jest badad opisując go jako złożenie
ruchu środka poruszającego się wzdłuż linii sił
pola magnetycznego oraz ruchu cząstki wokół tego środka.
Zagadnienie dwóch ciał
Przybliżenie  guiding centre
x
y
G
P
r
a
�
M
F
F
Przejdz
my do układu współrzędnych mającego początek w punkcie G. Wtedy współrzędne
prostokątne punktu P wyrażają się poprzez:
x r cos M a
y r sin M
Zagadnienie dwóch ciał
Przybliżenie  guiding centre
Jeśli wykorzystamy uzyskane wcześniej rozwinięcie �-M i ograniczymy się do rzędu e, to:
M 2e sin M
w takim wypadku współrzędne punktu P: wykorzystujemy:
x ae cos M
r a 1 e cos E
y 2ae sin M
skąd otrzymujemy:
2 2
x y
1
2 2
ae 2ae
Co oznacza, że jeżeli G porusza się wokół F po kole o promieniu a ze średnim ruchem n
i okresem 2Ą/n, to P porusza się wokół G w przeciwnym kierunku po elipsie o wielkiej
półosi równej 2ae, małej półosi ae z okresem równym 2Ą/n.
Zagadnienie dwóch ciał
Przybliżenie  guiding centre
Punkt P zakreśla wokół F figurę Lissajou otrzymaną przez złożenie dwóch ruchów
harmonicznych o tej samej częstotliwości n, różnicy w fazie Ą/2 i stosunku amplitud 2:1.
Figura Lissajou jest krzywą zdefiniowaną równaniami parametrycznymi:
x A sin at y B sin bt
Jest to krzywa przedstawiająca tory wypadkowe ruchów harmonicznych w
przypadku gdy stosunek częstości ruchów składowych jest liczbą wymierną.
Różne krzywe otrzymujemy w zależności od różnicy faz początkowych.
Zagadnienie dwóch ciał
Przybliżenie  guiding centre
Zagadnienie dwóch ciał
Przybliżenie  guiding centre
Odległośd punktu P od środka elipsy:
P
2
2 2
R r ae 2aer cos
2a-r
Przekształcając i korzystając z rozwinięcia
R
r
czynnika r/a dostajemy:
1
2 2
�
g E
R a 1 e sin
ae ae 2
O F
F
a następnie, wykorzystując otrzymaną
Zależność między anomalią prawdziwą, średnią
wcześniej zależnośd �=M+O(e):
i mimośrodową w przybliżeniu  guiding centre
1
2 2
R a 1 e sin M
2
Zagadnienie dwóch ciał
Przybliżenie  guiding centre
Otrzymany wynik pokazuje, że z
dokładnością do rzędu e, droga po jakiej
P
porusza się punkt P jest kołem o środku O.
W takim wypadku orbita i koło pomocnicze
2a-r
R
(opisywane na elipsie, pozwalające
r
zdefiniowad E) pokrywają się i wtedy
kąt POF jest anomalią mimośrodową.
�
g E
ae ae
O F
F
Można pokazad, że w takim przybliżeniu
kąt g jest anomalią prawdziwą M.
Zagadnienie dwóch ciał
Przybliżenie  guiding centre
Stosując wzór cosinusów do trójkąta PF F:
P
2 2
2
r 2a r 4 ae 4ae 2a r cos g
stąd mamy:
2a-r
2
R
1 r a e
r
cos g
e 1 r a e
�
g E
Jeżeli wykorzystamy teraz otrzymane
ae ae
O F wcześniej rozwinięcie w szereg
F
wyrażenia a/r:
r 1 3
2 3
1 e cos M e 1 cos 2M e cos M cos 3M
a 2 8
Zagadnienie dwóch ciał
Przybliżenie  guiding centre
Ostatecznie:
P
1
2 3
cos g cos M e cos M cos 3M O e
8
2a-r
Skąd, z dokładnością do liniowego wyrazu e
R
r
otrzymujemy: g=M.
�
g E
W takim razie linia łącząca punkt P i puste
ae ae
ognisko F rotuje z jednostajną prędkością
O F
F
Taki wynik wskazuje, że model Ptolemeusza odzwierciedlał rzeczywiste ruchy obiektów
z dokładnością do e. W jego modelu Ziemia była odsunięta od środka koła (ognisko F)
a ruch planet odbywał się wokół ekwantu (ognisko F ) a więc był jednostajny (doskonały!).
Zagadnienie dwóch ciał
Przybliżenie  guiding centre
Rozpatrzmy satelitę, którego obrót
jest zsynchronizowany z jego okresem
orbitalnym.
Linia poprowadzona od niego do
pustego ogniska porusza się ruchem
średnim n.
Satelita zwraca cały czas tę samą
stronę w kierunku F , przez co z
ciała centralnego widoczne są nieco
inne fragmenty powierzchni w
różnych fazach jego ruchu.
To przybliżenie może byd pomocne
w zrozumieniu działania mechanizmu
pływów libracyjnych (ang. librational
tide).
Zagadnienie n ciał
Równania ruchu
Potrafimy rozwiązad analitycznie
zagadnienie dwóch ciał, ale
w rzeczywistych układach dynamicznych
jest ich zwykle więcej&
Często wystarczy posłużyd się metodami
perturbacyjnymi.
W ogólności chcielibyśmy umied
rozwiązywad zagadnienia, w których mamy
układy wielu ciał.
Zagadnienie n ciał
Równania ruchu
Zakładamy, że odległości między ciałami
z
są na tyle duże, że możemy je traktowad
jak punkty materialne.
Qi(xi,yi,zi)
r�
Mamy układ n punktów materialnych
r
ij
działających na siebie siłami zgodnie z
prawem powszechnej grawitacji.
Pj(xj,yj,zj)
Oznaczamy masy tych punktów przez mi,
a ich współrzędne prostokątne przez
0
y
xi,yi,zi gdzie i=1,2,3,& ,n
x
Zagadnienie n ciał
Równania ruchu
Punkt mj działa na punkt mi siłą:
z
r� r�
r r
i j
F Gm m
ij i j
3
Qi(xi,yi,zi)
r
ij
r�
r
ij
gdzie rij jest odległością tych punktów
Całkowita siła z jaką wszystkie punkty
Pj(xj,yj,zj)
działają na punkt mi wyraża się przez:
0
y
r� r�
n
r�
r r
i j
F Gm m
i j
3
j 1 r
ij
x
Zagadnienie n ciał
Równania ruchu
Możemy teraz napisad równania ruchu
z
punktu mi:
r� r�
n
r r
r�
i j
Qi(xi,yi,zi)
&�r&�
m Gm m
i i i j
3
r�
j 1 r
ij
r
ij
a następnie, sumując po wszystkich
n punktach:
Pj(xj,yj,zj)
r� r�
0
n n n
r r
r�
i j
y
&�r&�
m G m m
i i i j
3
i 1 i 1 j 1 r
ij
x
Zagadnienie n ciał
Równania ruchu
Pamiętając, że:
z
r� r� r� r�
r r r r
i j j i
możemy pogrupowad w pary odpowiednie
Qi(xi,yi,zi)
wyrazy prawej strony równao ruchu:
r�
r
ij
r� r�
n n n
r r
r�
i j
&�r&�
m G m m
i i i j
3
i 1 i 1 j 1 r
ij
Pj(xj,yj,zj)
tak aby dały w efekcie zero. Otrzymujemy
0
wtedy:
y
n
r�
&�r&�
m 0
i i
i 1
x
Zagadnienie n ciał
Równania ruchu
Całkujemy otrzymane równanie:
n
r� r�
r�
m r At B
z
i i
i 1
Lewa strona jest z definicji środkiem masy
Qi(xi,yi,zi)
badanego układu.
r�
r
ij
Z prawej strony mamy sześd zmiennych
niezależnych.
Pj(xj,yj,zj)
Stąd nawet dla układu n ciał ich środek
0
masy porusza się w przestrzeni ruchem
y
jednostajnym prostoliniowym
Znalezienie sześciu stałych ruchu niewiele
zmienia. Układ równao zagadnienia n ciał
x
składa się z n równao drugiego rzędu, które
wymagają 6n stałych całkowania.
Zagadnienie n ciał
Całka pól
Aby znalez
d całkę pól mnożymy równanie
ruchu przez ri (wektorowo):
z
r� r� r� r�
r r r r
r� r�
i i i j
&�r&�
r m Gm m
i i i i j 3
Qi(xi,yi,zi)
j i
r
ij
r�
r� r�
r
ij
r r
i j
Gm m
i j 3
j i
r
ij
Pj(xj,yj,zj)
pamiętając, że:
r� r� r� r�
0
r r r r
y i j j i
znowu możemy, sumując po wszystkich
punktach, zauważyd, że prawa
strona jest równa zero.
x
Zagadnienie n ciał
Całka pól W takim razie mamy:
r� r� r� r�
&�r&� &�
r m r p
i i i i i
z i i
d r� r�
r p
i i
Qi(xi,yi,zi)
dt i
r�
d r� dC
r
ij
c 0
i
dt i dt
Pj(xj,yj,zj)
czyli całkowity moment pędu układu n ciał
jest stały.
0
y
To oznacza również, że istnieje pewna
płaszczyzna w przestrzeni (płaszczyzna
niezmiennicza) prostopadła do tego
wektora. Należy jednak pamiętad, że dotyczy
x
to tylko układu mas, których kształt można
zaniedbad, nie ma między nimi połączeo,
są ciałami sztywnymi itd.
Zagadnienie n ciał
Zdefiniujmy funkcję sił układu n punktów:
Całka energii (sił żywych)
n n
m m
i j
U G
i 1 j 1 r
z
ij
j i
wtedy:
Qi(xi,yi,zi)
n
m
r�
U
j
r
Gm
ij
i
x x j 1 r
i i ij
j i
n
x x
Pj(xj,yj,zj) i j
Gm m
i j 3
j 1
r
ij
j i
0
y
podobnie dla pozostałych współrzędnych,
więc równanie ruchu możemy zapisad jako:
r�
&�r&�
m U
i i i
x
gdzie:
Ćj
� ę
i
x y x
i i i
Zagadnienie n ciał
Pomnóżmy równanie ruchu:
Całka energii (sił żywych)
r�
&�r&�
m U
i i i
obustronnie (skalarnie) przez wektor
z
prędkości i dodajmy wszystkie równania:
n n
r� r� r� dU
&� &�r&� &�
Qi(xi,yi,zi)
m r r U
i i i i i
r�
i 1 i 1 dt
r
ij
całkujemy:
n
1 r�
2
Pj(xj,yj,zj) &�
m r U const
i i
2 i 1
0
energia kinetyczna układu:
y
n
1 r�
2
&�
T m r
i i
2 i 1
a więc:
x
T U h
Otrzymaliśmy dziesiątą, ostatnią całkę w
zagadnieniu n ciał  całkę energii