MECHANIKA NIEBA
WYKA
AD 2
12.03.2008 r
Krzywe stożkowe. Elipsa
Równanie biegunowe
P
F2 leży w punkcie początkowym
układu (biegunie), a duża półoś
F1 F2
pokrywa siÄ™ z liniÄ… poczÄ…tkowÄ…
(osiÄ… biegunowÄ…, ¸=0o)
¸ nie jest tym samym kÄ…tem co
wprowadzony wczeÅ›niej ½ !
F1P F2 P 2a
KorzystajÄ…c z definicji elipsy:
2
a (1 e ) r(1 e cos )
można otrzymad:
lewa strona to wprowadzony wcześniej parametr elipsy p. Ostatecznie r-nie biegunowe
elipsy przyjmuje postad:
p
r
1 e cos
Krzywe stożkowe. Elipsa
Równanie biegunowe
Jeśli wielka półoś jest
nachylona pod kÄ…tem É
do linii poczÄ…tkowej (osi
biegunowej) to:
p
r
1 e cos( )
czyli:
p
r
1 e cos( )
Różnica miÄ™dzy ¸ oraz ½
jest oczywista
Krzywe stożkowe. Parabola
Parabola jest krzywą jaką zakreśla punkt
poruszający się tak, że jego odległośd od
tworzącej (NP) jest równa odległości od
ogniska (PF).
p
Jeśli N=(-q,0), F(q,0) to z definicji paraboli
otrzymamy:
2 2
(PF ) (PN )
Po kilku przekształceniach dostajemy r-nie
paraboli:
2
y 4qx
Krzywe stożkowe. Parabola
Linia równoległa do tworzącej i przechodząca
przez ognisko to parametr paraboli p. Przecina
on parabolę w dwóch punktach:
(q, 2q )
p
Stąd możemy otrzymad równania
parametryczne paraboli:
2
x qt y 2qt
Wniosek:
Ciało, które porusza się ze stałą
prędkością w jednym kierunku i ze
stałym przyspieszeniem w drugim
kierunku  porusza siÄ™ po paraboli.
Krzywe stożkowe. Parabola
Styczne do paraboli
Postępujemy podobnie jak w przypadku
elipsy.
Wychodząc od równania na punkty wspólne
prostej i paraboli, szukamy przypadku z
jednym rozwiązaniem (punkt styczności).
Styczna (przy zadanym współczynniku
kierunkowym, m) do paraboli :
q
y mx
m
Krzywe stożkowe. Parabola
Styczne do paraboli
Styczną w punkcie znajdujemy także
analogicznie jak w przypadku elipsy.
Wybieramy dwa dowolne punkty:
2
(x , y ) (qt , 2qt )
1 1 1 1
2
(x , y ) (qt , 2qt )
2 2 2 2
Wyznaczając prostą między nimi i
przechodzÄ…c do granicy t2-t1->0
otrzymujemy:
y y 2q (x x )
1 1
Krzywe stożkowe. Parabola
Równanie biegunowe
Z definicji: FP=PN=r a także FO=OM=q
FM=2q=p oraz rcos¸+r=2q=p
ostatecznie:
p
r
1 cos
Krzywe stożkowe. Hiperbola
Hiperbola to linia, po której porusza się punkt
tak, że różnica jego odległości od ognisk jest
stała:
F1P F2 P 2a
Odległośd między ogniskami:
F1F2 2ae
gdzie e jest mimośrodem hiperboli.
Z definicji hiperboli:
2 2 2 2
(x ae ) y (x ae ) y 2a
Krzywe stożkowe. Hiperbola
otrzymujemy:
2 2
x y
1
2 2 2
a a (e 1)
po uwzględnieniu:
b
2 2 2
b a (e 1)
dostajemy ostatecznie:
a
2 2
x y
1
2 2
a b
Krzywe stożkowe. Hiperbola
hiperbola sprzężona:
2 2
x y
1
2 2
a b
asymptoty:
b
bx
y
a
a
co można zapisad jako:
2 2
x y
0
2 2
a b
Krzywe stożkowe. Hiperbola
Parametr zderzenia
PoruszajÄ…ca siÄ™ szybko czÄ…stka pod
wpływem siły ~ 1/r2 zakreśla
hiperbolÄ™.
Odległośd K2F2 w jakiej cząstka
minęłaby F2 w przypadku braku siły
jest nazywana parametrem
zderzenia.
Parametr zderzenia jest równy b
(z r-nia hiperboli).
Krzywe stożkowe. Hiperbola
Styczne do hiperboli
Wyznaczamy je identycznie jak
w przypadku elipsy (dwiczenia):
2 2 2
y mx a m b
dla stycznej o zadanym
współczynniku kierunkowym
oraz:
x x y y
1 1
1
2 2
a b
dla stycznej w punkcie (x1,y1):
Krzywe stożkowe. Hiperbola
Równanie biegunowe
Postępujemy podobnie jak w przypadku
elipsy. Z definicji:
s r 2a
Stosując wzór cosinusów do trójkąta F1F2P
i łącząc z powyższym dostajemy:
r
s
p
r
¸
1 e cos
gdzie:
2
p a (e 1)
jest parametrem hiperboli
Dla drugiej hiperboli postępujemy podobnie
i otrzymujemy:
p
r
1 e cos
Krzywe stożkowe.
Równanie biegunowe
Można zauważyd, że krzywa każdego
typu ma podobne równanie biegunowe:
P
p
F1 F2
r
1 e cos
Odpowiednie krzywe różnią się tylko
wartością mimośrodu, e:
elipsa e<1
parabola e=1
hiperbola e>1
Krzywe stożkowe. Ogólna postad
Równanie:
2 2
x y
1
2 2
a b
przedstawia elipsę, której wielka
półoś leży na osi 0X, a środek
znajduje się w początku układu
współrzędnych
Co się stanie w przypadku odsunięcia elipsy od początku układu współrzędnych
i skręcenia wielkiej półosi względem osi układu?
Krzywe stożkowe. Ogólna postad
Przesunięcie środka do punktu
(p,q) powoduje zmianÄ™
współrzędnych do (x-p,y-q).
Nachylenie osi wielkiej pod
kÄ…tem ¸ do osi 0X powoduje,
że:
x -> xcos¸ +ysin¸
y -> -xsin¸ +ycos¸
Uwzględniając to w równaniu elipsy otrzymamy równanie zawierające czynniki
x2,y2,xy,x,y oraz stałą. Podobnie będzie w przypadku hiperboli i paraboli.
W takim razie, każdą krzywą stożkową można przedstawid za pomocą równania:
2 2
ax 2hxy by 2gx 2fy c 0
Krzywe stożkowe. Ogólna postad
Czy takie równanie zawsze przedstawia parabolę, hiperbolę lub elipsę?
Otóż, nie zawsze. Np.:
2 2
2x 4xy 4 y 4x 4 0
Jest spełnione tylko przez jeden punkt.
Potrzebny jest niezmiennik ogólnego równania, który pozwoli określid postad
rozwiÄ…zao
Krzywe stożkowe. Ogólna postad
2 2
ax 2hxy by 2gx 2fy c 0
Niezmiennikiem tego równania jest wyznacznik:
a h g
h b f a a h h g g h h b b f f g g f f cc
g f c
gdzie:
2
a bc f f gh af
2
b ca g g hf bg
2
c ab h h fg ch
Krzywe stożkowe. Ogólna postad
Współrzędne środka dowolnej krzywej stożkowej:
g f
;
c c
a kąt jaki tworzy wielka półoś z osią 0X:
2 h
tg 2
a b
Wartości współczynników równania i niezmienników pozwalają
jednoznacznie określid z jakim przypadkiem mamy do czynienia:
Krzywe stożkowe. Ogólna postad
tu zaczynamy
punkt
dwie nierównoległe
linie proste
prosta
dwie proste
równoległe
dwie proste
prostopadłe
dwie proste
nieprostopadłe i
nierównoległe
następna strona
Krzywe stożkowe. Ogólna postad
parabola
nic
i
okrÄ…g
w pozostałych elipsa
hiperbola prostokÄ…tna
hiperbola
(nieprostokÄ…tna)
Krzywe stożkowe. Ogólna postad
Wez
my równanie:
2 2
ax 2hxy by 2gx 2fy c 0
pięd punktów potrzeba i wystarcza,
aby jednoznacznie dopasowad do nich
krzywą stożkową.
Jeżeli przynajmniej trzy z nich leżą na jednej
prostej to dostajemy krzywą stożkową
niewłaściwą
Najprostszy sposób polega na podstawieniu
do niego współrzędnych kolejnych punktów
i rozwiązanie otrzymanego układu równao
w celu uzyskania współczynników.
A(1,8), B(4,9), C(5,2), D(7,6), E(8,4)
Krzywe stożkowe. Ogólna postad
2 2
ax 2hxy by 2gx 2fy c 0
Można to zrobid nieco inaczej (w prostszy
sposób?)
Piszemy równania prostych Ä…=0, ²=0,
Å‚=0 i ´=0:
0 : x 3y 23 0
0 : 2 x y 8 0
0 : 3x y 19 0
0 : x y 13 0
Wtedy r-nie Ä…²=0 opisuje proste AB i CD, natomiast Å‚´=0 zawiera pozostaÅ‚e dwie proste:
2 2
0 : 2 x 7 xy 3y 38 x y 184 0
2 2
0 : 3x 5xy 2 y 58 x 45 y 247
Krzywe stożkowe. Ogólna postad
Ostatecznie, równanie opisujące całą rodzinę krzywych stożkowych przechodzących
przez A, B, C, D przyjmuje postad Ä…²+Å‚´ =0 (gdzie  jest staÅ‚Ä…):
2 2
(2 3 )x (7 5 )xy (3 2 )y (38 58 ) (1 45 )y 184 247 0
Podstawiając x=8, y=4 wyznaczamy takie , dla którego dana krzywa stożkowa
przechodzi przez punkt E.
Otrzymujemy =76/13 i ostatecznie szukane równanie krzywej stożkowej
przechodzącej przez zadane pięd punktów:
2 2
508 x 578 xy 382 y 7828 x 6814 y 32760 0
Mając współczynniki równania możemy określid (z tabeli krzywych stożkowych), że
otrzymaliśmy elipsę, której środek znajduje się w punkcie (4.619, 5.425) nachylonej
do osi OX po kÄ…tem 128o51
Pole grawitacyjne i potencjał
Prawo powszechnego ciążenia
Każda cząstka we Wszechświecie działa
na każdą inną cząstkę z siłą, która jest
wprost proporcjonalna do iloczynu mas
tych czÄ…stek i odwrotnie proporcjonalna
do kwadratu ich odległości:
m m
1 2
F G
2
r
gdzie G jest uniwersalnÄ… (obowiÄ…zuje
wszędzie(?) we Wszechświecie) stałą
(niezmienną w czasie) grawitacji równą:
3 3
m cm
11 8
6,7259 10 10
2 2
kg s g s
Pole grawitacyjne i potencjał
Natężenie pola grawitacyjnego
m
Natężenie pola grawitacyjnego
pochodzÄ…cego od masy M:
F
m
M
czyli iloraz siły grawitacyjnej działającej
na ciało próbne m i jego masy.
M
G
2
r
Pole grawitacyjne i potencjał
Dwa punkty materialne
Dane sÄ… dwa punkty P i Q o masach
równych m0 i m1 odległych o r:
z
2 2 2 2
r (x x ) (y y ) (z z )
1 0 1 0 1 0
Q(x1,y1,z1)
rð
r Załóżmy, że P jest przyciągany przez Q,
wtedy składowe siły:
P(x0,y0,z0)
m m
0 1
F G cos
x
2
0
r
y
m m
0 1
F G cos
y
2
r
m m
0 1
F G cos
z
2
x
r
Pole grawitacyjne i potencjał
Odpowiednie cosinusy kierunkowe
Dwa punkty materialne
są równe:
x x
1 0
cos
r
z
y y
1 0
cos
r
Q(x1,y1,z1)
z z
rð
1 0
cos
r
r
a więc:
P(x0,y0,z0)
m m
0 1
0 F G (x x )
x 1 0
3
y
r
m m
0 1
F G ( y y )
y 1 0
3
r
m m
0 1
x
F G (z z )
z 1 0
3
r
Pole grawitacyjne i potencjał
n punktów
Siła przyciągania punktu P przez
z
dowolny punkt Qi:
m m
0 i
F G (x x )
Qi(xi,yi,zi)
xi i 0
3
r
i
rð
ri
m m
0 i
F G ( y y )
yi i 0
3
r
i
P(x0,y0,z0)
m m
0 i
F G (z z )
zi i 0
3
r
0
i
y
dodając odpowiednie składowe do siebie
otrzymamy składowe całkowitej siły
działającej na P:
x
n n n
F F ; F F ; F F
x xi y yi z zi
i 1 i 1 i 1
Pole grawitacyjne i potencjał
n punktów
Ostatecznie:
z
n
m
i
F Gm (x x )
Qi(xi,yi,zi)
x 0 i 0
3
i 1 r
i
rð
ri
n
m
i
F Gm ( y y )
y 0 i 0
3
i 1 r
i
P(x0,y0,z0)
n
m
i
F Gm (z z )
z 0 i 0
3
i 1 r
0
i
y
x
Pole grawitacyjne i potencjał
n punktów
W mechanice nieba zazwyczaj mamy do
czynienia z ciałami o symetrycznym
rozkładzie masy co pozwala uprościd
problem wyznaczania siły działającej od
układu punktów.
copyright: http://www.robgendlerastropics.com/
W obiektach nieregularnych, odległości
(zwykle) między poszczególnymi centrami
grawitacji są na tyle duże, że można
zaniedbad wpływ innych obiektów niż
copyright: Hubble Heritage Team
najbliższe.
Pole grawitacyjne i potencjał
Pole na osi pierścienia
WkÅ‚ad od elementu masy ´M do
´Å‚r
całego natężenia:
´Å‚
G M
´Å‚o
2 2
a z
M
M ;
który można rozłożyd na składowe:
2
G M
cos
o
2 2
a z
G M
sin
r
2 2
a z
Pole grawitacyjne i potencjał
Pole na osi pierścienia
Całkując po wszystkich przyczynkach
´Å‚r
otrzymujemy:
GMz
´Å‚
3 / 2
´Å‚o
2 2
a z
natężenie skierowane do środka
pierścienia.
Powyższa funkcja zeruje się w środku
pierścienia i w nieskooczoności
osiÄ…gajÄ…c po drodze maksimum
(dwiczenia).
Pole grawitacyjne i potencjał
Pole na osi jednorodnego dysku
Punkt P leży na osi dysku o gęstości
powierzchniowej Ã, w odlegÅ‚oÅ›ci z
od środka.
Masa elementarnego pierścienia:
m 2 r3ðr
1ð
2ð
powierzchn ia
jego wkład do całkowitego natężenia:
z r r
2 G
3 / 2
2 2
z r
Pole grawitacyjne i potencjał
Pole na osi jednorodnego dysku
Sumaryczne natężenie znajdujemy
licząc całkę:
a
z r dr
2 G
3 / 2
2 2
0 z r
z
2 G 1
2 2
z a
Możemy wyrazid tę zależnośd w
funkcji kÄ…ta Ä…:
2 G 1 cos
Pole grawitacyjne i potencjał
Pole na osi jednorodnego dysku
Jeśli masa całego dysku wynosi:
2
M a
to:
2 GM 1 cos
2
a
W ogólnym przypadku gęstośd
zależy od r i wtedy natężenie pola
grawitacyjnego:
a
r r
2 Gz (r)
3 / 2
2 2
0 z r
Pole grawitacyjne i potencjał
Pole na osi dowolnego dysku
Zakładając różne postaci rozkładu gęstości
można przybliżad natężenia pola
grawitacyjnego pochodzÄ…cego od
rzeczywistych obiektów
(dwiczenia)
Pole grawitacyjne i potencjał
Pole na zewnÄ…trz sfery
Zał.:
- sfera ma masę M rozłożoną równomiernie
na całej powierzchni
- grubośd t jest mała w porównaniu z
promieniem r
Rozpatrujemy cienki pasek o szerokoÅ›ci rd¸:
dV 24ðr2ð4ð t rd
sin3ð {ð
objętośd
1ð
{ð
rcos¸
szer .
xcosÄ…
obwód
gr .
masa
dM dV 2 r sin trd
Wykorzystując uzyskane wcześniej wyrażenie
copyright: Resnick, Halliday
dla pierścienia możemy zapisad:
dMm cos
dF G
2
x
Pole grawitacyjne i potencjał
Pole na zewnÄ…trz sfery
Po uwzględnieniu wyrażenia na dM:
sin d
2
dF 2 Gt mr cos
2
x
z rys.:
R r cos
cos
x
oraz z tw. cosinusów:
rcos¸
xcosÄ…
2 2
x R r 2Rr cos
A
Ä…czÄ…c te trzy czynniki dostajemy:
sin d (R r cos )
2
dF 2 Gt mr
3 / 2
copyright: Resnick, Halliday
2 2
R r 2Rr cos
Pole grawitacyjne i potencjał
Pole na zewnÄ…trz sfery
Siłę pochodzącą od całej sfery wyznaczamy
licząc całkę:
masa sfery
5ð6ð7ð
2
4 t r Gm Mm
F dF G
2 2
R R
To oznacza, że pole grawitacyjne na
rcos¸
xcosÄ…
zewnątrz sfery jest takie jakby cała masa
była skupiona w punkcie.
Identyczny wynik otrzymujemy dla kuli
(całkujemy cienkie sfery od 0 do R)
copyright: Resnick, Halliday
Pole grawitacyjne i potencjał
Pole wewnÄ…trz sfery
Podobnie postępujemy w przypadku
gdy punkt materialny umieścimy
wewnÄ…trz kuli.
Wyrażenie na dF jest identyczne. Zmianie
ulegają granice całkowania.
W wyniku otrzymujemy, że:
F 0
Oczywiście to jest prawda tylko w
przypadku gdy nie ma innych mas (sfera
nie tworzy  ekranu grawitacyjnego !)
copyright: Resnick, Halliday