MECHANIKA NIEBA
WYKA
AD 8
23.04.2008 r
Zagadnienie dwóch ciał
Rozwinięcia w szereg
W rzeczywistości dokładnych rozwiązao
w mechanice nieba (i nie tylko ) jest niewiele.
Bardzo często posługujemy się rozwiązaniami
przybliżonymi bazującymi na rozwinięciach
w szeregi.
W Układzie Słonecznym korzystamy często z
faktu, że orbity różnią się niewiele od koła
(rozwijanie względem małych e), tworzą małe
kąty z płaszczyzną ekliptyki (małe I).
Innym zagadnieniem, w którym często korzysta
się z rozwinięd w szereg jest teoria perturbacji
Zagadnienie dwóch ciał
Trygonometryczny szereg Fouriera
Dana jest pewna funkcja okresowa f(x) bezwzględnie całkowalna w przedziale
(-T/2, T/2), gdzie T jest okresem.
Rozwinięcie f(x) w szereg Fouriera ma postad:
a 2n 2n
0
S x a cos x b sin x
n n
2 n 1 T T
współczynniki an i bn są określone wzorami:
T
2
2 2 n
a f x cos xdx n 0,1,2,3,Kð
n
T T
T
2
T
2
2 2n
b f x sin xdx n 1,2,3,Kð
n
T T
T
2
Zagadnienie dwóch ciał
Trygonometryczny szereg Fouriera
Zagadnienie dwóch ciał
Rozwinięcia w szereg
Napiszmy równanie Keplera w postaci:
E M e sin E
różnica E-M jest nieparzystą funkcją okresową stąd prawą stronę możemy rozwinąd
w szereg Fouriera biorÄ…c tylko wyrazy nieparzyste:
e sin E b e sin sM
s
s 1
gdzie:
2 2 2
b e e sin E sin sMdM e sin E cos sM cos sMd e sin E
s
s s
0 0
0
pierwszy czynnik w tym wyrażeniu jest równy 0.
Zagadnienie dwóch ciał
Rozwinięcia w szereg
Korzystając znów z równania Keplera możemy napisad:
d e sin E d E M
wtedy:
2 2
b e cos sMdM cos sMdE
s
s s
0 0
Pierwsza z tych całek jest równa 0, natomiast drugą można przekształcid (znów przy
użyciu równania Keplera) do postaci:
2
b e cos sE se sin E dE
s
s
0
Całka występująca w tym równaniu może byd zapisana przy użyciu funkcji Bessela
pierwszego rodzaju.
2
b e J se
s s
s
Zagadnienie dwóch ciał
Rozwinięcia w szereg
Dla dodatnich wartości s możemy napisad:
s
2
1 x x 2
J x 1
s
s! 2 0 ! s 1 s 2 Kð s
ten szereg jest zbieżny dla wszystkich x.
1 1 1
3 5 7
J x x x x O x
1
2 16 384
1 1
2 4 6
J x x x O x
2
8 96
1 1
3 5 7
J x x x O x
3
Funkcje Bessela dla s=1,& ,5
48 768
1
4 6
J x x O x
4
384
1
5 7
J x x O x
5
3840
Zagadnienie dwóch ciał
Rozwinięcia w szereg
Możemy ostatecznie napisad rozwiązanie równania Keplera w postaci:
1
E M 2 J se sin sM
s
s 1 s
1 3 1
2 3
M e sin M e sin 2M e sin 3M sin M
2 8 8
1 1
4 5
e sin 4M sin 2M O e
3 6
szereg jest szybko zbieżny dla małych wartości e. W przypadku e>0.6627434 staje
się jednak rozbieżny.
Zagadnienie dwóch ciał
Rozwinięcia w szereg
Zależnośd między promieniem i wielką półosią daje:
r
1 e cos E
a
rozwijajÄ…c czynnik ecosE dostajemy:
r 1 1 d
2
1 e 2e J se
s
2
a 2 s 1 s de
po uwzględnieniu jawnej postaci funkcji Bessela mamy ostatecznie:
2 3
r e 3e
1 e cos M 1 cos 2M cos M cos 3M
a 2 8
4
e
5
cos 2M cos 4M O e
3
To rozwinięcie będzie wykorzystywane m.in. w tzw. przybliżeniu  guiding centre oraz
przy analizie perturbacji.
Zagadnienie dwóch ciał
Rozwinięcia w szereg
r
1 e cos E
Przekształcając znów wyrażenie:
a
1 r a
dostajemy: cos E
e
Uwzględniając otrzymane wcześniej rozwinięcie r/a możemy wyznaczyd rozwinięcie
cosE:
1 1 d
cos E e 2 J se cos sM
s
2
2 s 1 s de
2
e 3e 1 1
3
cos M cos 2M 1 cos 3M cos M e cos 4M cos 2M
2 8 3 3
5 45 125
4 5
e cos M cos 3M cos 5M O e
192 128 384
Zagadnienie dwóch ciał
Rozwinięcia w szereg
Różniczkując równanie Keplera dostaniemy:
dE 1
dM 1 e cos E
prawa strona jest równa a/r.
Różniczkując otrzymane wcześniej wyrażenie:
1
E M 2 J se sin sM
s
s 1 s
otrzymujemy:
dE
1 2 J se cos sM
s
dM s 1
stąd mamy rozwinięcie a/r w szereg przy użyciu funkcji Bessela
Zagadnienie dwóch ciał
Rozwinięcia w szereg
Korzystając z otrzymanego rozwinięcia a/r możemy wyznaczyd:
3
a 3 9 27 53
2 3
1 3e cos M e cos 2M e cos M cos 3M
r 2 2 8 8
15 7 77
4 5
e cos 2M cos 4M O e
8 2 8
które jest przydatne przy analizie perturbacji planetarnych
Zagadnienie dwóch ciał
Rozwinięcia w szereg
Korzystając z równania biegunowego elipsy:
2
a 1 e
r
1 e cos
możemy napisad:
2
1 1 e a
cos
e e r
które po uwzględnieniu rozwinięcia a/r daje:
2
2 1 e
cos e J se cos sM
s
e s 1
2 3
9e 4e
cos M e cos 2M 1 cos 3M cos M cos 4M cos 2M
8 3
25 225 625
4 5
e cos M cos 3M cos 5M O e
192 128 384
Zagadnienie dwóch ciał
Rozwinięcia w szereg
RozwiniÄ™cie sin½ otrzymujemy w nieco bardziej skomplikowany sposób.
Równanie biegunowe elipsy zapiszemy w postaci:
2
r 1 e
a 1 e cos
Różniczkujemy po M:
2
d r e r d
sin
2
dM a 1 e a dM
korzystając z całki pól, definicji anomalii średniej i trzeciego prawa Keplera:
2 2 2 3
r &ð const a 1 e ; M n t T ; n a
otrzymamy:
d
2 2 2
r a 1 e
dM
Zagadnienie dwóch ciał
Rozwinięcia w szereg
Korzystając z otrzymanego wyrażenia mamy:
2
d r e r d d r e
sin sin
2
2
dM a 1 e a dM dM a
1 e
skÄ…d:
2
1 e d r
sin
e dM a
i ostatecznie:
1 d
2
sin 2 1 e J se sin sM
s
s 1 s de
9 7 4 7
2 3
sin M e sin 2M e sin 3M sin M e sin 4M sin 2M
8 8 3 6
17 207 625
4 5
e sin M sin 3M sin 5M O e
192 128 384
Te rozwinięcia są użyteczne przy badaniu rezonansu typu  spin-orbita oraz przy
badaniu perturbacji.
Zagadnienie dwóch ciał
Rozwinięcia w szereg
Kolejne rozwiniÄ™cie dotyczy różnicy anomalii ½-M zwanego równaniem Å›rodka.
Dzięki niemu jesteśmy w stanie wyrazid anomalię prawdziwą w funkcji czasu jaki
upłynął od przejścia ciała przez perycentrum. Korzystamy z całki pól w postaci:
2 2 2
r &ð na 1 e
KorzystajÄ…c z:
2 3
dM ndt ; r a 1 e cos E ; n a
otrzymamy:
2
2
1 e dE
2
d dM 1 e dM
2
dM
1 e cos E
Zagadnienie dwóch ciał
Rozwinięcia w szereg
Uwzględniając w otrzymanym wyrażeniu wyznaczoną wcześniej postad dE/dM i
całkując dostajemy:
5 13 1
2 3
M 2e sin M e sin 2M e sin 3M sin M
4 12 4
103 11
4 5
e sin 4M sin 2M O e
96 24
które będzie używane w przybliżeniu  guiding centre .
Zagadnienie dwóch ciał
Rozwinięcia w szereg
Lagrange opracował użyteczną metodę odwracania rozwinięd w szeregi, która może
byd przydatna w mechanice nieba. Pokazał, że jeśli zmienna z jest wyrażona
jako funkcja Å› w postaci:
z e e 1
to zmienna ś może byd przedstawiona jako funkcja z poprzez zależnośd:
j j 1
e d
j
z z
j 1
j 1 j! dz
Przykładem zastosowania tej własności może byd wyrażenie anomalii prawdziwej w
funkcji anomalii średniej. Z całki pól mamy:
2 2 2
c r &ð na 1 e
Zagadnienie dwóch ciał
Rozwinięcia w szereg
Całkując to wyrażenie i podstawiając za r równanie biegunowe elipsy dostajemy:
3 2 d
2
M 1 e
2
1 e cos
0
Wyrażenie podcałkowe możemy rozwinąd wykorzystując uogólniony dwumian
Newtona. Następnie całkując wyraz po wyrazie:
3
2 3
M 2e sin e sin 2 O e
4
Przekształcamy:
3
M e 2 sin e sin 2 Kð
4
Zagadnienie dwóch ciał
Rozwinięcia w szereg
Otrzymane wyrażenie możemy zapisad wykorzystując twierdzenie Lagrange a
o odwracaniu:
j
j j 1
e d 3
M 2 sin M e sin 2M Kð
j 1
j 1 j! dM 4
które po rozwinięciu daje otrzymane już wcześniej równanie:
5 13 1
2 3
M 2e sin M e sin 2M e sin 3M sin M
4 12 4
103 11
4 5
e sin 4M sin 2M O e
96 24
Metoda Lagrange a jest często wykorzystywana przy wyznaczaniu punktów
równowagi w kołowym ograniczonym zagadnieniu trzech ciał
Zagadnienie dwóch ciał
Rozwinięcia w szereg
Problem zbieżności szeregów w mechanice nieba różni się nieco od zbieżności
w matematyce. Poincaré (1892) podaÅ‚ przykÅ‚ad dwóch szeregów:
n
1000 1 2 3Kð n
n
1 2 3Kð n 1000
Pierwszy szereg jest zbieżny bo od wyrazu milionowego następne bardzo szybko
maleją. Drugi szereg jest rozbieżny bo wyraz ogólny rośnie nieograniczenie.
W mechanice nieba pierwszy szereg jest nieużyteczny w praktycznych zastosowaniach ,
gdyż początkowy tysiąc wyrazów wzrasta. Odwrotnie jest w przypadku drugiego
szeregu gdzie początkowe tysiąc wyrazów bardzo szybko maleją.
Zagadnienie dwóch ciał
Orbity perturbowane
Planety oddziałują na siebie i wzajemnie
zaburzają (perturbują?) swój ruch wokół
SÅ‚ooca.
Z tego względu musimy pamiętad, że
parametry orbit obiektów w Układzie
SÅ‚onecznym ulegajÄ… zmianom.
Jeżeli mamy wyznaczone położenie i
prędkośd danego obiektu to możemy
wyliczyd tzw. parametry oskulacyjne
(orbita po jakiej poruszałoby się ciało
tylko pod wpływem Słooca)
Zagadnienie dwóch ciał
Orbity perturbowane
Burns (1976) pokazał jak wyznaczyd zmiany elementów orbity
wychodzÄ…c od elementarnej dynamiki.
Rozpatrzmy małą siłę zaburzającą:
rð rð
rð rð
Ć
Ć
dF R r T NÄ™
gdzie R, T i N są odpowiednio składową radialną, tangencjalną (poprzeczną) i
normalną siły zaburzającej.
Wyrazimy pochodne elementów orbitalnych po czasie za pomocą powyższych
składowych
Burns, J.A. 1976, Am. J. Phys., 44, 10
Zagadnienie dwóch ciał
Orbity perturbowane
1. Wielka półoś
Stała energii w ruchu po elipsie jest równa: h
2a
Jeśli teraz zróżniczkujemy to równanie po czasie otrzymamy:
da
2 1
&ð
2a h
dt
pierwsze równanie elementu perturbowanego. Można stąd zauważyd, że zaburzenie,
które  odbiera energię powoduje skurczenie orbity.
Zmiana energii &ð jest wykonanÄ… pracÄ…, liczonÄ… na jednostkÄ™ masy i jednostkÄ™ czasu,
h
przez siłę zaburzającą:
rð
&ð &ð
&ð
h r dF rR r &ð T
Zagadnienie dwóch ciał
Orbity perturbowane
Jeżeli uwzględnimy równania:
na na
&ð
r e sin r &ð 1 e cos
2 2
1 e 1 e
to otrzymamy:
3 2
da a
2 R e sin T 1 e cos
2
dt
1 e
opisujące zmiany wielkiej półosi. Widad stąd, że zmiany te mogą byd wywołane
jedynie przez składowe siły zaburzającej leżące w płaszczyz
nie orbity.
Zagadnienie dwóch ciał
Orbity perturbowane
2. Mimośród
Używając równao:
2
c
e 1 h
G m m a 2a
1 2
możemy napisad:
2
1 2c h
e
2
po zróżniczkowaniu:
2
&ð
&ð
de e 1 2c h
dt 2e c h
Zagadnienie dwóch ciał
Orbity perturbowane
Ponieważ zmiana momentu pędu jest równa przyłożonemu momentowi więc:
rð
rð rð
dc rð rð
Ć
r dF rT Ä™ rN
dt
Drugi czynnik zmienia jedynie kierunek wektora c, ale nie wpływa na jego długośd
stÄ…d:
dc
rT
dt
Wykorzystując to równanie, wyrażenie na da/dt oraz równania:
2 3
&ð
&ð
r a 1 e cos E h n a h a
2
2a 2a
otrzymujemy ostatecznie:
de
1 2
a 1 e R sin T cos cos E
dt
co oznacza, że kształt orbity może byd zmieniony jedynie przez składowe siły
działające w płaszczyz
nie orbity