MECHANIKA NIEBA
WYKA
AD 10
14.05.2008 r
Zagadnienie n ciał
Całki ruchu
z
całka środka masy:
n
rð rð
rð
m r At B
Qi(xi,yi,zi)
i i
i 1
rð
r
ij
całka pól:
rð
Pj(xj,yj,zj)
c const
i
i
0
y całka energii (sił żywych):
T U h
x
Zagadnienie n ciał
Osobliwości
1 U
rð rð rð
&ð &ð
r v v
rð
k k k
m r
k k
gdzie:
m m
j k
U G
1 j k N r
jk
Powyższy układ może nie mied rozwiązania
dla pewnego momentu czasu t=t1  osobliwośd
Osobliwości należą do dwóch klas:
1. zderzeniowe
2. niezderzeniowe
Zagadnienie n ciał
Osobliwości
Problem analizy osobliwości w zagadnieniu n
ciał został zapoczątkowany przez
P.Painlevé w 1895 r.
Szczególnie istotne było poruszenie przez
niego problemu istnienia osobliwości
niezderzeniowych (rozwiązanie zostało
podane sto lat póz
niej).
Równanie ruchu n ciał (przyjmując taki układ
współrzędnych gdzie G=1):
rð rð
n
r r
U
i j
&ðrð&ð
m r m m
rð
i i i j
3
j 1 r r
ij i
Zagadnienie n ciał
Osobliwości
zdefiniujmy zbiór zderzeo:
Z : Uð Z
ji
j i
gdzie:
rð rð rð rð rð
3 n
Z : r r r R r r
ji 1,Kð , n j i
to zbiór takich konfiguracji układu, w których
dochodzi do zderzenia pewnej
liczby punktów
P. Strzelecki 2005, O osobliwych rozwiązaniach zagadnienia n ciał,
POST
PY FIZYKI, Tom 56, Zeszyt 2
Zagadnienie n ciał
Osobliwości
zdefiniujmy zbiór zderzeo:
Z : Uð Z
ji
j i
gdzie:
rð rð rð rð rð
3 n
Z : r r r R r r
ji 1,Kð , n j i
to zbiór takich konfiguracji układu, w których
dochodzi do zderzenia pewnej
liczby punktów
Poza zbiorem zderzeo (R3n\Z), prawa strona
układu:
rð rð
n
r r
rð
i j
&ðr&ð
m m m
i i i j
3
j 1 r
ij
jest funkcją gładką.
P. Strzelecki 2005, O osobliwych rozwiązaniach zagadnienia n ciał,
POST
PY FIZYKI, Tom 56, Zeszyt 2
Zagadnienie n ciał
Osobliwości
Załóżmy, że rozwiązanie r(t) zagadnienia n ciał
posiada osobliwośd w pewnej chwili t*
(przy czym t*<"), wtedy mamy dwie możliwości:
rð rð rð
1. w tym wypadku wektor q
r (t) q, q Z
t t *
jest pewnym ustalonym
punktem  zderzenie
2. trajektoria nie dąży do ustalonego punktu
(należącego do zbioru Z)  mamy osobliwośd
niezderzeniowÄ…
P. Strzelecki 2005, O osobliwych rozwiązaniach zagadnienia n ciał,
POST
PY FIZYKI, Tom 56, Zeszyt 2
Zagadnienie n ciał
Osobliwości
Osobliwośd niezderzeniowa  ruch n punktów
materialnych, w którym nie dochodzi do zderzenia
żadnej ich pary, a jednocześnie po skooczonym
czasie suma wszystkich odległości tych par dąży
do nieskooczoności
Painlevé zadaÅ‚ pytanie o możliwoÅ›d istnienia
osobliwości niezderzeniowej  pokazał
jednocześnie, że w zagadnieniu trzech ciał takie
osobliwości nie występują.
W 1908 r. von Zeipel pokazał, że jeśli istnieje
osobliwośd niezderzeniowa, to maksymalna
odległośd między n punktami, poruszającymi się
zgodnie z zasadami dynamiki Newtona, może w
skooczonym czasie wzrastad do nieskooczoności.
P. Strzelecki 2005, O osobliwych rozwiązaniach zagadnienia n ciał,
POST
PY FIZYKI, Tom 56, Zeszyt 2
Zagadnienie n ciał
Osobliwości
Dopiero w McGehee (1974) oraz Mather i
McGehee (1975) pokazują, że jest możliwe
istnienie osobliwości niezderzeniowej w
układach czterech i pięciu ciał. Jednak w ich
pracach osobliwośd niezderzeniowa pojawia
się po nieskooczonej ilośd zlinearyzowanych
zderzeo (tzw.  rozdmuchiwanie osobliwości).
Ostatecznie rozwiÄ…zanie problemu
poruszonego przez Painlevé podaje Xia (1988)
dla układu pięciu ciał.
P. Strzelecki 2005, O osobliwych rozwiązaniach zagadnienia n ciał,
POST
PY FIZYKI, Tom 56, Zeszyt 2
Zagadnienie n ciał
Osobliwości
Aby zrozumied konstrukcjÄ™ Xia dobrze jest
zacząd od układu trzech ciał takiego jak na
rysunku
Układ dwóch ciał poruszających się bardzo
szybko po ciasnych elipsach (przyciÄ…ganie
zależy wtedy również od odległości między
m1 i m2), tak że w pewnym położeniu
prawie dochodzi do zderzeo.
Trzeci ciało (cząstka) porusza się wzdłuż
prostej przechodzÄ…cej przez barycentrum
mas m1 i m2.
Zagadnienie n ciał
Osobliwości
Układ działa w taki sposób, że gdy m3 mija
barycentrum to m1 i m2 również i dochodzi
do  prawie zderzenia. W efekcie m3 zostaje
gwałtownie przyspieszona i zawrócona
Xia ilustruje to za pomocą piłki do koszykówki
z umieszczoną tuż nad nią piłką tenisową
upuszczonych na ziemiÄ™
Jeżeli piłka do koszykówki uderza w ziemię to
piłka tenisowa odbija się od poruszającej się
do góry piłki do koszykówki
Pęd przekazany mniejszej piłce jest ogromny
i powoduje jej  wystrzelenie w górę
Zagadnienie n ciał
Osobliwości Aby uniknąd wyrzucenia lekkiego ciała do
nieskooczoności , w układzie Xia mamy do
czynienia z dwoma gwiazdami podwójnymi o
parami równych masach.
Do tego układu dodajemy, jako piąte ciało,
lekki wahadłowiec poruszający się wzdłuż
osi z.
Środek masy pięciu ciał znajduje się w
początku układu współrzędnych.
A
ączny moment pędu układu jest równy zeru.
W chwili początkowej wahadłowiec znajduje
się pomiędzy układami podwójnymi i porusza
siÄ™ w kierunku jednego z nich.
Zagadnienie n ciał
Osobliwości
Kiedy mija dany układ zostaje gwałtownie
zawrócony i skierowany w stronę drugiego
układu.
Kiedy dociera do drugiego układu sytuacja
powtarza siÄ™.
Xia wykazał, że masy ciał i warunki początkowe
można dobrad tak, że ruch wahadłowca można
powtórzyd nieskooczenie wiele razy w
skooczonym czasie
Osobliwośd niezderzeniowa pojawia się, bo w
granicy t->t* odległośd płaszczyzn obu gwiazd
podwójnych rośnie do nieskooczoności
Przykład podany przez Xia może byd uogólniony
na dowolny układ n>5 ciał.
Zagadnienie n ciał
RozwiÄ…zania numeryczne
 Zwykłe całkowanie numeryczne
równao ruchu.
Jest bardzo powolne, bo czas
obliczeo zależy od n2
Można go zredukowad używając
pewnych technik
Jest bardzo czułe na błędy użytej
metody całkowania (przykład)
Zagadnienie n ciał
RozwiÄ…zania numeryczne
metoda Barnes-Hut  przykład analizy
zagadnienia n ciał przy zredukowanej
liczbie kroków obliczeniowych (czas obliczeo
rośnie zgodnie z nlogn)
Polega na utworzeniu  drzewa oddziaływao
poprzez podzielenie przestrzeni na komórki,
które na najniższym poziomie zawierają
pojedyncze ciała
Zagadnienie n ciał
RozwiÄ…zania numeryczne
Ruch danej czÄ…stki jest zdeterminowany
przez oddziaływania grawitacyjne innych ciał.
W metodzie B-H zakłada się, że tylko ciała
leżące najbliżej danej cząstki muszą byd
traktowane indywidualnie.
Oddziaływanie od bardziej odległych ciał
wyznaczane jest poprzez uśrednianie po
dużych komórkach.
Metoda B-H nie ma nic wspólnego z modelami
typu PIC (Particle In Cell)!
Zagadnienie n ciał
RozwiÄ…zania numeryczne
Dzięki metodzie B-H można obecnie
efektywnie badad zderzenia galaktyk,
które modeluje się jako zbiory milionów (!)
gwiazd.
Zagadnienie n ciał
RozwiÄ…zania numeryczne
Modyfikacje metody Barnes-Hut polegajÄ…
np. na innym sposobie dzielenie przestrzeni
Mogą to byd na przykład kule lub elipsy
W niektórych wypadkach pozwala to
uzyskad liniową zależnośd czasu obliczeo od
liczby punktów
Fast Multipole Method (Greengard i
Rokhlin 1987)
Zagadnienie n ciał
RozwiÄ…zania numeryczne
Metoda najbliższego sąsiada:
1. dla danego punktu liczymy odległości
od innych
2. jako sąsiadów traktujemy punkty, których
odległości są mniejsze od zadanego
warunku (nie zapominamy o masie)
3. wyznaczmy przyspieszenie pochodzÄ…ce
od sąsiadów
Metoda pozwala uzyskad czas obliczeo
proporcjonalny do liczby punktów (b. szybka)
Zagadnienie n ciał
Rozwiązania szczególne
Pierwsze, stabilne rozwiązania dla n>2 ciał podali
Lagrange i Euler
Skupili się oni głównie na zagadnieniu 3 ciał szukając
symetrii pozwalających uzyskad dokładne rozwiązania.
W trzech przypadkach ciała zawsze znajdowały się
na jednej prostej (wcześniej taki przykład podał
Euler), a w dwóch innych masy leżały w wierzchołkach
trójkąta równobocznego.
Ostatnio (Chenciner i Montgomery 2001) podany został
jeszcze jeden przypadek, w którym trzy ciała poruszają
się po figurze o kształcie ósemki (nieskooczoności& ?).
Zagadnienie n ciał
Rozwiązania szczególne
Duża częśd rozwiązao szczególnych jest uogólnieniem znanych rozwiązao dla układu 3 ciał.
Ogólnie znane rozwiązania dla n ciał można podzielid na kilka klas:
1. płaskie  jeśli w zagadnieniu n ciał możemy w każdym momencie zdefiniowad
płaszczyznę zawierającą wszystkie ciała.
2. współliniowe  w przypadku gdy dla dowolnego momentu czasu wszystkie ciała
znajdujÄ… siÄ™ na jednej prostej
3. homograficzne  kształt utworzony przez n ciał względem
barycentrum jest zachowany, przykład:
Zagadnienie n ciał
Rozwiązania szczególne - przykłady
http://burtleburtle.net/bob/physics/