MECHANIKA NIEBA
WYKA
AD 14
23.06.2008 r
Ograniczone zagadnienie 3 ciał
Ruch w otoczeniu L4 i L5
www.asc.rssi.ru
sajri.astronomy.cz
Ograniczone zagadnienie 3 ciał
Ruch w otoczeniu L4 i L5
Warunek stabilności punktów L4 i L5 :
27 621
0.0385
2
54
Jest spełniony w Układzie Słonecznym dla wszystkich par Słooce-planeta i
planeta-księżyc, poza parą Pluton-Charon (ale Pluton już nie jest planetą)
W 1906 r. został odkryty pierwszy obiekt poruszający się wokół L4 układu
Jowisz-SÅ‚ooce  (588) Achilles
Ograniczone zagadnienie 3 ciał
Ruch w otoczeniu L4 i L5
(3753) Cruithne  pierwszy
obiekt poruszający się wokół
punktu równowagi układu
Ziemia-SÅ‚ooce
Księżyce Kordylewskiego?
Copyright by Paul Wiegert
Ograniczone zagadnienie 3 ciał
Ruch w otoczeniu L4 i L5
Symulacje stabilności obiektów wokół
punktów równowagi układu Słooce-Ziemia
Copyright by Paul Wiegert
Ograniczone zagadnienie 3 ciał
Ruch w otoczeniu L4 i L5
W tym wypadku mamy:
1 3
r r 1 x y
1 2 2
2 2
skÄ…d:
U 3 / 4 U 9 / 4 U 3 3 1 2 / 4
xx yy xy 2
Równanie charakterystyczne przyjmuje postad:
27
4 2
1 0
2 2
4
Ograniczone zagadnienie 3 ciał
Ruch w otoczeniu L4 i L5
Wybraliśmy układ jednostek, w którym ruch średni
masy ź2 jest jednostkowy, a okres orbitalny = 2Ą
Ruch cząstki jest złożeniem dwóch ruchów:
- krótkookresowego, okres= 2Ą/|1,2| jest zbliżony
do okresu orbitalnego masy ź2
- libracyjnego wokół punktu równowagi,
okres= 2Ä„/|3,4|
Amplitudy tych ruchów zależą od staÅ‚ych Ä…j, ²j,
które zależą od warunków początkowych
Ruch wypadkowy można traktowad jako złożenie
długookresowego ruchu epicentrum wokół L4 i
krótkookresowego ruchu wokół epicentrum
Ograniczone zagadnienie 3 ciał
Ruch w otoczeniu L4 i L5
Przykład:
0.01, x 0.49 , y 3 / 2
2 0 0
5
&ð &ð
X Y 10 , X Y 0
0 0 0 0
odpowiednie wartości własne są równe:
2.90 2.32 i
Wtedy rozwiÄ…zanie ma postad:
5 5
X t 3.45 10 cos 0.268 t 2.45 10 cos 0.963 t
4 5
3.07 10 sin 0.268 t 8.55 10 sin 0.963 t
5 5
Y t 5.20 10 cos 0.268 t 4.20 10 cos 0.963 t
4 5
1.76 10 sin 0.268 t 4.90 10 sin 0.963 t
Ograniczone zagadnienie 3 ciał
Ruch w otoczeniu L4 i L5
Ze względu na nachylenie orbity w stosunku do
osi łączącej masy, można dokonad uproszczenia
zagadnienia przez obrót układu współrzędnych
o 30 :
oð oð
X ' t X t
cos 30 sin 30
oð oð
Y ' t Y t
sin 30 cos 30
Wtedy X(t) i Y(t) z przykładu przyjmują wartości:
4 5
X ' t 3.54 10 sin 0.268 t 9.85 10 sin 0.963 t
5 5
Y ' t 6.23 10 cos 0.268 t 4.86 10 cos 0.963 t
SÄ… to dwa ruchy po elipsie. Ruch przypomina
wcześniej analizowane przybliżenie  guiding
center
Ograniczone zagadnienie 3 ciał
Orbity typu kijanki (tadpole)
sajri.astronomy.cz
Ograniczone zagadnienie 3 ciał
Orbity typu kijanki (tadpole)
x x 0.0065 x x 0.008
0 0
x 1 2
0 2
y y 0.0065 y y 0.008
0 0
y 3 2
0
x y 0 x y 0
&ð &ð &ð &ð
ź2=0.001  podobnie jak w przypadku układu Słooce-Jowisz
Na prawym wykresie ruch cząstki rozpoczął się nieco dalej od punktu równowagi
Co się stanie jeżeli ruch rozpocznie się jeszcze dalej?
Ograniczone zagadnienie 3 ciał
Orbity typu podkowy (horseshoe)
x 0.97668 x 1.02745
0.000953875
2
y x 0 y x 0
&ð &ð
y 0.06118 y 0.04032
&ð &ð
Kąt jaki zakreśla cząstka może osiągnąd wartości dużo większe od 180
Ograniczone zagadnienie 3 ciał
Orbity typu podkowy (horseshoe)
Ograniczone zagadnienie 3 ciał
Orbity typu kijanki (tadpole)
Janus
Prometeusz
Copyright by Calvin J. Hamilton
Ograniczone zagadnienie 3 ciał
Orbity typu podkowy (horseshoe)
planetoida 2002 AA29
porusza siÄ™ po orbicie
typu podkowy w układzie
Ziemia-SÅ‚ooce
Copyright by Paul Wiegert
Ograniczone zagadnienie 3 ciał
Orbity typu podkowy (horseshoe)
planetoida 2002 AA29
Copyright by Paul Wiegert
Ograniczone zagadnienie 3 ciał
Orbity typu podkowy (horseshoe)
3753 Cruithine
Copyright by Paul Wiegert
Ograniczone zagadnienie 3 ciał
Quasi - księżyce
Tego rodzaju obiekty mogÄ… zajmowad
stabilne orbity przez cały czas życia
Układu Słonecznego
Preferowane sÄ… dalsze planety 
quasi-księżyce znaleziono w przypadku
Urana i Neptuna
Copyright by Paul Wiegert
Ograniczone zagadnienie 3 ciał
Równania Hilla
Ruch cząstki wokół centralnej masy jest przez
większośd czasu keplerowski. Perturbacje
pojawiajÄ… siÄ™ jedynie przy bliskim spotkaniu z
drugÄ… masÄ….
Przykładem takiego ruchu są orbity typu podkowy
i kijanki.
Poza rozwiązywaniem pełnych równao ruchu warto
zbadad ruch wokół mniejszej masy.
Podstawy tego zagadnienia sformułował Hill (1878)
Ograniczone zagadnienie 3 ciał
Równania Hilla
Jeżeli różnica mas jest duża możemy przyjąd,
że ź1H"1, wtedy równania ruchu płaskiego:
x x x
2
2 1
x &ð
&ð&ð 2ny n x
1 2
3 3
r r
1 2
2
1 2
y &ð
&ð&ð 2nx n y y
3 3
r r
1 2
przyjmujÄ… postad:
x x 1
x &ð
&ð&ð 2 y x
2
3 3
r r
1 2
y y
y &ð
&ð&ð 2 x y
2
3 3
r r
1 2
Ograniczone zagadnienie 3 ciał
Równania Hilla
W następnym kroku dokonujemy przesunięcia
początku układu współrzędnych tak, że x->1+x
i wprowadzamy "=r2.
Rozpatrujemy ruch w pobliżu masy m2 (tzn. w
okolicy punktów L1 i L2), więc x,y oraz " są
małymi wielkościami.
Rozwijając w szereg wyrażenie:
2
2 2
r x y
1 2
i zaniedbując wyższe potęgi ź2, dostajemy:
1 / 2
r 1 2 x
1
co pozwala przepisad równania ruchu w postaci:
Ograniczone zagadnienie 3 ciał
Równania Hilla
U
2 H
x &ð
&ð&ð 2 y 3 x (14.1a)
3
x
U
2 H
y &ð
&ð&ð 2 x y
3
(14.1b)
y
Są to tzw. równania Hilla, gdzie:
3
2 2 2 2
2
U x x y
H
2
a zmodyfikowana stała Jacobiego jest równa:
2 2 2
2
C 3x 2 x y
&ð &ð
H
(14.2)
Ograniczone zagadnienie 3 ciał
Równania Hilla
Z równania 14.1a widzimy, że radialna składowa
siły znika kiedy 3"3=ź2.
To pozwala zdefiniowad sferÄ™ Hilla jako sferÄ™
o promieniu:
1 / 3
2
H
3
otaczajÄ…cÄ… drugÄ… masÄ™.
Analogiczny wynik był uzyskany w przypadku
wyznaczania położeo punktów L1 i L2
(wykład 13):
1 / 3
2
3
1
Ograniczone zagadnienie 3 ciał
Równania Hilla
Podstawiając w równaniach 14.1:
x y &ð&ð &ð&ð 0 x 0
&ð &ð x y
możemy znalez
d położenie punktów L1 i L2.
Z równania 14.1a mamy:
1 / 3
2
L
1 , 2
3
a z równania 14.2 dostajemy odpowiednią
zmodyfikowaną stałą Jacobiego:
3 / 4 2 / 3
C 3
H 2
jeżeli zapiszemy:
krzywe zerowej prędkości
2 / 3
(14.3)
w otoczeniu punktów L1 i L2 C
H 2
to orbity typu podkowy są możliwe w
obszarze, w którym ś<34/3.
Ograniczone zagadnienie 3 ciał
Równania Hilla
Użyjemy teraz kryterium Tisseranda do wyznaczenia zależności między elementami
orbitalnymi przed i po spotkaniu z satelitÄ….
Niech elementy orbitalne przed i po spotkaniu z satelitą będą równe odpowiednio:
a 1 a e e
1 1 1
a 1 a e e
2 2 2
gdzie wszystkie wielkości oznaczone przez " są małe.
Z kryterium Tisseranda mamy:
1 1 1 / 2
1 / 2
2 2
a 1 e cos I const 2 1 a 1 e const
2a 1 a
co może byd rozwinięte do postaci:
3 3 3
2 2 2 2 2 2
lub:
a e const a e a e
1 1 2 2
4 4 4
Ograniczone zagadnienie 3 ciał
Równania Hilla
Tą samą zależnośd można uzyskad z równao Hilla:
2 2
x &ð y &ð
&ð&ð 2 y 3 x &ð&ð 2 x y
3 3
w przypadku dużych wartości ":
(14.4)
x &ð y &ð
&ð&ð 2 y 3x &ð&ð 2 x 0
co może byd zapisane jako (przy użyciu 14.2 i 14.3):
2 2 2 2 / 3
x y 3x
&ð &ð
2
Używając teraz przybliżenia  guiding centre możemy zapisad (n=1):
x a e sin t x e cos t &ð&ð e sin t
&ð x
wtedy z równao 14.4:
3
y a 2e sin t
&ð
2
y
&ð&ð 2e cos t
Ograniczone zagadnienie 3 ciał
Równania Hilla
Uzyskane wyrażenia można użyd do przekształcenia równania:
2 2 2 2 / 3
x y 3x
&ð &ð
2
do postaci:
2
3
2
2 2 2 / 3
e cos t a 2e sin t 3 a e sin t
2
2
z którego mamy:
3
2 2 2 / 3
a e
2
4
gdzie prawa strona jest stała.
Ograniczone zagadnienie 3 ciał
Równania Hilla
Równania Hilla skalują się z ź21/3. Jeśli podstawimy:
1 / 3 1 / 3 1 / 3
2 2 2
x x ' y y' '
3 3 3
to równania ruchu 14.1 przyjmują postad:
1
x &ð
&ð&ð' 2 y' 3x ' 1
3
'
y'
y &ð
&ð&ð' 2 x ' 3
3
'
Trajektorie czÄ…stki otrzymane ze
skalowalnej postaci równao Hilla.
Masa perturbujÄ…ca jest w poczÄ…tku
układu
Ograniczone zagadnienie 3 ciał
Księżyce  pasterskie
www.astro.ljmu.ac.uk
www.universetoday.com
Ograniczone zagadnienie 3 ciał
Księżyce  pasterskie
Copyright of Cassini Team