MECHANIKA NIEBA
WYKA
AD 12
28.05.2008 r
Formalizm Lagrange a
Równania Lagrange a
Formalizm Lagrange a polega na opisywaniu układów dynamicznych za pomocą:
1. współrzędnych i prędkości uogólnionych
2. funkcji Lagrange a
3. równao ruchu Lagrange a drugiego rodzaju
Układ n punktów materialnych jest opisany, w dowolnym momencie czasu,
3n współrzędnymi:
rð
r x , y , z
1 1 1 1
rð
r x , y , z
2 2 2 2
Mð
rð
r x , y , z
n n n n
W miejsce tych współrzędnych wprowadzamy współrzędne uogólnione q, które
mogą byd dowolnymi funkcjami r i mogą zależed jawnie od czasu.
Formalizm Lagrange a
Równania Lagrange a
Prędkości uogólnione uzyskujemy różniczkując po czasie współrzędne uogólnione, w
efekcie mamy:
rð
q q r , t
i i
rð q
i
&ð
&ð
q r q
i i
t
gdzie i=1,2,& ,N (N jest liczbÄ… stopni swobody)
Funkcja Lagrange a (lagranżjan, potencjał kinetyczny) jest definiowana następująco:
rð rð rð rð rð
&ð &ð
L q, q, t T q, q, t V q, t
Znając potencjał kinetyczny układu o N stopniach swobody możemy otrzymad równania
Lagrange a drugiego rodzaju.
Formalizm Lagrange a
Równania Lagrange a
Równania Lagrange a drugiego rodzaju:
d L L
0, i 1,2,..., N
&ð
dt q q
i i
tworzą układ równao rzędu 2N.
Równania Lagrange a nie ulegają zmianie podczas transformacji zmiennych uogólnionych
(czyli zmianie układu odniesienia).
Zdefiniujmy transformacjÄ™ do N nowych zmiennych y1,y2,& ,yN:
q q y , y ,..., y i 1,2,..., N
i i 1 2 N
wtedy potencjał kinetyczny:
~
&ð &ð &ð
L q y , q y , y , t L y , y , t
i j i j j i i
Formalizm Lagrange a
Równania Lagrange a
~
&ð
L L q L q
i i
Poza tym:
k 1,2,..., N
&ð
y q y q y
k i k i k
~
L L q L d q
i i
k 1,2,..., N
co można przepisad w postaci:
&ð
y q y q dt y
k i k i k
~
&ð
L L q
i
Ponieważ qi nie zależą od pochodnych yk, więc mamy:
y q y
&ð &ð &ð
k i k
&ð
q q q
i i i
&ð &ð
Oprócz tego należy pamiętad, że: q y
i k
y y y
&ð
k k k
Formalizm Lagrange a
Równania Lagrange a
Uwzględniając te zależności w równaniu Lagrange a drugiego rodzaju dostajemy:
~ ~
L d L L q L d q d L q
i i i
y dt y q y q dt y dt q y
&ð &ð &ð
k k i k i k i k
L d L q
i
&ð
q dt q y
i i k
ponieważ:
d L L
0, i 1,2,..., N
&ð
dt q q
i i
więc mamy również:
~ ~
L d L
0, k 1,2,..., N
y dt y
&ð
k k
Co oznacza, że równania Lagrange a nie ulegają zmianie przy zmianie układu
współrzędnych
Formalizm Lagrange a
CzÄ…stka w potencjale radialnym
Potencjał posiadający symetrię sferyczną ma ogólną postad V=V(r). Wprowadz
my
współrzędne biegunowe:
q r, q , q
1 2 3
Transformacji między układami dokonujemy poprzez:
x r cos cos
rð
r y r cos sin
z r sin
różniczkując po czasie
x
&ð
&ð
r y &ð z cos
r
x
&ð
rð y
&ð
r y r x &ð z sin
&ð &ð
r
z
&ð
z
2 2
&ð
r &ð x y
r
Formalizm Lagrange a
CzÄ…stka w potencjale radialnym
Funkcja Lagrange a na jednostkę masy (dla dowolnego potencjału)
rð rð 1
2
2 2 2 2
&ð &ð
&ð
L q, q r r cos r &ð V
2
Korzystając z niej możemy napisad równania ruchu cząstki:
V
2 2
&ð
&ðr&ð r cos r &ð
r
d V
2 2
&ð
r cos
dt
d V
2 2 2
&ð
r &ð r sin cos
dt
Formalizm Lagrange a
CzÄ…stka w potencjale radialnym
V V
0
W przypadku potencjału radialnego mamy:
Wtedy dwa ostatnie równania ruchu przyjmują postad:
d
2 2
&ð
r cos 0
dt
d
2 2 2
&ð
r &ð r sin cos 0
dt
Oznacza to, że dla potencjału o symetrii sferycznej:
1. Wszystkie orbity są krzywymi płaskimi  zawsze istnieje rozwiązanie trywialne
Ć=0, dĆ/dt=0, które otrzymamy przez odpowiedni wybór płaszczyzny odniesienia
2. Każde zagadnienie posiada całkę pól:
2
&ð
r const
Formalizm kanoniczny
Równania Hamiltona
Mamy układ o M stopniach swobody , który jest opisany przez M współrzędnych
uogólnionych qi. Układ posiada funkcję Lagrange a.
Transformacja Legendre a
rð
rð rð rð
&ð
{q, q , L} {q, Q , H}
i
współrzędnym i prędkościom uogólnionym przypisuje położenia i pędy uogólnione,
natomiast funkcji Lagrange a przypisuje nowÄ… funkcjÄ™  funkcjÄ™ Hamiltona (hamiltonian)
Możemy przekształcid układ N równao drugiego rzędu (równania Lagrange)
w 2N równao pierwszego rzędu (równania kanoniczne Hamiltona):
H H
&ð
&ð
q , Q
i i
Q q
i i
Formalizm kanoniczny
Równania Hamiltona
Pędy uogólnione:
L
Q , i 1,2,..., M
i
&ð
q
i
Hamiltonian:
rð rð
rð rð
&ð
H q, Q, t Q q L
jeżeli nie zależy jawnie od czasu to jest całką ruchu:
rð
rð
H q, Q const
Poza tym hamiltonian określa całkowitą energię układu jeżeli:
1. transformacja z wektorów r do współrzędnych uogólnionych nie zależy jawnie od czasu
2. potencjał V(r) nie zależy jawnie od czasu
Ograniczone zagadnienie 3 ciał
Równania ruchu
W polu grawitacyjnym dwóch mas
porusza siÄ™ czÄ…stka o zaniedbywalnie
małej masie
Zakładamy, że obie masy poruszają
się po orbitach kołowych wokół
barycentrum
Masa cząstki jest tak mała, że nie
wywiera żadnej siły na obie masy
Ograniczone zagadnienie 3 ciał
Równania ruchu
Nieruchomy układ współrzędnych
(¾,·,Å›) jest zaczepiony w barycentrum
układu
r2
ź2
OÅ› ¾ pokrywa siÄ™ z kierunkiem m1m2
·
w chwili t0
(¾2,·2,Å›2)
r1
r
Ruch obu mas odbywa siÄ™ w
płaszczyz
nie ¾-·. OÅ› Å› jest prostopadÅ‚a
do niej i zgodna ze zwrotem wektora
momentu pędu
nt
¾
O
Obie masy sÄ… stale w tej samej
ź1
odległości od siebie i poruszają się ze
stałą prędkością wokół siebie i środka
masy.
(¾1,·1,Å›1)
Ograniczone zagadnienie 3 ciał
Równania ruchu
Jednostki dobieramy tak aby
ź=G(m1+m2)=1. Jeśli dodatkowo
założymy, że m1>m2 to:
r2
ź2
m
2
·
m m
(¾2,·2,Å›2)
1 2
r1
r
wtedy w obranym układzie jednostek
masy ciał są równe:
Gm 1 Gm
1 1 2 2
nt
Jednostkę odległości dobieramy tak
¾
O
aby odległośd miedzy masami była
ź1
równa 1
Wtedy wspólny ruch średni, n, obu
(¾1,·1,Å›1)
mas jest również równy 1
Ograniczone zagadnienie 3 ciał
Równania ruchu
Równania ruchu cząstki:
r2
1 2
ź2
&ð&ð
1 2
3 3
r r
1 2
·
(¾2,·2,Å›2)
1 2
r1
(12.1)
&ð&ð
1 2
3 3
r
r r
1 2
1 2
&ð&ð
1 2
3 3
r r
1 2
nt
gdzie:
¾
O
ź1
2 2 2
2
r
1 1 1 1
2 2 2
2
r
2 2 2 2
(¾1,·1,Å›1)
Ograniczone zagadnienie 3 ciał
Równania ruchu
Obie masy poruszają się po kołowych
orbitach z jednakowym ruchem średnim
Z tego powodu ruch czÄ…stki jest
r2
ź2
wygodnie opisywad w układzie (x,y,z)
·
rotującym ze stałą prędkością
(¾2,·2,Å›2)
r1
y
r
Kierunek osi x jest dobrany tak, aby
obie masy leżały zawsze na niej, tzn.:
x
x , y , z ,0,0
1 1 1 2
x , y , z ,0,0
nt 2 2 2 1
wtedy:
¾
O
ź1
2
2 2 2
r x y z
1 2
2
2 2 2
r x y z
2 1
(¾1,·1,Å›1)
gdzie (x,y,z) są współrzędnymi cząstki
w układzie rotującym
Ograniczone zagadnienie 3 ciał
Równania ruchu
Współrzędne (x,y,z) można wyrazid w układzie nieruchomym poprzez zwykły obrót:
cos nt sin nt 0 x
sin nt cos nt 0 y (12.2)
0 0 1 z
w tym i następnych równaniach n będzie obecne (pomimo tego, że wybraliśmy n=1) dla
podkreślenia tego, że wszystkie czynniki w równaniach ruchu są przyspieszeniami
Różniczkujemy powyższą równośd:
&ð
cos nt sin nt 0 x ny
&ð
&ð sin nt cos nt 0 y nx
&ð
(12.3)
&ð
0 0 1 z
&ð
Ograniczone zagadnienie 3 ciał
Równania ruchu
Różniczkujemy ponownie:
2
&ð&ð
cos nt sin nt 0 &ð&ð 2 ny n x
x &ð
2
&ð&ð sin nt cos nt 0 &ð&ð 2nx n y
y &ð
&ð&ð
0 0 1 &ð&ð
z
Przejście do rotującego układu odniesienia powoduje pojawienie się czynników
&ð &ð
zwiÄ…zanych z przyspieszeniem Coriolisa 2 nx ,2 ny oraz przyspieszeniem
odśrodkowym (n2x,n2y).
Otrzymane wyrażenia na współrzÄ™dne ¾, ·, Å› oraz ich drugie pochodne można
użyd do wyrażenia równao ruchu za pomocą współrzędnych x,y,z związanych z
rotującym układem współrzędnych
Ograniczone zagadnienie 3 ciał
Równania ruchu
Otrzymujemy:
x x x x
2 2
1 2 1 2
x &ð y &ð
&ð&ð 2ny n x cos nt &ð&ð 2nx n y sin nt cos nt y sin nt
1 2
3 3 3 3
r r r r
1 2 1 2
x x x x
2 2
1 2 1 2
x &ð y &ð
&ð&ð 2ny n x sin nt &ð&ð 2nx n y cos nt sin nt y cos nt
1 2
3 3 3 3
r r r r
1 2 1 2
1 2
z
&ð&ð z
3 3
r r
1 2
Pomnożymy pierwsze z równao przez cos nt, a drugie przez sin nt i dodamy do siebie, a
następnie pierwsze przez  sin nt i drugie przez cos nt i dodamy do siebie. W efekcie
dostajemy:
Ograniczone zagadnienie 3 ciał
Równania ruchu
x x x
2
2 1
x &ð
&ð&ð 2ny n x
1 2
3 3
r r
1 2
2
1 2
y &ð
&ð&ð 2nx n y y
3 3
r r
1 2
1 2
z
&ð&ð z
3 3
r r
1 2
Powyższe przyspieszenia można wyrazid jako gradient skalarnej funkcji U=U(x,y,z)
U
x &ð
&ð&ð 2 ny
x
U
(12.4)
y &ð
&ð&ð 2 nx
y
U
z
&ð&ð
z
Ograniczone zagadnienie 3 ciał
Równania ruchu
gdzie:
2
n
2 2
1 2
U x y
2 r r
1 2
w powyższym równaniu x2+y2 jest potencjałem odśrodkowym a czynniki 1/r1 i 1/r2
odpowiadają potencjałowi grawitacyjnemu. Pochodne cząstkowe tych czynników
dają wkład do siły odśrodkowej i grawitacyjnej.
Funkcja U nie jest prawdziwym potencjałem, ale funkcją skalarną, z której można
wyznaczyd niektóre (nie wszystkie) przyspieszenia jakich doznaje cząstka w układzie
rotującym. Taka funkcja U jest  pseudo potencjałem .
Ograniczone zagadnienie 3 ciał
Całka Jacobiego
Mnożąc równania 12.4 kolejno przez pierwsze pochodne x,y,z i dodając do siebie
dostajemy:
U U U dU
x&ð&ð y&ð&ð z&ð&ð x y z
&ð x &ð y &ðz &ð &ð &ð
x y z dt
Po scałkowaniu:
2 2 2
x y z 2U C
&ð &ð &ð
J
gdzie CJ jest stałą całkowania. Lewa strona jest kwadratem prędkości w układzie
rotujÄ…cym, stÄ…d:
2
v 2U C
J
wykorzystując otrzymane wcześniej wyrażenie na potencjał:
2 2 2 2 2 2
1 2
C n x y 2 x y z
&ð &ð &ð
J
r r
1 2
CJ jest tzw. całką Jacobiego. Jest to jedyna znana całka ruchu w ograniczonym
zagadnieniu 3 ciał.
To nie jest całka energii!  w ograniczonym zagadnieniu trzech ciał energia i całkowity
moment pędu nie są zachowane
Ograniczone zagadnienie 3 ciał
Całka Jacobiego
CJ można wyrazid również we współrzędnych układu nieruchomego. W tym celu możemy
wykorzystad uzyskane wcześniej wyrażenia (12.2, 12.3) na przejście między układem
nieruchomym i obracajÄ…cym siÄ™:
&ð
x cos nt sin nt 0 x ny cos nt sin nt 0
&ð
y sin nt cos nt 0 y nx sin nt cos nt 0 &ð
&ð
&ð
z 0 0 1 z 0 0 1
&ð
Drugie z wyrażeo można zapisad nieco inaczej:
x ny x sin nt cos nt 0
&ð &ð
y nx y n cos nt sin nt 0
&ð &ð
z z 0 0 0
&ð &ð
Ograniczone zagadnienie 3 ciał
Całka Jacobiego
Porównując oba wyrażenia:
&ð
x cos nt sin nt 0 sin nt cos nt 0
&ð
(12.5)
y sin nt cos nt 0 &ð n cos nt sin nt 0
&ð
&ð
z 0 0 1 0 0 0
&ð
Wprowadzamy oznaczenia:
cos nt sin nt 0 sin nt cos nt 0
rð rð
A sin nt cos nt 0 B cos nt sin nt 0
0 0 1 0 0 0
Możemy z 12.5 otrzymad:
Ograniczone zagadnienie 3 ciał
Całka Jacobiego
&ð
x
&ð
rð rð rð rð
2 2 2 T T
&ð &ð &ð &ð
x y z x y z y &ð A A &ð n &ð A B
&ð &ð &ð &ð &ð &ð &ð
&ð
z
&ð
&ð
rð rð rð rð
T 2 T
n B A &ð n B B
&ð
2 2 2 2 2 2
&ð &ð &ð
&ð n 2n &ð
Macierze A i B są ortogonalne więc macierze odwrotne są po prostu macierzami
transponowanymi. Ponieważ obrót nie zmienia odległości więc:
2 2 2 2 2 2
x y z
Ograniczone zagadnienie 3 ciał
Całka Jacobiego
W takim razie całka Jacobiego wyrażona we współrzędnych układu nieruchomego:
2 2 2
1 2
&ð &ð &ð
C 2 2n &ð &ð
J
r r
1 2
co można przepisad w postaci:
1 rð rð 1 rð
2 2 2
1 2
&ð &ð
&ð c n C ; n 0,0, n
J
2 r r 2
1 2
Lewa strona tego równania jest całkowitą energią na jednostkę masy cząstki. Ponieważ
iloczyn momentu pędu i ruchu średniego nie jest stały, więc jasnym jest dlaczego
całkowita energia nie jest zachowana w ograniczonym zagadnieniu trzech ciał.
Całka Jacobiego nie przydaje się do uzyskania dokładnego rozwiązania ograniczonego
zagadnienia trzech ciał, ale może byd użyta do wyznaczenia obszarów wzbronionych
dla ruchu czÄ…stki.
Ograniczone zagadnienie 3 ciał
Całka Jacobiego
Użytecznośd całki Jacobiego jest dobrze
widoczna przy analizie miejsc, w których
prędkośd cząstki jest równa 0. Mamy wtedy:
2U C
J
2 2 2
1 2
n x y 2 C
J
r r
1 2
CJ=3.9
Powyższe równanie definiuje powierzchnie dla
danej wartości CJ  powierzchnie zerowej
prędkości.
Są one przydatne przy określaniu warunków
brzegowych dla ruchu czÄ…stki
CJ=3.7
Ograniczone zagadnienie 3 ciał
Całka Jacobiego
Dla ułatwienia ograniczymy się do płaszczyzny
x-y.
W takim wypadku przecięcia powierzchni
zerowej prędkości z płaszczyzną x-y dają
krzywe zerowej prędkości (rysunek).
Z równania:
2 2 2
CJ=3.9
x y z 2U C
&ð &ð &ð
(12.7)
J
widad, że zawsze musi byd 2U>=CJ, bo w
przeciwnym razie prędkośd ma wartośd
zespoloną. Stąd równanie 12.7 definiuje
obszary, w których ruch jest dozwolony.
CJ=3.7
Ograniczone zagadnienie 3 ciał
Całka Jacobiego
Obszary szare sÄ… zakazane dla ruchu czÄ…stki
Wez
my przypadek CJ=3.9.
Wynika stąd, że jeżeli cząstka znajduje się w
dozwolonym obszarze wokół ź1 to nie może
nigdy krążyd wokół ź2, a także nie może uciec z
układu ponieważ nie może poruszad się przez
obszar wzbroniony.
CJ=3.9
To jest podstawa teorii stabilnych orbit Hilla
Należy jednak pamiętad, że powyższe wnioski
dotyczÄ… przypadku gdy dwie masy poruszajÄ…
po kołowych orbitach wokół barycentrum, a
trzecia masa nie działa na nie siłą grawitacyjną
CJ=3.7
Ograniczone zagadnienie 3 ciał
Kometa porusza siÄ™ poczÄ…tkowo po orbicie
Kryterium Tisseranda
o elementach a, e, I
Po bliskim przejściu w pobliżu Jowisza orbita
ulega zmianie, a nowe parametry to: a , e , I
Całka Jacobiego (która pozostaje stała
podczas zbliżenia) może byd wykorzystana do
uzyskania związku między tymi elementami
orbita
orbita
komety
Jowisza Położenie i prędkośd komety w układzie
nieruchomym:
rð rð
&ð &ð &ð
r , , r , &ð ,
Całka Jacobiego w tym układzie:
SÅ‚ooce
2 2 2
1 2
&ð &ð &ð
bliskie C 2 2n &ð &ð
J
r r
przejście
1 2
gdzie r1 i r2 są odpowiednio odległością komety
od SÅ‚ooca i Jowisza
Ograniczone zagadnienie 3 ciał
Kryterium Tisseranda
Wybieramy układ jednostek, w którym wielka
półoś i ruch średni Jowisza są jednostkowe
Ponieważ masy Jowisza i komety są dużo
mniejsze od masy SÅ‚ooca:
G m m G m m 1
S k S J
orbita
orbita Całka energii dla układu dwóch ciał
komety
Jowisza
kometa-SÅ‚ooce:
2 1
2 2 2
&ð &ð
&ð
r a
całkowity moment pędu (kometa-Słooce) na
SÅ‚ooce
jednostkÄ™ masy:
rð rð rð
&ð
bliskie
c r r
przejście
Ograniczone zagadnienie 3 ciał
Kryterium Tisseranda
Jeśli I jest nachyleniem orbity komety względem
pÅ‚aszczyzny orbity Jowisza, to skÅ‚adowa ¾-owa
wektora momentu pędu:
&ð
&ð c cos I
gdzie w naszym układzie jednostek mamy:
orbita
2 2
c a 1 e
orbita
komety
Jowisza
Ostatecznie całka Jacobiego przyjmuje postad:
2 1 2 1 1
2
2 a 1 e cos I 2 C
2 J
r a r r r
2
SÅ‚ooce
bliskie
przejście
Ograniczone zagadnienie 3 ciał
Kryterium Tisseranda Jeśli założymy, że kometa znajduje się
stosunkowo daleko od Jowisza (1/r2 jest zawsze
małe) i pominiemy wyrażenia z ź2, to kryterium:
1
2
a 1 e cos I const
2a
W takim razie zależnośd między elementami
orbitalnymi komety przed i po  spotkaniu z
Jowiszem:
orbita
orbita
komety
1 1
2 2
Jowisza
a 1 e cos I a ' 1 e' cos I'
2a 2a '
Ta zależnośd jest zwana kryterium Tisseranda.
SÅ‚ooce
Może byd użyte do określenia, czy odkryta
bliskie
kometa jest obiektem znanym wcześniej, którego
przejście
elementy orbitalne uległy zmianie po przejściu
w pobliżu planety
Ograniczone zagadnienie 3 ciał
Kryterium Tisseranda
Przykład.
Murray,Dermott 1999
PoczÄ…tkowe parametry orbity
komety:
a=4.81 AU
e=0.763
I=7.47o
Po przejściu w pobliżu Jowisza:
a =10.8 AU
e =0.731
I =21.4o
czas (lata)
Zmiana stałej Tisseranda dla dwóch wyznaczeo orbity komety przy założeniu kołowej i
eliptycznej orbity Jowisza.
Można zauważyd, że stała zmienia się bardzo niewiele w obu przypadkach, a więc może
byd traktowana jako stała nawet w przypadku bardziej rzeczywistego przybliżenia orbity
Jowisza
Ograniczone zagadnienie 3 ciał
Punkty równowagi Lagrange a
Pozycje dwóch mas m1 i m2 poruszających
po kołowych orbitach wokół wspólnego środka
masy pozostają niezmienne w układzie rotującym
P
wokół barycentrum ze stałą prędkością.
F2
F1
Punkty równowagi  miejsca, w których cząstka p
F
poruszająca się z pewną prędkością w układzie
a
nieruchomym będzie stacjonarna w układzie
c
b
rotujÄ…cym
Należy pamiętad, że w takim punkcie cząstka
nadal podlega działaniu kilku sił i w układzie
O
nieruchomym porusza siÄ™ po orbicie keplerowskiej
m1 m2
Ograniczone zagadnienie 3 ciał
Punkty równowagi Lagrange a
Niech wektory a,b,c oznaczajÄ… odpowiednio
położenia masy m1, barycentrum i m2
względem punktu P
P
F2
F1 i F2  siły (na jednostkę masy) działające na
F1
czÄ…stkÄ™ P skierowane do mas m1 i m2
F
a
Jeśli P znajduje się w stałym położeniu w układzie
c
b
rotującym to znajduje się w stałej odległości b od
barycentrum, które jest jedynym punktem stałym
w układzie nieruchomym.
O
P podlega działaniu siły odśrodkowej, która jest
m1 m2
równoważona przez:
rð rð rð
F F F
1 2
Ograniczone zagadnienie 3 ciał
Punkty równowagi Lagrange a
Położenie barycentrum:
rð rð
rð
m a m c
1 2
P
b
m m
F2
1 2
F1
F
rð rð
rð rð
a
m a b m b c
1 2
c
b
Po pomnożeniu wektorowo przez F1+F2:
rð rð
rð rð
m F c m F a 0
2 1 1 2
Ponieważ kąt między F1 i c jest równy minus
O
kąt między F2 i a, więc możemy napisad
m1 m2
powyższe równanie w postaci skalarnej:
m F1c m F2a
2 1
Ograniczone zagadnienie 3 ciał
Punkty równowagi Lagrange a
W przypadku sił grawitacyjnych:
m m
1 2
P
F G , F G
1 2
2 2
a c
co w połączeniu z równaniem:
Å‚
²
m F1c m F2a
2 1
daje: a=c  trójkąt utworzony przez cząstkę
a
a
i obie masy jest równoramienny
b
W takim razie wszystkie punkty P, dla których
Ä… Ä…
F przechodzi przez barycentrum są położone
g
O
na linii prostopadłej do linii łączącej masy
m1 m2
m1 i m2.
d
Ograniczone zagadnienie 3 ciał
Punkty równowagi Lagrange a Siła odśrodkowa równoważy siłę skierowaną
do barycentrum, stÄ…d:
2
n b F cos F cos
1 2
P
co dla sił grawitacyjnych daje:
G
2
Å‚
n m b cos m b cos
²
1 2
2 2
a b
z trójkątów utworzonych przez punkty O, P i
a
obie masy mamy:
a
b cos a g cos
b
b cos a d g cos
Ä… Ä…
d
g
O
cos
m1 m2 2a
a z definicji środka masy:
d
m m
2 1
g d d g d
m m m m
1 2 1 2
Ograniczone zagadnienie 3 ciał
Punkty równowagi Lagrange a
Wykorzystując te zależności możemy równanie:
2
n b F cos F cos
1 2
P
zapisad w postaci:
G m m m m
2 2 2
1 2 1 2
(12.6)
n a d
2
3 2
Å‚
²
a b
m m
1 2
z tw. cosinusów:
2 2 2 2 2
a
a b a g 2ag cos a g gd
b
Podstawiając w powyższym wyrażenia na g
wynikające z definicji środka masy dostajemy:
Ä… Ä…
g
O
m m
2 2 2
1 2
b a d
m2
2
m1
m m
1 2
d
co w połączeniu z 12.6 daje:
m m
2
1 2
n G
3
a
Ograniczone zagadnienie 3 ciał
Punkty równowagi Lagrange a
Oprócz tego układ odniesienia rotuje w układzie
nieruchomym z prędkością kątową n więc:
P
m m
2
1 2
n G
3
d
Å‚
²
czyli a=d
a
a
b
Ä… Ä…
g
O
m2
m1
d