MECHANIKA NIEBA
WYKA
AD 11
21.05.2008 r
Zagadnienie n ciał
Prolog  jeszcze o symulacjach
Przykłady rozwiązao numerycznych 3 i więcej ciał:
Moving Stars Around
Zagadnienie 3 ciał w przypadku dwóch stałych centrów grawitacji
Przykłady rozwiązao szczególnych dla 3 i 4 ciał
Numeryczne rozwiązania zagadnienia n ciał
Zagadnienie n ciał
Zagadnienie n ciał
Rozwiązania szczególne
Duża częśd rozwiązao szczególnych jest uogólnieniem znanych rozwiązao dla układu 3 ciał.
Znane rozwiązania dla n ciał można podzielid na kilka klas:
1. płaskie  jeśli w zagadnieniu n ciał możemy w każdym momencie zdefiniowad
płaszczyznę zawierającą wszystkie ciała. Dodatkowo, jeśli płaszczyzna nie zmienia
swojego położenia w czasie to mówimy o rozwiązaniach jednopłaszczyznowych
2. współliniowe  w przypadku gdy dla dowolnego momentu czasu wszystkie ciała
znajdują się na jednej prostej
3. homograficzne  kształt utworzony przez n ciał względem
barycentrum jest zachowany, przykład:
Zagadnienie n ciał
Rozwiązania szczególne
Zagadnienie n ciał
Rozwiązania szczególne - współliniowe
Układ jest współliniowy jeśli w danej
chwili t=t0 wszystkie ciała leżą na jednej
prostej
Można pokazad, że jeżeli istnieje płaszczyzna
niezmiennicza dla tego układu to ta linia
leży w tej właśnie płaszczyz
nie
Dla momentu t=t0, każda dowolna para
dwóch punktów leży na jednej linii z
początkiem układu współrzędnych, czyli:
r� r�
ri rk 0, i, k 1,2,K� , n
Zagadnienie n ciał
Rozwiązania szczególne - współliniowe
Mnożąc skalarnie przez wektor prędkości
otrzymujemy:
r� r� r�
&�
r r r 0
i k i
sumując po i:
r� r� r� r� r�
&�
r r r c r 0
i i k k
i
czyli równanie płaszczyzny niezmienniczej
(ponieważ c 0)
Zagadnienie n ciał
Rozwiązania szczególne - homograficzne
Rozwiązanie homograficzne układu równao
opisującego zagadnienie n ciał odpowiada
przypadkowi, w którym jest zachowana
konfiguracja ciał.
Układ (względem barycentrum) jest
podobny do samego siebie.
To oznacza, że istnieje taka skalarna funkcja
=(t) oraz ortogonalna macierz (3x3) &!=&!(t),
że:
r�
r� r� r�
o
r (t) (t) (t) r
k k
gdzie (t) reprezentuje skrócenie (wydłużenie),
a &! opisuje obrót. Wektor � opisujący translację
układu jest równy 0, ze względu na
barycentryczny układ współrzędnych.
rko opisuje układ ciał w momencie t0.
Zagadnienie n ciał
Rozwiązania szczególne - homograficzne
&!=1 W przypadku homograficznym stosunki
wektorów wodzących ciał są stałe
=1
Zagadnienie n ciał
Rozwiązania szczególne - homograficzne
Wyprowadzimy teraz równania ruchu homograficznego.
W tym celu wprowadzamy do układu (x,y,z) drugi
z
układ (�,�,ś), którego osie mogą zmieniad długośd i rotowad
wokół początku układu. Wektor wodzący ciała k:
r�
, ,
k k k k
wtedy w momencie czasu t=t0:
y
r� r� r� r�
o o
r t r t
k 0 k k 0 k
x
a w dowolnej innej chwili:
r� r�
o
t t r , k 1,2,K� , n
k k
Zagadnienie n ciał
Rozwiązania szczególne - homograficzne
r�
, ,
Niech będzie prędkością kątową
1 2 3
układu (�,�,ś) względem układu barycentrycznego
z
(x,y,z), wtedy:
a) dla =const>0 i �=const 0 ruch jest we względnej
równowadze
b) dla =(t)>0 oraz �=0 mamy do czynienia z ruchem
y
jednokładnym
x
Zagadnienie n ciał
Rozwiązania szczególne - homograficzne
Moment bezwładności w chwili t0:
n n
2
r� 2 2 2
o o o o o
I m r m x y z
k k k k k k
k 1 k 1
Natomiast w układzie (�,�,ś) w dowolnym innym momencie czasu:
n n
r� 2
2 2 2
I m m
k k k k k k
k 1 k 1
r� r�
o
stąd i z równania:
t t r , k 1,2,K� , n
k k
2 o
I I
można zauważyd, że:
Zagadnienie n ciał
Rozwiązania szczególne - homograficzne
Składowe prędkości k-tego ciała w układzie (�,�,ś) są równe:
d
v , v , v , , , , , ,
k k k k k k k k k 1 2 3
dt
skąd:
d d
o o o
k
v x y z
k k 3 k 2 k k 3 k 2
z
dt dt
d d
o o o
k
v y z x
k k 1 k 3 k k 1 k 3
dt dt
d d
o o o
k
v z x y
k k 2 k 1 k k 2 k 1
y
dt dt
Natomiast energia kinetyczna:
x
n
1
2 2 2
T m v v v
k k k k
2 k 1
Zagadnienie n ciał
Rozwiązania szczególne - homograficzne
Odległośd między dwoma masami mj i mk:
2 2 2
2
, j, k 1,2,..., n
jk j k j k j k
r� r�
o
znów korzystamy z równania
t t r , k 1,2,K� , n
k k
o
r
możemy napisad:
jk jk
1
o
ostatecznie dostajemy dla potencjałów: U U
gdzie (dla układu jednostek, w którym G=1):
m m m m
j k j k
o
U U
o
1 j k n 1 j k n r
jk jk
Zagadnienie n ciał
Rozwiązania szczególne - homograficzne
Podstawiając otrzymane wyrażenia do równania Lagrange a II-go rodzaju:
d L L
0 gdzie : L T U
r� r�
&�
dt
k k
otrzymujemy ostatecznie (11.1):
o o
2
x x
d d d 1
k j
o 2 2 2 o 2 2 o 2 2
x y z m
j 2 3 j 1 2 3 j 1 3 2 k 3
2
o
dt dt dt k j
r
jk
o o
2
y y
d d d 1
k j
o 2 2 o 2 2 2 o 2 2
x y z m
j 1 2 3 j 3 1 j 2 3 1 k 3
2
o
dt dt dt k j
r
jk
o o
2
z z
d d d 1
k j
o 2 2 o 2 2 o 2 2 2
x y z m
j 1 3 2 j 2 3 1 j 1 2 k 3
2
o
dt dt dt k j
r
jk
równania ruchu homograficznego dla j-tego ciała. Istnieją trzy szczególne
przypadki tego ruchu: a) współliniowy, b) płaski i c) przestrzenny (dla n>=4).
Zagadnienie n ciał
Ruch homograficzny współliniowy
Z takim rodzajem ruchu mamy do czynienia kiedy
wszystkie n ciał znajdują się na jednej linii.
z
Jeśli przyjmiemy, że tą linią jest oś � to dla
każdego k w momencie t0 mamy:
o o
y z 0
k k
y
oprócz tego dla dowolnego k w każdym innym
momencie czasu:
x
0
k k
Zagadnienie n ciał
Ruch homograficzny współliniowy
Poza tym można tak dobrad oś � w taki sposób,
z
że �2=0 i wtedy układ 11.1 przyjmuje postad:
o o
2
x x
d 1 1
k j
2
m
3 k 3
2 2 o
o
dt x k j
r
j
jk
y
d
2
(11.2)
0
3
dt
2
x
0
1 3
Zagadnienie n ciał
Ruch homograficzny współliniowy
o o
2
x x
d 1 1
k j
2
Z ostatnich dwóch równao
m
3 k 3
2 2 o
o
dt x k j
r
wynika, że:
j
jk
d
2
0
�3=0 i �1 0, lub �3 0 i �1=0
3
dt
2
0
1 3
1. �3=0 i �1 0. Ponieważ jednocześnie �2=0, więc oś � jest nieruchoma i ruch
odbywa się po linii prostej mającej ustalone położenie w przestrzeni. Poza tym
całkowity moment pędu znika (�k=śk=0 oraz v�k=vśk=0) i ruch jest jednokładny
2. �3 0 i �1=0. W tym wypadku 2�3=const=ą, a oś � nie jest nieruchoma tylko
rotuje wokół osi ś, która tym razem jest nieruchoma. Ruch odbywa się w
płaszczyz
nie ś=0 i będzie to ruch jednopłaszczyznowy, z płaszczyzną �� nieruchomą
w przestrzeni
Zagadnienie n ciał
Ruch homograficzny współliniowy
Oba powyższe przypadki można sprowadzid do jednego (bo pierwsze z równao 11.2
nie zawiera �1) podstawiając za �3 wyrażenie ą/2 (wtedy pierwszy przypadek
odpowiada ą=0):
o o
2 2
x x
d 1 1
k j
m
k 3
2 3 2 o
o
dt x k j
r
j
jk
ponieważ  0, więc możemy powyższe przepisad w postaci:
o o
2 2
x x
d 1
k j
2
m
k 3
2 o
o
dt x k j
r
j
jk
skąd można zauważyd, że prawa strona jest stała (a więc lewa również).
Zagadnienie n ciał
Ruch homograficzny współliniowy
Wprowadzając w miejsce prawej strony wyrażenie  �2 (minus oznacza, że siła jest
przyciągająca) możemy przekształcid otrzymane równania do postaci:
2 2 2
d
2
;
3
2 2 3
dt
mnożąc obustronnie pierwsze równanie przez d/dt i całkując dostajemy:
2
2 2
1 d
2
2 dt 2
gdzie ł jest stałą całkowania. Podstawiając drugie równanie mamy ostatecznie:
2
2
1 d 1
2 2
3
2 dt 2
Zagadnienie n ciał
Ruch homograficzny współliniowy
2
2
1 d 1
2 2
3
2 dt 2
Pamiętając, że:
r� r�
o
t t r , k 1,2,K� , n
k k
możemy zauważyd, że otrzymane równanie jest tożsame z równaniem energii
ruchu keplerowskiego:
2
1 c
2
&�
r V (r) h
2
2 2r
Jeżeli  jest stałe to również �3 jest stałe i orbity keplerowskie są okręgami  n ciał
znajduje się na jednej linii rotującej ze stałą prędkością �3 wokół barycentrum.
Dla ą=0 (�3=0), ciała spadają na barycentrum po liniach prostych
Zagadnienie n ciał
Ruch homograficzny współliniowy
Pamiętając o definicji wprowadzonej wcześniej zmiennej � możemy napisad:
o o
x x
k j
2 o
X m x 0 j, k 1,2,..., n
j k 3 j
o
k j
r
jk
wielkości Xj zależą tylko od mas i współrzędnych początkowych, więc powyższe
równanie określa n warunków, które muszą byd spełnione aby ruch był homograficzny
Jednak również jest spełnione dla n czynników Xj, w związku z tym
m X 0
j j
j
powyższe równanie określa n-1 warunków dla ruchu homograficznego
Zagadnienie n ciał
Ruch homograficzny płaski
Załóżmy, że początkową płaszczyzną ruchu jest płaszczyzna ś=0,
wtedy dla każdego k współrzędne z i ś są równe 0. W takim razie
z
układ 11.1 przyjmuje postad:
o o
2
x x
d d 1
k j
o 2 2 2 o 2 2
x y m
j 2 3 j 1 2 3 k 3
2
o
dt dt j k
r
jk
y
o o
2
y y
d d 1
k j
o 2 2 o 2 2 2
x y m
j 1 2 3 j 3 1 k 3
2
o
dt dt k j
r
jk
x
d d
o 2 2 o 2 2
x y 0
j 1 3 2 j 2 3 1
dt dt
Można pokazad (Boccaletti i Pucacco 2004), że ruch homograficzny
płaski jest jednocześnie jednopłaszczyznowy
Zagadnienie n ciał
Ruch homograficzny płaski
Jeżeli ruch odbywa się w jednej płaszczyz
nie niezmiennej z czasem to wygodnie
jest opisywad ją jako płaszczyznę zespoloną, na której położenia kolejnych mas
są przedstawione liczbami zespolonymi:
x iy p a q (t) k 1,2,..., n
k k k k
gdzie ak są zespolonymi stałymi a q jest zespoloną funkcją czasu. Stąd:
r p p a a q
kl k l k l
Równanie ruchu n-ciał w przypadku ruchu jednopłaszczyznowego zapisane w
postaci zespolonej:
p p
l k
&�&� G m k , l 1,2,..., n
p
k l
3
l k r
kl
Zagadnienie n ciał
Ruch homograficzny płaski
Podstawiając do równania ruchu wyrażenie na pk oraz zakładając q 0 dostajemy:
a a 3 2 a a
3
3 2
l k l k
&�&�
a q q q G m qq q G m
k l 3 l 3
l k l k
a a a a
l k l k
1 2
q qq
a następnie:
3 2 a a 3 2 a a
1 2 1 2
l k l k
a &�&� q q G m a &�&�q q G m
q q
k l 3 k l 3
l k l k
a a a a
l k l k
prawa strona ostatniego równania jest niezależna od czasu.
Zagadnienie n ciał
Ruch homograficzny płaski
W takim razie rozpatrywane zagadnienie sprowadza się do znalezienia rozwiązania
równania różniczkowego:
3 2
1 2
(11.3a)
&�&�q q b
q
(gdzie b jest stałą niezależną od t, a całe równanie nie zależy od n) uzupełnionego
przez układ równao:
a a
l k
a b G m
k l 3
(11.3b)
l k
a a
l k
Równanie 11.3a jest niezależne od n więc, możemy znad jego rozwiązanie jeżeli
rozwiążemy je dla przypadku dwóch ciał.
Zagadnienie n ciał
Ruch homograficzny płaski
W przypadku dwóch ciał (we współrzędnych barycentrycznych):
m a m a 0
1 1 2 2
które może byd wyrażone w postaci:
a m a a m a
1 2 2 1
gdzie a jest pewną liczbą zespoloną. Z układu 11.3b otrzymujemy wtedy:
1 1
b
2 3
m m
a
1 2
co oznacza, że b jest liczbą rzeczywistą, ujemną. Jeżeli rozwiązaniem układu 11.3a
jest q=q(t) - znana funkcja z parametrami b<0 i a 0 to wtedy:
x iy p aq (t)
jest parametrycznym równaniem krzywej stożkowej leżącej w płaszczyz
nie xy,
której ognisko leży w barycentrum układu. Uogólniając to na n ciał, w ruchu
homograficznym płaskim każde z ciał porusza się po krzywej stożkowej, a
jednocześnie wielobok utworzony przez nie zachowuje swój kształt. przykład
Zagadnienie n ciał
Ruch homograficzny  podsumowanie
1. Każdy ruch homograficzny (w szczególności współliniowy) jest płaski jeśli
całkowity moment pędu jest różny od 0
2. Kiedy całkowity moment pędu znika mamy do czynienia z ruchem
jednokładnym
3. Ruch homograficzny z zerowym momentem pędu jest ruchem jednokładnym
gdzie każde z ciał porusza się po prostej przechodzącej przez barycentrum
Zagadnienie 3 ciał
Zagadnienie trzech ciał (a także każdej innej
ich liczby) polega na wyznaczeniu ich ruchu
przy znanych warunkach początkowych
(położenie i prędkości).
Poza tym zakładamy, że ciała działają na siebie
tylko siłą grawitacji i poruszają się w pustej
przestrzeni
W ogólnym przypadku nie jest rozwiązywalne
Istnieje kilka rozwiązao szczególnych:
1. współliniowe
2. homograficzne
3. ruch po ósemce
Zagadnienie 3 ciał
Rozwiązania Lagrange a
Dla n=3 równania ruchu przyjmują postad:
Gm m
r� Gm m r� r� r� r�
2 1 3 1
&�r&�
m r r r r
1 1 2 1 3 1
3 3
r r
21 31
Gm m
r� r� r� Gm m r� r�
3 2 1 2
&�r&�
m r r r r
2 2 3 2 1 2
3 3
r r
32 12
Gm m Gm m
r� r� r� r� r�
1 3 2 3
&�r&�
m r r r r
3 3 1 3 2 3
3 3
r r
13 23
Jest to układ rzędu 18-tego i może byd zredukowany do układu rzędu 6-tego, który
jest klasycznym problemem 3 ciał.
Taki układ ma rozwiązania szczególne (homograficzne) podane przez Lagrange a.
Zagadnienie 3 ciał
Rozwiązania Lagrange a
Zacznijmy od przypadku homograficznego współliniowego. Warunki determinujące
ruch homograficzny:
o o
x x
k j
2 o
X m x 0 j, k 1,2,..., n
j k 3 j
o
k j
r
jk
w przypadku trzech ciał przyjmują postad:
o o o o
x x x x
2 o
2 1 3 1
m m x 0
2 3 3 3 1
o o
r r
12 13
o o o o
x x x x
2 o
3 2 1 2
m m x 0 (11.4)
3 3 1 3 2
o o
r r
23 21
o o o o
x x x x
2 o
1 3 2 3
m m x 0
1 3 2 3 3
o o
r r
31 32
Zagadnienie 3 ciał
Rozwiązania Lagrange a
Spośród uzyskanych równao jedynie dwa są niezależne, ponieważ współrzędne xio
odnoszą się do barycentrum. Możemy założyd, że:
o o o
x x x
1 2 3
wtedy:
o o o o o o o o o o o o
r r x x , r r x x , r r x x
12 21 2 1 13 31 3 1 23 32 3 2
Odejmując od siebie pierwsze dwa równania układu (11.4) otrzymujemy:
m m 1 1
2 o
1 2
r m
12 2 3 2 2
o o o
r r r
12 13 23
a po odjęciu ostatnich dwóch: (11.5)
m m 1 1
2 o
2 3
r m
12 2 1 2 2
o o o
r r r
23 13 12
Zagadnienie 3 ciał
Rozwiązania Lagrange a
Następnie zdefiniujmy:
o o
x x
2 1
0
o o
x x
3 2
skąd mamy:
o o
1 1 x x
o o o o
2 1
x x x x
3 1 3 2
o o
x x
2 1
co pozwala zapisad równania 11.5 w postaci:
2 2
m m
2 o
1 2
r m
12 2 3 2 2
2
o o o
r 1 r r
12 12 12
o 2 2
r m m 1
2
12 1 3
m
2 1 2 2
2
o o o
r 1 r r
12 12 12
Zagadnienie 3 ciał
Rozwiązania Lagrange a
Eliminując, z otrzymanych równao, r12o dostajemy wielomian piątego stopnia
w postaci:
5 4 3
m m 2m 3m m 3m
2 3 2 3 2 3
2
3m m 3m 2m m m 0
1 2 1 2 1 2
jeśli wszystkie wyrazy zawierające � zastąpimy przez f(�) to:
lim f ( ) m m lim f ( )
1 2
0
co oznacza, że otrzymany wielomian ma co najmniej jeden pierwiastek rzeczywisty.
Zagadnienie 3 ciał
Rozwiązania Lagrange a
5 4 3
m m 2m 3m m 3m
2 3 2 3 2 3
2
3m m 3m 2m m m 0
1 2 1 2 1 2
Można pokazad, że jest to tylko jeden pierwiastek. Wynika to z reguły Kartezjusza:
 liczba dodatnich pierwiastków wielomianu jest równa liczbie zmian znaku pomiędzy
kolejnymi niezerowymi współczynnikami lub też mniejsza od niej o wielokrotnośd
liczby 2; liczbę ujemnych pierwiastków można oszacowad zamieniając x na - x
Ponieważ są trzy możliwości rozłożenia trzech punktów na linii prostej więc istnieją
trzy rozwiązania współliniowe.
Dla =const wszystkie ciała rotują ze stałą prędkością kątową i mamy przypadek
równowagi względnej
Gdy  nie jest stałe to wszystkie ciała zakreślają krzywe stożkowe o wspólnym ognisku
Zagadnienie 3 ciał
Rozwiązania Lagrange a
Wródmy do układu 11.3b i rozpatrzmy przypadek jednopłaszczyznowy:
a a
l k
a b G m
k l 3
l k
a a
l k
gdzie niewiadomymi są stałe zespolone ak (k=1,2,3), które razem z
funkcją q(t) określają położenia mas m1, m2, m3 na płaszczyz
nie zespolonej.
Dla t=0 możemy unormowad funkcję q(t) biorąc częśd rzeczywistą za równą 1, a
częśd urojoną równą 0 (wtedy q(0)=1). Dodatkowo:
o o o o o o
a x iy a x iy a x iy
1 1 1 2 2 2 3 3 3
Wtedy układ 11.3b uzupełniony o warunek jaki spełniad mają współrzędne
barycentryczne, przyjmuje postad:
Zagadnienie 3 ciał
Rozwiązania Lagrange a
o o o o o o o o
x x x x y y y y
o o
2 1 3 1 2 1 3 1
x b G m m y b G m m
1 2 3 3 3 1 2 3 3 3
o o o o
r r r r
12 13 12 13
o o o o o o o o
x x x x y y y y
o o
3 2 1 2 3 2 1 2
x b G m m y b G m m
2 3 3 1 3 2 3 3 1 3
o o o o
(11.6)
r r r r
23 21 23 21
o o o o o o o o
x x x x y y y y
o o
1 3 2 3 1 3 2 3
x b G m m y b G m m
3 1 3 2 3 3 1 3 2 3
o o o o
r r r r
31 32 31 32
o o o o o o
0 m x m x m x 0 m y m y m y
1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3
W tym układzie tylko sześd równao jest niezależnych. Równania współrzędnych
barycentrycznych mogą byd uzyskane po pomnożeniu pozostałych sześciu przez
odpowiednie masy i dodaniu do siebie.
Zagadnienie 3 ciał
Rozwiązania Lagrange a
Aby uzyskad rozwiązania Lagrange a załóżmy na początek,
że nie mamy do czynienia z przypadkiem równobocznym,
czyli:
o o
r r
13 23
Orientacja osi układu jest dowolna. W takim razie
z
możemy wybrad oś x tak, aby przechodziła przez masę
m3. Wtedy y3o=0 i z równania barycentrum mamy:
o o
m y m y
1 1 2 2
jednocześnie z innego z równao układu 11.6 dostajemy:
y
o o
m y m y
1 1 2 2
0
3 3
o o
x
r r
31 32
Powyższe równania są spełnione równocześnie tylko w
przypadku (pamietając o tym, że zakładaliśmy nierówne
boki):
o o
y y 0
1 2
Zagadnienie 3 ciał
Rozwiązania Lagrange a
Powtarzając tą procedurę dla osi x przechodzącej przez pozostałe masy,
możemy pokazad, że jedynymi rozwiązaniami układu są:
o o o
1) przykład
r r r
13 23 31
2) trzy masy leżące na jednej linii
�
�
Zagadnienie 3 ciał
Rozwiązania Lagrange a
Rozwiązania Lagrange a są jedynymi rozwiązaniami homograficznymi zagadnienia
trzech ciał. W takim wypadku w układzie 11.6 wstawiamy jedną wartośd odległości
między ciałami r0 w momencie czasu t=0, wtedy:
o o o o o
m x m x m x m x G m m m x
o
2 1 3 1 2 2 3 3 1 2 3 1
x b G
1
3 3
r r
0 0
o
G m m m x
o
1 2 3 2
x b
2
3
r
0
o
G m m m x
o
1 2 3 3
x b
3
3
r
0
podobnie dla pozostałych równao. Jeśli sumę mas oznaczymy przez M to:
GM
b
3
r
0
Zagadnienie 3 ciał
Rozwiązania Lagrange a
W przypadku orbit kołowych mamy  b=�2,
gdzie � jest wspólną prędkością kątową
wszystkich trzech ciał. Stąd:
�
GM
i t
, q e
3
r
0
W ogólnym przypadku ( const) orbity są
krzywymi stożkowymi. Dla orbit eliptycznych: