MECHANIKA NIEBA
WYKA
AD 13
18.06.2008 r
Ograniczone zagadnienie 3 ciał
Punkty równowagi Lagrange a
Wszystkie punkty P, dla których F przechodzi
przez barycentrum są położone na
P
symetralnej odcinka Å‚Ä…czÄ…cego masy m1 i m2.
Stąd, że siła dośrodkowa może byd w całości
Å‚
²
kompensowana przez siłę o tym samym kierunku
(przeciwnym zwrocie) dostaliśmy a=d.
a
a
W związku z tym punkt równowagi leży w
b
wierzchołku trójkąta równobocznego, którego
podstawÄ… jest linia Å‚Ä…czÄ…ca obie masy.
Ä… Ä…
g
O
Ze względu na symetrię w układzie istnieje drugi
m1 m2 punkt trójkątny.
d
Poza tym istnieją jeszcze trzy punkty leżące na
linii Å‚Ä…czÄ…cej obie masy.
Ograniczone zagadnienie 3 ciał
Położenie punktów równowagi Lagrange a
Punkty równowagi to punkty osobliwe powierzchni zerowej prędkości:
2U C 0
J
które są zdefiniowane poprzez:
U U U
0 0 0
x y z
gdzie U jest wprowadzonym wcześniej pseudo potencjałem:
2
n
2 2
1 2
U x y
2 r r
1 2
Ograniczone zagadnienie 3 ciał
Położenie punktów równowagi Lagrange a
U U U
Z równania
0 0 0
x y z
oraz z równao ruchu:
U
x &ð
&ð&ð 2 ny
x
U
y &ð
&ð&ð 2 nx
y
U
z
&ð&ð
z
Wynika, że w każdym punkcie osobliwym mamy:
x y z 0, &ð&ð &ð&ð &ð&ð 0
&ð &ð &ð x y z
czyli, punkty osobliwe są jednocześnie punktami równowagi
Ograniczone zagadnienie 3 ciał
Położenie punktów równowagi Lagrange a
U
1 2
Co wiÄ™cej pamiÄ™tajÄ…c, że &ð&ð z oraz
z
0
3 3
r r
z
1 2
otrzymujemy, że z=0. W takim razie zagadnienie sprowadza się do zagadnienia
płaskiego, które rozpatrujemy w płaszczyz
nie x-y
Oprócz z=0, przyjmujemy taki układ jednostek, w którym odległośd mas jest
równa 1 oraz n=1.
Ograniczone zagadnienie 3 ciał
Położenie punktów równowagi Lagrange a
Ruch cząstki opisujemy w układzie
(x,y) rotującym ze stałą prędkością
r2
ź2
Korzystając z wcześniejszych definicji
·
mamy:
(¾2,·2,Å›2)
2
2 2
r1
y
r x y
r
1 2
2
2 2
x
r x y
2 1
korzystając z powyższych równao oraz
nt
z faktu, że ź1+ź2=1 otrzymujemy:
¾
O
2 2
2 2
ź1
r r x y
1 1 2 2 1 2
co pozwala na przekształcenie U do
postaci:
(¾1,·1,Å›1)
2 2
1 r 1 r 1
1 2
U
1 2 1 2
r 2 r 2 2
1 2
Ograniczone zagadnienie 3 ciał
Położenie punktów równowagi Lagrange a
2 2
1 r 1 r 1
1 2
U
1 2 1 2
r 2 r 2 2
1 2
Otrzymana postad potencjału jest wygodniejsza przy obliczaniu pochodnych cząstkowych
ze względu na brak zależności od x i y
Dla znalezienia punktów równowagi musimy rozwiązad układ równao:
U U r U r
1 2
0
x r x r x
1 2
U U r U r
1 2
0
y r y r y
1 2
Ograniczone zagadnienie 3 ciał
Położenie punktów równowagi Lagrange a
Po wyznaczeniu pochodnych czÄ…stkowych dostajemy:
1 x 1 x
2 1
r r 0
1 2 1 2 2 2
r r
r r
1 2
1 2
(13.1)
1 y 1 y
r r 0
1 2 1 2 2 2
r r
r r
1 2
1 2
Rozwiązanie trywialne tego układu:
1 1
r 0 r 0
1 2 1 2 2 2
r r
1 2
daje r1=r2=1 (w przyjętym układzie jednostek). Ponieważ jednocześnie odległośd
między masami jest równa 1, więc otrzymaliśmy wprowadzone wcześniej punkty
trójkątne
Ograniczone zagadnienie 3 ciał
Położenie punktów równowagi Lagrange a
Można zauważyd, że innym rozwiązaniem drugiego z równao 13.1 jest y=0 co oznacza,
że pozostałe punkty równowagi leżą na osi x i spełniają pierwsze z równao 13.1
Są trzy takie punkty. L1 leżący pomiędzy
masami, L2 położony na prawo od ź2
oraz L3 znajdujący się na lewo od masy ź1.
ź1
ź2
Wykorzystując te informacje możemy
L1
L3 L2 rozwiązywad kolejno pierwsze z równao
13.1 dla poszczególnych przypadków
Ograniczone zagadnienie 3 ciał
Położenie punktów równowagi Lagrange a
W przypadku punktu L1 mamy:
r r
1 2
r r 1 r x r x 1
1 2 1 2 2 1
x x
Podstawiamy to do równania 13.1a otrzymujemy:
1 1
1 r r 0
1 2 2 2 2 2
1 r r
2 2
a po przekształceniu:
2
r
2
1 r
2
3
3
2 (13.2)
3r
2 2 3
1 r r 1 r
1
2 2 2
Ograniczone zagadnienie 3 ciał
Położenie punktów równowagi Lagrange a
1 / 3
2
Zdefiniujmy:
3
1
2
wtedy:
r
2
1 r
2
3
3
3
3 3r
2 2 3
1 r r 1 r
2 2 2
W przypadku małych r2 przybliżonym rozwiązaniem tego równania jest r2=ą
Po rozwinięciu równania 13.2 w szereg otrzymujemy:
1 1 53
2 3 4 5
r r r r O r
2 2 2 2 2
3 3 81
Aby otrzymad zależnośd r2(ą) możemy odwrócid powyższy szereg wykorzystując
metodę podaną przez Lagrange a (wykład 8)
Ograniczone zagadnienie 3 ciał
Położenie punktów równowagi Lagrange a
1 1 53
2 3 4 5
Porównując równania:
r r r r O r
2 2 2 2 2
3 3 81
z e e 1
możemy napisad:
1
r r
2 2
3
gdzie nowa funkcja Ć jest zdefiniowana jako:
53
2 3 4 5
r r r r O r
2 2 2 2 2
27
Ograniczone zagadnienie 3 ciał
Położenie punktów równowagi Lagrange a
2
4 5 6
W takim razie mamy:
2 O
d
2
3 4 5
4 10 O
d
3
6 7
O
2
d
3
4 5
30 O
2
d
j j 1
e d
j
pamiętając, że:
z z
j 1
j 1 j! dz
otrzymujemy ostatecznie:
j
j 1
1 / 3 d
j
r
2
j 1
j 1 j! d
1 1 23
2 3 4 5
O
3 9 81
Ograniczone zagadnienie 3 ciał
Położenie punktów równowagi Lagrange a
W przypadku punktu L2 mamy:
r r
1 2
r r 1 r x r x 1
1 2 1 2 2 1
x x
Podstawiamy to do równania 13.1a otrzymujemy:
1 1
1 r r 0
1 2 2 2 2 2
1 r r
2 2
a po przekształceniu:
2
r
2
1 r
2
3
3
2
3r
2 2 3
1 r 1 r
1
2 2
Postępując podobnie jak w przypadku L1 dostajemy:
1 1 1
2 3 4 5
r r r r O r
2 2 2 2 2
3 3 81
1 1 31
2 3 4 5
r O
2
3 9 81
Ograniczone zagadnienie 3 ciał
Położenie punktów równowagi Lagrange a
r r
Dla L3 mamy:
1 2
r r 1 r x r x 1
2 1 1 2 2 1
x x
Tym razem w równaniu 13.1a podstawiamy za r2:
1 1
r 1 r 0
1 2 1 2 2 1
r 1 r
1 1
a po przekształceniu:
3 2
1 r 1 r
2 1 1
3 2
r r 3r 3
1
1 1 1
JeÅ›li dokonamy podstawienia r1=1+² (czyli r2=2+²) to otrzymamy:
12 144 1567
2 3 4
2
O
7 49 343
1
2 3 4
7 7 13223
2 2 2 2
O
12 12 20736
1 1 1 1
Ograniczone zagadnienie 3 ciał
Położenie punktów równowagi Lagrange a
Położenia krzywych zerowej prędkości
i punktów osobliwych w przypadku
stosunku mas ź2=0.2
Ograniczone zagadnienie 3 ciał
Położenie punktów równowagi Lagrange a
Położenia punktów osobliwych (ź2=0.2)
CJ
w funkcji wartości stałej Jacobiego.
Najmniejszą wartośd CJ mają punkty
L4 i L5
Dla cząstki, której CJobszarów wzbronionych
Przyjmiemy, że punkty równowagi są
numerowane według malejącej wartości
stałej Jacobiego
Ograniczone zagadnienie 3 ciał
Położenie punktów równowagi Lagrange a
W Układzie Słonecznym największą
wartośd ź2 ma układ Pluton-Charon,
gdzie ź2=10-1, a dla układu
Ziemia-Księżyc ź2=10-2.
Wszystkie inne układy planeta-księżyc i
Słooce-planeta mają ź2 o co najmniej
rząd mniejsze, co sprawia, że kształt
krzywych zerowej prędkości i położenia
punktów równowagi badamy w
przybliżeniu małych ź2 (na rys. =0.01)
Ograniczone zagadnienie 3 ciał
Stabilnośd punktów równowagi Lagrange a
Załóżmy, że punkt równowagi ma współrzędne (x0,y0). Rozpatrzymy małe wychylenie
(X,Y) z położenia równowagi takie, że:
x x X y y Y
0 0
Podstawiamy do równao ruchu:
U U
x &ð y &ð
&ð&ð 2ny &ð&ð 2nx
x y
i po rozwinięciu w szereg Taylora dostajemy:
2 2
U U U U U
&ð&ð &ð
X 2nY X Y X Y
2
x x x y x x x y
0
0 0
0 0
2 2
U U U U U
&ð&ð &ð
Y 2 nX X Y X Y
2
y x y y y x y y
0 0 0
0 0
Ograniczone zagadnienie 3 ciał
Stabilnośd punktów równowagi Lagrange a
Pamiętając, że n=1 i oznaczając stałe wielkości jako:
2 2 2
U U U
U U U
xx xy yy
2 2
x x y y
0
0 0
możemy przepisad otrzymane równania jako:
(13.3)
&ð&ð &ð &ð&ð &ð
X 2Y XU YU Y 2X XU YU
xx xy xy yy
a następnie w postaci macierzowej:
&ð
0 0 1 0
X
X
&ð
0 0 0 1
Y
Y
&ð
&ð&ð
U U 0 2
X
X
xx xy
&ð
&ð&ð
U U 2 0
Y
Y
xy yy
co pozwala zmienid problem rozwiązania układu dwóch równao drugiego rzędu w
cztery układ czterech równao rzędu pierwszego
Ograniczone zagadnienie 3 ciał
Stabilnośd punktów równowagi Lagrange a
Układ równao ma teraz postad:
rð rð rð
&ð
X AX
gdzie:
0 0 1 0
X
rð rð
0 0 0 1
Y
X A
&ð
U U 0 2
X
xx xy
&ð
U U 2 0
Y
xy yy
Jego równanie charakterystyczne:
0 0 1 0
rð rð 0 0 0 1
det A I 0
U U 0 2
xx xy
U U 2 0
xy yy
Ograniczone zagadnienie 3 ciał
Stabilnośd punktów równowagi Lagrange a
Otrzymane równanie charakterystyczne redukuje się do wielomianu:
4 2 2
4 U U U U U 0
xx yy xx yy xy
Takie równanie łatwo przekształcid do równania kwadratowego i wyznaczyd wszystkie
cztery pierwiastki:
1 / 2
1 / 2
1 1
2
2
U U 4 4 U U 4 U U U
1, 2 xx yy xx yy xx yy xy
2 2
1 / 2
1 / 2
1 1
2
2
U U 4 4 U U 4 U U U
3 , 4 xx yy xx yy xx yy xy
2 2
Ograniczone zagadnienie 3 ciał
Stabilnośd punktów równowagi Lagrange a
Możemy napisad teraz ogólne rozwiązania (ąj są stałymi):
4 4
t t
j j
&ð
X e X e
(13.4a)
j j j
j 1 j 1
oraz (²j sÄ… staÅ‚ymi):
4 4
t t
j j
&ð
Y e Y e
(13.4b)
j j j
j 1 j 1
StaÅ‚e ²j sÄ… zależne od Ä…j ponieważ w ogólnym rozwiÄ…zaniu mogÄ… byd tylko cztery staÅ‚e.
Zależnośd między nimi można znalez
d podstawiając powyższe równania do dowolnego
z równao 13.3. Otrzymamy wtedy:
4
t
2
j
2 U U e 0
j j j j xx j xy j
j 1
Ograniczone zagadnienie 3 ciał
Stabilnośd punktów równowagi Lagrange a
Trywialne rozwiązanie tego równania pozwala uzyskad zależnośd pomiędzy stałymi:
2
U
j xx
j j
2 U
j xy
Co oznacza, że jeżeli w momencie czasu t=0 znamy warunki początkowe
&ð &ð &ð &ð
X X Y Y X X Y Y
0 0 0 0
to możemy wyznaczyd staÅ‚e Ä…j (a wiÄ™c także ²j) rozwiÄ…zujÄ…c ukÅ‚ad czterech
równao liniowych:
4 4 4 4
&ð &ð
X X Y Y
(13.5)
j 0 j j 0 j 0 j j 0
j 1 j 1 j 1 j 1
Ograniczone zagadnienie 3 ciał
Stabilnośd punktów równowagi Lagrange a
Pełne rozwiązanie jest dane równaniami 13.4, dla których stałe można wyznaczyd
z równao 13.5. Jednak aby zbadad stabilnośd punktów równowagi wystarczy
rozpatrzenie tylko wartości własnych.
W tym celu zdefiniujemy następujące wielkości:
1 2
A
3 3
r r
1 0 2 0
2
1 2
B 3 y
0
5 5
r r
1 0 2 0
x x
0 2 0 1
C 3 y
1 2 0
5 5
r r
1 0 2 0
2 2
x x
0 2 0 1
D 3
1 2
5 5
r r
1 2
0 0
Ograniczone zagadnienie 3 ciał
Stabilnośd punktów równowagi Lagrange a
W takim razie mamy:
U 1 A D
xx
U 1 A B
yy
U C
xy
Ogólnie wartości własne możemy zapisad jako liczby zespolone postaci:
j ik j ik
1, 2 1 1 3 , 4 2 2
gdzie j1,k1,j2,k2 są liczbami rzeczywistymi. Wartości własne decydują o stabilności
ponieważ ogólne rozwiązanie układu zlinearyzowanego jest superpozycją
wyrazów typu:
exp jt cos kt i sin kt
Ograniczone zagadnienie 3 ciał
Stabilnośd punktów równowagi Lagrange a
exp jt cos kt i sin kt
- dla j 0 co najmniej jeden czynnik w równaniach 13.4 będzie rozbieżny i
ruch jest niestabilny
- gdy j=0 mamy rozwiÄ…zanie oscylujÄ…ce (punkt liniowo stabilny)
Wynika stąd, że punkt równowagi jest stabilny jeżeli wszystkie wartości własne
sÄ… liczbami urojonymi.
Badanie liniowej stabilności wskazuje, że:
- punkty L1, L2, L3 sÄ… liniowo niestabilne
- punkty L4, L5 są stabilne dla szczególnych wartości ź2, które można wyznaczyd następująco
Ograniczone zagadnienie 3 ciał
Stabilnośd punktów równowagi Lagrange a (L4, L5)
U 1 A D
xx
Uzyskane wcześniej:
U 1 A B
yy
U C
xy
podstawiamy do równao:
1 / 2
1 / 2
1 1
2
2
U U 4 4 U U 4 U U U
1, 2 xx yy xx yy xx yy xy
2 2
1 / 2
1 / 2
1 1
2
2
U U 4 4 U U 4 U U U
3 , 4 xx yy xx yy xx yy xy
2 2
Ograniczone zagadnienie 3 ciał
Stabilnośd punktów równowagi Lagrange a (L4, L5)
W efekcie dostajemy:
1 1 27 1
2 2
1, 2
2
1 1 27 1
2 2
3 , 4
2
a więc wartości własne będą liczbami urojonymi wtedy gdy:
1 27 1 0
2 2
Otrzymujemy stąd warunek stabilności (liniowej):
27 621
0.0385
2
54
Ograniczone zagadnienie 3 ciał
Stabilnośd punktów równowagi Lagrange a (L4, L5)
W przypadku stabilności liniowej punktów trójkątnych są dwa wyjątki dla:
ź2=0.0243 ź2=0.0135
Dla takich wartości punkty trójkątne są niestabilne pomimo, że spełniony jest
warunek stabilności.
Punkty współliniowe są niestabilne, ale tylko w przypadku liniowej analizy
stabilności. Okazuje się, że przy uwzględnieniu wyrazów wyższych rzędów
możemy otrzymad orbity stabilne.
Ograniczone zagadnienie 3 ciał
Stabilnośd punktów równowagi Lagrange a (L1)
http://sohowww.nascom.nasa.gov
Ograniczone zagadnienie 3 ciał
Stabilnośd punktów równowagi Lagrange a (L1)
http://sohowww.nascom.nasa.gov
Ograniczone zagadnienie 3 ciał
Stabilnośd punktów równowagi Lagrange a (L2)
WMAP
James Webb
Space Telescope (JWST)