MECHANIKA NIEBA
WYKA
AD 7
16.04.2008 r
Położenie punktu na orbicie
h<0 c.d.
Porównując równania:
2
a e 1
r
P
1 e cos
r a (e cosh E 1)
r
P
otrzymujemy:
a
2
e 1 sinh E
� H a
sin
Q 
S O S e cosh E 1
e cosh E
cos
e cosh E 1
a następnie:
e 1 E
tg tgh
2 e 1 2
Położenie punktu na orbicie
Uzyskane równania można wyrazid za
h<0
pomocą funkcji trygonometrycznych
wprowadzając nową zmienną H:
sinh E tg H ; cosh E sec H
P
wtedy:
E H
tgh tg
r
P
2 2
a
Z definicji funkcji hiperbolicznych:
� H a
Q 
S O S
2 sinh E exp E exp E
2 cosh E exp E exp E
można pokazad, że:
H
exp E tg
2 4
Położenie punktu na orbicie
h<0
Wobec tego równanie:
n t T e sinh E E
można zapisad jako:
P
H
n t T e tg H ln tg
2 4
r
P
Oprócz tego:
a
� H a
Q 
r a e sec H 1
S O S
1 e H
tg tg
2 1 e 2
2 3
n a
Położenie punktu na orbicie
h<0
Ten zestaw równao pozwala wyznaczyd
położenie i prędkośd ciała w ruchu po
hiperboli.
P
x r cos a e sec H
r 2
P
y r sin a e 1 tg H
a
� H a
2
Q 
a n tg H
S O S
&�
x
r
2
a n
2
&�
y e 1 sec H
r
Zagadnienie dwóch ciał
Współrzędne barycentryczne
Równanie:
z
r� r� r�
&�
m1(x1,y1,z1)
r r c
r�
jest nazywane całką momentu pędu.
R
1
Jednak należy pamiętad, że jest to moment
O r�
R
liczony na jednostkę masy m2 i nie jest
2
m2(x2,y2,z2)
r� r�
odzwierciedleniem całkowitego momentu
r1
R
pędu układu dwóch ciał.
r�
r2
Rozpatrzymy teraz zagadnienie dwóch ciał
O
y
używając układu współrzędnych mających
początek w środku masy ciał
x
Zagadnienie dwóch ciał
Współrzędne barycentryczne
z
Wektor R jest definiowany przez równanie:
m1(x1,y1,z1)
r�
r� r�
m r m r m m R 0
r� 1 1 2 2 1 2
R
1
O r�
uwzględniając:
R
2
m2(x2,y2,z2)
r� r�
r� r� r� r�
r� r�
r1
R
R r R ; R r R
1 1 2 2
r�
r2
otrzymujemy:
O
y
r� r�
m R m R 0
1 1 2 2
x
Zagadnienie dwóch ciał
Współrzędne barycentryczne
r� r�
m R m R 0
1 1 2 2
z
stąd:
a) R1 ma zawsze zwrot przeciwny do R2
m1(x1,y1,z1)
r�
b) środek masy leży zawsze na linii łączącej
R
1
O r�
obie masy więc R1+R2=r, gdzie r jest
R
2
separacją mas
m2(x2,y2,z2)
r� r�
r1
R
c) odległości mas od środka masy są
r�
r2
związane zależnością: m1R1=m2R2
O
y stąd otrzymujemy:
m m
2 1
R r R r
1 2
m m m m
1 2 1 2
x
Zagadnienie dwóch ciał
Współrzędne barycentryczne
m m
2 1
R r R r
1 2
m m m m
1 2 1 2
Wynika stąd, że niezależnie od tego jaką krzywą stożkową dostaliśmy stosując współrzędne
względne, ciało wokół środka masy zakreśla taką samą krzywą przeskalowaną jedynie
o pewien czynnik zależny od masy.
m2
m2
O
O
m1
m1
oś
oś
układu
układu
Zagadnienie dwóch ciał
Współrzędne barycentryczne
W ruchu względnym jedną ze stałych był
całkowity moment pędu:
z
2
m1(x1,y1,z1)
&�
c r
r�
R
1
ponieważ R1 i R2 są proporcjonalne do r
O r�
R więc możemy napisad:
2
m2(x2,y2,z2)
r� r�
r1
R
2
m
2
2
&�
r�
R const c c
1 1
r2
m m
1 2
O
y
2
m
2
1
&�
R const c c
2 2
m m
1 2
x
Zagadnienie dwóch ciał
Współrzędne barycentryczne
Całkowity moment pędu układu jest równy:
z
m m
*
1 2
L m c m c c
1 1 2 2
m1(x1,y1,z1)
m m
1 2
r�
R
1
stąd:
O r�
R
2
m2(x2,y2,z2)
1 1
r� r�
*
c L
r1
R
m m
1 2
r�
r2
czyli, jeżeli m2<O
y
przybliżeniu równe momentowi pędu
układu liczonego na jednostkę masy m2
x
Zagadnienie dwóch ciał
Współrzędne barycentryczne
Okres obiegu każdej z mas wokół środka masy
jest taki sam = P. Jednocześnie jest on równy
okresowi obiegu masy m2 wokół m1
m2
Stąd ruchy średnie są także równe: n1 =n2=n
ale wielkie półosie nie:
O
m m
2 1
a a a a
1 2
m1
m m m m
1 2 1 2
uwzględniając:
2 2
oś
c na 1 e
układu
otrzymujemy:
Zagadnienie dwóch ciał
Współrzędne barycentryczne
2 2
c na 1 e
1 1
2 2
c na 1 e
2 2
m2
co oznacza, że elipsy są różnej wielkości
ale mają jednakowe mimośrody.
O
Z rysunku można także zauważyd, że
m1
perycentra obu mas różnią się o Ą.
Rozpatrzymy teraz całkowitą energię
w układzie dwóch punktów obiegających
oś
wspólny środek masy.
układu
Zagadnienie dwóch ciał
Współrzędne barycentryczne
Energia całkowita układu (E*) jest sumą energii
kinetycznej (liczonej w inercjalnym układzie
barycentrycznym) i potencjalnej:
m2
1 1 m m
* 2 2
1 2
E m v m v G
1 1 2 2
2 2 r
O
przechodząc do współrzędnych biegunowych:
m1
1 2 1 2 m m
* 2 2
1 2
&� &� &� &�
E m R R m R R G
1 1 1 2 2 2
2 2 r
oś
skąd dostajemy:
układu
m m
*
1 2
E h
m m
1 2
Zagadnienie dwóch ciał
Współrzędne barycentryczne
Dla orbit eliptycznych mieliśmy h=-ź/2a, więc:
m m m m
*
1 2 1 2
E h G
m2
m m 2a
1 2
poza tym przekształcając wyrażenie na E*:
O
1 1
*
h E
m1
m m
1 2
co oznacza, że dla m1<jest w przybliżeniu równa całkowitej energii
oś
układu liczonej na jednostkę masy m2.
układu
Orbita w przestrzeni
Elementy orbitalne
a  wielka półoś
�
e  mimośród
&!  długośd węzła wstępującego
orbita
I  nachylenie orbity do płaszczyzny
płaszczyzna
ę odniesienia
odniesienia
w

�  długośd perycentrum w orbicie
ognisko
T  czas przejścia przez perycentrum
&!
v

x
Ć
perycentrum
�
j�= &!+�  długośd perycentrum
=M+j�  długośd średnia
I
u=�+�  argument szerokości
węzeł
Ć
wstępujący
X
kierunek
odniesienia
Orbita w przestrzeni
Elementy orbitalne
�
Przejście od układu współrzędnych
związanego z orbitą do układu
orbita
odniesienia polega na obrocie
płaszczyzna
ę
wokół trzech osi:
odniesienia
w

ognisko
a. obrót wokół osi z o kąt �, wtedy
&! oś x pokrywa się z linią węzłów
v

x
Ć
perycentrum
�
b. obrót wokół osi x o kąt I, obie
płaszczyzny pokrywają się
I
węzeł
Ć
wstępujący
c. obrót wokół osi z o kąt &!
X
kierunek
odniesienia
Orbita w przestrzeni
Elementy orbitalne
Każda z transformacji jest reprezentowana przez odpowiednią macierz obrotu:
cos sin 0 1 0 0 cos sin 0
P sin cos 0 P 0 cos I sin I P sin cos 0
1 2 3
0 0 1 0 sin I cos I 0 0 1
Wtedy przejścia między układami dokonuje się poprzez:
X x x X
1 1 1
Y P P P y y P P P Y
3 2 1 1 2 3
Z z z Z
Ponieważ wszystkie macierze obrotu są ortogonalne więc macierze odwrotne
są po prostu macierzami transponowanymi
Orbita w przestrzeni
Elementy orbitalne
Jeżeli ograniczymy się do współrzędnych w leżących w płaszczyz
nie orbity:
X r cos
Y P P P r sin
3 2 1
Z 0
cos cos sin sin cos I
r sin cos cos sin cos I
sin sin I
Obrót nie zmienia długości stąd wielka półoś i mimośród nie zmieniają się
Orbita w przestrzeni
Położenie planety z elementów orbitalnych
Mając dane elementy orbitalne możemy wyznaczyd jej współrzędne w
dowolnym układzie odniesienia.
Przykład:
wyznaczenie współrzędnych heliocentrycznych Jowisza
na dzieo 25 września 1993 r, 6:32 UT
1. Parametry orbity:
parametr Epoka 2000.0 25.09.1993 r
a [AU] 5.20336301 5.20332
e 0.04839266 0.0484007
I 1. 30530 1. 30537
&! 100. 55615 100. 535
j� 14. 75385 14. 7392
Murray, C.D. i Dermott, S.F.
1999, Solar System Dynamics,
 34. 40438 204. 234
Cambridge University Press
Orbita w przestrzeni
Położenie planety z elementów orbitalnych
2. M=-j�=189 . 
495
3. Rozwiązując równanie Keplera dostajemy: E=189 . 
059
4. Korzystając ze wzorów:
x a cos E e
2
y a 1 e sin E
wyznaczamy współrzędne prostokątne Jowisza w płaszczyz
nie jego orbity
Orbita w przestrzeni
Położenie planety z elementów orbitalnych
5. Następnie używając wartości I, &!, j� wyznaczamy macierz, która pozwoli na przejście
do układu odniesienia (heliocentrycznego):
0.966839 0.254401 0.0223971
P P P P 0.254373 0.967097 0.00416519
3 2 1
0.0227198 0.00167014 0.99974
skąd: X=-5.00336, Y=-2.16249, Z=0.121099
Orbita w przestrzeni
Zmiany elementów orbitalnych
&�
a a at
0
&�
e e et
0
&�
Te przybliżone formuły pozwalają wyznaczyd
I
I I t
0
perturbowane parametry orbitalne planet
3600
Układu Słonecznego z dokładnością rzędu 600 
&�
(w przedziale 1800 r.  2050 r.)
t
0
3600
&�
t
0
3600
&�
360 N t
0 r
3600
gdzie t jest czasem wyrażonym w stuleciach juliaoskich
począwszy od JD 2451545.0 (epoka 2000.0)
Murray, C.D. i Dermott, S.F.
stulecie juliaoskie = 36525 dni
1999, Solar System Dynamics,
Cambridge University Press
Orbita w przestrzeni
Zmiany elementów orbitalnych
a0 (AU) e0 I0 (o) j�0 (o) &!0 (o) 0 (o)
0.38709893 0.20563069 7.00487 77.45645 48.33167 252.25084
Merkury
0.72333199 0.00677323 3.39471 131.53298 76.68069 181.97973
Wenus
1.00000011 0.01671022 0.00005 102.94719 348.73936 100.46435
Ziemia
1.52366231 0.09341233 1.85061 336.04084 49.57854 355.45332
Mars
5.20336301 0.04839266 1.30530 14.75385 100.55615 34.40438
Jowisz
9.53707032 0.05415060 2.48446 92.43194 113.71504 49.94432
Saturn
19.19126393 0.04716771 0.76986 170.96424 74.22988 313.23218
Uran
30.06896348 0.00858587 1.76917 44.97135 131.72169 304.88003
Neptun
Dane dla Ziemi są w rzeczywistości parametrami orbity barycentrum układu Ziemia-Księżyc
Epoka 2000.0 (JD 2451545.0)
Orbita w przestrzeni
Zmiany elementów orbitalnych
&�
&� &�
&�
e N
&�
a I &�
r
0
0 0 0 0 0
66 2527 -23.51 573.57 -446.30 261628.29 415
Merkury
92 -4938 -2.86 -108.80 -996.89 712136.06 162
Wenus
-5 -3804 -46.94 1198.28 -18228.25 1293740.63 99
Ziemia
-7221 11902 -25.47 1560.78 -1020.19 217103.78 53
Mars
60737 -12880 -4.15 839.93 1217.17 557078.35 8
Jowisz
-301530 -36762 6.11 -1948.89 -1591.05 513052.95 3
Saturn
152025 -19150 -2.09 1312.56 1681.40 246547.79 1
Uran
-125196 2514 -3.64 -844.43 -151.25 786449.21 0
Neptun
Zmiany wielkiej półosi i mimośrodu są pomnożone przez 108, podczas gdy zmiany wielkości
kątowych zostały podane w sekundach łuku na stulecie
Epoka 2000.0 (JD 2451545.0)
Orbita w przestrzeni
Wyznaczanie elementów orbitalnych
Algorytm pozwalający z położenia (X,Y,Z) i prędkości (X,Y,Z) wyznaczyd elementy
orbitalne a, e, I, &!, �, T.
Zakładamy, że masy ciała centralnego i orbitującego są równe odpowiednio m1 i m2.
Mamy (w układzie odniesienia):
2 2 2 2
R X Y Z
2 2 2 2
&� &� &�
V X Y Z
r� r�
Wtedy:
&�
&� &� &�
R R X X Y Y ZZ
r�
&� &� &� &� &� &�
c Y Z ZY , ZX X Z, X Y Y X
2
c
2
&�
R V
2
R
Orbita w przestrzeni
Wyznaczanie elementów orbitalnych
r� r�
&�
&� &� &�
R R X X Y Y ZZ
r�
&� &� &� &� &� &�
c Y Z ZY , ZX X Z, X Y Y X
2
c
2
&�
R V
2
R
R  długośd promienia wodzącego
r� r�
X  tempo zmian pr. wodzącego, znak X jest taki sam jak znak iloczynu &� ponieważ
R R
R jest zawsze dodatnie
Potrzebne będą jeszcze rzuty momentu pędu:
c cos I c
Z
c sin I sin c górny znak wybieramy jeśli
X
cz>0, a dolny dla cz<0
c sin I cos m� c
Y
Orbita w przestrzeni
Wyznaczanie elementów orbitalnych
Możemy teraz przystąpid do wyznaczenia parametrów orbity (eliptycznej):
1. Wielką półoś wyznaczamy z równao:
2 2 2 2
R X Y Z
2 2 2 2
&� &� &�
V X Y Z
2 1
2
V
R a
skąd dostajemy:
1
2
2 V
a
R G m m
1 2
Orbita w przestrzeni
Wyznaczanie elementów orbitalnych
2. mimośród wyznaczamy przy wykorzystaniu uzyskanego wyrażenia na a oraz
ze wzoru:
2
c a 1 e
otrzymujemy:
2
c
e 1
G m m a
1 2
3. Wyznaczamy nachylenie orbity, które jest kątem zawartym pomiędzy
wektorem momentu pędu a jego składową hz:
c
Z
I arccos
c
Orbita w przestrzeni
Wyznaczanie elementów orbitalnych
4. Do wyznaczenia długości węzła wstępującego, &! używamy:
c sin I sin c
X
c sin I cos m� c
Y
skąd otrzymujemy:
c m� c
X Y
sin cos
c sin I c sin I
znak wybieramy w zależności od znaku hz
Orbita w przestrzeni
Wyznaczanie elementów orbitalnych
5. Argument szerokości �+� otrzymamy z wyrażeo na Z/R oraz X/R (pamiętając, że r=R):
X cos cos sin sin cos I
Y r sin cos cos sin cos I
Z sin sin I
czyli:
Z
sin
R sin I
X
cos sec sin sin cos I
R
Orbita w przestrzeni
Wyznaczanie elementów orbitalnych
6. Następnie wyliczamy anomalię prawdziwą i długośd perycentrum (w płaszczyz
nie
orbity) przy użyciu:
2
a 1 e na
&�
R R e sin
2
1 e cos
1 e
wtedy:
2 2
1 a 1 e a 1 e
&�
cos 1 sin R
2 R ce
Orbita w przestrzeni
Wyznaczanie elementów orbitalnych
7. Na koniec wyliczamy moment przejścia przez perycentrum, T.
Aby tego dokonad wyznaczamy E ze wzoru:
R a 1 e cos E
a następnie z równania Keplera i III prawa Keplera:
2 3
n t T E e sin E n a
otrzymujemy:
E e sin E
T t
3
G m m a
1 2
Orbita w przestrzeni
Wyznaczanie elementów orbitalnych
Powyższa procedura pozwala uzyskad elementy orbitalne w przypadku orbity eliptycznej.
Ze względów praktycznych warto jeszcze pozbyd się z równao czynnika G(m1+m2)
poprzez wybór innych jednostek.
G m m
Można tego dokonad skalując niezależną zmienną t przez czynnik
1 2
dt d
i wprowadzając nową zmienną czasową, � taką, że:
Można zauważyd, że taki sam skutek odniesie założenie ź=1 w równaniu:
r� r�
2
d r r
0
2 3
dt r
jeśli dodatkowo przyjmiemy za jednostkę długości wartośd wielkiej półosi, to mamy
układ dwóch ciał, w którym mamy jednostkowy ruch średni i okres orbitalny równy
2Ą jednostek czasowych.