MECHANIKA NIEBA
WYKA
AD 3
19.03.2008 r
Pole grawitacyjne i potencjał
Potencjał grawitacyjny
Pole, w którym praca przy przesunięciu
punktu z A do B nie zależy od drogi po
A
jakiej przesuwany jest punkt, nazywamy
polem potencjalnym (zachowawczym).
W polu potencjalnym praca wykonana po
dowolnej linii zamkniętej jest równa zero.
M
W zwiÄ…zku z tym praca jest tylko funkcjÄ…
współrzędnych:
B
W mU (x , y, z)
AB
Funkcję U(x,y,z) nazywamy potencjałem
E
Potencjał grawitacyjny jest równy grawitacyjnej energii potencjalnej
p
U
na jednostkę masy ciała znajdującego się w polu grawitacyjnym
m
Pole grawitacyjne i potencjał
Potencjał grawitacyjny
Różniczkując funkcję potencjału po kolejnych współrzędnych możemy w prosty
sposób wyznaczyd składowe siły grawitacyjnej:
U U U
m F ; m F ; m F
x y z
x y z
W przypadku pola środkowego (dla większości zagadnieo mechaniki nieba) siła F zależy
tylko od odległości od środka pola, wtedy:
F f (r)
Pole grawitacyjne i potencjał
Potencjał grawitacyjny
Ä…,²,Å‚  kÄ…ty jakie kierunek OA tworzy z
osiami układu współrzędnych
z
x y z
cos ; cos ; cos
r r r
składowe siły:
A(x,y,z)
x y z
F F ; F F ; F F
x y z
r
r r r
Å‚
Pamiętając, że:
²
Ä…
2 2 2 2
O
y
r x y z
otrzymujemy:
r x r y r z
; ;
x
x r y r z r
Pole grawitacyjne i potencjał
Potencjał grawitacyjny
Wprowadz
my funkcjÄ™:
mU Fdr f (r)dr
z
wtedy dla składowej x:
U dU r x x
A(x,y,z)
m m f (r) F F
x
x dr x r r
r
Å‚
i analogicznie dla y oraz z:
²
Ä…
U U
O
y
m F ; m F
y z
y z
x
Pole grawitacyjne i potencjał
Potencjał grawitacyjny
Wynika stąd, że funkcja :
z
Fdr
U
m
jest potencjałem.
W polu grawitacyjnym (punkt m1 przyciÄ…ga
m2
punkt m2):
r
m m
1 2
F G
2
r
O
m1
y
a więc:
m
1
U G
x
r
Pole grawitacyjne i potencjał
Potencjał grawitacyjny
Praca wykonana przy rozsunięciu punktów
m1 i m2 od r do r1 jest równa różnicy:
z
1 1
W m U (r ) m U (r) Gm m
2 1 2 1 2
r r
1
m2
r
Jeżeli punkt m2 odsuniemy do
nieskooczoności (r1->"), to:
O
m1
y
m m
1 2
W G m U (r) E
2 p
r
otrzymamy wyrażenie na energię potencjalną.
x
Pole grawitacyjne i potencjał
Potencjał układu punktów
Suma pól potencjalnych pochodzących od
różnych mas jest również polem
z
potencjalnym. Potencjał tego pola jest
sumą potencjałów poszczególnych mas:
Q(x,y,z)
m m m m
1 2 3 n
U G Kð
r r r r
1 2 3 n
Wyznaczmy potencjały dla kilku prostych
przypadków&
0
y
M
mi
(xi,yi,zi)
x
Pole grawitacyjne i potencjał
Potencjał na osi pierścienia
PotencjaÅ‚ od elementu ´M:
G M
U
2 2
a z
Całkując dostajemy:
GM
U
2 2
a z
Ta funkcja zależy tylko od z. Aby
otrzymad natężenie pola musimy
policzyd pochodnÄ…:
dU Mz
G
3 / 2
2 2
dz
a z
Pole grawitacyjne i potencjał
Potencjał na osi jednorodnego dysku
Potencjał dysku jest sumą
potencjałów pochodzących od
elementarnych pierścieni:
M 2 r r
dU G G
1 / 2 1 / 2
2 2 2 2
r z r z
a
rdr
U 2 G
1 / 2
2 2
0 r z
1 / 2
2
2GM a
z 1 z
2 2
a z
Pole grawitacyjne i potencjał
Potencjał na osi jednorodnego dysku
W przypadku dużych z, możemy
rozwinąd wyrażenie w nawiasie
korzystając z uogólnienia dwumianu
Newtona na dowolne potęgi.
Otrzymujemy:
M
U G
z
Pole grawitacyjne i potencjał
Potencjał od jednorodnego pręta
PrÄ™t o gÄ™stoÅ›ci Ã
P
Potencjał w punkcie P, pochodzący
od elementu ´x:
x
U G G
¸
r cos
´¸
Sumaryczny potencjał dostajemy
r
całkując:
d
U G
cos
r r 2L
´x
1 2
2L
G ln
r r 2L
1 2
Pole grawitacyjne i potencjał
Potencjał od jednorodnego pręta
Gdy r1 i r2 są duże możemy założyd:
r1 r2 r
wtedy:
M L L
¸
U G ln 1 ln 1
´¸
2L r r
r
Dla r>>L możemy logarytmy
rozwinÄ…d w szereg Maclaurina.
Otrzymujemy:
´x
2L
M
U G
r
czyli potencjał masy punktowej.
Pole grawitacyjne i potencjał
Potencjał od jednorodnego pręta
r r 2L
1 2
U G ln
r r 2L
1 2
W niewielkich odległościach od
pręta powierzchnie ekwipotencjalne
¸
sÄ… elipsami (r1+r2=2a)
´¸
a L
r
U G ln
a L
o wielkich półosiach równych:
U
G
´x 1 e
2L
a L
U
G
1 e
Pole grawitacyjne i potencjał
Potencjał dowolnej masy
Suma pól potencjalnych pochodzących od
różnych mas jest również polem
z
potencjalnym. Potencjał tego pola jest
sumą potencjałów poszczególnych mas:
Q(x,y,z)
m m m m
1 2 3 n
U G Kð
r r r r
1 2 3 n
n
m
i
G
i 1 r
i
0
y
M
gdzie:
mi
2 2 2 2
r (x x ) (y y ) (z z )
(xi,yi,zi)
i i i i
x
Pole grawitacyjne i potencjał
Potencjał dowolnej masy
Pochodne potencjału (podobnie dla y i z):
z
n
U m
i
G (x x )
i
3
x i 1 r
i
Q(x,y,z)
2 2
n
U m (x x )
i i
G 3m
i
2 3 5
x i 1 r r
i i
Można pokazad, że:
0
2 2 2
y
M
U U U
0
mi
2 2 2
x y z
(xi,yi,zi)
które jest równaniem Laplace a
x
Pole grawitacyjne i potencjał
Potencjał dowolnej masy
Ogólnie:
Potencjał w punkcie leżącym na
z
zewnÄ…trz masy przyciÄ…gajÄ…cej
spełnia r-nie Laplace a:
Q(x,y,z)
2 2 2
U U U
0
2 2 2
x y z
Potencjał w punkcie leżącym
wewnÄ…trz masy przyciÄ…gajÄ…cej
0
spełnia r-nie Poisson a:
y
M
mi
2 2 2
(xi,yi,zi)
U U U
4 G
2 2 2
x y z
x