1 00513 Mechanika nieba D  part 3
TEORIA
Dane osobowe właściciela arkusza
00513
Mechanika nieba D
Część 3
Aktualizacja
Satelity Ziemi.
Wrzesień
I i II prędkość kosmiczna
ROK 2008
Stan przeciÄ…\
enia i niewa\
kości
Instrukcja dla zdajÄ…cego
1. Proszę sprawdzić, czy arkusz teoretyczny zawiera 6
stron. Ewentualny brak nale\
y zgłosić.
2. Do arkusza mo\
e być dołączona karta wzorów i sta-
łych fizycznych. Jeśli jest, nale\
y ją dołączyć do od-
dawanej pracy.
3. ProszÄ™ uwa\
nie i ze zrozumieniem przeczytać zawar-
tość arkusza.
4. Proszę precyzyjnie wykonywać polecenia zawarte w
arkuszu: rozwiązać przykładowe zadania, wyprowa-
dzić wzory, gdy jest takie polecenie.
5. Proszę analizować wszelkie wykresy i rysunki pod
kÄ…tem ich zrozumienia.
6. W trakcie obliczeń mo\
na korzystać z kalkulatora.
7. Wszelkie fragmenty trudniejsze proszę zaznaczyć w
celu ich póz
niejszego przedyskutowania.
8. Uzupełniaj wiadomości zawarte w arkuszu o informa-
cje zawarte w Internecie i dostępnej ci literaturze.
9. Znak * dotyczy wiadomości wykraczających poza
ramy programu  maturalnego .
śyczymy powodzenia!
(Wpisuje zdający przed rozpoczęciem pracy)
PESEL ZDAJ
CEGO
2 00513 Mechanika nieba D  part 3
TEORIA
Temat: 65 Satelity Ziemi.
1. Stałym pytaniem tych, którzy nie zajmowali się nigdy studiowaniem fizyki jest  co powo-
duje, \
e satelity Ziemi nie spadają ? Czy rakieta, której silnik przestał działać, nie powin-
na spadać ku środkowi Ziemi z przyspieszeniem ziemskim g, tak jak inne przedmioty w
pobli\
u powierzchni Ziemi ? Odpowiemy: Tak, nisko lecÄ…ce satelity Ziemi na orbicie ma-
m
ją przyspieszenie 9,8 , skierowane do środka Ziemi. Gdyby nie miały takiego przyspie-
s2
szenia, odleciałyby w przestrzeń po stycznej do Ziemi. Ka\
de ciało poruszające się po
v2
obwodzie koła ma automatycznie przyspieszenie . Jeśli jest to orbita kołowa wokół
r
Ziemi, to siłą, która nadaje to przyspieszenie jest siła cię\
kości. Mamy więc
2
vc
(1) g = , gdzie vc jest krytyczną prędkością orbitalną, a RZ - promieniem Ziemi
RZ
Rozwiązujemy równanie (1) względem vc
m km
(2) vc = g Å" RZ = 9,8 Å"6,37 Å"106 m = 7,9
s2 s
Jest to minimalna prędkość potrzebna, aby umieścić ciało na orbicie. Okres T, czyli czas
pełnego obiegu równa się obwodowi Ziemi podzielonemu przez vc
2Ä„ Å" RZ 4000km
(3) T = = = 84 min.
vc 7,9 km
s
Ten wynik zgadza się ze znanym okresem orbitowania wielu nisko latających satelitów
Ziemi od Sputnika I zaczynajÄ…c.
Isaac Newton był pierwszym, który zrobił pierwsze tego typu obliczenie (przed ok. 300
laty)
Osiągnięcie dokładnie vc nie jest konieczne do wejścia na orbitę. Przypuśćmy, \
e v jest o
10 % większe od vc. Przyspieszenie w pobli\
u powierzchni Ziemi musi być g, mamy więc
v2 v2
(4) g = , czyli R = , gdzie R - początkowy promień krzywizny orbity.
R g
W tym przykÅ‚adzie v = 1,1Å"vc = 1,1Å" g Å" RZ . Wstawmy ten rezultat do równania (4):
2
(1,1Å" g Å" RZ )
(5) R = = 1,21Å" RZ (rys. 1)
g
Widzimy, \
e promień początkowy orbity jest o 21 % większy od promienia satelity nisko
lecącego po orbicie kołowej.
3 00513 Mechanika nieba D  part 3
TEORIA
Taki pocisk początkowo będzie
oddalał się od Ziemi. Po pewnym
czasie jego prędkość będzie miała
składową skierowaną od środka
RZ 1,21 RZ
Ziemi. Siła grawitacji przeciwsta-
1,1 Vc
wia się tej składowej ruchu i w
konsekwencji v zmniejsza siÄ™ do
tego stopnia, \
e pocisk zacznie
Vc
 spadać ku Ziemi. Dokładnie, tor
będzie biegł po elipsie z jednym
ognisk w środku Ziemi.
Rys. 1
2. Gdy satelita na orbicie kołowej znajduje się na znacznej wysokości h powy\
ej powierzchni
Ziemi, musimy wtedy wziąć pod uwagę fakt doświadczalny, \
e przyspieszenie grawitacyj-
ne zale\
y odwrotnie proporcjonalnie do kwadratu odległości od środka Ziemi (rys. 2).
Przyspieszenie grawitacyjne w odległości RZ + h jest
2
RZ
(6) g1 = g Å"
2
ZIEMIA
RZ + h
( )
v2
h
Przyrównując g1 do otrzymu-
RZ + h
( )
jemy:
r
v 2
v2 RZ
RZ (7) = g Å"
2
RZ + h
( ) RZ + h
( )
RZ RZ
(8) v = g Å" g Å" RZ Å" = vc Å"
RZ + h RZ +
( ) (
Widzimy, \
e prędkość jest mniejsza od
prędkości krytycznej.
Rys. 2
4 00513 Mechanika nieba D  part 3
TEORIA
3. Gdy pojazd kosmiczny chce przejść z wy\
szej orbity kołowej na ni\
szą, musi uruchomić
silniki rakietowe zwrócone w kierunku ruchu (siła przeciwstawiająca się ruchowi). W cza-
sie, gdy czynne są silniki wsteczne, pojazd kosmiczny nabiera prędkości jednocześnie
 spadając powoli ku Ziemi. Gdyby taki silnik wsteczny uruchomić na masce samochodu,
spowodowałby on zmniejszenie prędkości samochodu, jednak według równania (8) pręd-
kość musi rosnąć, gdy h maleje - co wydaje się niezgodne ze zdrowym rozsądkiem. Takie
manewry mo\
na symulować u\
ywając komputera z odpowiednim wyświetlaczem. Zabawa
w gwiezdne wojny kryje pułapki dla nowicjusza. Jeśli będzie on postępować zgodnie ze
swoimi naturalnymi odruchami, pojazd kosmiczny będzie robić coś przeciwnego ni\
gracz
zamierzał.
Temat: 66 Loty kosmiczne. I i II prędkość kosmiczna.
1. Loty między planetarne są najlepszą metodą poznawania najbli\
szych planet. Udane loty
kosmiczne bezzałogowe, ale z aparaturą naukową odbyły się na planety Wenus i Mars.
2. Orbity rakiet międzyplanetarnych są bardzo zło\
one. Rakieta po przekroczeniu tzw. II
prędkości kosmicznej znajduje się głównie pod wpływem przyciągania grawitacyjnego
wywieranego przez Ziemię, dopiero w odległości około 900 000 km zaczyna przewa\
ać
wpływ przyciągania przez Słońce i dlatego odległość ta jest przyjmowana jako granica
strefy oddziaływania grawitacyjnego Ziemi. Dalszy lot rakiety podlega tym prawom, które
rzÄ…dzÄ… ruchami planet.
3. Pierwszym obiektem, który osiągnął II prędkość kosmiczną była radziecka stacja  A
una 1
wypuszczona 2 stycznia 1959 roku.
4. Pierwszym człowiekiem, który znalazł się w przestrzeni kosmicznej był Jurij Gagarin; było
to 12 kwietnia 1961 roku. Lot kosmiczny statku  Wostok trwał 108 minut. Warto tu jed-
nak zaznaczyć, \
e fakt ten jest aktualnie kontrowersyjny. W niektórych środowiskach
uwa\
a siÄ™, \
e w rzeczywistości Gagarin nie opuścił Ziemi, lot był bezzałogowy, a kampa-
nia reklamowa była związana z chęcią wygrania przez ZSRR specyficznego (i presti\
owe-
go) wyścigu z USA o to, który z tych krajów pierwszy wyśle człowieka w kosmos.
5. Prędkości kosmiczne.
km
Ò! I prÄ™dkość kosmiczna vI = 7,9 : po uzyskaniu tej prÄ™dkoÅ›ci ciaÅ‚o wyrzucone z Ziemi
s
staje siÄ™ jego sztucznym satelitÄ….
Równanie wynika z fak-
mÅ"v2 G Å" M Å" m G Å" M g Å" R2
tu, i\
siła grawitacji pełni
= , czyli vI = = = g Å" R
rolę siły dośrodkowej
R R2 R R
zmuszajÄ…c satelitÄ™ do
ruchu po orbicie kołowej.
gdzie: m - masa satelity, M - masa Ziemi, R - promień Ziemi,
km
Ò! II prÄ™dkość kosmiczna vII = 11,2 : prÄ™dkość, po uzyskaniu której ciaÅ‚o uwalnia siÄ™ z
s
wpływu grawitacyjnego Ziemi (skąd nazwa - prędkość ucieczki)
Całkowita energia mechaniczna ciała wyrzuconego z
mÅ"v2 G Å" M Å" m
ëÅ‚- öÅ‚
+ = 0
ìÅ‚ ÷Å‚
Ziemi z II prędkością kosmiczną jest podczas jego ruchu
íÅ‚ Å‚Å‚
2 R
stała i równa zeru (dlaczego ?)
5 00513 Mechanika nieba D  part 3
TEORIA
km
Ò! III prÄ™dkość kosmiczna vIII = 16,7 : prÄ™dkość, po uzyskaniu której ciaÅ‚o mo\
e opu-
s
ścić Układ Słoneczny,
km
Ò! IV prÄ™dkość kosmiczna: vIV e" 130 : prÄ™dkość, po uzyskaniu której ciaÅ‚o mo\
e opu-
s
ścić Galaktykę.
Temat: 67 Stan przeciÄ…\
enia i niewa\
kości.
1. Rakieta oddala się od powierzchni Ziemi. Jakie siły działają na kosmonautę? Dla prostoty
rozwa\
ań układ odniesienia zwią\
emy z rakietą (układ nieinercjalny).
r r
v ar
Rakieta przemieszcza się  do góry z przyspieszeniem
r
ar :
r
r r r
Fg
F = Fg + Fb , gdzie: F - siła działająca na kosmonautę,
r Fg - siła grawitacji, Fb siła bezwładności ( zdefiniowa-
Fb
na jako Fb = - mar). Siła działająca na kosmonautę
jest większa od jego cię\
aru (F > Fg). Stan ten nazy-
wamy przeciÄ…\
eniem.
Rys. 1
2. Rakieta nadal porusza się do góry, lecz zaczyna hamować :
r r
v ar
r
Rakieta przemieszcza się  do góry z opóz
nieniem ar :
r r r
r
F = Fg - Fb Siła działająca na kosmonautę jest mniej-
Fb
r
sza od jego ciÄ™\
aru (F < Fg). Stan ten nazywamy nie-
Fg
dociÄ…\
eniem.
Rys. 2
6 00513 Mechanika nieba D  part 3
TEORIA
3. Po wyhamowaniu (w pewnej odległości od powierzchni Ziemi) - rakieta wraca znowu do
miejsca startu.
r r
v ar
Rakieta przemieszcza się  w dół z przyspieszeniem
r
r
ar :
Fb
r r r
r
F = Fg - Fb Siła działająca na kosmonautę jest mniej-
Fg
sza od jego ciÄ™\
aru (F < Fg). Stan ten nazywamy nie-
dociÄ…\
eniem.
Rys. 3
4. W celu wylądowania rakieta zaczyna hamować.
r r
v ar
r
Rakieta przemieszcza się  w dół z opóz
nieniem ar :
r r r
F = Fg + Fb , Siła działająca na kosmonautę jest więk-
r
Fg
sza od jego ciÄ™\
aru (F > Fg). Stan ten nazywamy prze-
ciÄ…\
eniem.
r
Fb
Rys. 4
5. W szczególnym przypadku, gdy rakieta porusza się bez napędu (np. niczym satelita po
orbicie okołoziemskiej), czyli pozostaje pod działaniem tylko siły grawitacji, wtedy
r
Fg = 0
Stan taki nazywamy niewa\
kością.
6. Identyczna sytuacja ma miejsce w przypadku windy poruszającej się w górę i w dół, jedy-
nie przyspieszenia wind sÄ… znacznie mniejsze ni\
rakiet.