1 00509 Dynamika bryły sztywnej D
TEORIA
Dane osobowe właściciela arkusza
00509
Dynamika bryły sztywnej D
Momenty: bezwładności, siły i pędu.
Aktualizacja
Praca, moc i energia w ruchu obrotowym.
Maj
Zasada zachowania momentu pędu.
Przykładowe zadania. ROK 2008
Instrukcja dla zdajÄ…cego
1. Proszę sprawdzić, czy arkusz teoretyczny zawiera 10
stron. Ewentualny brak nale\
y zgłosić.
2. Do arkusza mo\
e być dołączona karta wzorów i sta-
łych fizycznych. Jeśli jest, nale\
y ją dołączyć do od-
dawanej pracy.
3. ProszÄ™ uwa\
nie i ze zrozumieniem przeczytać zawar-
tość arkusza.
4. Proszę precyzyjnie wykonywać polecenia zawarte w
arkuszu: rozwiązać przykładowe zadania, wyprowa-
dzić wzory, gdy jest takie polecenie.
5. Proszę analizować wszelkie wykresy i rysunki pod
kÄ…tem ich zrozumienia.
6. W trakcie obliczeń mo\
na korzystać z kalkulatora.
7. Wszelkie fragmenty trudniejsze proszę zaznaczyć w
celu ich póz
niejszego przedyskutowania.
8. Uzupełniaj wiadomości zawarte w arkuszu o informa-
cje zawarte w Internecie i dostępnej ci literaturze.
9. Znak * dotyczy wiadomości wykraczających poza
ramy programu  maturalnego .
śyczymy powodzenia!
(Wpisuje zdający przed rozpoczęciem pracy)
PESEL ZDAJ
CEGO
2 00509 Dynamika bryły sztywnej D
TEORIA
Temat: 39 Ruch obrotowy bryły sztywnej
pod działaniem stałego momentu siły.
1. Po krótkiej analizie kinematyki bryły sztywnej przechodzimy do dynamicznego opisu ruchu obro-
towego bryły sztywnej.
2. Rozpatrzmy bryłę sztywną, do której w ró\
nych punktach przyło\
one są ró\
ne siły (rys. 1). Jakie
warunki muszą być spełnione, aby ta bryła pozostawała w równowadze ?
Pierwszy z warunków jest identyczny z do-
r
tyczÄ…cym punktu materialnego (I zasada
F2
dynamiki): wypadkowa wszystkich sił dzia-
łających na bryłę musi być równa zeru:
r
n F1
r r r r
r
(1) F1 + F2 + Å"Å"Å"+ Fn = Fn = 0
"
F3
i=1
Rysunek 2 wyjaśnia, \
e ten warunek nie
jest wystarczajÄ…cy.
r
Zatem skutek działania sił na bryłę sztywną F4
zale\
y nie tylko od wartości działających
r
sił, ale równie\
od poło\
enia linii działania
Rys. 1 F5
sił względem określonego punktu (osi obro-
tu), W przypadku pokazanym na rysunku
3a oraz 3b mówimy, \
e istnieje moment si-
ły względem siły obracającej krą\
ek. W przypadku widocznym na rys. 3c - moment siły nie wy-
stępuje (jest równy zeru).
r
F1
r
r
r
F
r r
Rys. 2 F2 Rys. 3a Rys. 3b F
KrÄ…\
ek obraca siÄ™ KrÄ…\
ek obraca siÄ™
w prawo w lewo
r
Rys. 3c KrÄ…\
ek pozostaje nieruchomy
r
F
r
Zatem: momentem siły M względem dowolnego punkt 0 lub momentem obrotowym nazywamy
r
wektor, którego wartość równa jest iloczynowi wartości siły F i jej ramienia r, a więc odległości
r
linii działania siły F od punkt 0.
3 00509 Dynamika bryły sztywnej D
TEORIA
*Zgodnie z rys. 4 mamy:
(2) M = F Å"r = F Å"r sinÄ…
lub wektorowo:
r r r
(3) M = R × F .
r r
Poniewa\
na rys. 3a,b,c R Ä„" F , dlatego
(4) M = F Å" R sin 900 = F Å" R .
r r
Równie\
dla przypadku R Ą" F zachodzi równość
0 "
r
r
r R
R = r i wtedy mo\
emy zapisać:
Ä…
r
(5) M = F Å"r .
F
3. *Teraz mo\
emy podać drugi warunek równowagi
Rys. 4
ciała sztywnego:
r r
(6) Ri × Fi = 0 .
"
i
4. Moment siły względem punktu 0 jest wektorem prostopadłym do płaszczyzny, w której le\
y punkt
r
i linia działania siły F (zresztą wynika to z określenia iloczynu wektorowego), przy czym ma on
znak dodatni, gdy siła jest skierowana tak względem punktu 0, \
e obraca bryłę zgodnie z kierun-
kiem ruchu wskazówek zegara (rys. 3c), lub ujemny, gdy kierunek obrotu bryły jest przeciwny
r
(rys. 3a). Je\
eli natomiast linia działania siły F przechodzi przez punkt 0, to ramię siły r = 0, a
r
więc i moment siły M jest równy zeru (rys.3b ). Jak ju\
było stwierdzone, rysunki 3a,b,c dotyczą
r r
przypadku R Ą" F . Tylko takimi przypadkami będziemy się zajmować na dalszych stronach ni-
niejszego kursu.
Temat: 40 Praca i moc w ruchu jednostajnym obrotowym.
1. Wprawienie ciała w ruch obrotowy jest związane z nadaniem mu przyspieszenia, a więc z
wykonaniem określonej pracy. Równie\
utrzymanie ciała w stanie ruchu obrotowego jed-
nostajnego w warunkach, w których występują siły przeciwdziałające mu, wymaga wyko-
nania niezbędnej pracy do ich pokonania.
Załó\
my, \
e na obwodzie tarczy obracajÄ…cej siÄ™
jednostajnie dookoła osi (rys. 1) działa stała co
r
do wartości rsiła F prostopadła do promienia
wodzÄ…cego r pokonujÄ…ca opory ruchu. Je\
eli po
czasie t punkt przyło\
enia siły przebędzie drogę
r
r
liniowÄ… s = Ä… Å"r , to wykonana przez tÄ™ siÅ‚Ä™ praca
r
pokonywania oporów ruchu wyrazi się wzorem:
F 0 Ä…
r
r
(1) W = F Å" s ,
r
F
lub
(2) W = F Å"r Å"Ä… .
Rys. 1
Iloczyn F Å"r jest momentem siÅ‚y wzglÄ™dem osi
obrotu, zatem:
(3) W = M Å"Ä… .
4 00509 Dynamika bryły sztywnej D
TEORIA
Wniosek: I
Jeśli moment M utrzymujący ciało w ruchu obrotowym zachowuje stałą wartość,
to wykonana przez niego praca jest równa iloczynowi momentu M i drogi kątowej ą.
2. Za pomocÄ… prostego rozumowania mo\
emy wyznaczyć moc:
W M Å"Ä… Ä…
(4) P = = = M Å"É , bowiem É = w rozpatrywanym rodzaju ruchu.
t t t
Wniosek: II
Miarą mocy w ruchu obrotowym jednostajnym jest iloczyn działającego na
ciaÅ‚o momentu obrotowego M i jego prÄ™dkoÅ›ci kÄ…towej É .
Temat: 41 Energia kinetyczna w ruchu obrotowym.
Moment bezwładności.
1. Tematem analizy będzie energia kinetyczna bryły sztywnej znajdującej się w ruchu obro-
towym jednostajnym. Dla prostoty rozwa\
ań - bryłę stanowić będzie tarcza o masie m
składająca się z bardzo du\
ej liczby elementów o masach m1, m2, ... mn tak małych, \
e
mo\
na przyjąć je za punkty materialne obracające się dokoła osi przechodzącej przez jej
środek cię\
kości (masy) ze stałą prędkością kątową (rys. 1).
r
r
Wektor wodzÄ…cy m1
punktu tarczy m2
r
v m3
m4
Wektor prędkości m5
punktu tarczy
mn
Rys. 1
Energia kinetyczna pojedynczego elementu wynosi:
mivi2
(1) Ek =
i
2
lub po podstawieniu vi = É Å"ri (pamiÄ™tamy, \
e dla ka\
dego punktu tarczy É jest jednakowe)
2
miÉ ri2
(2) Ek = .
i
2
5 00509 Dynamika bryły sztywnej D
TEORIA
Energia kinetyczna całej tarczy jest równa sumie energii jej poszczególnych elementów:
n n 2 2 n
miÉ ri2 É
(3) Ek = Ek = = miri2
" " "
i
2 2
i=1 i=1 i=1
Zastanowimy siÄ™ teraz nad wyra\
eniem, które pozostało pod znakiem sumy, a mianowicie:
n
(4) miri2
"
i=1
Suma iloczynów mas poszczególnych cząstek bryły i kwadratów ich odległości od osi ob-
rotu jest miarą bezwładności bryły i nosi nazwę momentu bezwładności I bryły względem
n
danej osi obrotu: (5a) I = miri2 .
"
i=1
*W przypadku ciała sztywnego o ciągłym rozkładzie masy dzielimy je w myśli na nie-
skończenie małe elementy masy dm i sumowanie we wzorze (5a) zastępujemy całkowa-
niem. Wtedy moment bezwładności wyra\
a siÄ™ wzorem:
2
(6) I = dm ,
+"r
przy czym całkowanie rozciągnięte jest na całą objętość ciała.
Ze wzoru (6) widać, \
e o bezwładności obracającej się bryły nie decyduje suma mas po-
szczególnych cząstek bryły. Zasadnicze znaczenie ma rozmieszczenie mas względem osi
obrotu.
Wracamy teraz do równania (4), które zapiszemy:
2
I Å"É
(7) Ek =
2
Wniosek:
Energia kinetyczna Ek obracającego się ciała dokoła osi przechodzącej przez jej środek
masy jest równa połowie iloczynu momentu bezwładności tego ciała (moment ten ozna-
czamy literÄ… I ) wzglÄ™dem osi obrotu i kwadratu jej prÄ™dkoÅ›ci kÄ…towej É.
2. Jednostką momentu bezwładności jest iloczyn jednostki masy i kwadratu jednostki długo-
ści, a więc w układzie SI mamy:
[ ]
(8) I = kg Å"m2
[ ]
6 00509 Dynamika bryły sztywnej D
TEORIA
3. Momenty bezwładności ciał geometrycznie określonych oblicza się zazwyczaj za pomocą
wzorów wyprowadzonych przy u\
yciu rachunku całkowego. Oto kilka wyników takich
obliczeń:
a) kula jednorodna o promieniu R i masie m, oś obrotu przechodzi przez środek kuli
2
I = mÅ" R2
5
b) krÄ…\
ek (walec lub dysk) względem osi obrotu przechodzącej przez środek masy
wzdłu\
długości krą\
ka
1
I = mÅ" R2
2
c) pręt względem osi przechodzącej przez jego koniec i do niego prostopadłej:
1
, gdzie L oznacza długość pręta.
I = mÅ" L2
3
Temat: 42 I i II zasada dynamiki dla ruchu obrotowego.
1. Bezwładność, czyli samoistne podtrzymywanie stanu spoczynku lub ruchu jednostajnego, jest
cechą ciał, która przejawia się nie tylko w ruchu postępowym Liczne doświadczenia prowa-
dzÄ… do wniosku, \
e i w ruchu obrotowym ciała (bryły) wykazują bezwładność. Mo\
na więc
analogicznie, jak to miało miejsce w dynamice punktu materialnego, podać I zasadę dynamiki
dla ruchu obrotowego brył. Pamiętając o tym, \
e przyspieszenie kątowe bryły wywołują nie-
zrównowa\
one momenty sił, mo\
na tę zasadę sformułować następująco:
W inercjalnym układzie odniesienia bryła nie obraca się lub obraca się ruchem
jednostajnym, gdy nie działają na nią \
adne momenty sił lub działające momen-
ty sił równowa\
Ä… siÄ™ wzajemnie:
n
r r r r r r
(1) Mi = M1 + M2 + M3 + M4 + Å"Å"Å" + Mn = 0
"
i=1
2. Podany powy\
ej warunek równowagi dla ruchu obrotowego nie określa jednak całkowicie
równowagi bryły, która mo\
e jednocześnie wykonywać ruch obrotowy i postępowy. Dlatego
te\
dopiero łączne spełnienie warunków równowagi obu rodzajów ruchu daje pewność, \
e
bryła uprzednio spoczywająca pozostanie w spoczynku. Podstawą statyki bryły są następu-
jące dwa równania, które łącznie wzięte określają równowagę bryły:
n
r r r r r r
Mi = M1 + M2 + M3 + M4 + Å"Å"Å" + Mn = 0 ,
"
i=1
n
r r r r r r
(2) Fi = F1 + F2 + F3 + F4 + Å"Å"Å"+ Fn = 0.
"
i=1
7 00509 Dynamika bryły sztywnej D
TEORIA
3. Rozpatrzymy teraz przypadek, gdy na bryłę sztywną działa niezrównowa\
ony moment siły.
W tym celu załó\
my, \
e na ciało sztywne o masie m związane z osią obrotu i mogące poru-
szać się wokół niej po torze kołowym o promieniu r, działa stała co do wartości siła obwodo-
r r
wa F , której wartość momentu M wynosi M = F Å"r .
r
Pod wpływem działania tej siły bryła uzyska przyspieszenie a , którego wartość spełnia rów-
nanie słuszne dla ka\
dego jej punktu:
(3) F = mÅ"a .
PodstawiajÄ…c do (3) a = µ Å"r i mno\
ąc obie strony równania przez r, otrzymamy dla ka\
dego
punktu bryły:
(4) F Å"r = mÅ"µ Å"r2 ,
Pamiętając, \
e M = F Å"r mo\
emy napisać:
(5) M = mÅ"µ Å"r2
Przejdziemy teraz od poszczególnych punktów bryły sztywnej do bryły jako całości sumując
wszystkie elementarne momenty Mi dające moment całkowity MC bryły
n n
(6) MC = Mi = µ miri2 = µ Å" I .
" "
i=1 i=1
lub
r
M r M
µ = [w zapisie wektorowym: (7a) µ = ]
I I
Zale\
ność (7), a dokładniej (7a) stanowi podstawowe równanie dynamiki ruchu obrotowego
bryły sztywnej:
r
Niezrównowa\
ony moment siły M działając na bryłę nadaje jej przyspieszenie
r
kÄ…towe µ , którego wartość jest wprost proporcjonalna do wartoÅ›ci tego mo-
mentu i odwrotnie proporcjonalna do momentu bezwładności I bryły, przy czym
r
jest ono skierowane tak samo jak moment M .
Ze wzoru (7) widać, \
e moment bezwładności w ruchu obrotowym spełnia tę samą rolę co
masa w ruchu postępowym - jest mianowicie miarą bezwładności bryły, natomiast moment si-
ły odgrywa w ruchu obrotowym taką rolę jak siła w ruchu postępowym.
Zadanie:
obr
îÅ‚ Å‚Å‚
1. Wirnik silnika elektrycznego o mocy 10[kW] i prędkości obrotowej 2800 ma moment
ïÅ‚minśł
ðÅ‚ ûÅ‚
bezwÅ‚adnoÅ›ci równy 0,025[kg Å" m2]. Oblicz moment obrotowy i energiÄ™ kinetycznÄ… wirnika
oraz czas rozruchu silnika.
(Odp. M = 34[N·m], Ek = 1100 [J], t = 0,22[s])
8 00509 Dynamika bryły sztywnej D
TEORIA
Temat: 43 Wnioski z zasady zachowania krętu.
1. *W ka\
dym nie odosobnionym układzie ciał mo\
emy wyró\
nić siły wewnętrzne i zewnętrzne.
Siły wewnętrzne działające między poszczególnymi częściami układu występują parami,
zgodnie z III zasadą dynamiki. Jako równe i przeciwnie skierowane dają one w układzie wy-
padkową siłę równą zeru. Wyka\
emy, \
e ich moment wypadkowy względem dowolnego
punktu te\
się równa zeru (rys. 1).
r r
- F F
r r
R R
2 1
r
0
Rys. 1
r r
Momenty siÅ‚ F i - F wzglÄ™dem punktu 0 równajÄ… siÄ™ F·r i -F·r. SÄ… wiÄ™c sobie liczbowo rów-
r
ne, mają kierunki jednakowe, lecz zwroty przeciwne: moment siły - F skierowany jest przed
r
płaszczyznę rysunku, moment siły F - za płaszczyznę rysunku.
Zatem: Siły wewnętrzne nie mają wypadkowego momentu siły, czyli nie mogą powodować
zmiany momentu pędu (krętu).
2. Czy to jednak dowodzi, \
e w układzie odosobnionym ( a więc takim, w którym nie działają
siły zewnętrzne) nie mogą zajść \
adne zmiany w ruchu obrotowym ciała ?
StaÅ‚oÅ›ci wypadkowego momentu pÄ™du L odpowiada staÅ‚ość iloczynu I Å"É .Je\
eli mamy mo\
-
liwość zmieniania momentu bezwładności układu pod działaniem sil wewnętrznych, to zmia-
nom tym muszÄ… towarzyszyć takie zmiany prÄ™dkoÅ›ci kÄ…towej É, aby iloczyn I Å"É byÅ‚ staÅ‚y.
3. Jeśli ły\
wiarz wykonuje piruet na lodzie, to rozsuwając szeroko ręce zwiększa swój moment
bezwładności, a tym samym zmniejsza prędkość kątową obrotu. I odwrotnie -  skupiając
mo\
liwie najbardziej całą swoją masę dokoła osi obrotu zmniejsza swój moment bezwładno-
Å›ci, co powoduje wzrost prÄ™dkoÅ›ci kÄ…towej É.
4. Analogiczne spostrze\
enie poczynimy obserwując człowieka siedzącego na stołku kręcącym
się dokoła osi pionowej i trzymającego w rękach cię\
kie kule. Składanie rąk na piersi, a na-
stępnie rozkładanie ich mo\
liwie szeroko powoduje zmianę momentu bezwładności, a równo-
cześnie zmianę prędkości kątowej układu.
5. Niech człowiek stojący na nieruchomym stołku trzyma w ręku oś pionową, na której jest
zamocowane koło rowerowe. Je\
eli człowiek wprawi w ruch obrotowy trzymane nad sobą ko-
ło, to stołek zacznie obracać się przy tym w przeciwną stronę, aby utrzymać wypadkowy mo-
ment pędu jako nadal zerowy.
9 00509 Dynamika bryły sztywnej D
TEORIA
6. Rozpatrzone powy\
ej przykłady dają wyniki zgodne z zasadą zachowania momentu pędu. W
ostatnim przykładzie kręt początkowy układu wynosił zero i musiał zachować swoją wartość:
zatem krÄ™t koÅ‚a Ik Å"Ék musi być równowa\
ony przeciwnym co do znaku, lecz równym co do
wartoÅ›ci krÄ™tem Is Å"És stoÅ‚ka i stojÄ…cego na nim czÅ‚owieka.
7. Podobnie przemieszczanie siÄ™ warstw powietrza w pobli\
u powierzchni Ziemi zwiÄ…zane z
ró\
nicami ciśnień powoduje zmiany momentu bezwładności układu Ziemia - atmosfera, co
pociÄ…ga za sobÄ… maÅ‚e, ale mierzalne zmiany prÄ™dkoÅ›ci kÄ…towej É. Zmniejszanie rozmiarów
podczas stygnięcia jej skorupy równie\
miało wpływ na wartość prędkości kątowej Ziemi.
Temat: 44
Zestawienie podstawowych wielkości i wzorów obowiązują-
cych w ruchu postępowym i obrotowym brył sztywnych.
Ruch postępowy Ruch obrotowy
ds dÄ…
v = É =
prędkość
dt dt
dv dÉ
a = µ =
przyspieszenie
dt dt
m masa / moment bezwładności I
F siła / moment siły M
II zasada dynamiki M = I Å"µ
F = mÅ"a
p = mÅ"v
pÄ™d / moment pÄ™du L = I Å"É
ogólna postać
dp dL
F = M =
II zasady dynamiki
dt dt
2
mÅ"v2 I Å"É
Ek = Ek =
energia kinetyczna
2 2
Temat: 45 Zadania.
1. Koło w postaci dysku o masie 3[kg] toczy się bez poślizgu po płaszczyz
nie poziomej z pręd-
m
îÅ‚ Å‚Å‚
kością 3 . Na jakiej drodze mo\
e być ono zatrzymane, je\
eli do obwodu koła przyło\
ymy
ïÅ‚ śł
s
ðÅ‚ ûÅ‚
siłę o wartości 1,5[N] ?
(Odp. s = 13,5 m)
2. Z jaką prędkością stoczy się bez poślizgu pełny walec po równi pochyłej o wysokości 3[m] ?
m
(Odp. v = 6,26 )
s
3. Moment bezwÅ‚adnoÅ›ci koÅ‚a napÄ™dowego silnika wynosi I = 0,2[kg Å" m2]. W jakim czasie uzy-
ska ono prędkość kątową n = 1800[obr/min], je\
eli moc silnika wynosi P = 200[W]?
(Odp. t = 17,74 s)
4. Ile razy wzrośnie energia kinetyczna ciała obracającego się, je\
eli częstość obrotów wzrośnie
dwukrotnie ?
(Odp. n = 4)
10 00509 Dynamika bryły sztywnej D
TEORIA
5. Jak i ile razy zmieni się częstotliwość obrotów ły\
wiarki, je\
eli poprzez zmianę układu ciała
jej moment bezwładności względem osi obrotu zmniejszy się trzykrotnie ?
( n = 3 )
6. Po równi pochyłej nachylonej do poziomu pod kątem ą stacza się bez poślizgu jednorodny
walec o masie m. Oblicz wartość działającej w tym ruchu siły tarcia. Moment bezwładności
1
walca względem jego osi obrotu wyra\
a siÄ™ wzorem I = mÅ"r2 . Przyspieszenie ziemskie
2
wynosi g.
1
(Odp. T = mg Å"sinÄ… )
3
7. Na lekkiej belce, spoczywającej na dwóch podporach odległych o 6[m], trzeba zawiesić ciało
o ciÄ™\
arze 1200[N]. W którym miejscu belki nale\
y je zawiesić, aby nacisk belki na jedną z
podpór wynosił 500[N]?
(Odp. x = 3,5[m] od belki, na którą nacisk wynosi 500[N])
8. Koło zamachowe wykonujące początkowo 12 obrotów na sekundę zatrzymuje się po 6 s. Ob-
licz średnie przyspieszenie kątowe.
rad
(Odp. µÅ›r = 12,56 )
s2
9. Walec i cienkościenna rurka o tych samych masach i promieniach oraz momentach bezwład-
1
noÅ›ci wynoszÄ…cych odpowiednio I1 = mÅ" R2 (walec) i I2 = mÅ" R2 (rurka) wtaczajÄ… siÄ™ z
2
jednakową prędkością na równię pochyłą. Które z tych ciał osiągnie większą wysokość ?
(Odp. rura)
10. KoÅ‚o zamachowe o momencie bezwÅ‚adnoÅ›ci I = 245[kg Å" m2]obraca siÄ™ wykonujÄ…c w chwili
obr
îÅ‚ Å‚Å‚
początkowej n = 20 i po pewnym czasie zatrzymuje się wykonując N = 1000[obrotów].
ïÅ‚ śł
s
ðÅ‚ ûÅ‚
Oblicz moment sił tarcia oraz czas, po którym koło zatrzymało się
(Odp. M = 308[N Å" m], t = 100[s])
m
îÅ‚ Å‚Å‚
11. Kula o masie m = 150[g] toczy się po płaszczyz
nie poziomej z prędkością 8 . Jaką siłą F na
ïÅ‚ śł
s
ðÅ‚ ûÅ‚
drodze s =12[m] mo\
na ją zahamować a\
do zatrzymania siÄ™ ?
(Odp. F = 0,56 N)
12. Oblicz moment siły hamującej M, który zatrzyma w czasie t = 15[s] dysk o masie m = 10[kg] i o
obr
îÅ‚ Å‚Å‚
promieniu r = 12[cm] obracający się z prędkością n = 1800 .
ïÅ‚minśł
ðÅ‚ ûÅ‚
(Odp. M = 0,9 [N Å" m])
13. Oblicz, jaką część energii kinetycznej stanowi energia obrotu w przypadku toczących się bez
poślizgu po poziomej płaszczyz
nie
a) obrÄ™czy ( I = mÅ"r2 ), b) peÅ‚nego walca, c) kuli.
14. Oblicz moment obracający koło napędowe silnika, je\
eli przy rozwijanej mocy P = 5 kW daje on
obr
îÅ‚ Å‚Å‚
n = 2880 .
ïÅ‚minśł
ðÅ‚ ûÅ‚
(Odp. M = 16,6[N Å" m])