1 00503 Kinematyka D
TEORIA
Dane osobowe właściciela arkusza
00503
Podstawy kinematyki D
Część 3
Przyspieszenie.
Aktualizacja
Droga i prędkość w ruchu jednostajnym.
Kwiecień
Wektorowy charakter prędkości
ROK 2008
i przyspieszenia.
Twierdzenie o prędkości i drodze
Instrukcja dla zdajÄ…cego
1. Proszę sprawdzić, czy arkusz teoretyczny zawiera 10
stron. Ewentualny brak nale\
y zgłosić.
2. Do arkusza mo\
e być dołączona karta wzorów i sta-
łych fizycznych. Jeśli jest, nale\
y ją dołączyć do od-
dawanej pracy.
3. ProszÄ™ uwa\
nie i ze zrozumieniem przeczytać zawar-
tość arkusza.
4. Proszę precyzyjnie wykonywać polecenia zawarte w
arkuszu: rozwiązać przykładowe zadania, wyprowa-
dzić wzory, gdy jest takie polecenie.
5. Proszę analizować wszelkie wykresy i rysunki pod
kÄ…tem ich zrozumienia.
6. W trakcie obliczeń mo\
na korzystać z kalkulatora.
7. Wszelkie fragmenty trudniejsze proszę zaznaczyć w
celu ich póz
niejszego przedyskutowania.
8. Uzupełniaj wiadomości zawarte w arkuszu o informa-
cje zawarte w Internecie i dostępnej ci literaturze.
9. Znak * dotyczy wiadomości wykraczających poza
ramy programu  maturalnego .
śyczymy powodzenia!
(Wpisuje zdający przed rozpoczęciem pracy)
PESEL ZDAJ
CEGO
2 00503 Kinematyka D
TEORIA
Temat: 9 Przyspieszenie w ruchu prostoliniowym.
1. Wszyscy w jakościowy sposób rozumiemy co to jest przyspieszenie. Mo\
emy wywołać
przyspieszenie samochodu naciskając pedał gazu. Im więcej pedał ten naciskamy, tym
większe jest przyspieszenie. Gdy trwa przyspieszenie prędkość rośnie, a oparcia siedzeń
popychajÄ… plecy pasa\
erów. Ta ilość popychania jest ilościową miarą przyspieszenia. Na-
ciśniecie na pedał hamulca daje ten sam efekt, tyle tylko, \
e teraz mamy ujemne przyspie-
szenie (nazywane opóz
nieniem). Przyspieszenie jest miarą zmiany prędkości.
2. Przyspieszenie jednostajne. Z definicji ciało porusza się z jednostajnym, czyli stałym
przyspieszeniem, gdy jego prędkość rośnie jednostajnie z czasem. Przyspieszenie a jest
stałe, gdy:
(1) v v0 = a·t, czyli:
v - v0
(2) a = , gdzie v - v0 jest przyrostem prędkości
t
w czasie t.
3. Przyspieszenie chwilowe. Je\
eli przyspieszenie zmienia siÄ™ z czasem, musimy wtedy
mierzyć zmianę prędkości "v w ciągu krótkiego czasu "t. Wtedy:
"v dv
(3) a = =
lim
"t dt
"t0
4. Przyspieszenie grawitacyjne. Jest godnym uwagi faktem doświadczalnym, \
e w pobli\
u
powierzchni Ziemi ka\
dy przedmiot upuszczony swobodnie spada ku środkowi Ziemi z
przyspieszeniem równym:
m
g = 9,81
s2
ZadziwiajÄ…ce jest, \
e to przyspieszenie jest niezale\
ne od masy ciała, jego składu ani prędko-
ści (chyba, \
e jest znaczny opór powietrza, wtedy przyspieszenie będzie mniejsze).
m
Suplement*: Wartość 9,81 jest wartością przybli\
onÄ….
s2
Przy uwzględnianiu dalszych cyfr znaczących ujawnia się zale\
ność g od szerokości geogra-
ficznej i wysokości punktu nad poziomem morza, w szczególności dla Nowego Jorku
m m
g = 9,82067 , dla Warszawy g = 9,8123 .Będziemy zawsze przyjmować wielkość g jako
s2 s2
dodatniÄ…. Je\
eli więc oś x skierujemy w górę, to przyspieszenie będzie równe a = -g.
3 00503 Kinematyka D
TEORIA
Temat: 10 Droga i prędkość w ruchu jednostajnym prostoliniowym.
1. Je\
eli punkt materialny porusza siÄ™ po linii prostej ruchem jednostajnym , to droga poko-
nywana w dowolnym czasie t, liczonym od chwili rozpoczęcia obserwacji (t0 = 0), jest
wprost proporcjonalna do czasu trwania ruchu, co oznacza, \
e w równych, dowolnie ma-
łych odstępach czasu, punkt materialny przebywa równe drogi .
2. Wiemy ju\
, \
e stosunek dwóch wielkości, które są do siebie wprost proporcjonalne ma
wartość stałą. A więc i stosunek drogi s do odpowiadającego jej czasu t w ruchu jedno-
stajnym prostoliniowym ma wartość stałą. Zatem ruch jednostajny prostoliniowy, to ruch
odbywający się ze stałą prędkością (v = const. )
s
v =
(1)
t
3. Je\
eli punkt materialny porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym z prędkością v
w czasie t, to wartość przebytej drogi wyra\
a równanie:
(2) s = v·t
zwane równaniem ruchu jednostajnego prostoliniowego.
4. Je\
eli obserwację ciała poruszającego się ruchem jednostajnym prostoliniowym rozpoczę-
to w chwili t0 , w której znajdowało się ono w odległości s0 od przyjętego punktu odnie-
sienia (rys. 1), to wartość prędkości określamy wzorem (3):
s - s0 "s
v = =
0 s0 s droga [metr] (3)
t - t0 "t
0 t0 t czas [sekunda]
Rys. 1
5. Ze wzoru (3) otrzymujemy bardziej ogólne równanie ruchu jednostajnego prostoliniowe-
go:
(4) s = s0 + v(t - t0)
4 00503 Kinematyka D
TEORIA
6. Ruchy punktów materialnych mogą być ilustrowane graficznie za pomocą wykresów.
Najczęściej są stosowane wykresy prędkości w układzie współrzędnych v,t oraz drogi w
układzie współrzędnych s,t co przedstawiono na rysunkach 2 i 3.
S v
Ä… s = v·t
0 t 0 t
s
v == = tg Ä…
t
Rys. 2 rys. 3
Temat: 11 Ruch jednostajnie przyspieszony.
1. Dotychczas korzystaliśmy ze związku, który określał nam jaka jest prędkość, gdy znamy
przyspieszenie i czas. Często jednak chcemy znać poło\
enie punktu materialnego, a nie
jego prędkość. Chcemy więc uzyskać równanie, które wyra\
a drogÄ™ s przez przyspiesze-
nie a i czas t, a tak\
e przez prędkość początkową v0.
2. DrogÄ™ przebytÄ… ruchem prostoliniowym jednostajnie zmiennym w czasie t mo\
na wyrazić
graficznie jako pole trapezu OABC (rys. 1) Pole to ma wartość:
v0 + v
(1) s = t
2
PodstawiajÄ…c zamiast v wyra\
enie
(2) v = v0 + a Å"t ,
mamy
a Å"t2
(3) s = v0 Å"t +
2
3. Je\
eli w chwili rozpoczęcia obserwacji punkt materialny przebył ju\
drogÄ™ s0, wtedy
równanie ruchu jednostajnie zmiennego prostoliniowego przyjmuje postać:
a Å"t2
(4) s = s0 + v0 Å"t +
2
5 00503 Kinematyka D
TEORIA
Widzimy, \
e droga przebyta przez punkt materialny, który na początku był w spoczynku
i który ulega stałemu przyspieszeniu, rośnie jak kwadrat czasu.
v
v0
Ruch jednostajnie przyspieszony,
to ruch, w którym w jednakowych
odstępach czasu punkt materialny
doznaje jednakowych przyrostów
prędkości.
0 t
Rys. 1
4. Na rysunku 2 wykreślono równanie (4), na rysunku 3 - równanie (2), wreszcie na rysunku
4 przedstawiono zale\
ność przyspieszenia od czasu w opisywanym rodzaju ruchu.
s v a
s0 v0 a0
0 t 0 t 0 t
Rys. 2 Rys. 3 Rys. 4
O ile rysunki 2, 3 i 4 opisujÄ… graficznie ruch jednostajnie przyspieszony, tak za pomocÄ…
rysunków 5, 6 i 7 mo\
na zilustrować ruch jednostajnie opóz
niony:
s v a
v0 0 t
s0 -a
0 t 0 t
Rys. 5 Rys. 6 Rys. 7
5. Związek między prędkością a odległością. Wygodnie jest nieraz znać zale\
ność między
odległością i prędkością. Mo\
na to uzyskać rozwiązując równanie
v - v0
(5) a =
t
6 00503 Kinematyka D
TEORIA
względem czasu t i podstawiając wynik do równania (4):
2
v - v0 1 v - v0 2 v2 - v0
ëÅ‚ öÅ‚
(6) s = s0 + v0 Å" + a Å"ìÅ‚ ÷Å‚ = s0 + .
íÅ‚ Å‚Å‚
a 2 a 2a
Zatem przy stałym a mamy:
2
(7) v2 - v0 = 2a Å"(s - s0)
Często stawiać będziemy s0 = 0
2
(8) v2 - v0 = 2as
To warto wiedzieć:
Ò! ruch po linii prostej ze staÅ‚Ä… prÄ™dkoÅ›ciÄ… opisuje równanie s = s0 + v Å"t ,
ds
Ò! *prÄ™dkość chwilowa wynosi v = ,
dt
2
dv d s
Ò! *przyspieszenie okreÅ›lamy wedÅ‚ug wzoru a = = ,
dt dt2
Ò! przy staÅ‚ym przyspieszeniu, czyli a = const., mamy:
at2
2
s = s0 + vo Å"t + oraz v2 - v0 = 2a Å"(s - s0) ,
2
7 00503 Kinematyka D
TEORIA
Temat:12 Wektorowy charakter prędkości i przyspieszenia.
1. Wektor prędkości w ruchu prostoliniowym. Rozwa\
ając takie wielkości jak prędkość i
przyspieszenie nale\
y pamiętać, \
e są to wielkości wektorowe. W ruchu prostoliniowym
prędkość jest oczywiście skierowana wzdłu\
toru (rys. 1).
r
a A v B
Rys. 1
Prędkość w ruchu prostoliniowym jednostajnym jest stała zarówno co do wartości jak i
kierunku i zwrotu. W ruchu prostoliniowym zmiennym kierunek i zwrot wektora prędkości
jest stały, ale jego wartość ulega zmianie.
2. Prędkość w ruchu krzywoliniowym. Stopniując trudności w rozwa\
aniach kinematycz-
nych przejdziemy od ruchu prostoliniowego do krzywoliniowego płaskiego. Rozpatrzmy
ruch krzywoliniowy płaski przedstawiony na rysunku 2.
y
A "s
B
r
r1
r
Rys. 2 r2 v
O x
r r
Niech wektory r1 i r2 przedstawiajÄ… promienie wodzÄ…ce odpowiednio w chwilach t1 i t2.
r r r
Wektor "r = r2 - r1 jest przyrostem wektora promienia wodzÄ…cego w czasie "t = t2 - t1.
Długość tego wektora tym mniej ró\
ni się od długości przebytej drogi s, im krótszy jest
czas obserwacji "t (rys. 2). Wyra\
enie:
r
"r
r
(1) v =
"t
r
przedstawia wektor prędkości średniej zgodny co do kierunku z wektorem "r .
Analogicznie jak poprzednio, wektor prędkości chwilowej w ruchu krzywoliniowym
( i w ka\
dym innym ruchu) wyra\
amy jako:
r
dr
r
(2) v =
ch
dt
8 00503 Kinematyka D
TEORIA
Zatem wektor prędkości chwilowej w danym punkcie toru jest wektorem stycznym z krzywą
określającą tor w tym punkcie (rys. 3).
r
v1
r
Rys. 3 v2
3. Przyspieszenie w ruchu prostoliniowym. W ruchu prostoliniowym zmiennym występuje
przyspieszenie mające zwrot zgodny ze zwrotem prędkości w ruchu przyspieszonym, a
przeciwny w ruchu opóz
nionym. Tak na przykład w rzucie pionowym do góry prędkość
jest stale skierowana pionowo w górę, a przyspieszenie (grawitacyjne) - stale pionowo w
dół. Podczas swobodnego spadku ciała prędkość i przyspieszenie są skierowane zgodnie
w dół (rys. 4).
r
v
a) b)
Ciało porusza się zaczyna spadać
pionowo do góry pionowo w dół.
i ...
r r
g v
r
g
Rys. 4
Powierzchnia Ziemi
4. Przyspieszenie w ruchu krzywoliniowym. W ruchu krzywoliniowym jednostajnym dłu-
gości wektorów prędkości w ró\
nych punktach toru sÄ… jednakowe, kierunki ich jednak
ciągle zmieniają się, czyli nawet w ruchu krzywoliniowym jednostajnym wektor prędko-
ści nie jest stały. Zatem w ka\
dym ruchu krzywoliniowym (jednostajnym i niejedno-
stajnym) mo\
na wyznaczyć wektorowy przyrost prędkości, a co za tym idzie przy-
spieszenie. Sposób określania graficznego przyspieszenia pokazuje rysunek 5. Widać, \
e
wektor przyspieszenia średniego ró\
ni się od przyspieszenia chwilowego zarówno warto-
ścią, kierunkiem, jak i zwrotem.
9 00503 Kinematyka D
TEORIA
Wniosek: Prędkość stała oznacza, \
e przyspieszenie jest równe zeru, lecz stała wartość
prędkości mo\
e lub nie odpowiadać przyspieszeniu równemu zeru .Prędkość ciała poruszają-
cego się po krzywej ze stałą co do wartości prędkością zmienia jednak kierunek i zwrot, a
więc ma ono przyspieszenie. Działanie przyspieszenia odczuwamy, np. gdy samochód mija
szybko zakręt.
v1
A
"v
v2 B
v2
"v
r
a "v = v2 - v1
Rys. 5
Wyra\
enie:
r
"v
r
(3) a =
"t
r
przedstawia wektor przyspieszenia średniego zgodny co do kierunku z wektorem "v .
Z kolei wektor przyspieszenia chwilowego wyrazimy za pomocÄ… wzoru (4):
r
dv
r
(4) a =
dt
Koniec
10 00503 Kinematyka D
TEORIA
Notatki