1 00508 Kinematyka bryły sztywnej D
TEORIA
Dane osobowe właściciela arkusza
00508
Kinematyka bryły sztywnej D
Określenie pojęcia i ruchu.
Aktualizacja
Kinematyczne wielkości kątowe i ich związek z
Maj
w wielkościami liniowymi.
ROK 2008
Instrukcja dla zdającego
1. Proszę sprawdzić, czy arkusz teoretyczny zawiera 6
stron. Ewentualny brak nale\
y zgłosić.
2. Do arkusza mo\
e być dołączona karta wzorów i sta-
łych fizycznych. Jeśli jest, nale\
y ją dołączyć do od-
dawanej pracy.
3. Proszę uwa\
nie i ze zrozumieniem przeczytać zawar-
tość arkusza.
4. Proszę precyzyjnie wykonywać polecenia zawarte w
arkuszu: rozwiązać przykładowe zadania, wyprowa-
dzić wzory, gdy jest takie polecenie.
5. Proszę analizować wszelkie wykresy i rysunki pod
kątem ich zrozumienia.
6. W trakcie obliczeń mo\
na korzystać z kalkulatora.
7. Wszelkie fragmenty trudniejsze proszę zaznaczyć w
celu ich póz
niejszego przedyskutowania.
8. Uzupełniaj wiadomości zawarte w arkuszu o informa-
cje zawarte w Internecie i dostępnej ci literaturze.
9. Znak * dotyczy wiadomości wykraczających poza
ramy programu  maturalnego .
śyczymy powodzenia!
(Wpisuje zdający przed rozpoczęciem pracy)
PESEL ZDAJ
CEGO
2 00508 Kinematyka bryły sztywnej D
TEORIA
Temat: 36 Określenie pojęcia i ruchu bryły sztywnej.
1. Dotychczas zajmowaliśmy się jedynie kinematyką i dynamiką punktu materialnego.
Obecnie zajmiemy się problemami bardziej zło\
onymi i bardziej zbli\
onymi do stanu rze-
czywistego. Aby jednak nadmiernie nie komplikować sytuacji będziemy rozwa\
ać tylko
ciało sztywne (bryłę sztywną).
2. Bryła sztywna, to ciało, które pod działaniem dowolnie wielkich sił nie ulega ani od-
kształceniu postaci (zmiana kształtu) ani odkształceniu objętości.
Zatem odległość dwóch dowolnych punktów bryły sztywnej pozostaje niezmienna.
Bryła sztywna jest tworem wyidealizowanym o własnościach odbiegających od własności
ciał spotykanych w praktyce. Podobnie jak pojęcie punktu materialnego, tak i pojęcie bry-
ły sztywnej jest pewnego rodzaju abstrakcją (modelem). Pozwala ono na skupienie uwagi
tylko na własnościach ciała, które są istotne dla przebiegu ruchu, a zapomnieniu o własno-
ściach nieistotnych na naszym etapie badań (np. o niewielkich deformacjach ciał stałych
pod wpływem przyło\
onych sił).
Bryła sztywna stanowi szczególny rodzaj układu punktów materialnych, w którym odległo-
ści między punktami są stałe.
3. Zatem poło\
enia poszczególnych punktów bryły sztywnej są od siebie zale\
ne. Wystarczy
podać poło\
enie trzech punktów nie le\
ących na jednej prostej, aby w zupełności określić
poło\
enie pozostałych punktów bryły:
a) przy ustalonym jednym punkcie bryła mo\
e obracać się wokół tego punktu,
b) przy ustalonych dwóch punktach bryła mo\
e obracać się wokół prostej łączącej te
punkty,
c) ustalenie trzech niewspółliniowych punktów wyznacza ju\
jednoznacznie poło\
enie
bryły.
4. Jak dotychczas było stwierdzone, bryła sztywna jest zbiorem wielkiej liczby punktów
materialnych znajdujących się w stałych odległościach wzajemnych. Fakt ten powoduje,
\
e ruch bryły sztywnej mo\
e przybierać bardziej skomplikowane formy ni\
ruch punktu
materialnego. Dowolny, nawet bardzo skomplikowany ruch bryły sztywnej mo\
na zło\
yć
z ruchów prostszych, które będą albo ruchami postępowymi albo ruchami obrotowymi.
5. Ruch postępowy bryły sztywnej jest to taki ruch, przy którym dowolny odcinek łączący
dwa punkty bryły sztywnej, np. A i B (rys. 1),zachowuje stale do siebie poło\
enie równo-
ległe. Wszystkie punkty bryły sztywnej, odbywającej ruch postępowy, zakreślają drogi
równe i mają jednakowe prędkości oraz przyspieszenia. W związku z tym badanie ruchu
postępowego bryły sztywnej sprowadza się do badania jakiegokolwiek wybranego punktu
bryły, a do tego wystarczają metody analizowane w kinematyce punktu materialnego.
Ruch postępowy nie musi odbywać się po linii prostej. Ruch samochodu na zakręcie sta-
nowi równie\
przykład ruchu postępowego, tzw. koło diabelskie znane z wesołego mia-
steczka to kolejny przykład ruchu postępowego.
6. Ruchem obrotowym bryły nazywamy taki ruch, w którym punkty materialne tworzące tę
bryłę poruszają się po okręgach współśrodkowych, których środki le\
ą na jednej prostej
zwanej osią obrotu. Oś obrotu nie bierze udziału w ruchu obrotowym ! Przykład ruch ob-
rotowego pokazano na rys. 2. Wa\
ną cechą ruchu obrotowego jest to, \
e punkty material-
ne obracającej się bryły, le\
ące w ró\
nych odległościach od osi obrotu, w jednakowym
czasie zakreślają łuki okręgów o ró\
nej długości. Punkty te mają więc ró\
ne prędkości li-
3 00508 Kinematyka bryły sztywnej D
TEORIA
niowe. Jednocześnie promienie wodzące łączące wszystkie punkty bryły ze środkami za-
kreślanych okręgów obracają się w tym samym czasie o taki sam kąt "ą. Gdyby tak nie
było zmieniałaby się odległość między ró\
nymi punktami bryły, co byłoby sprzeczne z
zało\
eniem sztywności bryły. Te dwie cechy ruchu obrotowego powodują, \
e przy bada-
niu kinematycznych właściwości ruchu obrotowego bryły posługujemy się wyłącznie ki-
nematycznymi wielkościami kątowymi, a nie wielkościami liniowymi
A A 
B B 
A
Rys. 1 B
A A A 
0
B
B
B 
Rys. 2
Temat: 37 Kinematyczne wielkości kątowe.
1. Do kinematycznych wielkości kątowych nale\
ą: kąt obrotu (zwany drogą kątową) ą, prędkość
kątowa � i przyspieszenie kątowe �.
2. Kąt obrotu ą zakreślony w czasie obrotu bryły przez promień le\
ący w płaszczyz
nie prosto-
padłej do osi obrotu i łączący dowolny punkt bryły z tą osią odgrywa przy opisie ruchu obro-
towego rolę drogi. Dlatego te\
nazywa się go często drogą kątową bryły.
3. Stosunek przyrostu drogi kątowej do czasu nazywamy prędkością kątową. Mo\
na przy tym
wyró\
nić średnią prędkość kątową:
"ą
�śr =
(1)
"t
oraz *chwilową prędkość kątową:
dą "ą
� = , czyli � =
(2) lim
dt "t
"t0
4 00508 Kinematyka bryły sztywnej D
TEORIA
4. W podobny sposób mo\
na równie\
zdefiniować przyspieszenie kątowe. Wartość średniego
przyspieszenia kątowego określa wzór:
"�
�śr =
(3)
"t
Natomiast *wartość chwilową:
d�
� =
(4)
dt
5. Zdefiniowane powy\
ej kinematyczne wielkości kątowe mają następujące jednostki w układzie
SI:
droga kątowa [ą] = radian [rad]
rad
�ł łł
prędkość kątowa [�] = radian na sekundę
�ł śł
s
�ł �ł
rad
�ł łł
przyspieszenie kątowe [�] = radian na sekundę do kwadratu
�ł śł
s2
�ł �ł
6. Kinematyczne wielkości kątowe są wielkościami wektorowymi. Są one wszystkie skierowane
prostopadle do płaszczyzny obrotu wyznaczonej przez tory punktów materialnych obracającej
się bryły.
Zwrot tych wektorów mo\
na określić za pomocą reguły śruby prawoskrętnej: je\
eli prawo-
skrętną śrubę będziemy wkręcać zgodnie z kierunkiem obiegu punktów materialnych bryły po
okręgach wokół osi obrotu, to powstający w wyniku tego przesuw śruby będzie zgodny ze
zwrotem wektorów drogi kątowej i prędkości kątowej tej bryły, a gdy ruch bryły będzie ru-
chem przyspieszonym (wartość prędkości kątowej będzie wzrastała w miarę upływu czasu), to
równie\
ze zwrotem przyspieszenia kątowego.
7. Inne określenia zwrotu wektora prędkości kątowej: prędkość kątowa jest wektorem le\
ącym
na osi obrotu i skierowanym do dołu, je\
eli ciało obraca się zgodnie z kierunkiem ruchu
wskazówek zegara (rys. 1), albo te\
do góry, je\
eli obraca się w kierunku przeciwnym do ru-
chu wskazówek zegara (rys. 2).
Rys. 1 � Rys. 2
- �
8. *Nale\
y zwrócić uwagę na to, ze tylko mały (elementarny) przyrost kąta dą jest wektorem.
Du\
y przyrost kąta "ą nie jest wektorem, gdy\
nie spełnia właściwych reguł matematycz-
nych, jakim podlegają wielkości wektorowe.
9. *Wektorowy opis ruchu obrotowego nale\
y stosować wówczas, gdy oś obrotu bryły zmienia
swoje poło\
enie w przestrzeni. Takich przypadków nie będziemy rozwa\
ać.
5 00508 Kinematyka bryły sztywnej D
TEORIA
Zadania:
rad
�ł łł
1. Koło o promieniu R = 10[cm] wiruje z prędkością kątową � = 628 . Znajdz
czas pełnego obiegu T
�ł śł
s
�ł �ł
oraz prędkość liniową punktu znajdującego się na obwodzie koła. Oblicz, ile obrotów wykona koło w ciągu
m
�ł łł
jednej minuty. (Odp. T =0,0[ ]s, v = 62,8 , n = 6000)
�ł śł
s
�ł �ł
m
�ł łł
2. Oblicz promień koła zamachowego, je\
eli przy prędkości liniowej punktów na obwodzie v1 = 6 ,
�ł śł
s
�ł �ł
m
�ł łł
punkty znajdujące się o l = 15 cm bli\
ej osi poruszają się z prędkością liniową wynoszącą v2 = 5,5 .
�ł śł
s
�ł �ł
(Odp. R = 1,8 [m])
Temat: 38 Związki między kinematycznymi wielkościami
kątowymi i wielkościami liniowymi.
1. Kinematyczne wielkości kątowe mogą być równie\
stosowane przy opisie ruchu punktu mate-
rialnego po okręgu. W tym jednak przypadku stosowanie tych wielkości nie jest konieczne,
jak to ma miejsce w opisie ruchu obrotowego bryły, a często podyktowane jest wyłącznie
względami wygody obliczeń.
2. Między kinematycznymi wielkościami kątowymi i liniowymi istnieją proste związki matema-
tyczne. Wyprowadzimy je korzystając z geometrii, a ściślej - z zale\
ności między wartością
kąta środkowego "ą, a długością "s okręgu o promieniu r, na którym ten kąt jest oparty:
"s
(1) "ą =
r
Wstawiając zale\
ność (1) do wzoru na prędkość kątową, mamy:
1 "s 1 "s v
(2) � = �ł �" �ł = �" = �! v = � �"r
lim�ł r "t �ł r lim
�ł łł
"t r
"t0 "t0
Dla prędkości średnich (liniowej i kątowej) postępujemy podobnie i dostajemy:
(3) vśr = �śr �"r
oraz między przyrostami wartości tych prędkości
(4) "v = "� �"r
Wstawiając wzór (5) do wzoru definiującego przyspieszenie kątowe, otrzymujemy
1 "v 1 "v a
(6) � = �ł �" �ł = �" = �! a = � �"r
lim�ł r "t �ł r lim
�ł łł
"t r
"t0 "t0
skąd otrzymujemy:
a = � �"r
(7)
3. *Zale\
ności między wektorami kinematycznych wielkości kątowych i liniowych mo\
na wy-
razić przy pomocy iloczynów wektorowych:
r
r r
(8) dą x r = dr
r
r r
(9) � x r = v
r
r r
(10) � x r = a
6 00508 Kinematyka bryły sztywnej D
TEORIA
Usytuowanie przestrzenne wektorów określonych wzorami (8), (9) i (10) pokazują rysunki:
r r r
dą � �
r r r r
r dr v a
r r r
r r r
r
- a
r
Rys. 1 Rys. 2 Rys. 3 -�
4. Przy rozwiązywaniu zadań dotyczących ruchu po okręgu często korzysta się równie\
z nastę-
pujących (i poznanych wcześniej) zale\
ności wią\
ących prędkość kątową z okresem (często-
tliwością) ruchu jednostajnego po okręgu:
2Ą
(11) � = , gdzie T - okres obrotu,
T
(12) � = 2Ąf , gdzie f - ilość obrotów w ciągu 1 sekundy.
Oraz z przyspieszeniem dośrodkowym:
2
(13) a = � �"r .
5. Oprócz przedstawionych zale\
ności między wielkościami kątowymi i liniowymi istnieją
tak\
e ścisłe zale\
ności analogiczne do wyprowadzonych wcześniej, a opisujących ruch po
prostej i ruch obrotowy.
Zapamiętajmy regułę: wzory kinematyczne opisujące ruch po prostej i ruch obrotowy ma-
jące podobne postaci matematyczne - przejdą odpowiednio w siebie (staną się identyczne),
gdy zastąpimy w nich:
a) drogę kątową ą drogą liniową s,
b) prędkość kątową � prędkością liniową v,
c) przyspieszenie kątowe � przyspieszeniem liniowym a.
*Powy\
szą regułę ilustruje poni\
sze zestawienie obok siebie najwa\
niejszych wzorów ki-
nematycznych, czyli równań drogi i prędkości dla ruchu prostoliniowego i obrotowego:
Ruch po prostej (jednostajny) i obrotowy (jednostajny)
s = s0 + v �"t ą = ą0 + � �"t
Ruch po prostej (zmienny) i obrotowy (zmienny)
v = v0 + a �"t � = �0 + � �"t
at2 �t2
s = s0 + v0t + ą = ą0 + �0t +
2 2
2 2 2
v2 - v0 = 2as � - �0 = 2�ą