Układy inercjalne.
Zasady mechaniki Newtona
Tadeusz Paszkiewicz
Katedra Fizyki
Wydział Matematyki i Fizyki Stosowanej
Politechniki Rzeszowskiej
MC Escher, Belvedre
1936
Paradoksalny sześcian
Punkt materialny
Punkt materialny (cząstka) jest ciałem
obdarzonym masą, któremu nie mo\
na przypisać
rozmiaru.
Punkt materialny mo\
e przemieszczać się
w przestrzeni, ale nie ma wewnętrznych stopni
swobody.
Punkt materialny mo\
e mieć energię kinetyczną,
ale nie ma energii zwiÄ…zanej z obrotami,
wewnętrznymi drganiami czy deformacjami.
Ograniczenie
Prawa ruchu dla ciał punktowych są
prostsze ni\
prawa ruchu dla ciał
rozciągłych. Dlatego na początek zajmiemy
się dynamiką ciał punktowych i ich zbiorów.
Układ odniesienia
Określenie poło\
enia punktu w przestrzeni wymaga
dokładnego ustalenia, względem czego poło\
enie to jest
zdefiniowane. Poniewa\
\
aden punkt przestrzeni nie jest
wyró\
niony, nale\
y określić poło\
enie względem
wybranego zespołu ciał materialnych znajdujących się
w przestrzeni. Ka\
dy taki zespół ciał nazywamy układem
odniesienia.
Przykłady układów odniesienia: laboratorium, układ
środka masy, układ związanym z powierzchnią Ziemi,
układ związany pojazdem kosmicznym, itd.
Wybór układu odniesienia
Mo\
na prowadzić opis ruchu w dowolnym
układzie odniesienia. Wybór któregoś z nich jest
kwestiÄ… wygody.
Układy odosobnione i zamknięte
Układ odosobniony  system
fizyczny doskonale odizolowany
od wpływów zewnętrznych.
Układ zamknięty nie wymienia materii
z otoczeniem.
Zasada bezwładności
(I zasada dynamiki)
Postulat:
Istnieje taki układ odniesienia, zwany
układem inercjalnym, w którym układ
odosobniony porusza siÄ™ ruchem
jednostajnym, prostoliniowym albo
spoczywa.
Układy inercjalne są wyró\
nionymi układami
odniesienia.
Inercjalne i nieinercjalne
układy odniesienia
S  inercjalny układ odniesienia, (np. torowisko pociągu)
S  układ poruszający się względem S ruchem
postępowym jednostajnym i nie wykonujący ruchu
obrotowego.
S  układ poruszający się względem S i S ruchem
postępowym przyśpieszonym nie wykonuje ruchu
obrotowego.
Układ S  nie jest inercjalny
Kostka lodu obserwowana przez obserwatora znajdujÄ…cego siÄ™
w S spoczywa. Obserwowana przez obserwatora znajdujÄ…cego
się w S porusza się ruchem jednostajnym postępowym.
Kostka lodu obserwowana przez obserwatora znajdujÄ…cego siÄ™
w S  porusza siÄ™ w kierunku przeciwnym do ruchu wagonu.
Poniewa\
wagon z kostką lodu jest układem odosobnionym
(na kostkę nie działają siły zewnętrzne), więc S nie mo\
e być
inercjalny.
Konsekwencja istnienia układu inercjalnego
Je\
eli istnieje układ inercjalny, to istnieje nieskończenie
wiele takich układów. Ka\
dy układ, który względem
inercjalnego porusza się ruchem postępowym
i prostoliniowym ze stałą prędkością jest układem
inercjalnym.
Ściśle rzecz biorąc nie umiemy wskazać układu
inercjalnego. Mo\
emy podać przykłady takich układów
w stosunku do określonych zjawisk. Na przykład
laboratorium na powierzchni Ziemi jest bardziej
inercjalne ni\
umieszczone na wirujÄ…cej karuzeli.
Konsekwencja istnienia
układów inercjalnych
Rozwa\
ymy dwa układy inercjalne poruszające się względem
V v i v '
siebie z prędkością . Prędkości w obu tych układach
spełniają związek:
v = v '+ V Ò! r = r '+ V
( z z )
(jest to gallileuszowskie prawo dodawania prędkości)
r = r '+ Vt, t = t '
(transformacja Gallileusza)
Czas, przyśpieszenie i odległość pomiędzy dwoma punktami
nie zale\
ą od wyboru kładu inercjalnego
Uniwersalny czas
W mechanice klasycznej przyjmuje siÄ™, \
e czas jest
jednym, uniwersalnym parametrem t, który zmienia się
w taki sam sposób dla wszystkich obserwatorów.
Wszyscy obserwatorzy wyposa\
eni w precyzyjne
chronometry przypisujÄ… ka\
demu zdarzeniu ten sam
czas.
Poniewa\
nie ma sygnału, który mo\
e być przesłany
z prędkością większą od prędkości światła to zało\
enie
nie jest poprawne. Mechanika klasyczna ma do
czynienia z prędkościami znacznie mniejszymi od
prędkości światła, dlatego zało\
enie o uniwersalności
czasu jest spełnione w dobrym przybli\
eniu.
Pęd
p
Wektorem pędu ciała nazywamy iloczyn masy ciała m
v
i jego wektora prędkości
p = mv
Zasada zachowania pędu
Obserwacje wskazujÄ… na to, \
e w przypadku układu
odosobnionego zło\
onego z jednej lub wielu
cząstek suma wektorów pędu pozostaje stała.
n
( )
"p = P P jest stalym wektorem
i
i=1
n
d ëÅ‚
"p öÅ‚ = 0
i
ìÅ‚ ÷Å‚
dt
i=1
íÅ‚ Å‚Å‚
Energia zbioru układów odosobnionych
Je\
eli układy są odosobnione, wektor prędkości ka\
dego
z nich jest stały, stąd:
d mivi
( )
vi = 0
dt
2
d mivi
d mivi d vi Å" vi ( )
( ) ( )
1 1
vi Å" = mi = = 0.
dt 2 dt 2 dt
2
Oznaczenie : E(i) = mivi / 2
k
Dla ukladu odosobnionego : E(i) = const.
k
n
i
Dla zbioru układów odosobnionych:
"E( ) = const
k
i=1
Druga zasada dynamiki Newtona
Przyczynami zmiany pędu układu fizycznego są siły.
W układach inercjalnych:
dp
= F .
dt
Je\
eli masa nie zmienia się z upływem czasu, to:
dv
m = F Ò! ma = F.
dt
Konsekwencje II zasady dynamiki
Je\
eli na cząstkę działają dwie siły , to
F1 i F2
dp
= F1 + F2 .
dt
Siła mo\
e zale\
eć od poło\
enia i prędkości. Nie mo\
e zale\
eć
od przyśpieszenia.
F = F r, t .
( )
Siły nie zale\
ą od przyśpieszeń
Rozpatrzymy prostoliniowy ruch czÄ…stki o masie m. Ustalamy
poło\
enie, moment czasu t i prędkość. Porównamy trzy ruchy
cząstki: pod działaniem siły F1, pod działaniem siły F2 i pod
działaniem siły F3=F1+F2. Wtedy
ma1 + ma2 = F1 a1 + F2 a2 ,
( ) ( )
m a1 + a2 = F1 a1 + a2 + F2 a1 + a2 .
( ) ( ) ( )
m a1 + a2 = F1 a1 + F2 a2 ,
( ) ( ) ( )
m a1 + a2 = F1 a1 + a2 + F2 a1 + a2
( ) ( ) ( )
F1 a1 + F2 a2 = F1 a1 + a2 + F2 a1 + a2
( ) ( ) ( ) ( )
Równania są niesprzeczne jedynie je\
eli siły nie zale\
Ä… od
przyśpieszeń.
II zasada dynamiki prowadzi do
równania ró\
niczkowego
dv d dr d2r
ëÅ‚ öÅ‚
a = = =
ìÅ‚ ÷Å‚
dt dt dt dr2
íÅ‚ Å‚Å‚
ma = mzz
r
d2r dr
öÅ‚
m = FëÅ‚r, .
ìÅ‚ ÷Å‚
dt2 dt
íÅ‚ Å‚Å‚
Równanie ró\
niczkowe drugiego rzędu.
Pełna znajomość przyczyny (siły) oraz stanu początkowego
pozwala znalez
ć stan układu w dowolnym momencie czasu.
II zasada dynamiki jest słuszna
w inercjalnych
układach odniesienia
Konsekwencje prawa
zachowania pędu
Niech układ składa się z wielu punktów materialnych.
Niech na ten układ działają siły zewnętrzne. Ponadto siły
wewnętrzne działają pomiędzy poszczególnymi
składnikami układu.
Oznaczenia:
Fi0
siła zewnętrzna działająca na i-ty punkt
siła z jaką j-ty punkt działa na punkt i-ty
Fij
Całkowita siła działająca na układ:
n n n
F =
"F +""F = F0 + Fw .
i0 ij
i=1 i=1 j=1
II zasada w przypadku układu
oddziałujących punktów materialnych
na który działają siły zewnętrzne
n
p =
Całkowity pęd spełnia równanie
"p
i
i=1
dp t
( )
= F .
dt
Gdy rozwa\
any układ jest odosobniony, to:
Fi0 = 0 Ò! F0 = 0.
W układzie inercjalnym układ musi spoczywać albo poruszać się
postępowym ruchem jednostajnym.
Fw = 0 .
III zasada dynamiki
Suma sił wewnętrznych znika, co jest mo\
liwe je\
eli
Fij = -Fji .
Jest to prawo równej akcji i reakcji.
Zgodnie z III zasadÄ… dynamiki i-ty punkt materialny
działa na j-ty punkt materialny tą samą siłą, lecz
przeciwnie skierowaną, jaką j-ty punkt materialny działa
na i-ty punkt materialny.
2
F21 = -F12
F12
1
Na układ działają
siły wewnętrzne i zewnętrzne
F0
F20
F10
F01
F02
2
F12
1
F21
F12 i F21
Oprócz sił wewnętrznych na układ dwóch
cząstek działają nie kompensujące się siły zewnętrzne.
Układ pięciu cząstek, na które działają
siły wewnętrzne i zewnętrzne
Fi0
Całkowita siła działająca
Fji
na i-tÄ… czÄ…stkÄ™ ze strony
j
pozostałych cząstek i
Fij
otoczenia:
i
5
Fi =
( )
"F + Fi0 i = 1, 2,3, 4,5 .
ij
j=1
j`"i
5
z z
pi = Fi Ò! pi =
"F + Fi0 .
ij
j=1
j`"i
Całkowita siła działająca
na układ cząstek
Całkowity pęd układu N cząstek:
n
p =
"p
i
i=1
ëÅ‚ öÅ‚
n n n n n n
z z
p = pi =
" "ìÅ‚"F + Fi0 ÷Å‚ = ""F +"F =
ij ij i0
ìÅ‚ ÷Å‚
i=1 i=1 j=1 i=1 j=1 i=1
ìÅ‚ ÷Å‚
5
j`"i j`"i
íÅ‚ Å‚Å‚
ij 0
"F +Fi
j=1
0
j`"i
n
=
"F = F0.
i0
i=1
Zastosowanie zasady zachowania pędu:
zderzenie niesprÄ™\
yste
v
Ciało o masie m1, poruszające się z prędkością
zderza się z nieruchomym ciałem o masie m2. W wyniku
zderzenia centralnego ciała skleiły się. Określ 
v '
wektor prędkości ruchu ciała, które powstało.
Przyjmijmy, \
e układ dwóch ciał jest odosobniony. Pęd
przed zderzeniem równy jest pędowi po zderzeniu
pęd przed zderzeniem : P = m1v + 0.
pęd po zderzeniu : P ' = m1 + m2 v '.
( )
m1v
P = P ' Ò! v ' = .
m1 + m2
( )
Wizyta w wesołym miasteczku
We wnętrzu cylindra o średnicy R
równej około 4 m plecami do jego
ściany stoją ludzie. Cylinder zaczyna
wirować z rosnąca prędkością kątową.
Gdy jest ona dostatecznie du\
a
podłoga cylindra opada w dół. Nie
przeszkadza to opartym o ścianę
osobom w zachowaniu poczÄ…tkowo
przyjętych pozycjach. Próby
przesuwania się po ścianie tak\
e nie
prowadzą do oderwania się od ściany.
Krzysztof Ernst, Einstein na huśtawce, czyli fizyka zabaw, gier i
zabawek,Prószyński s S ka, Warszawa 2003
-
Punkt widzenia osób wewnątrz
wirujÄ…cego cylindra
Obserwator w układzie nieinercjalnym odczuwa działanie siły
Istnieje siła odśrodkowa, która przyciska osoby znajdujące
wewnątrz cylindra do ściany. Siła tarcia utrzymuje je w
początkowym poło\
eniu.
Nieruchomy obserwator
Osoby znajdujÄ…ce siÄ™ wewnÄ…trz cylindra zmuszane sÄ… do
poruszania się po okręgu na skutek siły jaką działa ona na nie. Ta
siła wytwarza siłę tarcia, która równowa\
y siłę cię\
kości.
Wartość minimalnej prędkości kątowej
pozwalająca zrównowa\
yć siłę cię\
kości
Niech M będzie masą osoby znajdującej się w wirującym
cylindrze. Siła cię\
kości P=Mg.
Siła dośrodkowa: F0 =Mv2/R.
SiÅ‚a tarcia: K=µF0.
Dane: µ=0,25, R=2 m.
P = K Ò! Mg = µMv2 / R Ò! v = gR / µ.
Prędkość liniowa nie zale\
y od masy M!
v=9m/s
É = 2Ä„R / v C" 0,7obrotu / s .
Liniowy oscylator harmoniczny
ma t = F x
( ) ( )
Wybierzemy tak układ współrzędnych, aby ruch dbywał
się wzdłu\
osi x.
Ć Ć Ć
a t = a t x = xd2x t / dt2; F = -xkx t .
( ) ( ) ( ) ( )
k
Oznaczenie : k / m = É2
zz
x t + x t = 0.
( ) ( )
m
zz
x t + É2x t = 0.
( ) ( )
Równanie ruchu liniowego
oscylatora harmonicznego
zz
x t + É2x t = 0.
( ) ( )
x t = 0 = x0; dx t / dt = v0 .
Warunki poczÄ…tkowe:
( ) ( )
t=0
Poniewa\
v0`"0, x0 nie jest maksymalnym wychyleniem,
ani nie znajduje siÄ™ w poczÄ…tku osi x.
Całkowita energia oscylatora:
2 2
= mv2 t / 2 + mÉ2x2 t / 2 .
E = mv0 / 2 + mÉ2x0 / 2
( ) ( )
Szukamy rozwiÄ…zania postaci:
x t = xm cos Ét + Ć .
( ) ( )
Liniowy oscylator harmoniczny 1
x t = 0 = xm cos Ć,
( )
dx t / dt = -xmÉsin Ét + Ć = -xmÉsin Ć .
( ) ( )
t=0 t=0
x0 = xm cos Ć, ×É,obydwa równania do kwadratu
i dodajemy stronami
v0 = -xmÉsin Ć.
Znajdziemy wychylenie maksymalne:
2
2
xm = x0 + v0 / É .
( )
Wyraziliśmy maksymalne wychylenie przez warunki początkowe!
Weryfikacja rozwiÄ…zania
x t = xm cos Ét + Ć ,
( ) ( )
z
x t = -xmÉsin Ét + Ć ,
( ) ( )
zz
x t = -É2 xm cos Ét + Ć = - É2 x t = F îÅ‚
( ) ( ) ( ) ( )ûÅ‚
ðÅ‚x t Å‚Å‚ / m =
k / m
x t
( )
k
= - x t .
( )
zz
mx t = -kx t .
( ) ( )
m
Liniowy oscylator harmoniczny.
Sens wielkości określających rozwiązanie
ëÅ‚ öÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚
x t = xm cosìÅ‚ É t + Ć .
( )
÷Å‚
częstosć
faza
amplituda
ìÅ‚ ÷Å‚
wychylenie w
kolowa
drgań
íÅ‚ Å‚Å‚
momencie czasu t
Liniowy oscylator harmoniczny:
momenty czasu tąm , w których cząstka
osiÄ…ga maksymalne wychylenie
x t = xm cos Ét + Ć .
( ) ( )
x(tÄ…m)= Ä… xm je\
eli cos(Ét +Ć)=Ä…1
Ä…m
Ét+m + Ć = 0 Ò! t+m = -Ć / É
x(t-m)=-xm je\
eli cos(Ét-m+Ć)=-1
Ét-m + Ć = Ä„ Ò! t-m = Ä„ - Ć / É
( )
Liniowy oscylator harmoniczny:
prędkość odpowiadająca
maksymalnemu wychyleniu
ëÅ‚ öÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚
v t+m = -xmÉsin Ét+m + Ć = sin 0 = 0 .
( )
ìÅ‚ ÷Å‚
-Ć
íÅ‚ Å‚Å‚
ëÅ‚ öÅ‚
ìÅ‚
v t-m = -xmÉsin Ét-m + Ć÷Å‚ = sin Ä„ = 0 .
( )
ìÅ‚ ÷Å‚
ÉÅ" Ä„-Ć / É
( )
íÅ‚ Å‚Å‚
W punktach zwrotnych prędkość cząstki jest równa zero.
Jej energia kinetyczna jest równa zero. Energia
potencjalna powinna być maksymalna.
Siła w punktach
maksymalnego wychylenia
F t = -kx t .
( ) ( )
F tÄ…x = -kx tÄ…x = -k Ä…xm = "kxm.
( )
( ) ( )
m m
Praca dW związana z przesunięciem o dx pod wpływem
siły sprę\
ystej F(t):
2
Å‚Å‚
dW = dx F x = dx îÅ‚
( ) ( )ûÅ‚ ( )
ðÅ‚kx t Å‚Å‚ = d îÅ‚
ðÅ‚kx t / 2ûÅ‚ = dEp .
zmiana energii potencjalnej
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚
Ep ðÅ‚x t a" V
( )ûÅ‚ ( )ûÅ‚ ( )
ðÅ‚x t Å‚Å‚ = kx2 t / 2 .
Związek siły z energią potencjalną
F x = -kx.
V x = kx2 / 2,
( )
( )
F = -dV x / dx .
( )
Jest to przykład ogólnej relacji wią\
Ä…cej
potencjał z siłą:
"V r1, r2, r3
( )
FÄ… r = - a" -gradÄ…V r = -"Ä…V r .
( ) ( ) ( )
"rÄ…
r = r1, r2, r3 .
( )
Momenty czasu tąv, dla którego
energia kinetyczna jest maksymalna
v t = dx t / dt = xmÉ sin Ét + Ć ,
( ) ( ) ( )
sin ÉtÄ…v + Ć = Ä…1,
( )
Ét+v + Ć = Ä„ / 2 Ò! t+v = Ä„ / 2 - Ć / É,
( )
Ét-v + Ć = 3Ä„ / 2 Ò! t-v = 3Ä„ / 2 - Ć / É.
( )
Wychylenie odpowiadajÄ…ce tÄ…v
Ét+v + Ć = Ä„ / 2 Ò! t+v = Ä„ / 2 - Ć / É,
( )
Ét-v + Ć = 3Ä„ / 2 Ò! t-v = 3Ä„ / 2 - Ć / É.
( )
x t+v = xm cos îÅ‚ Å‚Å‚
( ) ( )
ðÅ‚É Ä„ / 2 - Ć / É + ĆûÅ‚ = xm cos Ä„ / 2 = 0,
x t-v = xm cos îÅ‚ Å‚Å‚
( ) ( )
ðÅ‚É 3Ä„ / 2 - Ć / É + ĆûÅ‚ = xm cos3Ä„ / 2 = 0 .
Maksymalnej prędkości odpowiada poło\
enie czÄ…stki
w poczÄ…tku osi x.
Energia potencjalna i kinetyczna
odpowiadajÄ…ce tÄ…m,tÄ…v
2
îÅ‚ Å‚Å‚
k
ïÅ‚
z
Ek tąm = mx2 tąm / 2 = 0, V xąm = m x tąm śł / 2 =
( ) ( ) ( ) ( )
ïÅ‚ śł
m
Ä…xm
ðÅ‚ ûÅ‚
É2
= mÉ2xm / 2.
z
Ek tÄ… v = mx2 tÄ… v / 2 = mÉ2x2 / 2, V xÄ…m = 0.
( ) ( ) ( )
m
Całkowita energia liniowego
oscylatora harmonicznego
z
îÅ‚ Å‚Å‚
Ek ðÅ‚x tÄ…m + V îÅ‚
( )ûÅ‚ ( )ûÅ‚
Sprawdziliśmy, \
e:
m
ðÅ‚x tÄ…m Å‚Å‚ = mÉ2x2 / 2 = E,
z
îÅ‚ Å‚Å‚
Ek ðÅ‚x tÄ…v + V îÅ‚
( )ûÅ‚ ( )ûÅ‚
m
ðÅ‚x tÄ…v Å‚Å‚ = mÉ2x2 / 2 = E.
Poka\
emy, \
e:
z
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚
E = Ek ðÅ‚x t + V
( )ûÅ‚ ( )ûÅ‚
m
ðÅ‚x t Å‚Å‚ = mÉ2x2 / 2.
Liniowy oscylator harmoniczny:
prawo zachowania energii
z
x t = xm cos Ét + Ć , x t = -xmÉsin Ét + Ć ,
( ) ( ) ( ) ( )
2 2
E = m îÅ‚-xmÉsin Ét + Ć Å‚Å‚ / 2 + k îÅ‚
( )ûÅ‚ ( )ûÅ‚
m
ðÅ‚ ðÅ‚x cos Ét + Ć Å‚Å‚ / 2 =
= mÉ2x2 sin2 Ét + Ć / 2 + k x2 cos2 Ét + Ć / 2 =
( ) ( )
m m
mÉ2
= mÉ2x2 / 2.
m
Przykład ruchu drgającego
ObciÄ…\
ona butelka o masie mb i
powierzchni pola podstawy pływa
w du\
ym zbiorniku z wodÄ…. W
poło\
eniu równowagi butelka
zanurza się na głębokość d0.
Poka\
, \
e po wepchnięciu butelki z
na głębokość d>d0, butelka
y
będzie poruszać się ruchem
harmonicznym. Oblicz częstość x
drgań.
AÅ"d=Vd objÄ™tość części butelki
zanurzonej w wodzie. Je\
eli Á jest
gÄ™stoÅ›ciÄ… masy wody, to md=VdÁ jest
masÄ… wody wypartej przez butelkÄ™.
Analiza
Siły działające na butelkę:
Siła cię\
kości:Fc = -mbgę .
SiÅ‚a wyporu: Fw = ÁgAd Ä™ ,
( )
g jest przyśpieszeniem swobodnego spadku w polu
ciÄ™\
koÅ›ci Ziemi, Á gÄ™stoÅ›ciÄ… wody.
W poło\
eniu równowagi butelka jest zanurzona do
głębokości d0, a siły równowa\
Ä… siÄ™:
mbg = ÁAd0 g.
( )
Oznaczenie: x jest wychyleniem z poło\
enia równowagi:
d = d0 + x .
Zastosujemy II zasadÄ™ dynamiki
mg = ÁAd0 g.
zz
mx = mg - îÅ‚ ( )
( )ûÅ‚
ðÅ‚ÁA d0 + x Å‚Å‚ g
zz
mx t = - ÁAg x t
( ) ( ) ( )
k=mÉ2
mg
ÁAg Ád0Ag g
mÉ2 = ÁAg Ò! É2 = = = .
m md0 d0
g
É = g / d0
zz
x t = - x t .
( ) ( )
d0
Jak dobrać współczynnik K do
wysokości skoku i masy skoczka
Siła działająca na skoczka dla wydłu\
enia x
îÅ‚
F x = K"x =
( ) ( )
m
ðÅ‚2mg xm + L / x2 Å‚Å‚ "x
ûÅ‚
Dla x=0 F(0)=Kxm
îÅ‚
F xm = Kxm =
( ) ( ) ( )
m
ðÅ‚2mg xm + L / x2 Å‚Å‚ xm = îÅ‚ ûÅ‚
ûÅ‚ ðÅ‚2mg xm + L / xm Å‚Å‚ =
= 2mg 1+ L / xm .
( )
Jak dobrać współczynnik K do
wysokości skoku i masy skoczka
Niech d=20 cm, okres drgań
T = 2Ä„ 0.2 m / 9.8m / s2 = 0.9s .
RozwiÄ…zanie nie zale\
y od A i Á.
Zale\
y ono jedynie od d0 i g.
Bungee, czyli skoki na linie
Krzysztof Ernst, Einstein na huśtawce, czyli fizyka
zabaw, gier i zabawek,Prószyński s S-ka, Warszawa
2003
Bungee
Długość liny: L,
współczynnik sprę\
ystości liny: K,
Długość maksymalnie
rozciągniętej liny: (L+xm),
Masa skoczka: m,
Wysokość wzniesienia skoczka
nad powierzchniÄ™ ziemi albo wody
H.
m
L+x
Zastosowanie prawa
x
zachowania energii
 energia poczÄ…tkowa 
mg L + xm
( )
energia skoczka w polu sił cię\
kości.
W poło\
eniu x=0 energia sprÄ™\
ysta liny jest
maksymalna: Energia w polu
Kx2 / 2.
m
ciÄ™\
kości Ziemi jest najmniejsza: mg0=0.
Z prawa zachowania energii
0
mg L + xm = Kx2 / 2.
( )
m
m
L+x
Jak wybrać parametry zadania, aby
skoczek nie uderzył głową w ziemię
x2 - 2mg / K xm - 2mgL / K = 0 .
( )
m
2
xm = mg / K + mg / K + 2mgL / K .
( )
H>L+xm.
Związek współczynnika
sprÄ™\
ystości liny z
charakterystykami zagadnienia
mg L + xm = Kx2 / 2.
( )
m
K = 2mg L + xm / x2
( )
m
L
2
îÅ‚
K =
( )
[ ]
m
ðÅ‚mg L + xm / x2 Å‚Å‚ = M T2L = MT-2 = îÅ‚ mûÅ‚
ûÅ‚ ðÅ‚É Å‚Å‚
1
2
îÅ‚ Å‚Å‚
K / M = = .
[ ]
ðÅ‚É ûÅ‚
T2
Jaka siła działa na skoczka
Lina o długości 10 m, rozciągająca się pod
obciÄ…\
eniem skoczka o masie 70 kg o 20 m
powinna mieć współczynnik sprę\
ystości 130
N/m,
siła jaka działa na skoczka w poło\
eniu
największego wydłu\
enia: 2600 N (H"3×70 kg × g).