Układy inercjalne.
Zasady mechaniki Newtona
Tadeusz Paszkiewicz
Katedra Fizyki
Wydział Matematyki i Fizyki Stosowanej
Politechniki Rzeszowskiej
MC Escher, Belvedre
1936
Paradoksalny sześcian
Punkt materialny
Punkt materialny (cząstka) jest ciałem
obdarzonym masą, któremu nie mo\
na przypisać
rozmiaru.
Punkt materialny mo\
e przemieszczać się
w przestrzeni, ale nie ma wewnętrznych stopni
swobody.
Punkt materialny mo\
e mieć energię kinetyczną,
ale nie ma energii związanej z obrotami,
wewnętrznymi drganiami czy deformacjami.
Ograniczenie
Prawa ruchu dla ciał punktowych są
prostsze ni\
prawa ruchu dla ciał
rozciągłych. Dlatego na początek zajmiemy
się dynamiką ciał punktowych i ich zbiorów.
Układ odniesienia
Określenie poło\
enia punktu w przestrzeni wymaga
dokładnego ustalenia, względem czego poło\
enie to jest
zdefiniowane. Poniewa\
\
aden punkt przestrzeni nie jest
wyró\
niony, nale\
y określić poło\
enie względem
wybranego zespołu ciał materialnych znajdujących się
w przestrzeni. Ka\
dy taki zespół ciał nazywamy układem
odniesienia.
Przykłady układów odniesienia: laboratorium, układ
środka masy, układ związanym z powierzchnią Ziemi,
układ związany pojazdem kosmicznym, itd.
Wybór układu odniesienia
Mo\
na prowadzić opis ruchu w dowolnym
układzie odniesienia. Wybór któregoś z nich jest
kwestią wygody.
Układy odosobnione i zamknięte
Układ odosobniony  system
fizyczny doskonale odizolowany
od wpływów zewnętrznych.
Układ zamknięty nie wymienia materii
z otoczeniem.
Zasada bezwładności
(I zasada dynamiki)
Postulat:
Istnieje taki układ odniesienia, zwany
układem inercjalnym, w którym układ
odosobniony porusza się ruchem
jednostajnym, prostoliniowym albo
spoczywa.
Układy inercjalne są wyró\
nionymi układami
odniesienia.
Inercjalne i nieinercjalne
układy odniesienia
S  inercjalny układ odniesienia, (np. torowisko pociągu)
S  układ poruszający się względem S ruchem
postępowym jednostajnym i nie wykonujący ruchu
obrotowego.
S  układ poruszający się względem S i S ruchem
postępowym przyśpieszonym nie wykonuje ruchu
obrotowego.
Układ S  nie jest inercjalny
Kostka lodu obserwowana przez obserwatora znajdującego się
w S spoczywa. Obserwowana przez obserwatora znajdującego
się w S porusza się ruchem jednostajnym postępowym.
Kostka lodu obserwowana przez obserwatora znajdującego się
w S  porusza się w kierunku przeciwnym do ruchu wagonu.
Poniewa\
wagon z kostką lodu jest układem odosobnionym
(na kostkę nie działają siły zewnętrzne), więc S nie mo\
e być
inercjalny.
Konsekwencja istnienia układu inercjalnego
Je\
eli istnieje układ inercjalny, to istnieje nieskończenie
wiele takich układów. Ka\
dy układ, który względem
inercjalnego porusza się ruchem postępowym
i prostoliniowym ze stałą prędkością jest układem
inercjalnym.
Ściśle rzecz biorąc nie umiemy wskazać układu
inercjalnego. Mo\
emy podać przykłady takich układów
w stosunku do określonych zjawisk. Na przykład
laboratorium na powierzchni Ziemi jest bardziej
inercjalne ni\
umieszczone na wirującej karuzeli.
Konsekwencja istnienia
układów inercjalnych
Rozwa\
ymy dwa układy inercjalne poruszające się względem
V v i v '
siebie z prędkością . Prędkości w obu tych układach
spełniają związek:
v = v '+ V �! r = r '+ V
( z z )
(jest to gallileuszowskie prawo dodawania prędkości)
r = r '+ Vt, t = t '
(transformacja Gallileusza)
Czas, przyśpieszenie i odległość pomiędzy dwoma punktami
nie zale\
ą od wyboru kładu inercjalnego
Uniwersalny czas
W mechanice klasycznej przyjmuje się, \
e czas jest
jednym, uniwersalnym parametrem t, który zmienia się
w taki sam sposób dla wszystkich obserwatorów.
Wszyscy obserwatorzy wyposa\
eni w precyzyjne
chronometry przypisują ka\
demu zdarzeniu ten sam
czas.
Poniewa\
nie ma sygnału, który mo\
e być przesłany
z prędkością większą od prędkości światła to zało\
enie
nie jest poprawne. Mechanika klasyczna ma do
czynienia z prędkościami znacznie mniejszymi od
prędkości światła, dlatego zało\
enie o uniwersalności
czasu jest spełnione w dobrym przybli\
eniu.
Pęd
p
Wektorem pędu ciała nazywamy iloczyn masy ciała m
v
i jego wektora prędkości
p = mv
Zasada zachowania pędu
Obserwacje wskazują na to, \
e w przypadku układu
odosobnionego zło\
onego z jednej lub wielu
cząstek suma wektorów pędu pozostaje stała.
n
( )
"p = P P jest stalym wektorem
i
i=1
n
d �ł
"p �ł = 0
i
�ł �ł
dt
i=1
�ł łł
Energia zbioru układów odosobnionych
Je\
eli układy są odosobnione, wektor prędkości ka\
dego
z nich jest stały, stąd:
d mivi
( )
vi = 0
dt
2
d mivi
d mivi d vi �" vi ( )
( ) ( )
1 1
vi �" = mi = = 0.
dt 2 dt 2 dt
2
Oznaczenie : E(i) = mivi / 2
k
Dla ukladu odosobnionego : E(i) = const.
k
n
i
Dla zbioru układów odosobnionych:
"E( ) = const
k
i=1
Druga zasada dynamiki Newtona
Przyczynami zmiany pędu układu fizycznego są siły.
W układach inercjalnych:
dp
= F .
dt
Je\
eli masa nie zmienia się z upływem czasu, to:
dv
m = F �! ma = F.
dt
Konsekwencje II zasady dynamiki
Je\
eli na cząstkę działają dwie siły , to
F1 i F2
dp
= F1 + F2 .
dt
Siła mo\
e zale\
eć od poło\
enia i prędkości. Nie mo\
e zale\
eć
od przyśpieszenia.
F = F r, t .
( )
Siły nie zale\
ą od przyśpieszeń
Rozpatrzymy prostoliniowy ruch cząstki o masie m. Ustalamy
poło\
enie, moment czasu t i prędkość. Porównamy trzy ruchy
cząstki: pod działaniem siły F1, pod działaniem siły F2 i pod
działaniem siły F3=F1+F2. Wtedy
ma1 + ma2 = F1 a1 + F2 a2 ,
( ) ( )
m a1 + a2 = F1 a1 + a2 + F2 a1 + a2 .
( ) ( ) ( )
m a1 + a2 = F1 a1 + F2 a2 ,
( ) ( ) ( )
m a1 + a2 = F1 a1 + a2 + F2 a1 + a2
( ) ( ) ( )
F1 a1 + F2 a2 = F1 a1 + a2 + F2 a1 + a2
( ) ( ) ( ) ( )
Równania są niesprzeczne jedynie je\
eli siły nie zale\
ą od
przyśpieszeń.
II zasada dynamiki prowadzi do
równania ró\
niczkowego
dv d dr d2r
�ł �ł
a = = =
�ł �ł
dt dt dt dr2
�ł łł
ma = mzz
r
d2r dr
�ł
m = F�łr, .
�ł �ł
dt2 dt
�ł łł
Równanie ró\
niczkowe drugiego rzędu.
Pełna znajomość przyczyny (siły) oraz stanu początkowego
pozwala znalez
ć stan układu w dowolnym momencie czasu.
II zasada dynamiki jest słuszna
w inercjalnych
układach odniesienia
Konsekwencje prawa
zachowania pędu
Niech układ składa się z wielu punktów materialnych.
Niech na ten układ działają siły zewnętrzne. Ponadto siły
wewnętrzne działają pomiędzy poszczególnymi
składnikami układu.
Oznaczenia:
Fi0
siła zewnętrzna działająca na i-ty punkt
siła z jaką j-ty punkt działa na punkt i-ty
Fij
Całkowita siła działająca na układ:
n n n
F =
"F +""F = F0 + Fw .
i0 ij
i=1 i=1 j=1
II zasada w przypadku układu
oddziałujących punktów materialnych
na który działają siły zewnętrzne
n
p =
Całkowity pęd spełnia równanie
"p
i
i=1
dp t
( )
= F .
dt
Gdy rozwa\
any układ jest odosobniony, to:
Fi0 = 0 �! F0 = 0.
W układzie inercjalnym układ musi spoczywać albo poruszać się
postępowym ruchem jednostajnym.
Fw = 0 .
III zasada dynamiki
Suma sił wewnętrznych znika, co jest mo\
liwe je\
eli
Fij = -Fji .
Jest to prawo równej akcji i reakcji.
Zgodnie z III zasadą dynamiki i-ty punkt materialny
działa na j-ty punkt materialny tą samą siłą, lecz
przeciwnie skierowaną, jaką j-ty punkt materialny działa
na i-ty punkt materialny.
2
F21 = -F12
F12
1
Na układ działają
siły wewnętrzne i zewnętrzne
F0
F20
F10
F01
F02
2
F12
1
F21
F12 i F21
Oprócz sił wewnętrznych na układ dwóch
cząstek działają nie kompensujące się siły zewnętrzne.
Układ pięciu cząstek, na które działają
siły wewnętrzne i zewnętrzne
Fi0
Całkowita siła działająca
Fji
na i-tą cząstkę ze strony
j
pozostałych cząstek i
Fij
otoczenia:
i
5
Fi =
( )
"F + Fi0 i = 1, 2,3, 4,5 .
ij
j=1
j`"i
5
z z
pi = Fi �! pi =
"F + Fi0 .
ij
j=1
j`"i
Całkowita siła działająca
na układ cząstek
Całkowity pęd układu N cząstek:
n
p =
"p
i
i=1
�ł �ł
n n n n n n
z z
p = pi =
" "�ł"F + Fi0 �ł = ""F +"F =
ij ij i0
�ł �ł
i=1 i=1 j=1 i=1 j=1 i=1
�ł �ł
5
j`"i j`"i
�ł łł
ij 0
"F +Fi
j=1
0
j`"i
n
=
"F = F0.
i0
i=1
Zastosowanie zasady zachowania pędu:
zderzenie niesprę\
yste
v
Ciało o masie m1, poruszające się z prędkością
zderza się z nieruchomym ciałem o masie m2. W wyniku
zderzenia centralnego ciała skleiły się. Określ 
v '
wektor prędkości ruchu ciała, które powstało.
Przyjmijmy, \
e układ dwóch ciał jest odosobniony. Pęd
przed zderzeniem równy jest pędowi po zderzeniu
pęd przed zderzeniem : P = m1v + 0.
pęd po zderzeniu : P ' = m1 + m2 v '.
( )
m1v
P = P ' �! v ' = .
m1 + m2
( )
Wizyta w wesołym miasteczku
We wnętrzu cylindra o średnicy R
równej około 4 m plecami do jego
ściany stoją ludzie. Cylinder zaczyna
wirować z rosnąca prędkością kątową.
Gdy jest ona dostatecznie du\
a
podłoga cylindra opada w dół. Nie
przeszkadza to opartym o ścianę
osobom w zachowaniu początkowo
przyjętych pozycjach. Próby
przesuwania się po ścianie tak\
e nie
prowadzą do oderwania się od ściany.
Krzysztof Ernst, Einstein na huśtawce, czyli fizyka zabaw, gier i
zabawek,Prószyński s S ka, Warszawa 2003
-
Punkt widzenia osób wewnątrz
wirującego cylindra
Obserwator w układzie nieinercjalnym odczuwa działanie siły
Istnieje siła odśrodkowa, która przyciska osoby znajdujące
wewnątrz cylindra do ściany. Siła tarcia utrzymuje je w
początkowym poło\
eniu.
Nieruchomy obserwator
Osoby znajdujące się wewnątrz cylindra zmuszane są do
poruszania się po okręgu na skutek siły jaką działa ona na nie. Ta
siła wytwarza siłę tarcia, która równowa\
y siłę cię\
kości.
Wartość minimalnej prędkości kątowej
pozwalająca zrównowa\
yć siłę cię\
kości
Niech M będzie masą osoby znajdującej się w wirującym
cylindrze. Siła cię\
kości P=Mg.
Siła dośrodkowa: F0 =Mv2/R.
Siła tarcia: K=�F0.
Dane: �=0,25, R=2 m.
P = K �! Mg = �Mv2 / R �! v = gR / �.
Prędkość liniowa nie zale\
y od masy M!
v=9m/s
� = 2ĄR / v C" 0,7obrotu / s .
Liniowy oscylator harmoniczny
ma t = F x
( ) ( )
Wybierzemy tak układ współrzędnych, aby ruch dbywał
się wzdłu\
osi x.
Ć Ć Ć
a t = a t x = xd2x t / dt2; F = -xkx t .
( ) ( ) ( ) ( )
k
Oznaczenie : k / m = �2
zz
x t + x t = 0.
( ) ( )
m
zz
x t + �2x t = 0.
( ) ( )
Równanie ruchu liniowego
oscylatora harmonicznego
zz
x t + �2x t = 0.
( ) ( )
x t = 0 = x0; dx t / dt = v0 .
Warunki początkowe:
( ) ( )
t=0
Poniewa\
v0`"0, x0 nie jest maksymalnym wychyleniem,
ani nie znajduje się w początku osi x.
Całkowita energia oscylatora:
2 2
= mv2 t / 2 + m�2x2 t / 2 .
E = mv0 / 2 + m�2x0 / 2
( ) ( )
Szukamy rozwiązania postaci:
x t = xm cos �t + Ć .
( ) ( )
Liniowy oscylator harmoniczny 1
x t = 0 = xm cos Ć,
( )
dx t / dt = -xm�sin �t + Ć = -xm�sin Ć .
( ) ( )
t=0 t=0
x0 = xm cos Ć, ��,obydwa równania do kwadratu
i dodajemy stronami
v0 = -xm�sin Ć.
Znajdziemy wychylenie maksymalne:
2
2
xm = x0 + v0 / � .
( )
Wyraziliśmy maksymalne wychylenie przez warunki początkowe!
Weryfikacja rozwiązania
x t = xm cos �t + Ć ,
( ) ( )
z
x t = -xm�sin �t + Ć ,
( ) ( )
zz
x t = -�2 xm cos �t + Ć = - �2 x t = F �ł
( ) ( ) ( ) ( )�ł
�łx t łł / m =
k / m
x t
( )
k
= - x t .
( )
zz
mx t = -kx t .
( ) ( )
m
Liniowy oscylator harmoniczny.
Sens wielkości określających rozwiązanie
�ł �ł
�ł �ł
x t = xm cos�ł � t + Ć .
( )
�ł
częstosć
faza
amplituda
�ł �ł
wychylenie w
kolowa
drgań
�ł łł
momencie czasu t
Liniowy oscylator harmoniczny:
momenty czasu tąm , w których cząstka
osiąga maksymalne wychylenie
x t = xm cos �t + Ć .
( ) ( )
x(tąm)= ą xm je\
eli cos(�t +Ć)=ą1
ąm
�t+m + Ć = 0 �! t+m = -Ć / �
x(t-m)=-xm je\
eli cos(�t-m+Ć)=-1
�t-m + Ć = Ą �! t-m = Ą - Ć / �
( )
Liniowy oscylator harmoniczny:
prędkość odpowiadająca
maksymalnemu wychyleniu
�ł �ł
�ł �ł
v t+m = -xm�sin �t+m + Ć = sin 0 = 0 .
( )
�ł �ł
-Ć
�ł łł
�ł �ł
�ł
v t-m = -xm�sin �t-m + Ć�ł = sin Ą = 0 .
( )
�ł �ł
��" Ą-Ć / �
( )
�ł łł
W punktach zwrotnych prędkość cząstki jest równa zero.
Jej energia kinetyczna jest równa zero. Energia
potencjalna powinna być maksymalna.
Siła w punktach
maksymalnego wychylenia
F t = -kx t .
( ) ( )
F tąx = -kx tąx = -k ąxm = "kxm.
( )
( ) ( )
m m
Praca dW związana z przesunięciem o dx pod wpływem
siły sprę\
ystej F(t):
2
łł
dW = dx F x = dx �ł
( ) ( )�ł ( )
�łkx t łł = d �ł
�łkx t / 2�ł = dEp .
zmiana energii potencjalnej
�ł łł �ł
Ep �łx t a" V
( )�ł ( )�ł ( )
�łx t łł = kx2 t / 2 .
Związek siły z energią potencjalną
F x = -kx.
V x = kx2 / 2,
( )
( )
F = -dV x / dx .
( )
Jest to przykład ogólnej relacji wią\
ącej
potencjał z siłą:
"V r1, r2, r3
( )
Fą r = - a" -gradąV r = -"ąV r .
( ) ( ) ( )
"rą
r = r1, r2, r3 .
( )
Momenty czasu tąv, dla którego
energia kinetyczna jest maksymalna
v t = dx t / dt = xm� sin �t + Ć ,
( ) ( ) ( )
sin �tąv + Ć = ą1,
( )
�t+v + Ć = Ą / 2 �! t+v = Ą / 2 - Ć / �,
( )
�t-v + Ć = 3Ą / 2 �! t-v = 3Ą / 2 - Ć / �.
( )
Wychylenie odpowiadające tąv
�t+v + Ć = Ą / 2 �! t+v = Ą / 2 - Ć / �,
( )
�t-v + Ć = 3Ą / 2 �! t-v = 3Ą / 2 - Ć / �.
( )
x t+v = xm cos �ł łł
( ) ( )
�ł� Ą / 2 - Ć / � + Ć�ł = xm cos Ą / 2 = 0,
x t-v = xm cos �ł łł
( ) ( )
�ł� 3Ą / 2 - Ć / � + Ć�ł = xm cos3Ą / 2 = 0 .
Maksymalnej prędkości odpowiada poło\
enie cząstki
w początku osi x.
Energia potencjalna i kinetyczna
odpowiadające tąm,tąv
2
�ł łł
k
�ł
z
Ek tąm = mx2 tąm / 2 = 0, V xąm = m x tąm śł / 2 =
( ) ( ) ( ) ( )
�ł śł
m
ąxm
�ł �ł
�2
= m�2xm / 2.
z
Ek tą v = mx2 tą v / 2 = m�2x2 / 2, V xąm = 0.
( ) ( ) ( )
m
Całkowita energia liniowego
oscylatora harmonicznego
z
�ł łł
Ek �łx tąm + V �ł
( )�ł ( )�ł
Sprawdziliśmy, \
e:
m
�łx tąm łł = m�2x2 / 2 = E,
z
�ł łł
Ek �łx tąv + V �ł
( )�ł ( )�ł
m
�łx tąv łł = m�2x2 / 2 = E.
Poka\
emy, \
e:
z
�ł łł �ł
E = Ek �łx t + V
( )�ł ( )�ł
m
�łx t łł = m�2x2 / 2.
Liniowy oscylator harmoniczny:
prawo zachowania energii
z
x t = xm cos �t + Ć , x t = -xm�sin �t + Ć ,
( ) ( ) ( ) ( )
2 2
E = m �ł-xm�sin �t + Ć łł / 2 + k �ł
( )�ł ( )�ł
m
�ł �łx cos �t + Ć łł / 2 =
= m�2x2 sin2 �t + Ć / 2 + k x2 cos2 �t + Ć / 2 =
( ) ( )
m m
m�2
= m�2x2 / 2.
m
Przykład ruchu drgającego
Obcią\
ona butelka o masie mb i
powierzchni pola podstawy pływa
w du\
ym zbiorniku z wodą. W
poło\
eniu równowagi butelka
zanurza się na głębokość d0.
Poka\
, \
e po wepchnięciu butelki z
na głębokość d>d0, butelka
y
będzie poruszać się ruchem
harmonicznym. Oblicz częstość x
drgań.
A�"d=Vd objętość części butelki
zanurzonej w wodzie. Je\
eli � jest
gęstością masy wody, to md=Vd� jest
masą wody wypartej przez butelkę.
Analiza
Siły działające na butelkę:
Siła cię\
kości:Fc = -mbgę .
Siła wyporu: Fw = �gAd ę ,
( )
g jest przyśpieszeniem swobodnego spadku w polu
cię\
kości Ziemi, � gęstością wody.
W poło\
eniu równowagi butelka jest zanurzona do
głębokości d0, a siły równowa\
ą się:
mbg = �Ad0 g.
( )
Oznaczenie: x jest wychyleniem z poło\
enia równowagi:
d = d0 + x .
Zastosujemy II zasadę dynamiki
mg = �Ad0 g.
zz
mx = mg - �ł ( )
( )�ł
�ł�A d0 + x łł g
zz
mx t = - �Ag x t
( ) ( ) ( )
k=m�2
mg
�Ag �d0Ag g
m�2 = �Ag �! �2 = = = .
m md0 d0
g
� = g / d0
zz
x t = - x t .
( ) ( )
d0
Jak dobrać współczynnik K do
wysokości skoku i masy skoczka
Siła działająca na skoczka dla wydłu\
enia x
�ł
F x = K"x =
( ) ( )
m
�ł2mg xm + L / x2 łł "x
�ł
Dla x=0 F(0)=Kxm
�ł
F xm = Kxm =
( ) ( ) ( )
m
�ł2mg xm + L / x2 łł xm = �ł �ł
�ł �ł2mg xm + L / xm łł =
= 2mg 1+ L / xm .
( )
Jak dobrać współczynnik K do
wysokości skoku i masy skoczka
Niech d=20 cm, okres drgań
T = 2Ą 0.2 m / 9.8m / s2 = 0.9s .
Rozwiązanie nie zale\
y od A i �.
Zale\
y ono jedynie od d0 i g.
Bungee, czyli skoki na linie
Krzysztof Ernst, Einstein na huśtawce, czyli fizyka
zabaw, gier i zabawek,Prószyński s S-ka, Warszawa
2003
Bungee
Długość liny: L,
współczynnik sprę\
ystości liny: K,
Długość maksymalnie
rozciągniętej liny: (L+xm),
Masa skoczka: m,
Wysokość wzniesienia skoczka
nad powierzchnię ziemi albo wody
H.
m
L+x
Zastosowanie prawa
x
zachowania energii
 energia początkowa 
mg L + xm
( )
energia skoczka w polu sił cię\
kości.
W poło\
eniu x=0 energia sprę\
ysta liny jest
maksymalna: Energia w polu
Kx2 / 2.
m
cię\
kości Ziemi jest najmniejsza: mg0=0.
Z prawa zachowania energii
0
mg L + xm = Kx2 / 2.
( )
m
m
L+x
Jak wybrać parametry zadania, aby
skoczek nie uderzył głową w ziemię
x2 - 2mg / K xm - 2mgL / K = 0 .
( )
m
2
xm = mg / K + mg / K + 2mgL / K .
( )
H>L+xm.
Związek współczynnika
sprę\
ystości liny z
charakterystykami zagadnienia
mg L + xm = Kx2 / 2.
( )
m
K = 2mg L + xm / x2
( )
m
L
2
�ł
K =
( )
[ ]
m
�łmg L + xm / x2 łł = M T2L = MT-2 = �ł m�ł
�ł �ł� łł
1
2
�ł łł
K / M = = .
[ ]
�ł� �ł
T2
Jaka siła działa na skoczka
Lina o długości 10 m, rozciągająca się pod
obcią\
eniem skoczka o masie 70 kg o 20 m
powinna mieć współczynnik sprę\
ystości 130
N/m,
siła jaka działa na skoczka w poło\
eniu
największego wydłu\
enia: 2600 N (H"3�70 kg � g).