Sygnały i Systemy
Sygnały i Systemy
Wykład 10
DFT (Dyskretne Przekształcenie Fouriera)
Grzegorz Masłowski
Politechnika Rzeszowska
Zakład Podstaw Elektrotechniki i Informatyki
Sem. zimowy 2002/2003
Przekształcenie Fouriera dla sygnałów ciągłych
Całkowe przekształcenie Fouriera jest określone parą
następujących transformacji
Aby sygnał posiadał
Proste przekształcenie Fouriera
transformatÄ™ Fouriera to musi
+"
on spełniać tzw. warunki
F( jÉ) = f (t)e- jÉtdt
Dirichleta (patrz. Wykład 2
+"
-"
i Wykład 3)
Odwrotne przekształcenie Fouriera
+"
1
jÉt
f (t) =
+"F( jÉ)e dÉ
2Ä„
-"
2
Przekształcenie Fouriera dla sygnałów dyskretnych
DTFT  Discrete-Time Fourier Transform
DTFT 
Proste przekształcenie Fouriera dla sygnałów dyskretnych
(dyskretyzacja czasu, ale transformata jest funkcją ciągłą częstotliwości)
n ="
- jÉ nT
p
F ( jÉ) = f (nT )e
"
p
n =-"
Odwrotne przekształcenie Fouriera dla sygnałów dyskretnych
+Ä„
1
jÉ nT
p
f (nT ) = d (ÉT )
p p
+"F ( jÉ)e
2Ä„
-Ä„
3
Dyskretne Przekształcenie Fouriera
DFT  Discrete Fourier Transform
DFT  Discrete Fourier Transform
Dyskretne przekształcenie Fouriera
(dyskretny czas i częstotliwość)
N -1
F[m] = f [n]e- j 2Ä„ nm / N
DFT
"
n=0
Odwrotne dyskretne przekształcenie Fouriera
N -1
1
j 2Ä„ mn / N
f [n] =
IDFT
"F[m]e
N
m=1
4
Inna postać DFT i IDFT
(przeniesienie czynnika skalujÄ…cego)
Dyskretne przekształcenie Fouriera
(dyskretny czas i częstotliwość)
N -1
1
F[m] = f [n]e- j 2Ä„ nm / N
DFT
"
N
n=0
!!!
Odwrotne dyskretne przekształcenie Fouriera
N -1
j 2Ä„ mn / N
f [n] =
IDFT
"F[m]e
m=1
5
Jeszcze inna postać DFT i IDFT
(uwzględnienie czynnika skalującego w obydwu równaniach)
Dyskretne przekształcenie Fouriera
N -1
1
F[m] = f [n]e- j2Ä„ nm / N
DFT
"
N
n=0
!!!
Odwrotne dyskretne przekształcenie Fouriera
N -1
1
j 2Ä„ mn/ N
f [n] =
IDFT
"F[m]e
N
m=1
!!! 6
Ciągłe przekształcenie Fouriera
Ciągłe przekształcenie Fouriera
+"
+"f (t )e - jÉt dt
-"
F (jÉ)
f (t )
FUNKCJA CI
GA
A FUNKCJA CI
GA
A
NIEOGRANICZONA NIEOGRANICZONA
I NIEOKRESOWA LUB I NIEOKRESOWA
FUNKCJA O
SKOC
CZNONYM
CZASIE TRWANIA
7
Ciągłe przekształcenie
Ciągłe przekształcenie
Fouriera sygnałów dyskretnych - DTFT
Fouriera sygnałów dyskretnych - DTFT
n ="
- jÉ nT
p
f (nT )e
"
p
n =-"
f (nT )
F (jÉ)
p
FUNKCJA CI
GA
A
FUNKCJA DYSKRETNA,
OKRESOWA,
REPREZENTOWANA
POWTARZAJ
CA SI

PRZEZ NIESKOC
CZONY
CO fp
CI
G PRÓBEK
8
Dyskretne Przekształcenie Fouriera - DFT
Dyskretne Przekształcenie Fouriera - DFT
N -1
- j 2Ä„ nm / N
"f [n ]e
n =0
f (nT )
F (jm"É)
p
FUNKCJA
FUNKCJA
DYSKRETNA
DYSKRETNA,
OKRESOWA,
REPREZENTOWANA
POWTARZAJ
CA SI

PRZEZ SKOC
CZONY
CO fp
CI
G PRÓBEK
9
Przykład DFT
Przykład DFT
Wyznaczyć i porównać 4, 8, 16, 32, 64 punktową
transformatę DFT dla sygnału:
3Ä„
x = sin(2Ä„ Å"1000 Å"t ) + 0,5sin(2Ä„ Å"2000 Å"t + )
n
4
Zakładając, że częstotliwość próbkowania wynosi:
1
f = 8000 Hz czyli s
T =
p p
8000
10
Przykład DFT
Przykład DFT
1
T = s
Funkcja ciągła z okresem
1000
3Ä„
x (t ) = sin(2Ä„ Å"1000 Å"t ) + 0,5sin(2Ä„ Å"2000 Å"t + )
4
2
1
x
0
X(t)
n
1
2
0 10 20 30 40 50 60 70
n 11
t
Przykład DFT
Przykład DFT
Funkcja dyskretna ma postać:
3Ä„
x = sin(2Ä„ Å"1000 Å"n Å"T ) + 0,5sin(2Ä„ Å"2000 Å"n Å"T + )
n p p
4
1.5
1
0.5
x
0
n
0.5
1
1.5
0 5 10 15 20 25 30
n
12
Przykład DFT
Przykład DFT
Funkcja dyskretna dla N=4 przy częstotliwości
próbkowania 8000 Hz
3Ä„
x = sin(2Ä„ Å"1000 Å"n Å"T ) + 0,5sin(2Ä„ Å"2000 Å"n Å"T + )
n p p
4
1.2
1
4 próbki
0.8
obejmujÄ… tylko
x
n
½ okresu
0.6
funkcji
0.4
0.2
0 5 10 15 20 25 30
n
13
Przykład DFT
Przykład DFT
4-punktowa DFT dla naszej funkcji
3
1. n
.2.Ä„ .m.
Xm xn.exp j
4 4
n = 0
1
8000
"f = = 2000Hz
0.8
4
0.6
X
m
?
0
0.4
0.2
0
0 1 2 3 4
14
m
Przykład DFT
Przykład DFT
Funkcja dyskretna dla N=8 przy częstotliwości
próbkowania 8000 Hz
3Ä„
x = sin(2Ä„ Å"1000 Å"n Å"T ) + 0,5sin(2Ä„ Å"2000 Å"n Å"T + )
n p p
4
1.5
1
0.5
8 próbek
obejmuje już
xn 0
cały okres
0.5
naszej funkcji
1
1.5
0 5 10 15 20 25 30
n
15
Przykład DFT
Przykład DFT
8-punktowa DFT dla naszej funkcji
7
1. n
.2.Ä„ .m.
Xm xn.exp j
8 8
n = 0
1
8000
"f = = 1000Hz
0.8
8
0.6
X
m
0
0.4
0.2
0
0 1 2 3 4 5 6 7 8
16
m
Przykład DFT
Przykład DFT
Funkcja dyskretna dla N=16 przy częstotliwości
próbkowania 8000 Hz
3Ä„
x = sin(2Ä„ Å"1000 Å"n Å"T ) + 0,5sin(2Ä„ Å"2000 Å"n Å"T + )
n p p
4
1.5
1
0.5
16 próbek
x
0 obejmuje już 2
n
całe okresy
0.5
naszej funkcji
1
1.5
0 5 10 15 20 25 30
n
17
Przykład DFT
Przykład DFT
16-punktowa DFT dla naszej funkcji
15
1 n
. .2.Ä„ .m.
Xm xn.exp j
16 16
n = 0
1
8000
"f = = 500Hz
0.8
16
0.6
X
m
0
0.4
0.2
0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
18
Przykład DFT
Przykład DFT
Funkcja dyskretna dla N=32 przy częstotliwości
próbkowania 8000 Hz
3Ä„
x = sin(2Ä„ Å"1000 Å"n Å"T ) + 0,5sin(2Ä„ Å"2000 Å"n Å"T + )
n p p
4
1.5
1
0.5
32 próbki
x obejmuje już 4
0
n
całe okresy
0.5
naszej funkcji
1
1.5
0 5 10 15 20 25 30
n
19
Przykład DFT
Przykład DFT
32-punktowa DFT dla naszej funkcji
31
1 n
. .2.Ä„ .m.
Xm xn.exp j
32 32
n = 0
1
8000
0.8 "f = = 250Hz
32
0.6
X
m
0
0.4
0.2
0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 101112 13141516171819 202122232425 262728293031 32
20
Przykład DFT
Przykład DFT
Funkcja dyskretna dla N=64 przy częstotliwości
próbkowania 8000 Hz
3Ä„
x = sin(2Ä„ Å"1000 Å"n Å"T ) + 0,5sin(2Ä„ Å"2000 Å"n Å"T + )
n p p
4
1.5
1
0.5
64 próbki
x
obejmuje już 8
0
n
całych okresów
0.5
naszej funkcji
1
1.5
0 10 20 30 40 50 60
21
n
Przykład DFT
Przykład DFT
32-punktowa DFT dla naszej funkcji
31
1 n
. .2.Ä„ .m.
Xm xn.exp j
32 32
n = 0
1
8000
0.8 "f = = 125Hz
64
0.6
X
m
0
0.4
0.2
0
0123456789 1113151719 212325272931 333537394143 45474951535557 596163
1012 141618202224 26283032343638 404244464850 525456586062 64
22
Przykład DFT
Przykład DFT
itd.
23
Przykład DFT
Przykład DFT
Wnioski z przykładu:
1. Próbkowanie ze stałą częstotliwością nieskończonej
funkcji ciągłej daje nam nieskończony zbiór próbek,
których widmo częstotliwościowe jest ciągłe, ale
okresowe (okresem jest częstotliwość próbkowania)
2. Korzystając z komputera można wyznaczyć tylko
transformatę dyskretną skończonej liczby próbek
aproksymujących pierwotną funkcję ciągłą.
3. Operację za pomocą której wybieramy skończony
zbiór próbek nazywamy okienkowaniem sygnału
dyskretnego.
24
Przykład DFT
Przykład DFT
Wnioski z przykładu cd.:
4. Okienkowanie powoduje przyjęcie założenia, że
sygnał dyskretny jest okresowy, a jego okresem jest to
co  zmieściło się w zastosowanym oknie.
5. Mamy więc do czynienia jakby z dyskretną funkcją
okresową i dlatego też widmo takiego sygnału
okresowego jest dyskretne (podobnie jak przy szeregach
Fouriera) i dodatkowo okresowe (z uwagi, że mamy
skończony zbiór próbek, a nie sygnał ciągły).
25
Przykład DFT
Przykład DFT
Wnioski z przykładu cd.:
4. Zastosowanie niewłaściwego okna (np. za małego jak w
pierwszym przypadku omawianego przykładu)
spowoduje, że uzyskane widmo nie będzie właściwie
reprezentowało widma ciągłego sygnału pierwotnego.
5. W obserwowanym przykładzie wykorzystanie coraz to
większych okien, doprowadziło przy stałej częstotliwości
próbkowania, że widmo sygnału dyskretnego coraz
bardziej było przybliżone do widma sygnału ciągłego.
6. Zjawisko okresowości widma dyskretnego pozostało,
gdyż jest ono charakterystyczne dla sygnałów dyskretnych
i nawet zmniejszanie odległości pomiędzy próbkami
czasowymi  nic nie pomoże
26
Przykład DFT
Przykład DFT
27
Przykład DFT
Przykład DFT
28
Własności DFT - SYMETRIA
Własności DFT - SYMETRIA
Jeśli ciąg wejściowy f[n] jest rzeczywisty, czyli gdy powstał
przez spróbkowanie rzeczywistego sygnału ciągłego, to
zespolone wartości wyjściowe DFT dla argumentów:
N
m e"
2
Są nadmiarowe w stosunku do wartości wyjściowych dla
argumentów:
N
-1 e" m e" 0
2
Kąt fazowy m-tej wartości wyjściowej DFT jest równy co do
wartości bezwzględnej (N-m)-tej wartości wyjściowej DFT
lecz ma przeciwny znak.
29
Własności DFT - SYMETRIA
Własności DFT - SYMETRIA
Aby otrzymać DFT sygnału dyskretnego, składającego się z
N próbek wystarczy wyliczyć pierwszych N/2 wartości X[m],
czyli dla
N
0 d" m d" -1
2
Wartości wyjściowe dla
N
d" m d" (N -1)
2
nie zawierają żadnej dodatkowej informacji o widmie
sygnału dyskretnego f[n]
30
Własności DFT - LINIOWOŚĆ
Własności DFT - LINIOWOŚĆ
DFT
x [n ] X [m ]
1 1
DFT
x [n ] X [m ]
1 1
x [n ] = x [n ]+ x [n ]
12 1 2
DFT
x [n ] X [m ]+ X [m ]
12 1 2
31
Amplitudy prążków w widmie
Amplitudy prążków w widmie
Jeśli rzeczywisty sygnał wejściowy zawiera składową sinusoidalną
o amplitudzie A0 i całkowitej liczbie okresów w przedziale N
próbek wejściowych , to amplituda wyjściowa DFT przebiegu
sinusoidalnego będzie równa:
N
M = A
0
2
Twierdzenie to jest ważne dla definicji DFT jak na slajdzie nr 4.
Widać, że gdy DFT zdefiniujemy jak na slajdzie nr 5 to otrzymamy:
A
0
M =
2
32
Amplitudy prążków w widmie
Amplitudy prążków w widmie
Jeśli DFT zdefiniujemy jak na slajdzie nr 6 to otrzymamy:
N
M = A
0
2
Wieloznaczność amplitudy DFT nie stanowi większego problemu,
ponieważ najczęściej jesteśmy zainteresowani względnymi
amplitudami wystepującymi w widmie sygnału dyskretnego, a nie
amplitudami bezwzględnymi indywidualnych wartości wejściowych
DFT.
33
Oś częstotliwości DFT
Oś częstotliwości DFT
Oś częstotliwości można dokładnie zdefiniować dopiero, gdy
znamy częstotliwość próbkowania sygnału ciągłego.
Prążki widma sygnału dyskretnego są oddalone od siebie o
f
p
"f =
N
Natomiast prążek o numerze m odpowiada czestotliwosci:
mf
p
f =
N
34
Twierdzenie o przesunięciu
Twierdzenie o przesunięciu
Jeśli sygnał ciągły będzie próbkowany nie od n=0 lecz od pewnego
k różnego od zera, to DFT tych przesuniętych w czasie próbek
będzie opisywała zależność:
j 2Ä„ km / N
F '[m ] = e F [m ]
Wynika z tego, że amplitudy pążków w widmie sygnału pozostaną
takie same, natomiast zmienią się fazy poszczególnych składowych
widma zmieniÄ… siÄ™ o
3600 km / N
stopni.
35