FUNKCJE K
TA PODWOJONEGO FUNKCJE K
TA PODWOJONEGO
Potęgi, pierwiastki, logarytmy Potęgi, pierwiastki, logarytmy
sin2a=2sina�"cosa cos2a=cos2 aćsin2 a sin2a=2sina�"cosa cos2a=cos2 aćsin2 a
1 1
2 2
n n
2tga 2tga
am�"an=am�ą n a =n am :an=amćn aćn =1 am�"an=am�ą n a =n am : an=amćn aćn =1
ćąa ćąa
tg2a = ctg2a=ctg ać1 tg2a = ctg2a=ctg ać1
an an
2ctga 2ctga
1ćtg2 a 1ćtg2 a
m 1 ć m 1 m 1 ć m 1
n n FUNKCJE POA
OWY K
TA m FUNKCJE POA
OWY K
TA
n n
śąamźąn=am�"n a =śą an źąćm śąabźąn =an bn a =śą an źąćm śąa źąn=am�"n a =śą an źąćm śąabźąn =an bn a =śą an źąćm
a 1ćcosa a=ą 1�ącosa a 1ćcosa a=ą 1�ącosa
śą a/bźąn=an/ bn a0=1 sin =ą cos śą a/bźąn=an/ bn a0=1 sin =ą cos
2 ćą 2 2 ćą 2 2 ćą 2 2 ćą 2
Bierzemy znak + lub  zale\
nie od tego, do której ćwiartki nale\
y Bierzemy znak + lub  zale\
nie od tego, do której ćwiartki nale\
y
n n
n m n n m n
n n
ćąab=n ćąb ćąa =śąćąaźą n a= ćąa ćą ćąa=mn a/2. ćąab=n ćąb ćąa =śąćąaźą n a= ćąa ćą ćąa=mn a/2.
ćąa�"n m n n m ćąa ćąa�"n m n n m ćąa
ćąb ćąb
ćąb a= 1ćcosa a ćąb a= 1ć cosa a 1�ącosa
tg ctg =1�ą cosa tg ctg =
2 sina 2 sina 2 sina 2 sina
b
loga x =b�! ab=x loga 1=0 loga a=1 loga x =b�!a =x loga 1=0 loga a=1
SUMY FUNKCJI SUMY FUNKCJI
a�ąbcos aćb a�ąbcos aćb
loga xy =loga x �ąloga y loga x =loga xćloga y sina �ąsinb= 2sin loga xy =loga x �ąloga y loga x =loga xćloga y sina �ą sinb=2sin
y 2 2 y 2 2
a�ąb aćb a�ą b aćb
loga xr=r�"loga x logb x =logb a�"loga x loga xr=r�"loga x logb x =logb a�"loga x
cosa�ącosb= 2cos cos cosa�ącosb=2cos cos
2 2 2 2
1 1
logb a= logb a=
sinśąa�ąbźą sinśą a�ąbźą sinśą a�ąbźą
loga b loga b
tga�ątgb=cosa�"cosb ctga�ąctgb= tga�ątgb=cosa�"cosb ctga�ąctgb=sinśą a�ąbźą
sina�"sinb sina�"sinb
Wzory skróconego mno\
enia RÓśNICE FUNKCJI Wzory skróconego mno\
enia RÓśNICE FUNKCJI
aćbcos a�ąb aćbcos a�ąb
śą a�ąbźą2=a2�ą2ab�ąb2 śą aćbźą2=a2ć2ab�ąb2 śą a�ąbźą2=a2�ą2ab�ąb2 śą ać bźą2=a2ć2ab�ąb2
sina ćsinb= 2sin sina ć sinb=2sin
2 2 2 2
śą a�ąbźą3=a3�ą3a2 b�ą3ab2�ąb3 śą a�ąbźą3=a3�ą3a2 b�ą3ab2�ąb3
aćb a�ąb aćb a�ąb
śą aćbźą3=a3ć3a2 b�ą3ab2ćb3 cosa ćcosb =ć2sin sin śą aćbźą3=a3ć3a2 b�ą3ab2ćb3 cosa ćcosb =ć2sin sin
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
a �ąb =śą a�ąbźą ć2ab a ćb =śą aćbźą śąa�ąbźą a �ąb =śą a�ąbźą ć2ab a ćb =śą aćbźą śąa�ąbźą
sinśąaćbźą sinśą bć aźą sinśą aćbźą
tgaćtgb=cosa�"cosb ctgaćctgb= tgaćtgb=cosa�"cosb ctgaćctgb=sinśą bćaźą
a3 �ąb3 =śąa�ąbźą śąa2 ćab�ąb2 źą a3 �ąb3 =śąa�ąbźą śąa2 ćab�ąb2 źą
sina�"sinb sina�"sinb
a3 ćb3 =śąaćbźą śąa2 �ąab�ąb2 źą a3 ćb3 =śąaćbźą śąa2 �ąab�ąb2 źą
n ! Funkcje hiperboliczne n ! Funkcje hiperboliczne
n n
= =
x ćx x x ćx x
śą źą śą źą e će
k k ! śą nćk źą! k k ! śą nćk źą!
sinh x=e će cosh x=e �ąećx sinh x= cosh x=e �ąećx
nźą nźą nźąbn 2 2 nźą nźą nźąbn 2 2
śą a�ąbźąn=śą an�ąśą anć1 b�ą...�ąśą śą a�ąbźąn=śą an�ąśą anć1 b�ą...�ąśą
x x
0 1 n sinh x 0 1 n sinh x
tgh x= =e xćećx tgh x= =e xćećx
cosh x cosh x
e �ąećx e �ąećx
Trygonometria Trygonometria
2 2 x 2 2 x
cosh xćsinh x =1 e =cosh x �ąsinh x cosh xćsinh x =1 e =cosh x �ąsinh x
WZORY REDUKCYJNE WZORY REDUKCYJNE
ećx=cosh xćsinh x ećx=cosh xćsinh x
Ć 90�-ą 90�+ą 270�-ą 270�+ą Ć 90�-ą 90�+ą 270�-ą 270�+ą
arsinh x=ln śą x �ą x2 �ą1źą arsinh x=ln śą x �ą x2 �ą1źą
ćą ćą
sin Ć cos ą cos ą -cos ą -cos ą sin Ć cos ą cos ą -cos ą -cos ą
2 2
arcosh x=ln śą xąćąx ć1źą arcosh x=ln śą xąćąx ć1źą
cos Ć sin ą -sin ą -sin ą sin ą cos Ć sin ą -sin ą -sin ą sin ą
1 1 �ąx 1 1 �ąx
tg Ć ctg ą -ctg ą ctg ą -ctg ą tg Ć ctg ą -ctg ą ctg ą -ctg ą
artgh x= ln artgh x= ln
śą źą śą źą
2 1 ćx 2 1 ćx
ctg Ć tg ą -tg ą tg ą -tg ą ctg Ć tg ą -tg ą tg ą -tg ą
1 1 1 1 1 1
csch= sech x = ctgh x= csch= sech x = ctgh x=
sinh x cosh x tgh x sinh x cosh x tgh x
Ć 180�-ą 180�+ą 360�-ą Ć 180�-ą 180�+ą 360�-ą
1 ąćąx2 �ą1 1 ąćąx2 �ą1
sin Ć sin ą -sin ą -sin ą sin Ć sin ą -sin ą -sin ą
arcsch x =ln arcsch x =ln
śą źą śą źą
x x
cos Ć -cos ą -cos ą cos ą cos Ć -cos ą -cos ą cos ą
2 2
1 ąćą1 ćx 1 ąćą1 ćx
tg Ć -tg ą tg ą -tg ą tg Ć -tg ą tg ą -tg ą
arcseh x=ln arcseh x=ln
śą źą śą źą
x x
ctg Ć -ctg ą ctg ą -ctg ą ctg Ć -ctg ą ctg ą -ctg ą
1 ćx 1 ćx
WZORY PODSTAWOWE WZORY PODSTAWOWE
arctgh x=1 ln arctgh x=1 ln
śą źą śą źą
2 1 �ąx 2 1 �ąx
2 2 sina cosa 1 2 2 sina cosa 1
sin a�ącos a=1 =tg a =ctg a =ctg a sin a�ącos a=1 =tg a =ctg a =ctg a
cosa sina tga cosa sina tga
Ciągi Ciągi
FUNKCJE SUMY K
TÓW FUNKCJE SUMY K
TÓW
CI
G ARYTMETYCZNY CI
G ARYTMETYCZNY
sin śąa�ąbźą=sin a�"cos b�ącos a�"sinb sin śąa�ąbźą=sin a�"cos b�ącos a�"sinb
cosśą a�ąbźą=cos a�"cos bćsina�"sin b an=a1�ąśąnć1źąr ; an=1 śą anć1�ąan�ą1źą cosśą a�ąbźą=cos a�"cos bć sina�"sin b an=a1�ąśąnć1źąr ; an=1 śą anć1�ąan�ą1źą
2 2
tga�ątgb ctga�"ctgbć1 tga�ą tgb
tg śą a�ąbźą = ctg śą a�ąbźą= Suma n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego: tg śąa�ąbźą = ctg śą a�ąbźą=ctga�"ctgbć1 Suma n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego:
1ćtga�"tgb ctga�ąctgb 1ć tga�"tgb ctga�ąctgb
a1�ąan r a1�ąan r
FUNKCJE RÓśNICY K
TÓW FUNKCJE RÓśNICY K
TÓW
Sn= �"n= n�"a1 �ą nśąnć1źą Sn= �"n=n�"a1 �ą nśąnć1 źą
2 2 2 2
sinśą aćb źą= sina�"cosb ćcosa�"sinb sinśąaćbźą=sina�"cosb ćcosa�"sinb
CI
G GEOMETRYCZNY CI
G GEOMETRYCZNY
cos śąaćb źą= cosa�"cosb�ąsina�"sinb cos śąaćbźą=cosa�"cosb�ą sina�"sinb
an=a1 ; an= �"an�ą1 an=a1 ; an= �"an�ą1
�"qnć1 �"qnć1
ćąanć1 ćąanć1
tgaćtgb ctga�"ctgb�ą1 tgać tgb
tg śą aćbźą = ctg śą aćbźą= tg śąaćbźą = ctg śą aćbźą=ctga�"ctgb�ą1 Suma n początkowych wyrazów ciągu geometrycznego:
Suma n początkowych wyrazów ciągu geometrycznego:
1�ątga�"tgb ctgbćctga 1�ą tga�"tgb ctgbćctga
a1 a1 �"1ćqn
�"1ćqn
Sn= dla q`"1; Sn=n�"a1 dla q=1 Sn= dla q`"1; Sn= n�"a1 dla q=1
1ćq 1ćq
SZEREG GEOMETRYCZNY SZEREG GEOMETRYCZNY
a1 a1
#"q#""ą1 limśą Sn źą=S=1ćq #"q#""ą1 limśą Sn źą=S=1ćq
nŚą " nŚą "
OBLICZANIE GRANIC CI
GÓW ZA
OśONYCH ASYMPTOTA PIONOWA PRAWOSTRONNA OBLICZANIE GRANIC CI
GÓW ZA
OśONYCH ASYMPTOTA PIONOWA PRAWOSTRONNA
lim an=a lim bn=b lim f śą x źą=ć" lim f śą x źą=�ą" lim an=a lim bn=b lim f śą x źą=ć" lim f śą x źą=�ą"
Je\
eli istnieją granice ciągów oraz , to Je\
eli istnieją granice ciągów oraz , to
n Śą" n Śą" n Śą" n Śą"
n Śąa�ą1 nŚą a�ą1 n Śąa�ą1 nŚą a�ą1
zachodzi: Prosta która jest jednocześnie as. pionową lewo i prawostronną zachodzi: Prosta która jest jednocześnie as. pionową lewo i prawostronną
lim śą an �ąbnźą=a�ąb lim śąanćbnźą=aćb lim śą an �ąbnźą=a�ą b lim śąanćbnźą=aćb
funkcji nazywamy as. pionową obustronną. funkcji nazywamy as. pionową obustronną.
nŚą " n Śą" nŚą " n Śą"
ASYMPTOTA UKOŚNA ASYMPTOTA UKOŚNA
an a an a
Prosta o równaniu y=Ax+B jest as. ukośną funkcji f w +" gdy: Prosta o równaniu y=Ax+B jest as. ukośną funkcji f w +" gdy:
lim śą an�"bnźą=a�"b lim śą źą= dla bn`"0 lim śą an�"bnźą=a�"b lim śą źą= dla bn`"0
bn b bn b
nŚą " nŚą " nŚą " nŚą "
lim [ f śą xźąćśą Ax�ąB źą]=0 lim [ f śą xźąćśą Ax�ąB źą]=0
nŚą �ą" nŚą �ą"
lim śą anćbnźą=lim an ćlim bn lim śąc�"an źą=c�"lim an lim śą anćbnźą= lim an ćlim bn lim śąc�"an źą=c�"lim an
n Śą" nŚą " n Śą " n Śą " nŚą " n Śą" nŚą " n Śą " n Śą " nŚą "
f śąxźą f śą xźą
p p k A = lim B= lim [ f śą x źąćAx] p p k A = lim B= lim [ f śą x źąćAx]
lim śą an źą = an lim =k lim an k "! lim śą an źą = an lim =k lim an k "!
ćąan n Śą�ą " x nŚą �ą" ćąan n Śą�ą " x nŚą �ą"
ćą ćą
śąlim źą śąlim źą
nŚą " nŚą " nŚą " n Śą " nŚą " nŚą " nŚą " n Śą "
Asymptota pozioma jest szczególnym przypadkiem asymptoty Asymptota pozioma jest szczególnym przypadkiem asymptoty
TWIERDZENIE O TRZECH CI
GACH TWIERDZENIE O TRZECH CI
GACH
ukośnej. ukośnej.
lim an=lim cn =g lim an=lim cn =g
Jeśli dla dwóch ciągów zachodzi , natomiast Jeśli dla dwóch ciągów zachodzi , natomiast
n Śą" n Śą " n Śą" n Śą "
Pochodne funkcji Pochodne funkcji
wyrazy trzeciego ciągu spełniają (począwszy od pewnego n) wyrazy trzeciego ciągu spełniają (począwszy od pewnego n)
ILORAZ RÓśNICOWY ILORAZ RÓśNICOWY
lim bn=g lim bn=g
warunek and"bnd"cn , to równie\
warunek and"bnd"cn , to równie\

n Śą" f śą x źąć f śą x0źą �ą f n Śą" f śą x źąć f śą x0źą �ą f
f ' śą xźą=lim = lim f ' śą xźą=lim = lim
xćx0 �ą x xćx0 �ą x
x Śą x0 �ą x Śą x0 x Śą x0 �ą x Śą x0
Niektóre granice Niektóre granice
n PODSTAWOWE POCHODNE FUNKCJI n PODSTAWOWE POCHODNE FUNKCJI
1 n 1 n
lim =0 lim 1 �ą1 =e lim śą aą0źą Funkcja Pochodna Funkcja Pochodna lim =0 lim 1 �ą1 =e lim śą aą0źą Funkcja Pochodna Funkcja Pochodna
ćąa=1 ćąa=1
śą źą śą źą
n Śą" n n Śą " n n Śą " n Śą" n n Śą " n n Śą "
C 0 ch x sh x C 0 ch x sh x
n n
1 =1 e 1 =1 e
k 1 1
lim nsin lim =�ą" lim nk q =0 śą#"q#""ą1; k "!źą lim nsin lim = �ą" lim nk qk=0 śą#"q#" "!źą
"ą1;k
xn nxn-1 tgh x xn nxn-1 tgh x
n Śą " n nŚą " n nŚą " n Śą " n nŚą " n nŚą "
ch2 x ch2 x
n n
n ln n=0 ć1 n ln n=0 ć1
lim 1 �ąa =ea lim ćąn=lim n1 /n=1 lim sin x cos x cth x lim 1 �ąa = ea lim ćąn=lim n1 /n=1 lim sin x cos x cth x
śą źą śą źą
n n n n
n Śą" n Śą" n Śą" n Śą " sh2 x n Śą" n Śą" n Śą" n Śą " sh2 x
1 1
nk nk
lim =0 lim 1 �ą1 =1 lim nśą a1/ nć1źą=ln a śą aą0źą cos x -sin x arc sin x lim =0 lim 1 �ą1 =1 lim nśą a1/ nć1źą=ln a śą aą0źą cos x -sin x arc sin x
śą źą śą źą
n Śą" n! n Śą " n n Śą " n Śą" n! n Śą " n n Śą "
ćą1 ćx2 ćą1 ćx2
ć1 ć1
ln ln n=0 an ln ln n=0 an
lim lim =0 śą a"!źą tg x 1+tg2x arc cos x lim lim =0 śą a"!źą tg x 1+tg2x arc cos x
nŚą " ln n n Śą " n! ćą1 ćx2 nŚą " ln n n Śą " n! ćą1 ćx2
n n
1 1
1 ćln 1 ć
ctg x -1-ctg x arc tg x ctg x -1-ctg x arc tg x
lim n =ąą lim ln n =ąą
1 �ąx2 1 �ąx2
śą" źą śą" źą
n Śą " k n Śą " k
k= 1 k= 1
ć1 ć1
�ą" qą1 ax ax ln a arc ctg x �ą" qą1 ax ax ln a arc ctg x
1 �ąx2 1 �ąx2
1 #"q#""ą1 1 #"q#""ą1
lim qn= 1 lim qn= 1
ex ex log x ex ex log x
a a
n Śą " 0 q"śą 0;1źą n Śą " 0 q"śą 0; 1źą
{ } x ln a { } x ln a
q"ąć1, q=ć1 dwa podciągi q"ąć1, q=ć1 dwa podciągi
1 1
sh x ch x ln x sh x ch x ln x
n�ą x n�ą x
lim =0 śą aą1źą lim lnśą 1 �ą1 źą=0 lim n ln śą1�ą1 źą=1 lim =0 śą aą1źą lim lnśą 1 �ą1 źą=0 lim n ln śą1�ą1 źą=1
n n RÓWNANIE STYCZNEJ DO WYKRESU FUNKCJI n n RÓWNANIE STYCZNEJ DO WYKRESU FUNKCJI
n Śą" an nŚą " nŚą " n Śą" an nŚą " nŚą "
w punkcie x w punkcie x
0 0
n sin x tg x n sin x tg x
lim nśąćąe ć1źą=1 lim =1 lim =1 lim nśąćąe ć1źą=1 lim =1 lim =1
y= f śą x0źą�ą f ' śą x0 źąśą xćx źą y= f śąx0źą�ą f ' śąx0 źąśą xćx źą
0 0
x x x x
n Śą" nŚą 0 nŚą 0 n Śą" nŚą 0 nŚą 0
TWIERDZENIA O POCHODNEJ FUNKCJI TWIERDZENIA O POCHODNEJ FUNKCJI
axć1=ln axć1=ln
lim a dla aą0 lim a dla aą0
śą f ągźą 'śą x0 źą= f 'śą x źąą g' śą x0źą śą f ągźą 'śą x0 źą= f 'śą x źąąg' śą x0źą
0 0
x x
n Śą 0 n Śą 0
x śą f�"gźą' śą x0źą= f ' śą x0 źą�"gśą x źą�ą f śą x0źą�"g' śąx0źą x śą f�"gźą' śą x0źą= f ' śą x0 źą�"gśą x źą�ą f śą x0źą�"g' śą x0źą
0 0
e ć1=1 ln śą1 �ąx źą=1 e ć1=1 ln śą1 �ąx źą=1
lim lim lim lim
f 'śą x0 źą�"gśą x źąć f śą x0źą�"g' śą x0 źą f 'śą x0 źą�"gśą x źąć f śą x0źą�"g' śą x0 źą
f f
0 0
x x x x
n Śą 0 nŚą 0 n Śą 0 nŚą 0
'śą x0 źą= 'śą x0 źą=
śą źą śą źą
g g2 śąx0 źą g g2 śą x0 źą
loga śą1 �ąx źą loga śą1 �ąx źą
lim =logae dla a"! lim =logae dla a"!
TW. O POCHODNEJ F. ZA
OśONEJ TW. O POCHODNEJ F. ZA
OśONEJ
x x
n Śą 0 n Śą 0
x x
śą g� f źą' śą x0źą=g 'śą f śą x0źą źą f 'śą x źą śą g� f źą' śą x0źą=g 'śą f śą x0źą źą f 'śą x źą
0 0
a a
lim 1 �ąa =e dla a"! lim 1 �ąa =e dla a"!
TW. O POCHODNEJ F. ODWROTNEJ TW. O POCHODNEJ F. ODWROTNEJ
śą źą śą źą
nŚą " x nŚą " x
ć1 1 ć1 1
x 1 x 1
śą f źą 'śą y0źą= śą f źą 'śą y0źą=
x x
f ' śąx źą f ' śąx źą
lim 1 �ą1 =e lim śą 1 �ąxźą =e 0 lim 1 �ą1 =e lim śą 1 �ąxźą =e 0
śą źą śą źą
x x
nŚą " n Śą 0 nŚą " n Śą 0
śą1 �ąx źąać1 śą1 �ą x źąać1
lim =a dla a"! lim =a dla a"!
x x
n Śą0 n Śą0
arcsin x arctg x arcsin x arctg x
lim =1 lim =1 lim =1 lim =1
x x x x
n Śą0 nŚą 0 n Śą0 nŚą 0
Symbole nieoznaczone Symbole nieoznaczone
0 " 0 0 0 " 0 0
" "
"ć" 0 �"" 1 " 0 "ć" 0 �"" 1 " 0
" "
0 0
Asymptoty funkcji Asymptoty funkcji
ASYMPTOTA PIONOWA LEWOSTRONNA ASYMPTOTA PIONOWA LEWOSTRONNA
lim f śą x źą=ć" lim f śą x źą=�ą" lim f śą x źą=ć" lim f śą x źą=�ą"
n Śąać1 nŚą ać1 n Śąać1 nŚą ać1