Charakterystyki czestotliwosciowe

CHARAKTERYSTYKI CZSTOTLIWOŚCIOWE PODSTAWOWYCH
CZAONÓW LINIOWYCH UKAADÓW AUTOMATYKI
Do podstawowych form opisu dynamiki elementów automatyki (oprócz równań
różniczkowych) zaliczamy transmitancję operatorową K(s) oraz transmitancję widmową
K(j�). Związek pomiędzy tymi transmitancjami wyraża się wzorem:
m
l
( j�)
"bl
Y ( j�)
l = 0 jĆ (� )
K ( j�)=K (s) = = = K ( j�) e (1)
s > j� n
U ( j�)
i
( j�)
"a i
i = 0
Twierdzenie o przechodzeniu sygnału sinusoidalnego przez układ liniowy.
Jeżeli na wejście układu liniowego podamy sygnał sinusoidalny (u(t)=Asinwt), to na wyjściu,
w stanie ustalonym (przy założeniu że składowa swobodna ys równa się zero), otrzymamy
także sygnał sinusoidalny o amplitudzie B=A K( j�) i przesunięciu fazowym f.
Transmitancję widmową można przedstawić także w postaci:
K ( j�)=Re{K ( j�)}+j Im{K ( j�)}, (2)
gdzie: K(�) moduł transmitancji widmowej (stosunek amplitud sygnału wyjściowego do
j
sygnału wejściowego),
Re{K(jw)} część rzeczywista K(jw),
Im{K(jw)} część urojona K(jw),
Im{K(�)}
j
�(�) = ar ctg argument transmitancji widmowej (przesunięcie
Re{K( j�)}
fazowe pomiędzy sygnałem wyjściowym i wejściowym).
jĆ
Zależność transmitancji widmowej K( j�)=K( j�) e od częstotliwości przedstawia się na
płaszczyznie Gaussa i nazywa się charakterystyką amplitudowo-fazową.
Charakterystyki amplitudowe i fazowe przedstawia się często jako charakterystyki
logarytmiczne Bodego (w logarytmicznej skali częstotliwości):
M�)=20log10 K( j�) [dB]
(
(3)
j
Ć(�)=arg[K(�)] .
Zaleta tego sposobu przedstawiania charakterystyk częstotliwościowych wynika
z właściwości funkcji logarytmicznej:
- w skali logarytmicznej zmiana o 10c (c liczba całkowita) jest proporcjonalna do c,
- logarytm iloczynu jest równy sumie logarytmów, a logarytm ilorazu różnicy logarytmów:
K1K2
log =log K1+log K2 log K3 . (4)
K3
Pozwala to przedstawić charakterystyki (modułu i fazy) złożonego układu automatyki za
pomocą sumy charakterystyk członów podstawowych.
Eksperymentalne zdejmowanie charakterystyk amplitudowo-fazowych.
W celu określenia charakterystyki amplitudowo-fazowej zmieniamy częstotliwość sygnału
sinusoidalnego wejściowego w1, w2 w3 ... i określamy parametry K(�) oraz �(�) .
j
Im {K(j�)}
k
�=0
�="
x(t)=Xsin�t
y(t)=XćłK(j�)ćł sin(�t+�) -�(�) Re {K(j�)}
K(j�)
�1
ćłK(j�)ćł
�2
�
Rys. 1. Eksperymentalne określanie charakterystyki częstotliwościowej
W wprowadzeniu do ćwiczenia zostaną omówione charakterystyki częstotliwościowe
wybranych podstawowych członów automatyki.
I. Człon inercyjny I-rzędu
Transmitancja operatorowa opisana jest wzorem:
k
K(s) = (I.1)
Ts+1
Transmitancja widmowa członu inercyjnego pierwszego rzędu:
k
K( j�)=K(s) = (I.2)
s=j�
j�T+1
Przedstawiona w postaci modułu i fazy:
k
j� (� )
K ( j�)=K ( j�) e = e j ar ctg �T . (I.3)
(�T )2+1
Wykres charakterystyki amplitudowo-fazowej członu inercyjnego pierwszego rzędu
przedstawiono na rys. I.1.
Im {K(j�)}
k
k
�ł
�=0
2
�="
Re {K(j�)}
k
-j�ł
2
1
�= �ł
T
Rys. I.1. Charakterystyka amplitudowo-fazowa członu inercyjnego pierwszego rzędu
Rys. I.2. Charakterystyki Nyquista członu inercyjnego pierwszego rzędu
Na rys. I.2 przedstawiono charakterystyki Nyquista układu inercyjnego I-rzędu dla trzech
różnych stałych czasowych: T1=0,1; T2=1; T3=5. Jak można zauważyć z wykresów krzywe
te pokrywają się (przy tym samym wzmocnieniu k=1). Oczywiście punkt 0,5 j0,5 na
wykresach uzyskuje się dla różnych pulsacji � (odpowiednio: 10, 1 i 0,5). Dlatego dogodniej
jest korzystać z charakterystyk Bode.
Logarytmiczna charakterystyka amplitudowa ma postać:
M�) = 20log k - 20log (T�)2 +1 , (I.4)
(
a charakterystyka fazowa:
Ś(�)=-ar ctg(�T) . (I.5)
Rys. I.3. Logarytmiczne charakterystyki amplitudy i fazy członu inercyjnego pierwszego rzędu
Na wykresie I.3 przedstawiono logarytmiczne charakterystyki amplitudy i fazy, wyznaczone
dla: k=1, oraz T1=0,1; T2=1; T3=5. .
Wykres M(w) można przedstawić w postaci przybliżonej, zastępując krzywą (I.4) za pomocą
wyrażenia (I.6):
1
ńł20log k
dla�<
�ł
�ł
T
M�) = (I.6)
(
�ł
�ł20log k 20log�T dla�> 1 ,
�ł
ół T
bowiem dla małych częstotliwości (wT<<1) wyrażenie 20log (�T )2+1=0 .
Charakterystyka (I.6) nosi nazwę logarytmicznej asymptotycznej charakterystyki
amplitudowej i składa się z dwóch odcinków prostych. W tym przypadku największa różnica
1
pomiędzy charakterystyką logarytmiczną, a jej przybliżeniem występuje dla pulsacji �=
T
i wynosi:
1
20log k (20 log k 20log ( T )2 + 1) = 20log 2 = 3dB . (I.7)
T
II. Człon oscylacyjny
Transmitancja operatorowa przedstawia się następująco:
k�n 2
K(s)= . (II.1)
2
s2+2�� s+�
n n
Transmitancja widmowa członu oscylacyjnego:
2
k�n
K( j� ) = . (II.2)
2
�n 2 � + j2��n�
Przedstawiona w postaci modułu i fazy:
2��n�
2
-jarctg( )
k�n
�n 2-�2
. (II.3)
K( j�) = e
2 2
(�n -� )2 + (2��n�)2
Logarytmiczna charakterystyka amplitudy członu oscylacyjnego jest równa:
2 2 2
M (� ) = 20log K( j� = 20log k + 20log(�n ) 20log (�n � )2 + (2��n� )2 . (II.4)
Logarytmiczna charakterystyka fazy:
2��n
Ś(�)=-arctg
�n2-�2 . (II.5)
Rys. II.1. Charakterystyki amplitudowo-fazowe członu oscylacyjnego (Bode i Nyquista)
Na rys. II.1 przedstawiono charakterystyki wyznaczone dla: k=1, oraz
- x1=0,125; x2=0,5; x3=0,85 przy wn=4
- wn1=2, wn2=4; wn3=8 przy x=0,5.
Na podstawie analizy wzoru II.2 można określić warunki potrzebne do wyznaczenia
Ą
parametrów wn i x. Parametr wn wyznaczamy z warunku arg{K(jwa)=- . Wtedy wn=wa.
2
2 2
Ą �n �b
Natomiast parametr x wyznaczamy dla warunku arg{K(jwb)=- . Wtedy �= .
4 2�n�b
III. Człon różniczkujący rzeczywisty
Transmitancja operatorowa rzeczywistego członu różniczkującego:
ks
K(s)= . (III.1)
Ts+1
Transmitancja widmowa rzeczywistego członu różniczkującego:
Ą
-j ( ar ctg �T- )
k�
2
. (III.2)
K ( j�)= e
2
(�T ) +1
Rys. III.1. Charakterystyka amplitudowo-fazowa rzeczywistego członu różniczkującego
Na rys. III.1 przedstawiono charakterystyki amplitudowo-fazowe członu różniczkującego dla
trzech różnych stałych czasowych: T1=0,1; T2=0,5; T3=1.
Logarytmiczna charakterystyka amplitudy rzeczywistego członu różniczkującego jest równa:
M�) = 20log K( j� = 20log k + 20log� 20log (T�)2 +1. (III.3)
(
Logarytmiczna charakterystyka fazy:
Ą
Ś(� )= -ar ctg T�
. (III.4)
2
Rys. III.2. Charakterystyki logarytmiczne rzeczywistego członu różniczkującego
Charakterystyki logarytmiczne amplitudy i fazy, wyznaczone dla: T1=0,1; T2=0,5; T3=1
przedstawiono na rys. III.2.

Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
Charakterystyki częstotliwościowe
PA5 charakterystyki czestotliwosciowe [tryb zgodności]
Charakterystyki czestotliwo ciowe wybranych elementow liniowych
sprawozdanie charakterystyki częstotliwościowe pomiary i wykresy
L3 Badanie charakterystyk częstotliwościowych liniowych układów ciągłych N
Charakterystyka częstotliwościowa sprawozdanie
Charakterystyki czestotliwosciowe
5 1 1 Charakterystyki częstotliwościowe wyznaczanie
PA5 charakterystyki czestotliwosciowe
05 Charakterystyki częstotliwościoweidU70
05 Charakterystyki częstotliwościowe
Cw 2 charakt czasowe czestotliw
Cw 3 charakt czasowe czestotliw PM
Cw 3 charakt czasowe czestotliw

więcej podobnych podstron