PA5 charakterystyki czestotliwosciowe

Politechnika Warszawska
Instytut Automatyki i Robotyki
Prof. dr hab. inż. Jan Maciej Kościelny
PODSTAWY AUTOMATYKI
część 5
Charakterystyki częstotliwościowe
Charakterystyki częstotliwościowe
Jeżeli na wejście elementu lub układu liniowego stabilnego wprowadzone zostanie
wymuszenie sinusoidalne o stałej częstotliwości, to na wyjściu, po zaniknięciu
przebiegu przejściowego, ustali się odpowiedz sinusoidalna o tej samej
częstotliwości, ale w ogólnym przypadku, o innej amplitudzie i fazie niż wymuszeni
x
A1(�)
xy
0
t
T=2Ą/�
y
A2(�)
x = A1(�)sin�t
y = A2(�)sin[�t +�(�)]
0
t
T=2Ą/�
�(�)
Charakterystyki częstotliwościowe
Charakterystyki częstotliwościowe -- określają zachowanie się elementu
Charakterystyki częstotliwościowe określają zachowanie się elementu
lub układu przy wszystkich częstotliwościach wymuszenia
lub układu przy wszystkich częstotliwościach wymuszenia
Określają
Określająw funkcji częstotliwości:
w funkcji częstotliwości:
" " stosunek amplitud odpowiedzi do wymuszenia
stosunek amplitud odpowiedzi do wymuszenia
" " przesunięcie fazowe między odpowiedzią a wymuszeniem
przesunięcie fazowe między odpowiedzią a wymuszeniem
Podstawy teoretyczne
Transmitancja widmowa szczególny przypadek transmitancji
Transmitancja widmowa szczególny przypadek transmitancji
operatorowej
operatorowej
"
przekształcenie Fouriera
F( j�) = f (t)e- j�tdt
+"
0
G( j�) = G(s)
s= j�
y
Definiowana często jako:
G( j�) =
Definiowana często jako:
u
Gdzie: y - wartość zespolona składowej ustalonej odpowiedzi układu
wywołanej wymuszeniem sinusoidalnym
u wartość zespolona wymuszenia
Podstawy teoretyczne
Podstawiając za: x i y parę odpowiadających sobie funkcji harmonicznych
Podstawiając za: x i y parę odpowiadających sobie funkcji harmonicznych
zapisanych w postaci wykładniczej
zapisanych w postaci wykładniczej
j�t
A1(�)e = A1(�)[cos�t + j sin�t]
Wejście:
j[�t+� (� )]
A2 (�)e = A2 (�){cos[�t + �(�)] + j sin[�t + �(�)]}
Wyjście:
_
_
j�t j[�t+� (� )]
= A2(�)e
= A1(�)e
y
u
j�"��"t j�"� (� )
A2(�)�"e �"e
j�"� (� )
G( j�) = = M (�)�"e
j�"��"t
A1(�)�"e
A (�)
2
M (�) =
Gdzie: - moduł charakterystyki częstotliwościowej
A (�)
1
(stosunek amplitud odpowiedzi do wymuszenia)
Podstawy teoretyczne
G(j�) jest funkcją
G(j�) jest funkcjązespoloną
zespoloną
G( j�) = P(�) + jQ(�)
P(�) = Re[G( j�)] - część rzeczywista G(j �)
- część urojona G(j �)
Q(�) = Im[G( j�)]
Charakterystyka amplitudowo-fazowa
Charakterystyka amplitudowo-fazowa - wykres końców wektorów,
Charakterystyka amplitudowo-fazowa - wykres końców wektorów,
których:
których:
" " długość reprezentuje stosunek amplitud odpowiedzi do wymuszenia
długość reprezentuje stosunek amplitud odpowiedzi do wymuszenia
" " kąt przesunięcie fazowe między odpowiedzią a wymuszeniem
kąt przesunięcie fazowe między odpowiedzią a wymuszeniem
Definiowana często jako:
Definiowana często jako:
Wykres transmitancji
Wykres transmitancji
widmowej G(j�)
widmowej G(j�)
Zespolona charakterystyka
Zespolona charakterystyka
częstotliwościowa
częstotliwościowa
Charakterystyka amplitudowo-fazowa
P(�) = M (�)cos�(�)
Charakterystyczne związki:
Charakterystyczne związki:
Q(�) = M (�)sin�(�)
Q(�)
�(�) = arctg
M ( j�) = [P(�)]2 + [Q(�)]2
P(�)
Charakterystyki częstotliwościowe
fazowa charakterystyka amplitudowa charakterystyka
fazowa charakterystyka amplitudowa charakterystyka
częstotliwościowa częstotliwościowa
częstotliwościowa częstotliwościowa
1
Charakterystyka amplitudowo-fazowa
Logarytmiczna Logarytmiczna
Logarytmiczna Logarytmiczna
charakterystyka fazowa charakterystyka amplitudowa
charakterystyka fazowa charakterystyka amplitudowa
�(�)
L(�) = 20 log M (�)
L(�) M(�)
�(�)
1800 40dB
Ą 100
10
900 Ą/2 20dB
0,01 110 100 � 0,01 110 100 �
0,1 0,1
-900 -Ą/2 -20dB 0,1
-1800 -Ą -40dB 0,01
1
Charakterystyki elementu proporcjonalnego
jQ(�)
P(�) = k
k
Q(�) = 0
G(j�) P(�)
L(�)
�(�)
20 log k
dB
00
� �
1
Charakterystyki elementu inercyjnego I rzędu
Transmitancja widmowa:
Transmitancja widmowa:
k k Tj� -1 -k + kTj�
G( j�) = = �" =
2 2
Tj� +1 Tj� +1 Tj� -1 -T � -1
- kT�
Q(�) =
2 2
Im[G(j�)]
T � +1
k
P(�) =
2 2
T � +1
k
� = " � = 0
Re[G(j�)]
�k �i
G(j�)
1
Charakterystyki elementu inercyjnego I rzędu
Logarytmiczna charakterystyka amplitudowa:
Logarytmiczna charakterystyka amplitudowa:
2 2
L(�) = 20log M (�) = 20log [P(�)] +[Q(�)]
c
k
L(�) = 20log
2 2
T � +1
c
2 2
L(�) = 20logk - 20log T � +1
1
Charakterystyki elementu inercyjnego I rzędu
Dla:
� < 1/T
L(�) = 20 log k
Dla:
L(�) = 20 log k - 20 logT�
� > 1/T
Logarytmiczna charakterystyka amplitudowa:
Logarytmiczna charakterystyka amplitudowa:
20
b
L(�)
a
10
Dla: k=10
dB
Dla: k=10
- 20 dB/dek
a charakterystyka
a charakterystyka
0
rzeczywista
rzeczywista
10
b charakterystyka
b charakterystyka
asymptotyczna
asymptotyczna
20
0.1 1 10 100
�/�s
�s = 1/T
1
Charakterystyki elementu inercyjnego I rzędu
Wykres błędu:
Wykres błędu:
Tablica 4.1
�
0,1 0,25 0,4 0,5 1,0 10 2,5 4,0 10,0
�S
"L(�)
0,04 0,32 0,65 1,0 3,01 1,0 0,65 0,32 0,04
0
"L(�)
dB
1
2
3
0.1 1
�/�s 10
1
Charakterystyki elementu inercyjnego I rzędu
Logarytmiczna charakterystyka fazowa:
Logarytmiczna charakterystyka fazowa:
Q(�)
�(�) = arctg = arctg(-T�) = -arctg(T�)
P(�)
1
Charakterystyki elementu całkującego
1
jQ( �)
P(�) = 0
Ts
1
� = "
P(�)
Q(�) = -
T�
� = 0
L(�)
1
�(�)
T
dB
�
�
- 20 dB/dek
-900
1
Charakterystyki elementu różniczkującego
jQ(�)
� = "
P(�) = 0
Ts
� = 0
Q(�) = T�
P(�)
L(�)
1
�(�)
+ 20 dB/dek
T
dB
-900
�
�
1
Charakterystyki elementu różniczkującego
Transmitancja widmowa elementu różniczkującego rzeczywistego:
Transmitancja widmowa elementu różniczkującego rzeczywistego:
Tj�
G( j�) =
Tj� +1
Charakterystyka amplitudowo-fazowa:
Charakterystyka amplitudowo-fazowa:
T�
Q(�) =
2 2
T � +1
2 2
T �
P(�) =
2 2
T � +1
2
Charakterystyki elementu różniczkującego
Logarytmiczna charakterystyka amplitudowa:
Logarytmiczna charakterystyka amplitudowa:
T�
2 2
L(�) = 20log [P(�)] +[Q(�)] = 20log
2 2
T � +1
2 2
L(�) = 20logT� - 20log T � +1
2
Charakterystyki elementu różniczkującego
Logarytmiczna charakterystyka fazowa:
Logarytmiczna charakterystyka fazowa:
Q(�) 1
�(�) = arctg = arctg( )
P(�) T�
c
0
�(�) = 90 - arctg(T�)
2
Charakterystyki elementu oscylacyjnego
Transmitancja widmowa:
Transmitancja widmowa:
k�0 2 k�0 2
G( j�) = =
2 2
2
( j�) + 2ś�0( j�)+ (�0 ) �0 2 - � + j �" 2ś��0
Gdzie: k współczynnik proporcjonalności
Gdzie: k współczynnik proporcjonalności
�0 pulsacja oscylacji własnych elementu
�0 pulsacja oscylacji własnych elementu
ś zredukowany (względny) współczynnik tłumienia
ś zredukowany (względny) współczynnik tłumienia
2
k�0 2 (�0 2 - � ) 2kś�03�
P(�) =
Q(�) =
2
2
(�0 2 - � )2 + (2ś�0�)2
(�0 2 - � )2 + (2ś�0�)2
2
Charakterystyki elementu oscylacyjnego
Charakterystyka amplitudowo-fazowa:
Charakterystyka amplitudowo-fazowa:
Dla: �=0
Dla: �=0
P(0) = k
jQ(�) �3<�2<�1
Q(0) = 0
,
� = "
� = 0
P(�)
Dla: �="
Dla: �="
�2
P(") = 0
�1
Q(") = 0
�3
2
Charakterystyki elementu oscylacyjnego
Logarytmiczna charakterystyka amplitudowa:
Logarytmiczna charakterystyka amplitudowa:
2
k�
2 2
0
L(�) = (P(�)) + (Q(�)) = 20log
2
2 2 2
(� -� ) + (2ś� �)
0 0
c
2
2 2
�ł łł
�ł �ł �ł �ł
� �
L(�) = 20log k - 20log + �ł �ł
�ł1- �ł �ł śł
�ł� �ł �ł2ś �ł
�
�ł �ł łł śł �ł łł
0 0
�ł �ł
2
Charakterystyki elementu oscylacyjnego
Logarytmiczna charakterystyka amplitudowa dla k=1:
Logarytmiczna charakterystyka amplitudowa dla k=1:
20
�
L(�)
14
Dla: �=0
L( = 1) = "
Dla: �=0
�1 = 0.1
�
0
10
�2 = 0.3
0
�3 = 0.5
- 6
Dla: �=1 warrttość
10 Dla: �=1 wa ość
�4 = 0.7
graniczna,
graniczna,
�5 = 1
20
przebieg
przebieg
aperiodyczny
aperiodyczny
30
(najkrócej
(najkrócej
trwający)
trwający)
40
0.1 1 10
�/�0
2
Charakterystyki elementu oscylacyjnego
L(�)
Asymptotyczna
Asymptotyczna
charakterystyka amplitudowa
charakterystyka amplitudowa
0.01 0.1 1 10 100
�/�0 dla:
0,3 d" � d" 1
dla:
- 20dB
- 40 dB/dek
- 40dB
)
6
"L(�)
� = 0.3
4
� = 0.5
2
"L(�) < 6dB
0
2
� = 0.7
4
� = 1
6
0.1110
�/�0
2
Charakterystyki elementu oscylacyjnego
�ł �ł
2ś� �
0
�ł
�(�) = arctg�ł- �ł
Logarytmiczna charakterystyka fazowa:
Logarytmiczna charakterystyka fazowa: 2
2
�ł
� -�
�ł łł
0
0
�(�)
0
20
[ ]
40
�5 = 1
60
�4 = 0.7
80
�3 = 0.5
100
�2 = 0.3
120
�1 = 0.1
140
160
180
0. 1
1
1 0
�/�0
2
Charakterystyki elementu opózniającego
jQ(�)
� = 3Ą/2�
e-�s P(�) = cos��
� = Ą/�
� = 0
Q(�) = -sin��
P(�)
� = Ą/2�
�(�)
L(�)
Ą/2� Ą/�
dB
�
0 dB
-450
�
-900
1
2
Charakterystyki częstotliwościowe podst. elementów
CHARAKTERYSTYKI CZSTOTLIWOŚCIOWE ELEMENTÓW PODSTAWOWYCH
Wykresy logarytmicznych charakterystyk amplitudowej L(�) i fazowej
Transmitancja Wykres charakterystyki amplitudowo-fazowej
L.p.
operatorowa G(s) G( j�) (transmitancji widmowej)
�(�)
L(�) �(�)
jQ(�)
20 log k
dB
P(�) = k
k
1
k
00
Q(�) = 0
G(j�) P(�)
� �
1
jQ(�)
�(�) 0.1 1 10
L(�)
1
P(�) =
T T T
2
T
1
dB
T �2 + 1
� = " � = 0
�
�
-450
P(�) - T�
- 20 dB/dek
Ts + 1 Q(�) =
2
G(j�)
-900
T �2 + 1
jQ( �)
L(�)
1
P(�) = 0 �(�)
1 T
dB
3 1
� = "
P(�) �
�
Q(�) = -
- 20 dB/dek
Ts -900
T�
� = 0
jQ(�)
� = " L(�)
1
�(�)
+ 20 dB/dek
T
P(�) = 0
dB
-900
4
Ts � = 0
�
�
Q(�) = T�
P(�)
jQ(�)
�(�)
L(�)
�3
�0
� = "
k�0 2 � = 0
dB
�3 < �2 < �1 �
5 �0
P(�)
�1
-900
�1 - 40 dB/dek
s2 + 2��0s + �0 2
�1 �2
�3
-1800
�3
�(�)
jQ(�)
� = 3Ą/2� L(�)
Ą/2� Ą/�
P(�) = cos��
dB
� = Ą/�
� = 0
�
0 dB
6
e-�s
-450
Q(�) = -sin��
P(�)
�
-900
� = Ą/2�
1
3
Charakterystyki elementów szeregowo połączonych
G1(j�) G2(j�) Gn(j�)
j�1(�)
G1( j�) = M1(�)e
j�2 (�)
G2 ( j�) = M (�)e
2
KKKK
j�n (�)
Gn ( j�) = M (�)e
n
j[�1 (� )+�2 (� )+K+�n (� )]
G( j�) = M1(�)M (�)KM (�)e
2 n
c
j� (� )
M (�)e
3
Charakterystyki elementów szeregowo połączonych
Logarytmiczna charakterystyka amplitudowa:
Logarytmiczna charakterystyka amplitudowa:
M (�) = M1(�)�" M (�) �"K�" M (�)
2 n
L(�) = 20log M (�) = 20log M1(�) + 20log M2(�) +K+ 20log M (�)
n
n
L(�) =
"L (�)
i
i=1
Logarytmiczna charakterystyka fazowa:
Logarytmiczna charakterystyka fazowa:
n
�(�) =
"� (�)
i
i=1
3
Charakterystyki elementów szeregowo połączonych
Przykład 1:
Przykład 1:
k �"T1 �" s
G(s) =
Dla: k=2;
Dla: k=2;
(T2s +1)�"(T3s +1)
T1=1;
T1=1;
c
T2=10;
1 1 T2=10;
G(s) = k �"T1 �" s �" �"
{
{
T2s +1 T3 3
T3=100;
1
T3=100;
2
123 1s +1
2
3 4
jQ(�)
P(�)
3
Charakterystyki elementów szeregowo połączonych
Logarytmiczna charakterystyka amplitudowa:
Logarytmiczna charakterystyka amplitudowa:
L(�)
2
20dB/dek
20dB
1
1
1
1
6dB
1 10 100 1000
�
10
100
1000
-20dB
-20dB/dek
c
-40dB
4
3
3
Charakterystyki elementów szeregowo połączonych
Logarytmiczna charakterystyka fazowa:
Logarytmiczna charakterystyka fazowa:
�(�)
2
450
1
1
1
1 10 100 1000
�
10 1
100
1000
4
-450
3
-900
-1800
c
-2700

Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
PA5 charakterystyki czestotliwosciowe [tryb zgodności]
Charakterystyki częstotliwościowe
Charakterystyki czestotliwosciowe
Charakterystyki czestotliwo ciowe wybranych elementow liniowych
sprawozdanie charakterystyki częstotliwościowe pomiary i wykresy
L3 Badanie charakterystyk częstotliwościowych liniowych układów ciągłych N
Charakterystyka częstotliwościowa sprawozdanie
Charakterystyki czestotliwosciowe
5 1 1 Charakterystyki częstotliwościowe wyznaczanie
05 Charakterystyki częstotliwościoweidU70
05 Charakterystyki częstotliwościowe
Cw 2 charakt czasowe czestotliw
Cw 3 charakt czasowe czestotliw PM
Cw 3 charakt czasowe czestotliw

więcej podobnych podstron