Podstawy Automatyki
Podstawy Automatyki
Wykład 5
Wykład 5
Wykład 5
Charakterystyki
Charakterystyki
częstotliwościowe
częstotliwościowe
Janusz KOWAL
Janusz KOWAL
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Akademia Górniczo-Hutnicza
Akademia Górniczo-Hutnicza
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe
Charakterystyki częstotliwościowe
Sygnał harmoniczny podawany na wejście elementu
liniowego jest istotny ze względu na:
dość częste występowanie w wielu układach,
możliwość rozkładu innych sygnałów o charakterze
okresowym na szereg Fouriera złożony z funkcji
harmonicznych.
x(t) y(t)
Element
liniowy
Ogólny symbol graficzny elementu liniowego
2
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe
Sygnał harmoniczny w postaci zespolonej można zapisać
jako:
j�t
x(t) = A1(�)(cos�t + j sin�t) = A1(�)e
gdzie: A1 - amplituda sygnału
2Ą
� =
- pulsacja sygnału (T - okres drgań)
T
Przy takim sygnale wejściowym, odpowiedz
y(t) elementu
ma również charakter harmoniczny.
y(t) = A2(�)[cos(�t +�(�))+ jsin(�t +�(�))]= A2(�)ej(�t+�(�))
3
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe
Podstawiając wyżej wymienione równania do równania
różniczkowego
n n-1 m m-1
d y(t) d y(t) d x(t) d x(t)
an + an-1 + ... + a0 y(t) = bm + bm-1 + b0 x(t)
n n-1 m m-1
dt dt dt dt
można wyznaczyć stosunek amplitud sygnałów
wyjściowego i wejściowego
M (� ) = A2 (� ) A1 (� )
oraz przesunięcie fazowe �(�) między tymi sygnałami
n n-1
j(�t+�(� )) j(�t+�(� )) j(�t+�(� ))
an(j�) A2(�)e + an-1( j�) A2(�)e + K+ a0 A2(�)e =
m m-1
j�t j�t j�t
= bm(j�) A1(�)e + bm-1(j�) A1(�)e +K+ b0 A1(�)e
4
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe
Przekształcając
m m-1
bm( j�) + bm-1( j�) + K + b0 A2(�)e
j�(�)
= = G( j�)
n n-1
A1(�)
an( j�) + an-1( j�) + K + a0
Wielkość G(j�) nazywana jest transmitancją widmową.
Pojęcie transmitancji widmowej związane jest z
przekształceniem Fouriera, które przyporządkowuje
funkcjom czasu f(t), funkcje pulsacji G(j�) wg zależności:
"
G( j�) = f (t)e- j�t dt
+"
-"
zwaną całką Fouriera.
5
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe
Transmitancję widmową wyznaczyć można także na
podstawie transmitancji operatorowej stosując podstawienie
G( j�) = G(s)
s= j�
Z zależności wynika, że transmitancja widmowa jest
wektorem, którego moduł M(�) dla każdej pulsacji �, jest
stosunkiem amplitudy sygnału wyjściowego do
amplitudy sygnału wejściowego,
A2(�)
G( j�) = M (�) =
A1(�)
a argumentem �(�) przesunięcie fazowe sygnału
wyjściowego względem sygnału wejściowego.
arg G( j� ) = �(� )
6
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe
Charakterystyka amplitudowo-fazowa
Q(�)
P(�1)
�=" P(�)
�=0
�(�1)
M(�1)
Q(�1)
�1
7
Przykładowy przebieg charakterystyki amplitudowo-fazowej
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe
Charakterystyki amplitudowo-fazowe układów rzeczywistych,
dla których stopień wielomianu licznika transmitancji jest
niższy od stopnia wielomianu mianownika, dążą do
początku układu współrzędnych
G( j�) 0, gdy � "
Korzystając z równania
j�
e = cos� + j sin �
transmitancję widmową można zapisać w następującej
postaci
j�(� )
G( j�) = M (�)e
G( j�) = P(�) + jQ(�)
8
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe
gdzie
Q(�) = ImG( j�) = M (�)sin�(�)
P(�) = ReG( j�) = M (�)cos�(�)
Ponadto na podstawie charakterystyki amplitudowo-fazowej
można napisać
M (�) = G( j�) = P2 (�) + Q2 (�)
oraz
Q(�)
�(�) = argG( j�) = arc tg
P(�)
9
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe
Charakterystyki logarytmiczne
logarytmiczna charakterystyka amplitudowa
przedstawia wykres zależności między logarytmem
dziesiętnym modułu transmitancji widmowej M(�) i
logarytmem dziesiętnym pulsacji �. Logarytm z modułu
transmitancji widmowej M(�) podaje się w dB.
L(�) = 20logG( j�) = 20log M (�)
logarytmiczna charakterystyka fazowa przedstawia
natomiast wykres zależności argumentu �(�) od
logarytmu dziesiętnego pulsacji �.
10
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe
duże znaczenie praktyczne charakterystyk
logarytmicznych wynika z łatwości określania
charakterystyki wypadkowej układu, złożonego ze
znanych elementów liniowych połączonych szeregowo.
Wypadkowa transmitancja widmowa G(j�) takiego układu
jest równa iloczynowi transmitancji elementów
składowych.
Załóżmy, że
j�1(� ) j�2 (� )
G1( j�) = M1(�)e oraz G2 ( j�) = M (�)e
2
wtedy
j[�1(� )+�2 (� )]
G( j�) = G1( j�)G2 ( j�) = M1(�)M (�)e
2
stąd
M (�) = M1(�)M (�)
2
�(�)= �1(�)+ �2(�) 11
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe
Na podstawie równania
L(�) = 20logG( j�) = 20log M (�)
przyjmujemy
L(�)= 20log M1(�)M (�) = 20log M1(�) + 20log M (�)
2 2
oznaczając
L1(�)= 20log M1(�) oraz L2(�)= 20log M (�)
2
równania charakterystyk logarytmicznych układu można
zapisać jako
L(�) = L1(�) + L2 (�)
�(�)= �1(�)+ �2(�)
12
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe
L(�) Przykładowe przebiegi charakterystyk logarytmicznych
20
H"3 dB
15
-20 dB/dek
dokładna
10
przybliżona
5
�s
�
0
10-1 100 101
�(�)
�s
1/5�s 5�s
�
0
-45
dokładna
przybliżona
H"11�
-90
13
10-1 100 101
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe
Przykład 1
Sporządzić charakterystyki częstotliwościowe (amplitudowo-fazową,
logarytmiczne: amplitudową i fazową) układu automatyki, którego
schemat przedstawiono na poniższym rysunku:
gdzie:
d, x - wymiary okienka,
v - prędkość przepływu
oleju w okienku,
A - powierzchnia tłoka
siłownika,
Pz - ciśnienie zasilania
(pz = const),
Ps - ciśnienie spływu
(ps = const).
u  przesunięcie dz
wigni
(wejście)
y  przesunięcie tłoczyska
siłownika (wyjście)
14
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe
Dz
wignia dwustronna
Wykorzystując zasadę superpozycji działanie dz
wigni
można przedstawić jako złożenie przesunięć składowych,
pokazanych na rysunkach poniżej
Dla małych kątów wychyleń dz
wigni:
a)
A a B b C
x1
u
x1 b
u
= x1 = u
stąd
b a + b a + b
gdzie:
x1 - przesunięcie dz
wigni przy obrocie wokół punktu C
15
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe
b)
x2
y a
= x2 = y
stąd
a a + b a + b
y
x2
A a B b C
gdzie:
x2 - przesunięcie dz
wigni przy obrocie wokół punktu A
Wypadkowe przesunięcie punktu B dz
wigni można
zapisać jako: x = x1 - x2
Podstawiając równania na x1 i x2 do powyższego równania
otrzymamy:
b a
x = u - y
a + b a + b 16
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe
Siłownik hydrauliczny
Zmiana objętości oleju pod tłokiem siłownika wynosi
dy
A = Q
dt
Objętościowe natężenie przepływu Q oleju przez suwak
Q = d �" x �"�
gdzie: d�x - powierzchnia przepływu oleju
v - prędkość przepływu.
A
T1 =
Porównując powyższe wzory i oznaczając
d �" v
dy
otrzymamy
T1 = x
dt
17
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe
Wyznaczenie transmitancji operatorowej układu
Stosując przekształcenie Laplace a do równań opisujących
działanie dz
wigni i siłownika otrzymamy
b a
X (s) = U (s) - Y (s) i
T1sY(s) = X (s)
a + b a + b
Po podstawieniu otrzymamy
a b
�łT s + �łY (s) =
U (s)
�ł �ł
1
a + b a + b
�ł łł
stąd
b b gdzie:
Y(s) K b
a + b a
K =
G(s) = = =
=
a
a a + b
U (s)
T1s + T1 s +1
a + b
Ts +1
T = T1
a + b a
18
a
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe
Wyznaczenie transmitancji widmowej układu
Podstawiając do równania na transmitancję operatorową
s=j� otrzymamy
K
G( j� ) =
1+ jT�
Część rzeczywistą i urojoną transmitancji widmowej można
obliczyć mnożąc licznik i mianownik powyższej zależności
przez liczbę sprzężoną z mianownikiem:
K 1 - jT� K (1 - jT�) K KT�
G( j�) = �" = = - j
2 2 2 2 2 2
1 + jT� 1 - jT�
1 + T � 1 + T � 1 + T �
- KT�
ImG( j�) = Q(�) =
gdzie:
2 2
1+ T �
K
ReG( j�) = P(�) =
2 2
19
1+ T �
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe
Wyznaczenie charakterystyki amplitudowo-fazowej
Z równań
K
- KT�
i
P(�)=
Q(�)=
2 2
2 2
1+ T �
1+ T �
wynika równanie charakterystyki amplitudowo-fazowej
Q2(�)+ P2(�)- KP(�)= 0
Po uzupełnieniu znoszącymi się wyrażeniami otrzymamy
2 2
K K
Q2(�)+ P2(�)- KP(�)+ - = 0
4 4
2
2
K K
�łP łł
Q2 (�)+ (�)- =
�ł śł
2 4
�ł �ł
20
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe
Jest to równanie okręgu o promieniu K/2, o środku
leżącym w punkcie [K/2, j0]. Ze wzoru wynika, że część
urojona transmitancji widmowej jest ujemna dla � > 0.
Wartości P(�) i Q(�) można również wyznaczyć ze wzorów
- KT� K
Q(�)= i P(�)=
2 2 2 2
1+T � 1+ T �
dla różnych wartości � z przedziału (0, +") i zestawić dane
w tabeli.
K
�
"
0
2
1
0
P(�) K
T
K
-
0
Q(�) 0
2
21
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe
Q(�)
K
P(�)
�=" 2
�=0
0
K
-
1
2
� =
T
Charakterystyka amplitudowo-fazowa układu
22
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe
Wyznaczenie logarytmicznej charakterystyki
amplitudowej
Wykorzystując wykładniczy zapis liczb zespolonych i równanie
j�(� )
G( j�) = M (�)e
transmitancję widmową omawianego układu można zapisać jako
j0
K Ke K
j� (� )
G( j�) = = = e- jarc tg T� = M (�)e
arc tg T�
2 2 j 2 2
1+ jT�
1+ T � e 1+ T �
Równanie charakterystyki amplitudowej można więc zapisać w postaci
K
M(� ) =
2 2
1+ T �
Równanie to można także wyznaczyć ze wzoru
M (�) = G( j�) = P2 (�) + Q2 (�)
23
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe
2 2 2 2
K K T �
M (�) = G( j�) = P2 (�) + Q2 (�) = +
2 2 2 2
(1 + T � )2 (1 + T � )2
2 2 2
K (1 + T � ) K
M (�) = =
2 2
2 2
(1 + T � )2
1 + T �
Chcąc wyrazić moduł M(�) w decybelach, korzystamy z równania
L(�) = 20log G( j�) = 20log M (�)
Otrzymujemy
K
L(�) = 20log M (�) = 20log
2 2
1+ T �
2 2
L(�) = 20log K - 20log 1+ T �
24
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe
Ponieważ wykreślenie charakterystyki według powyższego
wzoru jest pracochłonne, można użyć charakterystyk
asymptotycznych, które są przybliżeniem charakterystyk
rzeczywistych. Powstają w ten sposób charakterystyki
logarytmiczne aproksymowane odcinkami linii prostych.
Cały zakres częstotliwości dzielimy na dwie części:
1
2
Dla T 2� << 1 czyli
� <<
T
1
2
Dla T 2� >> 1 czyli � >>
T
1
�s =
Częstotliwość graniczna nazywana jest częstotli-
T
wością sprzęgającą.
25
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe
Dla pierwszego zakresu częstotliwości, można w równaniu
2 2
L(�) = 20log K - 20log 1+ T �
pominąć jego drugi składnik, stąd
1
dla � << L(�) = 20log K
T
Dla drugiego zakresu częstotliwości, można w równaniu
2 2
L(�) = 20log K - 20log 1+ T �
pominąć jedynkę pod pierwiastkiem, stąd
1 K
� >> L(�) = 20log
dla
T T�
26
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe
Ponieważ oś odciętych logarytmicznej charakterystyki amplitudowej ma
podziałkę logarytmiczną, równaniom
1
� << L(�) = 20log K
T
1 K
� >> L(�) = 20logK - 20logT� = 20log
T T�
odpowiadają na wykresie odcinki linii prostej. Wstawiając do drugiego
równania dwie dowolne wartości �, wyznaczamy nachylenie tego
odcinka charakterystyki względem osi odciętych.
1
Przykładowo dla mamy
�s =
T
KT
L(�s ) = 20log = 20log K
T
KT
L(10�s ) = 20log = 20log K - 20log10 = 20log K - 20
10T
27
[dB/dek]
L(10�s ) - L(�s) = -20
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe
Prosta o równaniu
K
L(�) = 20logK - 20logT� = 20log
T�
przecina oś odciętych przy pulsacji � dla której L(�)=0, czyli
K K K
20 log = 0 �! =1 �! � =
T� T� T
Charakterystyka określona równaniem
K
L(�) = 20logK - 20logT� = 20log
T�
K
� =
przecina więc oś odciętych przy pulsacji i obniża się
T
o 20 dB/dek (występuje dziesięciokrotny wzrost pulsacji).
28
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe
Wyznaczenie logarytmicznej charakterystyki
fazowej
Na podstawie równań
j�(� )
G( j�) = M (�)e
j0
K Ke K
j� (� )
G( j�) = = = e- jarc tg T� = M (�)e
arc tg T�
2 2 j 2 2
1+ jT�
1+ T � e 1+ T �
�(�) = -arc tgT�
można napisać, że
Równanie to można także wyznaczyć ze wzoru
KT�
-
2 2
Q(�)
1+ T �
�(�) = arc tg = arc tg = -arc tgT�
K
P(�)
2 2
29
1+ T �
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe
Dla różnych wartości � z przedziału (0, +") można
wyznaczyć wartość �(�) na podstawie wzoru
�(�) = -arc tgT�
i zestawić dane w tabeli
1
"
� 0
T
Ą
Ą
-
0 -
�(�)
2
4
30
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe
L(�) Charakterystyki logarytmiczne układu
20
15
10
5
�s
�
0
10-1 100 101
�(�)
�s
1/5�s 5�s
�
0
-45
-90
31
10-1 100 101
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe
Przykład 2
Wyznaczyć charakterystyki częstotliwościowe (amplitudowo-
fazową, logarytmiczne: amplitudową i fazową) elementu o
transmitancji:
T1s
G(s) = gdzie T1 = 2[s], T2 = 1[s]
1+ T2s
Wyznaczenie transmitancji widmowej
podstawiamy s=j� do równania na transmitancję operatorową
j2�
G( j�) =
1+ j�
obliczamy część rzeczywistą i urojoną transmitancji widmowej
2 2
j2� 1 - j� j2� + 2� 2� 2�
G( j�) = �" = = + j
2 2 2
1 + j� 1 - j�
1 + � 1 + � 1 + �
32
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe
Wyznaczenie charakterystyki amplitudowo-fazowej
2
2�
2�
Q(�) =
P(�) =
2
2
1+ �
1+ �
Wyznaczamy wartości P(�) i Q(�) z powyższych równań
dla różnych wartości � z przedziału (0, +") i zestawiamy
dane w tabeli.
� 1 "
0
P(�) 0 1
2
Q(�) 1 0
0
33
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe
Q(�)
�=1
1
P(�)
�=0 �="
0
2
1
Charakterystyka amplitudowo-fazowa
34
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe
Wyznaczenie logarytmicznej charakterystyki
amplitudowej
Transmitancję widmową G(j�) można zapisać jako:
j90
j2� 2�e 2�
j(90-arc tg� )
G( j�) = = = e
arc tg�
2 j 2
1+ j�
1+ � e 1+ �
stąd równanie charakterystyki amplitudowej
2�
M (�) =
2
1+ �
lub wyznaczone z równania: M (�) = G( j�) = P2 (�) + Q2 (�)
4 2
4� 4�
2 2
M (� ) = P (� ) + Q (� ) = +
2 2
(1 + � )2 (1 + � )2
2 2
4� (1+ � ) 2�
M (�) = =
2
2
35
(1+ � )2
1+ �
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe
Chcąc wyrazić M(�) w decybelach korzystamy z
poniższego wzoru
2�
2
L(�) = 20 log = 20 log 2� - 20log 1+ �
2
1 + �
Aby wyznaczyć charakterystyki asymptotyczne cały zakres
częstotliwości dzielimy na dwie części:
1
2
� <<
dla � << 1 czyli
T
1
2
� >>
dla � >> 1 czyli
T
Dla pierwszego zakresu częstotliwości, można w równaniu
2
L(�) = 20 log 2� - 20 log 1+ �
pominąć jego drugi składnik, stąd
36
� << 1, L(�) = 20 log 2�
dla
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe
Dla drugiego zakresu częstotliwości, można w równaniu
2
L(�) = 20log 2� - 20 log 1+�
pominąć jedynkę pod pierwiastkiem, stąd
2�
� >> 1, L(�) = 20log 2� - 20log� = 20log
dla
�
L(�) = 20 log 2 H" 6 dB
Prosta o równaniu
L(�) = 20 log 2�
przecina oś odciętych przy pulsacji �, dla której L(�)=0, czyli
1
20log 2� = 0 �! 2� = 1 �! � =
37
2
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe
Wyznaczenie logarytmicznej charakterystyki fazowej
Na podstawie równania
j90
j2� 2�e 2�
j(90-arc tg� )
G( j�) = = = e
arc tg�
2 j 2
1+ j�
1+ � e 1+ �
można napisać
�(�) = 90 - arc tg�
Równanie to można także wyznaczyć ze wzoru
2�
2
Q(�) 1
1+ �
�(�) = arc tg = arc tg = arc tg = 90 - arc tg�
2
P(�) 2� �
2
1+ �
38
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe
Dla różnych wartości � z przedziału (0, +") można
wyznaczyć wartość �(�) na podstawie wzoru
�(�) = -arc tgT�
i zestawić dane w tabeli
"
� 0 1
Ą
�(�)Ą
0
2 4
39
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe
Przybliżoną logarytmiczną charakterystykę fazową
można wyznaczyć stosując aproksymację
trzyodcinkową.
Na podstawie częstotliwości sprzęgającej �s
wyznaczamy dwie częstotliwości pomocnicze
�1=1/5�s= 0.2[1/s] i �2=5�s= 5[1/s] i rysujemy trzy
odcinki aproksymujące.
40
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe
L(�)
Charakterystyki logarytmiczne układu
10
5
�s �
0
-5
-10
-15
101
10-1 100
�(�)
1/5�s
�s
5�s
90
45
�
41
0
10-1
100
101
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Janusz KOWAL
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Temat wykładu: Charakterystyki częstotliwościowe
Generowanie charakterystyk częstotliwościowych
w programie MATLAB
Dana jest transmitancja układu oscylacyjnego
K
G(s) =
T1s2 +T2s +1
którą przedstawiamy w przestrzeni roboczej MATLAB-a w
następujący sposób
l=[K] - licznik transmitancji
m=[T1 T2 1] - mianownik transmitancji
Generowanie charakterystyki amplitudowo-fazowej
nyquist(l,m)
Generowanie charakterystyk logarytmicznych: amplitudowej
i fazowej
bode(l,m)
42