Politechnika Warszawska
Instytut Automatyki i Robotyki
Prof. dr hab. inż. Jan Maciej Kościelny
PODSTAWY AUTOMATYKI
PODSTAWY AUTOMATYKI
5. Charakterystyki częstotliwościowe
2
Transmitancja widmowa
Przekształcenie Fouriera
"
F( j�) = f (t)e- j�tdt
+"
-"
dla t>0
"
F( j�) = f (t)e dt
F( j�) = f (t)e- j�tdt
+"
+"
0
G( j�) = G(s)s= j�
3
Charakterystyki częstotliwościowe
Jeżeli na wejście elementu lub układu liniowego stabilnego wprowadzone zostanie
wymuszenie sinusoidalne o stałej częstotliwości, to na wyjściu, po zaniknięciu
przebiegu przejściowego, ustali się odpowiedz
sinusoidalna o tej samej
częstotliwości, ale w ogólnym przypadku, o innej amplitudzie i fazie niż wymuszenie
u
�
A1( )
u y
0
t
Ą/�
T=2
u = A1 sin�t
y
y = A2(�)sin[�t +�]
�
A2( )
0
t
�
Ą/�
T=2
�
4
Charakterystyki częstotliwościowe
Charakterystyki częstotliwościowe - określają zachowanie się elementu
lub układu przy wszystkich częstotliwościach wymuszenia
Określają w funkcji częstotliwości:
" stosunek amplitud odpowiedzi do wymuszenia
" przesunięcie fazowe między odpowiedzią a wymuszeniem
" przesunięcie fazowe między odpowiedzią a wymuszeniem
Rozróżnia się następujące postacie charakterystyk częstotliwościowych:
" charakterystyka amplitudowo-fazowa tzw. wykres Nyquista,
" logarytmiczna charakterystyka amplitudowa i fazowa (wykres Bode a)
" logarytmiczna charakterystyka amplitudowo- fazowa (wykres Blacka)
5
Podstawy teoretyczne
Wejście:
A1 sin(�t)
Wyjście:
A2(�)sin(�t +�)
L[ A2 sin( �t + � )] A2 L[sin( � t + � )]
G (s) = = =
L[ A1 sin( � t )] A1 L[sin( � t )]
�
s
�
L[sin( �t + � )] = e L[sin( � t )]
L[ f (t -� )] = e-�sL[ f (t)]
� �
s
s
A2 L[sin( � t )] A2 � s
A2 L[sin( � t )] A2 � s
�
�
G (s) = e = e
G (s) = e = e
A1 L[sin( � t )] A1
j�"� (�)
A2(�)�"e
j�"� (�)
G( j�) = = M (�)�"e
A1
A2(�)
Gdzie: - moduł charakterystyki częstotliwościowej
M (�) =
A1 (stosunek amplitud odpowiedzi do wymuszenia)
6
Charakterystyka amplitudowo-fazowa
Charakterystyka amplitudowo-fazowa - wykres końców wektorów,
których:
" długość reprezentuje stosunek amplitud odpowiedzi do wymuszenia
" kąt przesunięcie fazowe między odpowiedzią a wymuszeniem
Definiowana często jako:
Definiowana często jako:
Wykres transmitancji
widmowej G(j�)
Zespolona charakterystyka
częstotliwościowa
G(j�)
7
Charakterystyka amplitudowo-fazowa
Charakterystyczne
związki:
G( j�) = P(�) + jQ(�)
P(�) = Re[G( j�)]
G(j�)
G(j�)
Q(�) = Im[G( j�)]
P(�) = M (�)cos�(�)
Q(�) = M (�)sin�(�)
Q(�)
�(�) = arctg
M ( j�) = [P(�)]2 + [Q(�)]2
P(�)
8
Charakterystyka amplitudowo-fazowa
Charakterystyka amplitudowo  fazowa
(Wykres Nyquista)
�
�
�
�
�
�
�
�
0
0
[rad/s] 0.1 0.5 ........ "
[rad/s] 0.1 0.5 ........ "
"
"
"
"
"
"
P(�
P(�
�)
�)
�
�
�
�
Q(�
Q(�
�)
�)
�
�
�
�
Przykładowa charakterystyka amplitudowo-fazowa
9
Charakterystyka amplitudowo-fazowa
jQ(�
�)
�
�
5
�= "
� "
� "
� "
P(�
�)
�
�
- 5 5
�= 0
�
�
�
- 5
- 5
�= 3.0
�= 3.0
�
�
�
�
�
�
�= 0.1
�
�
�
�= 0.2
�
�
�
�= 1.0
�
�
�
�= 0.3
�
�
�
G(j�
�)
�
�
10
Charakterystyki częstotliwościowe
fazowa charakterystyka amplitudowa charakterystyka
częstotliwościowa częstotliwościowa
11
Charakterystyka amplitudowo-fazowa
Logarytmiczna Logarytmiczna
charakterystyka fazowa charakterystyka amplitudowa
�(�)
L(�) = 20 log M (�)
L(�) M(�)
�(�)
1800 40dB
Ą 100
900 Ą/2 20dB 10
0,01 1 10 100 � 0,01 1 10 100 �
0,1 0,1
-900 -Ą/2 -20dB 0,1
-1800 -Ą -40dB 0,01
12
Eksperymentalne wyznaczanie
charakterystyk częstotliwościowych
u0 , y0  składowe stałe sygnałów, f  częstotliwość [Hz]
�
f = ; � = 2Ą f
2Ą
13
Charakterystyki elementu proporcjonalnego
jQ(�)
P(�) = k
k
Q(�) = 0
G(j�) P(�)
L(�)
�(�)
20 log k
dB
00
� �
14
Charakterystyki elementu inercyjnego I rzędu
Transmitancja widmowa:
k k Tj� -1 - k + jkT� k - jkT�
G( j�) = = �" = =
2 2
Tj� +1 Tj� +1 Tj� -1 -T �2 -1 T �2 +1
- kT�
Q(�) =
2 2
T � +1
k
P(�) =
2 2
T � +1
� = "
15
Charakterystyki elementu inercyjnego I rzędu
Logarytmiczna charakterystyka amplitudowa:
2 2
L(�) = 20log M (�) = 20log [P(�)] +[Q(�)]
c
k
L(�) = 20log
L(�) = 20log
2 2
T � +1
� +
c
2 2
L(�) = 20logk - 20log T � +1
16
Charakterystyki elementu inercyjnego I rzędu
Dla:
� < 1/T
L(�) = 20 log k
L(�) = 20 log k - 20 logT�
� > 1/T
Logarytmiczna charakterystyka amplitudowa:
Dla: k=10
a  charakterystyka
rzeczywista
b  charakterystyka
asymptotyczna
�s = 1/T
17
Charakterystyki elementu inercyjnego I rzędu
Wykres błędu:
�
�S 0,1 0,25 0,4 0,5 1,0 10 2,5 4,0 10,0
"L(�)
0,04 0,32 0,65 1,0 3,01 1,0 0,65 0,32 0,04
0,04 0,32 0,65 1,0 3,01 1,0 0,65 0,32 0,04
18
Charakterystyki elementu inercyjnego I rzędu
Logarytmiczna charakterystyka fazowa:
Q(�)
�(�) = arctg = arctg(-T�) = -arctg(T�)
P(�)
19
Charakterystyki elementu inercyjnego I rzędu
"� [ 0 ]
5.43
[rad/s]
0
0.01
0.1 1 100
10
�/ �s
s
-5.43
Skala logarytmiczna
Wykres odchyłek między charakterystyką fazową asymptotyczną a
rzeczywistą
Maksymalny błąd aproksymacji wynosi ą 5.43 [0 ]
20
Charakterystyki elementu całkującego
1
P(�) = 0
Ts
1
� = "
Q(�) = -
T�
21
Charakterystyki elementu różniczkującego
� = "
P(�) = 0
Ts
Q(�) = T�
22
Charakterystyki elementu różniczkującego
Transmitancja widmowa elementu różniczkującego rzeczywistego:
Tj�
G( j�) =
Tj� +1
Charakterystyka amplitudowo-fazowa:
T�
Q(�) =
2 2
T � +1
2 2
T �
P(�) =
2 2
T � +1
23
Charakterystyki elementu różniczkującego
Logarytmiczna charakterystyka amplitudowa:
T�
2 2
L(�) = 20log [P(�)] +[Q(�)] = 20log
2 2
T � +1
2 2
L(�) = 20logT� - 20log T � +1
24
Charakterystyki elementu różniczkującego
Logarytmiczna charakterystyka fazowa:
Q(�) 1
�(�) = arctg = arctg( )
P(�) T�
c
0
�(�) = 90 - arctg(T�)
25
Charakterystyki elementu oscylacyjnego
Transmitancja widmowa:
k�0 2 k�0 2
G( j�) = =
2 2
2
( j�) + 2ś�0( j�)+ (�0 ) �0 2 - � + j �" 2ś��0
Gdzie: k  współczynnik proporcjonalności
�0  pulsacja oscylacji własnych elementu
�0  pulsacja oscylacji własnych elementu
ś  zredukowany (względny) współczynnik tłumienia
2
k�0 2 (�0 2 - � ) 2kś�03�
P(�) =
Q(�) =
2
2
(�0 2 - � )2 + (2ś�0�)2
(�0 2 - � )2 + (2ś�0�)2
26
Charakterystyki elementu oscylacyjnego
Charakterystyka amplitudowo-fazowa:
Dla: �=0
P(0) = k
Q(0) = 0
,
,
� = "
Dla: �="
P(") = 0
Q(") = 0
27
Charakterystyki elementu oscylacyjnego
Logarytmiczna charakterystyka amplitudowa:
k�02
2 2
L(�) = 20log (P(�)) + (Q(�)) = 20log
(�02 -�2)2 + (2ś�0�)2
c
2
2 2
�ł łł
�ł �ł �ł �ł
� �
�ł śł
L(�) = 20log k - 20log 1- �ł �ł �ł �ł
+
�ł �ł
�0 śł �ł2ś �0 �ł
�ł
�ł łł �ł łł
�ł �ł
28
Charakterystyki elementu oscylacyjnego
Logarytmiczna charakterystyka amplitudowa dla k=1:
�
Dla: �
�=0
�
�
L( = 1) = "
�
0
Dla: �  wartość
�
�=1
�
�
�
�
�
graniczna,
przebieg
aperiodyczny
29
Charakterystyki elementu oscylacyjnego
Asymptotyczna
charakterystyka amplitudowa
dla:
0,3 d" � d" 1
Wykres błędu
"L(�) < 6dB
30
Charakterystyki elementu oscylacyjnego
�ł �ł
2ś� �
0
Logarytmiczna charakterystyka fazowa: �(�) = arctg�ł- �ł
2
2
�ł �ł
� -�
�ł łł
0
31
Charakterystyki elementu opóz
niającego
e-�s P(�) = cos��
Q(�) = -sin��
32
Charakterystyki częstotliwościowe podst. elementów
CHARAKTERYSTYKI CZ
STOTLIWOŚCIOWE ELEMENTÓW PODSTAWOWYCH
Wykresy logarytmicznych charakterystyk amplitudowej L(�) i fazowej
Transmitancja Wykres charakterystyki amplitudowo-fazowej
L.p.
operatorowa G(s) G( j�) (transmitancji widmowej)
�(�)
P(�) = k
1
k
Q(�) = 0
1
P(�) =
2
1
T �2 + 1
� = "
2
- T�
Ts + 1 Q(�) =
2 2
T � + 1
P(�) = 0
1
3 1
3 1
� = "
Q(�) = -
Q(�) = -
Ts
T�
� = "
P(�) = 0
4
Ts
Q(�) = T�
k�02 � = "
�3 < �2 < �1
5
s2 + 2��0s +�0 2
P(�) = cos��
6
e-�s
Q(�) = -sin��
33
Charakterystyki elementów szeregowo połączonych
j�1(�)
G1( j�) = M1(�)e
j�2 (�)
G2 ( j�) = M (�)e
2
KKKK
j�n (� )
j�n (� )
G ( j�) = M (�)e
Gn ( j�) = M (�)e
n
j[�1 (� )+�2 (� )+K+�n (�)]
G( j�) = M1(�)M (�)KM (�)e
2 n
c
j� (�)
M (�)e
34
Charakterystyki elementów szeregowo połączonych
Logarytmiczna charakterystyka amplitudowa:
M (�) = M1(�)�" M2(�) �"K�" M (�)
n
L(�) = 20log M (�) = 20log M1(�) + 20log M2(�) +K+ 20log Mn(�)
n
L(�) =
"L (�)
i
i=1
i=1
Logarytmiczna charakterystyka fazowa:
n
�(�) =
"� (�)
i
i=1
35
Charakterystyki elementów szeregowo połączonych
Przykład 1:
k �"T1 �" s
G(s) =
Dla: k=2;
(T2s +1)�"(T3s +1)
T1=1;
c
T2=10;
1 1
G(s) = k �"T1 �" s �" �"
{
{
T2s +1 T32 T3=100;
1
2
2
123 1 3
123 1s +1
2
3
3 4
jQ(�)
P(�)
36
Charakterystyki elementów szeregowo połączonych
Logarytmiczna charakterystyka amplitudowa:
L(�)
2
20dB/dek
20dB
1
1
1
1
6dB
1 10 100 1000
�
10
100
1000
-20dB
-20dB/dek
-20dB/dek
c
-40dB
4
3
37
Charakterystyki elementów szeregowo połączonych
Logarytmiczna charakterystyka fazowa:
�(�)
2
450
1
1
1
1 10 100 1000
�
10 1
100
1000
4
-45
-450
3
-900
-1800
c
-2700