ROZCIĄGANIE PRĘTÓW PROSTYCH

1

1. SFORMUŁOWANIE ZAGADNIENIA Założenia: pręt pryzmatyczny (tzn. o stałym przekroju), x1 (x) - oś podłużna pręta, x2 (y), x3 (z) -

osie główne, centralne przekroju, siły masowe są pominięte, pobocznica wolna od obciążeń.

Pręt prosty obciążony jest w taki sposób, że obciążenie zewnętrzne redukuje się do siły podłużnej N

z

α

(

q z)dA = N

q(z)

∫∫

x

A

(

q z)z dA = M = 0

∫∫

α

A

2. NAPRĘŻENIA W PRĘCIE ROZCIĄGANYM

Rozkład naprężenia σx w dowolnym przekroju α-α musi spełniać warunek σx(z)dA = N

σ

∫∫

x(z)

N

A

Założenia:

z rozkład naprężenia jest stały i niezależny od postaci obciążenia zewnętrznego q(z), poza niewielkim obszarem przyległym do miejsca przyłożenia obciążenia (zasada de Saint-Venanta) z σ

= σ

= τ = τ

= τ

= 0

;

22

33

12

13

23

(σ = σ = τ = τ = τ = 0

y

z

xy

xz

yz

)

N

σ dA = N

x

⇒

σx =

∫∫

A

A

3. ODKSZTAŁCENIA W PRĘCIE ROZCIĄGANYM (równania Hooke'a) ε

1

i j =

[(1+ ν) σij − ν σkk δ ij ]

E

1

σ

np. ε11 = εx =

([1+ ν)σ11 ν

− (σ11 + σ22 + σ33 )]

x

=

E

E

N

εx =

E A

σ

N

x

ε

N

22 = εy = − ν

= −ν ε = − ν

ε = −

E

x

E A

y

ν E A

σ

N

x

ε

N

33 = εz = − ν

= − ν ε = − ν

ε = −

E

x

E A

z

ν E A

ε

= ε = ε = 0

xy

xz

yz

ROZCIĄGANIE PRĘTÓW PROSTYCH

2

4. DEFORMACJA PRĘTA O PRZEKROJU PROSTOKĄTNYM

L

∆

ε

N L

x =

⇒

L

∆ =

L

E A

∆b

∆

ε =

= − ν L

⇒

Nb

y

∆ b = ν

b

L

E A

∆h

∆

ε =

= − ν L

⇒

Nh

z

∆ h = ν

h

L

E A

x 3

b

x 2

h

L

x 1

∆ L

x

3

b

x

2

∆ b

∆ b

2

2

x 3

x 2

∆ h

2

h

∆ h

2

5. ANALIZA ROZWIĄZANIA

ROZCIĄGANIE PRĘTÓW PROSTYCH

3

z Stan naprężenia opisany przez macierz Tσ to jednorodny (identyczny w każdym punkcie ciała) i jednoosiowy stan naprężenia (tylko jeden element macierzy naprężenia jest niezerowy)

N A 0 0





T =

σ

 0

0 0





 0

0 0

Diagonalna postać macierzy naprężenia świadczy o tym, że jedyne niezerowe naprężenie σ11 jest maksymalnym naprężeniem normalnym spośród wszystkich możliwych odpowiadających dowolnym płaszczyznom przekroju pręta.

z Stan odkształcenia opisany przez macierz Tε to jednorodny (identyczny w każdym punkcie ciała) i trójosiowy (niezerowe składowe w 3 wzajemnie prostopadłych kierunkach) stan odkształcenia

1 E

0

0 





=

ε

T

 0

ν

− E

0  × σx

 0

0

ν

− E





Diagonalna postać macierzy odkształcenia świadczy, że rozciąganiu towarzyszą jedynie odkształcenia liniowe. Włókna równoległe do osi x wydłużają się najbardziej, a równoległe do y i z najmniej.