Politechnika Poznańska Zakład Wytrzymałości Materiałów Ćwiczenie nr 1
Charakterystyki geometryczne
podstawowe
Bartosz Ruta
...........................................................................
(Imię I Nazwisko)
Grupa: 16 Rok akad.:2008 / 2009
Spis treści
2
Zadanie
3
Pole przekroju
4
Środek ciężkości
5
Momenty bezwładności
6
Zestawienie wyników
7
2
Dla zadanego przekroju obliczyć podstawowe charakterystyki geometryczne:
- pole przekroju
-współrzędne środka ciężkości
-środkowe momenty bezwładności.
3
2. Pole przekroju Figura 1 (półkole)
r = 50 cm
A = 1 π ⋅
1
2
r
π 50
3 926,990 8cm2
1
=
⋅ 2 =
2
2
Figura 2 (prostokąt)
b = 20 + 100 + 30 = 150 cm
c = 50 + 40 = 90cm
A = b ⋅ c = 150
13 500 cm2
2
⋅90 =
Figura 3 (trójkąt)
a = 20 + 100 + 30 = 150 cm
h = 40 cm
A = 1 a h
3 000 cm2
3
⋅ = 1150 ⋅ 40 =
2
2
Pole przekroju całej figury
A = A
A
A
13 500 – 3 000 – 3 926,990 8 = 6 573,009 183 cm2
2 −
3 −
1 =
4
3.Środki ciężkości
Figura 1
1
x = 30 + ⋅100 = 30 + 50 = 80 cm 1
2
4 R
4 ⋅ 50
y = 40
68,779 3cm
1
+ 50 −
= 40 + 50 −
=
π
3
π
3
Figura 2
1
1
x =
⋅ b = ⋅150 = 75 cm
2
2
2
1
1
y =
⋅ c = ⋅ 90 = 45 cm
2
2
2
Figura 3
1
1
x =
⋅ a = ⋅150 = 50 cm
3
3
3
y = h − 2 h 13,333 3cm
3
⋅ =
− 2
40
⋅ 40 =
3
3
Środek ciężkości całej figury
S
n
x
y
S
A x
y = ∑
i ⋅
0 =
A
i
i=1
S
n
y
x
S
A
y
x = ∑
i ⋅
0 =
A
i
i=1
S
13 500 · 75 – 3 926,990 8 · 80 – 3 000 · 50 = 548 340,736 cm3
y = A
x
A x
A
x
2 ⋅
2 −
1 ⋅
1 −
3 ⋅
3 =
S
13 500 · 45 – 3 926,990 8 · 68,779 3 – 3 000 · 13,333 =
x = A
y
A
y
A
y
2 ⋅
2 −
1 ⋅
1 −
3 ⋅
3 =
= 297 405,321 cm3
S
x
y
83,423 1 cm
0 =
= 548 34 ,
0 736 =
A
6 57 ,
3 009 183
S
y
x
45,246 5 cm
0 =
= 297 405 3
, 21 =
A
6 573 0
, 09 183
5
4.Momenty bezwładności
Figura 1
4
D π
8
I
686 250 cm4
x
=
−
=≈ 1
,
0 09 8 ⋅ 4
R = 1
,
0 09 8 ⋅
4
50 =
1
16 8
9π
π ⋅ 4
R
π ⋅ 4
I
2 454 369,261 cm4
y
=
=
50 =
1
8
8
I
0
x y
=
1 1
I
I
A y
y
686 250 + 3 926,990 8 (68,779 3 – 45,246 5)2 = 2 860 988,743 cm4
xo
= x + (
)
1
−
2
1
o
=
1
1
I
I
A x
x
2 454 369,261 + 3 926,990 8 (80 – 83,423 1)2 = 2 500 384,222 cm4
yo
= y + (
)
1
−
2
1
o
=
1
1
I
I
A x
x
y
y
0 + 3 926,990 8 (80 – 83,423 1)( 68,779 3 – 45,246 5) =
xo yo
= x y + (
1
1 −
)(
o
1 −
)
o
=
1
1
1 1`
= - 315 339,245 3 cm4
Figura 2
b ⋅ 3
c
150 ⋅
3
I
9 112 500 cm4
x
=
=
90 =
2
12
12
c ⋅ 3
b
1503 ⋅
I
25 312 500 cm4
y
=
=
90 =
2
12
12
I
x y
= 0
2 2
I
I
A y
y
9 112 500 + 13 500(45 – 45,246 5)2 = 9 113 320,29 cm4
xo
= x + (
)
2
−
2
2
o
=
2
2
I
I
A x
x
25 312 500 + 13 500(75 – 83,423 1)2 = 26 270 306,28 cm4
yo
= y + (
)
2
−
2
2
o
=
2
2
I
I
A x
x
y
y
13 500(75 – 83,423 1)( 45 – 45,246 5) = 28 029,971 03 cm4
xo yo
= x y + (
2
2 −
)(
o
2 −
)
o
= 0 +
2
2
2 2 `
Figura 3
3
150 ⋅ 403
= ah
I
= 266 666,666 7 cm4
x
=
3
36
36
h ⋅ 3
a
40 ⋅
3
I
3 750 000 cm4
y
=
=
150 =
3
36
36
2
2
a h
1502 ⋅
2
I
- 500 000 cm4
x y
= −
= −
40 =
3 3
72
72
I
I
A y
y
266 666,666 7 + 3 000(13,333 3 – 45,246 5)2 = 3 322 023,669 cm4
xo
= x + (
)
3
−
2
3
o
=
3
3
I
I
A x
x
3 750 000 + 3 000(50 – 83,423 1)2 = 7 101 310,841 cm4
yo
= y + (
)
3
−
2
3
o
=
3
3
I
I
A x
x
y
y
- 500 000 + 3 000(50 – 83,423 1)( 13,333 3 – 45,246 5) =
xo yo
= x y + (
3
3 −
)(
o
3 −
)
o
=
3
3
32 3`
=2 699 914,225 cm4
6
Momenty bezwładności całej figury:
n
I
( Ix
A ( y
y
2
) )
I
I
I
2 939 307,878 cm4
xo = ∑
i +
i
i −
o
= xo − xo − xo =
2
1
3
i=1
n
I
( Iy
A ( x
x 2
) )
I
I
I
16 668 611,22 cm4
yo = ∑
i +
i
i −
o
= yo − yo − yo =
2
1
3
i=1
n
I
( Ix y
A ( x
x )( y
y )
I
I
I
- 2 356 545,009 cm4
xoyo = ∑
i
i +
i
i −
o
i −
o
= xo yo − xo yo − xo yo =
1
2
2
1
3
3
i=1
5.Zestawienie wyników
Pole przekroju
A = 6 573,009 cm2
Współrzędne środka masy
x0 = 83,423 1 cm
y0 = 45,246 3 cm
Środkowe momenty bezwładności Ix0 = 2 939 307,87 cm4
Iy0 = 16 668 611,22 cm4
Ix0y0 = - 2 356 545,009 cm4
7