Nazwisko
0
Imię
Indeks
ANALIZA 1A, KOLOKWIUM nr 14, 17.01.2012, godz. 10.15-11.00
Wykład: J. Wróblewski
PODCZAS KOLOKWIUM NIE WOLNO UŻYWAĆ KALKULATORÓW
Zadanie 27. (4+2=6 punktów) 1
Niech funkcja f : [8 , ∞) → R będzie dana wzorem f ( x) = .
x
Zdanie Z: Dla dowolnych liczb rzeczywistych x, y ∈ [8 , ∞) zachodzi nierówność
|f ( x) − f ( y) | ¬ C · |x − y| .
a) Dowieść, że zdanie Z jest prawdziwe dla C = 1 / 60.
Rozwiązanie:
Przekształcamy i szacujemy lewą stronę dowodzonej nierówności korzystając z nierów-ności x, y 8:
1
1
|x − y|
|x − y|
|x − y|
|x − y|
|f ( x) − f ( y) | = − =
¬
=
¬
,
x
y
xy
8 · 8
64
60
co stanowi dowód danej w treści zadania nierówności dla C = 1 / 60 i dowolnych x, y 8.
b) Dowieść, że zdanie Z jest fałszywe dla C = 1 / 80.
Rozwiązanie:
Dla x = 8 oraz y = 9 mamy |x − y| = 1 oraz 1
|x − y|
|f ( x) − f ( y) | =
>
,
72
80
wskazaliśmy więc przykład liczb x, y 8, dla których dana w treści zadania nierówność jest fałszywa przy C = 1 / 80.
Nie jest więc prawdą, że ta nierówność zachodzi dla dowolnych liczb rzeczywistych x, y ∈ [8 , ∞).
Zadanie 28. (9 punktów) W każdym z zadań 28.1-28.9 podaj kresy zbioru oraz napisz, czy kresy należą do zbioru (napisz TAK lub NIE).
Za każde zadanie, w którym podasz bezbłędnie oba kresy i poprawnie określisz ich przynależność do zbioru, otrzymasz 1 punkt.
1
28.1. A =
: x ∈ ( − 2 , 1) Ocena .......
x 2 + 9
inf A =1 / 13
sup A =1 / 9
Czy kres dolny należy do zbioru A NIE
Czy kres górny należy do zbioru A TAK
1
28.2. B =
: x ∈ ( − 2 , 1) Ocena .......
x 3 + 9
inf B =1 / 10
sup B =1
Czy kres dolny należy do zbioru B NIE
Czy kres górny należy do zbioru B NIE
1
28.3. C =
: x ∈ ( − 2 , 1) Ocena .......
x 4 + 9
inf C =1 / 25
sup C =1 / 9
Czy kres dolny należy do zbioru C NIE
Czy kres górny należy do zbioru C TAK
1
28.4. D =
: n ∈ N
N = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 ,...}
Ocena .......
10 n − 43
inf D = − 1 / 3
sup D =1 / 7
Czy kres dolny należy do zbioru D TAK
Czy kres górny należy do zbioru D TAK
(
1
)
28.5. E =
: n ∈ N
Ocena .......
(10 n − 43)2
inf E =0
sup E =1 / 9
Czy kres dolny należy do zbioru E NIE
Czy kres górny należy do zbioru E TAK
(
1
)
28.6. F =
: n ∈ N
Ocena .......
(10 n − 43)2 + 7
inf F =0
sup F =1 / 16
Czy kres dolny należy do zbioru F NIE
Czy kres górny należy do zbioru F TAK
( ∞
1
)
28.7. G =
X
: k ∈ N \ { 1 }
Ocena .......
kn
n=1
inf G =0
sup G =1
Czy kres dolny należy do zbioru G NIE
Czy kres górny należy do zbioru G TAK
( ∞
1
)
28.8. H =
X
: k ∈ N \ { 1 , 2 , 3 , 11 , 12 , 13 }
Ocena .......
kn
n=1
inf H =0
sup H =1 / 3
Czy kres dolny należy do zbioru H NIE
Czy kres górny należy do zbioru H TAK
( ∞
1
)
28.9. I =
X
: k ∈ { 6 , 7 , 16 , 17 }
Ocena .......
kn
n=1
inf I =1 / 16
sup I =1 / 5
Czy kres dolny należy do zbioru I TAK
Czy kres górny należy do zbioru I TAK