Analiza obwodów liniowych pobudzanych okresowymi przebiegami niesinusoidalnymi
Szereg Fouriera
Aby funkcja okresowa odkształcona mogła być przedstawiona w postaci szeregu Fouriera musi spełniać warunki Dirichleta
WARUNKI DIRICHLETA
1. W każdym przedziale o długości T funkcja jest bezwzględnie całkowalna
∫ f ( t) t
d < ∞
T
2. W każdym przedziale o długości T funkcja ma co najmniej skończoną liczbę maksimów i minimów
3. Funkcja może mieć w przedziale T co najwyżej skończoną liczbę punktów nieciągłości, przy czym w każdym punkcie nieciągłości istnieją granice –
lewostronna i prawostronna
f ( t) = A
sin
0 + ∑ A
kω t
0
+α
m
(
k )
k
π
gdzie
ω
2
=
0
T
C 0
A =
- wartość stała, nazywana
0
2
harmoniczną zerową
A sin
- funkcja sinusoidalna o takiej samej
m
(ω t + α
0
1 )
1
pulsacji jak funkcja wymuszająca
f ( t )
nosi nazwę pierwszej lub podstawowej harmonicznej
Rozpatrzymy k-tą harmoniczną A sin kω t
0
α
m
(
+ k ) =
k
= A sinα cos kω t + A cosα sin kω t m
k
0
m
k
k
k
0
Oznaczymy:
C = A sinα
B = A cosα
k
m
k
k
m
k
k
k
i otrzymujemy:
A sin kω t
= C cos kω t + B sin kω t 0
α
m
(
+ k ) =
k
k
0
k
0
f ( t )
∞
= C 0 + ∑ ( B sin kω t C cos kω t k
0
+ k
0 )
=1
2
k
II postać rozwinięcia w szereg Fouriera 2
2
A = B + C
m
k
k
k
Z tych zależności wynika:
Ck
α = ar ctg
k
Bk
1. FUNKCJE PRZEMIENNE
T
Spełniają warunek:
∫ f ( t)d t = 0
0
wartość średnia za
f ( t)
okres równa się zeru.
0
t
Spełniają warunek:
f (− t) = f ( t) wówczas:
B
dla
k = ,
0 ,
1 ,
2 K
k = 0
f ( t)
T
0
t
T
−
2
2
Spełniają warunek:
f (− t) = − f ( t) wówczas:
C
dla
k = ,
0 ,
1 ,
2 K
k = 0
f ( t)
T
0
t
-T
T
T
−
2
2
π
Spełniają warunek:
f t + = − f ( t)
2
wówczas:
C = ,
0
B
C k = 0
k =
,
0
0
2
2
dla
k = ,
0 ,
1 ,
2 K
Obliczanie współczynników szeregu Fouriera
2 T
C
C =
∫ f t t
0
A =
0
( )d ;
T
0
2
0
C
1 T
0
A =
= ∫ f t t
0
( )d ;
2
T 0
t
T
+
2 0
C =
∫ f cos ω d
k
( t) k t t
T
0
t 0
t + T
2 0
B =
∫ f sin ω d
k
( t) k t t
T
0
t 0
T
2
4
f (− t) = f ( t) C
f t
kω t t
k =
∫ ( )
parzyste
cos
d
0
T 0
k = ,
1 ,
2 K
Funkcje
T
2
4
f (− t) = − f ( t) C
f t
kω t t
k =
∫ ( )
nieparzyste
cos
d
0
T 0
k = ,
1 ,
2 K
Funkcje
T
T
T
2
2
4
C
f t
kω t t
B
f t
kω t t
k =
∫ ( )sin
d
k = 4 ∫
( )
antysymetr.
f t + = − f ( t) cos
d ,
0
0
2
T
T
0
k = ,
1 ,
3 K 0
f (− t) = f ( t) T
F. parzysta
oraz
4
C
f t
kω t t
k = 8 ∫
( )cos
d
i antysymetr.
0
T
T
0
f t + = − f ( t) k = ,
1 ,
3 K
2
T
f (− t) = − f ( t) F.
4
oraz
B
f t
kω t t
k = 8 ∫
( )cos
d
nieparzysta
0
T
T 0
i antysymetr.
f t + = − f ( t) k = ,
1 ,
3 K
2
Jeżeli f ( t ) i
g ( t ) są funkcjami okresowymi o tym samym okresie T spełniającymi warunki Dirichleta, to zachodzi zależność:
t
T
+
∞
∞
1 0∫ f ( t) g( t) t d= ∑ f g∗ = ∑ f ∗ g k
k
k
k
T
k =−∞
k
t
=−∞
0
w szczególności gdy f ( t) = g( t) t + T
∞
1 0∫
2
f 2 ( t) t
d = ∑ fk
T
k
t
=−∞
0
Wartość skuteczna funkcji okresowej niesinusoidalnej: T
1
A
f 2 t
d t
sk
=
∫
( )
T 0
Wartość skuteczna k-tej harmonicznej Amk
A
=
k
2
Wartość skuteczna funkcji f(t)
:
∞
A
A
A
sk
=
+ ∑
2
0
k
k =1
Wartość średnia za okres funkcji f ( t) :
T
1
A =
∫ f
0
( t) t d
T 0
f ( t)
Wartość średnia z modułu funkcji
T
1
A =
∫
d
ś
f
r
( t) t
T 0
Współczynnik szczytu s
s
max
= Ask
dla sinusoidy
s = 2
Ask
Współczynnik kształtu k
k = Aśr
dla sinusoidy
k ≅ 1
,
1 1
harmonicznych h:
2
A
A
2
+
2
3
+L
h =
2
A
A
A
1
+
2
2
+
2
3
+L
dla sinusoidy h = 0
Współczynnik odkształcenia k : 0
k =
A 1
0
2
A
A
A
0 +
2
1
+
2
2
+L
dla sinusoidy
k = 1
0
Współczynnik zawartości k-tej harmonicznej hk A
h
k
=
k
A 1
Obwody liniowe zasilane odkształconymi napięciami i prądami źródłowymi
W oparciu o rozwiniecie funkcji okresowej odkształconej w ciąg funkcji sinusoidalnie zmiennych źródło generujące takie napięcie lub prąd przedstawiamy jako ciąg źródeł połaczonych szeregowo ( napięciowe) lub równolegle ( prądowe)
Do analizy obwodu wykorzystujemy metodę superpozycji.
Rozwiązujemy układ dla każdej harmonicznej napięcia zasilającego ( lub prądu zasilającego ) oddzielnie a wyniki otrzymane dla każdej harmonicznej sumujemy .
Jeżeli
u = U
U sin kω t ϕ
0 + ∑
mk
( 0 + uk )
k =l
∞
oraz
i = I
sin
0 + ∑ I
kω t
0
+ϕ
k
m
(
k
i )
k =l
to
U 0
u 1
un
oraz
I 0
i 1
in
Wpływ indukcyjności i pojemności na wyższe harmoniczne prądu i napięcia
Liniowa cewka o indukcyjności L
I
U
ω
m
m
L
Um 1
k
k
0
k
=
⋅
=
⋅
I
kω L U
U
k
m
0
m
m
1
1
1
dla wyższych harmonicznych k >1, więc I
U
m
m
k
k
<
I
U
m
m
Liniowy kondensator o pojemności C
1
1
I
U kω C
U
U
m
m
0
m
m
k
k
=
= k
k
k
>
I
U ω C
U
U
1
m
1
m
0
1
m
1
m
Moc okresowych prądów niesinusoidalnych Moc czynną dla prądów okresowych – definiuje wzór T
1
p = u ⋅ i
P =
∫ p d t
T
moc chwilowa
0
Z tw. Parsevala wynika:
T
∞
1
∗
P =
∫ u ⋅ i t
d = ∑ V W
k ⋅
k
T
k =−∞
0
∞
1
P =
∫ u ⋅ i t
d = ∑
∗
V W
k ⋅
k
T
k
0
=−∞
gdzie:
V , W
k
k
- są współczynnikami zespolonej postaci szeregu Fouriera
C − j B
uk
uk
V =
(1)
dla napięcia
k
2
C − j B
k
i
k
i
W =
(2)
dla prądu
k
2
V
W
∗
V W
V W
k
k +
∗
k
k =
k ⋅
∗
k +
− k ⋅
∗
− k =
2 R {
∗
=
e V W
k
k }
Po podstawieniu (1) i (2) otrzymujemy 1
V W
V
W
( C C + B C (3)
uk
k
i
uk
k
i )
k ⋅
∗
k +
− k ⋅
∗
− k = 2
=
ϕ
u
B
U cos
k
k
m
uk
uk
k
m
uk
C = I sinϕ
B = I cosϕ
i
m
i
k
i
k
m
k
i
k
k
kz
prawą stronę wyrażenia (3) możemy zapisać w postaci: ( ) = 1
3
( U sinϕ I sinϕ U cosϕ I cosϕ
m
u ⋅
k
k
k
m
k
i ) =
m
u ⋅
m
i
+
k
k
k
k
2
= 1 U I cos ϕ
ϕ
U
I
cosϕ
k
m
k
m
( u −
k
k
i
)=
2
4
1 4
23
m
m
k
k
k
ϕ k
∗
C
C
u
i
dla składnika zerowego:
0
0
V W =
⋅
= U ⋅I
0
0
0
0
2
2
∞
P = U ⋅ I + ∑ U ⋅ I ⋅ cos 0
0
ϕ
k
k
k
k 1
=
podobnie
∞
Q = ∑ U ⋅ I ⋅ sin ϕ
k
k
k
k 1
=
natomiast
S = U ⋅ I
p
sk
sk
moc pozorna
2
2
2
P + Q ≤ S p
2
2
2
2
P + Q + T = S p T – moc zniekształcenia