Algebra liniowa z geometrią analityczną

Lista 1

Zadanie 1. Określ wykonalność zwykłego dodawania, odejmowania, mnożenia i dzielenia w zbiorach liczbowych: N , Z , Q , Q ∗, R+ , R ∗, R , IQ.

Zadanie 2. Zbadaj własności, tzn. przemienność, łączność, istnienie elementu neutralnego, istnienie elementów przeciwnych (odwrotnych), następujących działań: (i) ◦: R × R → R określone wzorem a ◦ b = a + b + 1, (ii) ⋄: R2 × R2 → R2 określone wzorem ( a, b) ⋄ ( c, d) = ( a + c, b − d), (0 , dla a + b parzystych ,

(iii) ∗: A × A → A określone wzorem a ∗ b =

gdzie A =

1 ,

dla a + b nieparzystych ,

{ 0 , 1 , 2 , . . . , 10 }.

(iv) działanie # określone na zbiorze Q wzorem a# b = a+ b .

2

Zadanie 3. W zbiorze A = {a, b, c, d, e} określamy działanie dwuargumentowe. Zbuduj tabelkę tego działania tak, aby:

(i) działanie to było przemienne,

(ii) element a był elementem neutralnym tego działania, (iii) ab = ba = cd = dc = b.

Zadanie 4. Dla danego n ∈ { 2 , 3 , 4 , 6 } zbuduj tabelki działań + n oraz ·n. Określ ich własności. Który ze zbiorów Z n z tymi działaniami jest ciałem?

Zadanie 5. Oblicz

(i) 3 + 4 , 3 · 4 , 3 − 4 , 3 · 2 − 2 w ciele Z2, (ii) 3 − 1 w ciałach Z5 , Z7 , Z11 , Z13, (iii) 412(52 − 6)(2 · ( − 3)) − 1 w ciele Z11.

Zadanie 6. Zbadaj własności składania przekształceń w zbiorze izometrii własnych (i) trójkąta równobocznego,

(ii) prostokąta,

(iii) kwadratu.

Algebra liniowa z geometrią analityczną

Lista 2

Zadanie 1. Sprawdź, czy

(i) zbiór R wraz z działaniem a ∗ b = a + b + 5, (ii) zbiór Z z działaniem a# b = ( − 1) ab + ( − 1) ba, (iii) zbiór R z działaniem a · b = ab + a + b.

tworzy grupę.

Zadanie 2. Znajdź takie liczby rzeczywiste a i b, aby (i) a(2 + 3 i) + b(4 − 5 i) = 6 − 2 i,

√

√

(ii) a( − 2 + i) + b(3 2 + 5 i) = 8 i, (iii) a(4 − 3 i)2 + b(1 + i)2 = 7 − 12 i.

Zadanie 3. Przedstaw w postaci algebraicznej następujące liczby zespolone: (i) (2 + i)(4 − i) + (1 + 2 i)(3 + 4 i), (3 + i)(7 − 6 i)

(ii)

,

3 − i

2 + 3 i

(iii) (1 + 2 i) i +

.

1 − 4 i

Zadanie 4. Rozwiąż podane równania w liczbach zespolonych: (i) |z| + 2 z = 11 + 8 i,

(ii) z 2 + (2 − 4 i) z + 1 − 4 i = 0, (iii) |z| − 2 z = − 1 − 8 i.

Zadanie 5. Oblicz:

(1 + i)17

(i)

√

,

(2 − 2 3 i)3

(1 − i)15

(ii)

√

,

(2 + 2 3 i)3

√

(iii) 3 4 + 4 i,

√

(iv) 4 − 64 i.

Algebra liniowa z geometrią analityczną

Lista 3

Zadanie 1. Które z podanych zbiorów są ciałami względem zwykłych działań dodawania i mnożenia liczb:

(i) Z,

(ii) { 0 , 1 },

√

(iii) K = {a + b 2 : a, b ∈ Q }.

Zadanie 2. Czy zbiór liczb rzeczywistych z działaniami ⊕ i ⊗ zdefiniowanymi następująco a ⊕ b = a + b + 1 ,

a ⊗ b = a + b + ab

jest ciałem?

Zadanie 3. Czy zbiór par liczb wymiernych z działaniami ⊕ i ⊗ zdefiniowanymi następu-jąco

( a, b) ⊕ ( c, d) = ( a + c, b + d) , ( a, b) ⊗ ( c, d) = ( ac, bd)

jest ciałem?

Zadanie 4. Czy zbiór par liczb rzeczywistych z działaniami ⊕ i ⊗ zdefiniowanymi nastę-

pująco

( a, b) ⊕ ( c, d) = ( a + c, b + d) , ( a, b) ⊗ ( c, d) = ( ac − bd, ad + bc) jest ciałem?

Algebra liniowa z geometrią analityczną

Lista 4

Zadanie 1. Na płaszczyźnie zespolonej zaznacz zbiory:

• A = {z ∈ C : 5 π ¬ Arg[( i + 1) z] },

= 15 },

3

• D = {z ∈ C : Re

z

z+2 i

z

• B = {z ∈ C : −i

z+3 i < 1 }

• E = {z ∈ C : Im( |z| 2 + z 2) = 4 }, z−i

• C = {z ∈ C : |z| 2 = 4 Re z}

• F = {z ∈ C : z 2+1 = 6 }.

Zadanie 2. Przedstaw w postaci trygonometrycznej następujące liczby zespolone:

√

√

√

3

(i) 1 + i,

(ii) − 1 + i 3 ,

(iii) − 3 − i,

(iv) 1 + i

,

(v) sin α − i cos α.

3

Zadanie 3. W zbiorze liczb zespolonych rozwiąż następujące równania: z 3

z 5 |z| 3

(i)

√

= |z|,

(iii)

√ = z 2(1 + i),

( − 1 − i 3)4

i − 3

z 3

(iv) z = z 3.

(ii)

√

z = |z| 3,

( − 1 − i 3)2

Zadanie 4. Na płaszczyźnie zespolonej zaznacz następujące liczby zespolone oraz liczby z nimi sprzężone: 2 + i, 2 − i, − 3 + 4 i, 2, 3 i, 5 i − 4. Oblicz moduły tych liczb.

Zadanie 5. Wyznacz wszystkie liczby zespolone z spełniające równania:

√

1 − i 3

8 cos 3 π + i sin 3 π 10

(i)

z 3 =

8

8

,

2

cos 5 π + i sin 5 π

4

4

√ 10

8 1 −i 3

3 π

3 π 9

2

(ii)

cos

+ i sin

z 4 =

.

8

8

cos 5 π + i sin 5 π 5

4

4

√

Zadanie 6. Wiedząc, że ω =

3 + 1 i oblicz wartość wyrażenia:

2

2

ω 100 + ω 200 + ω 300 + · · · + ω 3000 .

Zadanie 7. W liczbach zespolonych rozwiąż układ równań





(1 + i) z 1 + (1 − i) z 2 = 1 + i



(1 − i) z 1 + (1 + i) z 2 = 1 + 3 i Zadanie 8. Wyznacz i zaznacz na płaszczyźnie zbiór liczb zespolonych spełniających: (i) |z − 1 | = 1 ,

(ii) |z + 2 − i| = 3 ,

(iii) |z − 1 | = |z + 1 |,

(iv) |z − z| = 2 .

Algebra liniowa z geometrią analityczną

Lista 5

Zadanie 1. Wyznacz iloraz i resztę z dzielenia wielomianu f przez g dla: (i) f = 5 x 3 + 2 x 2 − x − 7, g = x 2 + 3 x − 1 w Z[ x], (ii) f = 3 x 3 − 2 x + 4, g = x 4 + 1 w Q[ x], (iii) f = 2 x 4 − 5 x 2 + 2 x, g = x 2 − 1 w R[ x], (iv) f = z 5 + 3 z 2 + 7 zi − 1, g = z − i w C[ z].

Zadanie 2. Znając niektóre pierwiastki podanych wielomianów rzeczywistych, znajdź ich pozostałe pierwiastki

(i) f = x 4 − 2 x 3 + 7 x 2 + 6 x − 30, x 1 = 1 − 3 i,

√

(ii) f = x 6 − 2 x 5 + 5 x 4 − 6 x 3 + 8 x 2 − 4 x + 4, x 1 = i, x 2 = − 2 i,

√

√

√

(iii) f = x 3 − 3 2 x 2 + 7 x − 3 2, x 1 = 2 + i.

Zadanie 3. Podaj przykład wielomianu zespolonego najniższego stopnia, dla którego liczby 0, 1 − 5 i są pierwiastkami pojedynczymi, a liczby − 1, − 3+ i są pierwiastkami podwójnymi.

Zadanie 4. Podaj przykład wielomianu rzeczywistego najniższego stopnia, dla którego

√

liczby 1 , − 5 , − 2 , 1 − 3 i są pierwiastkami pojedynczymi.

Zadanie 5. Zbadaj rozkładalność wielomianu x 4 − x 2 + 1 nad ciałem R oraz C.

Zadanie 6. Wielomiany zespolone

f = z 2 − 2 zi − 10 ,

g = z 4 + 5 z 2 + 6 ,

h = z 3 − 6 z − 9

przedstaw w postaci iloczynu dwumianów.

Zadanie 7. Podane wielomiany rzeczywiste przedstaw w postaci iloczynu nierozkładalnych czynników rzeczywistych:

f = x 6 + 8 ,

g = x 4 + 4 ,

h = 4 x 5 − 4 x 4 − 13 x 3 + 13 x 2 + 9 x − 9 , r = x 4 + 4 x 3 + 4 x 2 + 1 , s = x 12 + x 8 + x 4 + 1 .

Zadanie 8. Wyraź funkcję wymierną w postaci sumy ułamków prostych nad ciałem liczb zespolonych:

x 2

1

x

p =

,

q =

,

r =

,

( x − 1)( x + 2)( x + 3)

x 4 + 4

( x 2 − 1)2

5 x 2 + 6 x − 23

x 2 + 2 x

s =

,

t =

.

( x − 1)3( x + 1)2( x − 2)

( x 2 + 2 x + 2)2

Zadanie 9. Wyraź funkcję wymierną w postaci sumy ułamków prostych nad ciałem liczb rzeczywistych:

x 2

1

x

1

a =

,

b =

,

c =

,

d =

,

x 4 − 16

x 4 + 4

( x + 1)( x 2 + 1)2

( x 4 − 1)2

12

1

x 2 + 1

e =

,

f =

,

g =

.

( x − 1)( x − 2)( x − 3)( x − 4) x 3 + x

x 3( x + 1)2

Algebra liniowa z geometrią analityczną

Lista 6

Zadanie 1. Rozwiąż metodą eliminacji Gaussa. Jeżeli to możliwe wskaż rozwiązania szcze-gólne.



x





1 + x 2 + 2 x 3 + 3 x 4

= 1







3 x 1 − x 2 = 5















3 x 1 − x 2 − x 3 − 2 x 4 = − 4

(i)

− 2 x

(vii)

1 + x 2 + x 3

= 0





2 x





1 + 3 x 2 − x 3 − x 4

= − 6







2 x 1 + x 2 + 4 x 3 = 15









x 1 + 2 x 2 + 3 x 3 − x 4 = − 4





x 1 + 2 x 2 − x 3 = 1











x 1 − x 2 + x 5 = 0

(ii)



x



1 + 2 x 2 − x 3

= − 1











x





2 − x 4 + x 6

= 0







x



1 + 2 x 2 − x 3

= 5



(viii)

x 1 − x 2 + x 5 − x 6 = 0











2 x 1 − x 2 − x 3 = 4



x 2 − x 3 + x 5 − x 6 = 0















(iii)

3 x





1 + 4 x 2 − 2 x 3

= 11



x 1 − x 4 + x 5 = 0









3 x 1 − 2 x 2 + 4 x 3 = 11





3 x − 2 y + 4 z = 0

(ix)





3 x 1 + 2 x 2 + x 3 = 5



2 x − 3 y + 5 z = 0







(iv)

2 x 1 + 3 x 2 + x 3 = 1





2 x





1 + 7 x 2 + 3 x 3 + x 4

= 6







2 x



1 + x 2 + 3 x 3

= 11



(x)

3 x 1 + 5 x 2 + 2 x 3 + 2 x 4 = 4











2 x 1 + x 2 − 4 x 3 = 0



9 x 1 + 4 x 2 + x 3 + 7 x 4 = 2







(v)

3 x 1 + 5 x 2 − 7 x 3 = 0





x





1 + x 2

= 0







4 x



1 − 5 x 2 − 6 x 3

= 0









x



1 + x 2 + x 3

= 0









2 x







1 + x 2 − 5 x 3 + x 4

= 8



x 2 + x 3 + x 4 = 0







(xi)



.



.



x 1 − 3 x 2 − 6 x 4 = 9



.

(vi)













2 x





2 − x 3 + 2 x 4

= − 5



xn





− 2 + xn− 1 + xn

= 0















x 1 + 4 x 2 − 7 x 3 + 6 x 4 = 0





xn− 1 + xn = 0

Algebra liniowa z geometrią analityczną

Lista 7

Zadanie 1. Oblicz wyznaczniki następujących macierzy:













2 3

sin x − cos x

1 + i

− 1

(i) 

,

(iv) 

,

(vii) 

,

2 1

cos x

sin x

2 i

1 + i













log b a

1

a + bi

c + di

cos x + i sin x

1

(ii) 

,

(v) 

,

(viii) 

,

1

log a b

−c + di a − bi

1

cos x − i sin x













0 a 0

1 2 3

sin x cos x 1













(iii)  b c d,

(vi) 5 1 4,

(ix) sin y cos y 1

























0 e 0

3 2 5

sin t

cos t

1

Zadanie 2. Oblicz wyznaczniki następujących macierzy:









1

z

z 2

√

1

1

1





1

3





4 π

4 π

(i)  z 2

1

z  dla z = − + i

,

(ii) 1

z

z 2 dla z = cos

+ i sin

.





2

2





3

3









z

z 2

1

1 z 2

z

Zadanie 3. Wykorzystując rozwinięcie Laplace’a oraz własności wyznaczników oblicz wyznaczniki macierzy:





1 2 3 4

















− 3 3 x

1

x

z

428 430

5

6 7 8









(i)















 ,

(ii) 

 ,

(iii)

4

4 y ,

(iv)

1 x + z

z

,









429 431

 a

b

c

d

















5

5 z

1

x

z + u

6 5 4 3









0 0 0 1

4 2 2 2

















1 1 1

sin2 x cos2 x 1

2

4 1 0

2

4 2 2









(v) 

















 ,

(vi) 

 ,

(vii)

1 2 3 ,

(viii)

sin2 y cos2 y 1 ,









0 0 2 3

2 2 4 2

























4 6 8

sin2 t

cos2 t

1

1 1 2 3

2 2 2 4





1

1

1

1

1









1001 1002 1003 1004

1 1

7

8

















 7

2

2

2

2

1002

1003 1001 1002

2

2

8

0





(ix) 













 ,

(x) 

 ,

(xi)  8

9

3

3

3 .

1001 1001 1001 1001

3 1 11 4

























10

11 12

4

4

1001 1000

999

998

4 2 10 3









13 14 15 16 5

Zadanie 4. Dla macierzy





1 2









1 − 1

A = 0 1 ,

B = 











2

3

3 3

wykonaj działania AB + 2 A, BAT , B 2 + B, AB − 3 B.

Zadanie 5. Oblicz:













1

2

0

1

1





1 − 1 − 2









1

0

2





(i)  − 1 − 1 3 ·  2

3 ,

(ii)







 ·

2

1

1

.





















− 1 3 − 2





0

4

1

− 1 0

0

1

1

Zadanie 6. Oblicz:









2 + i

1

− 1

2 − i

1

− 1









(i) det  0

3

i  ,

(ii) det  3

−i

2  .

















2

−i

1

1

0

i

Zadanie 7. Oblicz:









1 2 3 4 5

1 0 0 0 5

















0

1 2 3 4

2

1 0 0 0









(i) det 







0

0 1 2 3 ,

(ii) det 3 2 1 0 0 .

















0

0 0 1 2

4

3 2 1 0

















4 0 0 0 1

5 4 3 2 1

Zadanie 8. Wykorzystując odpowiednio macierz odwrotną wyznacz X:





2 1 0









2

1

3

(i) X · 0 0 1 = 

 ,









6 − 1 4

3 2 3





1 0 0









4 1

3

(ii) X · 0 2 1 =

.













2 0 − 1

3 3 2

Algebra liniowa z geometrią analityczną

Lista 8

Zadanie 1. W ciele liczb zespolonych, stosując wzory Cramera, rozwiąż układ:







2 x + 2 y + z = 4 + i



2 x + 2 y + z = 2 + i













(i)

x + zi = − 1

(ii)

x + zi = 0















x − 2 y + z = i − 4



x − 2 y + z = 1 + i

Zadanie 2. Dla jakich wartości parametru k podany układ równań jest układem Cramera?



2 x + 2 y + kz + 4 t = 0















x + 2 y + 8 t = 3



x + ky + k 2 t = − 8













x + 3 y + 9 t = 0

Zadanie 3. Za pomocą operacji na kolumnach (wierszach) ustal rząd macierzy:









0 1 1 1

24 19 36

72





− 38

2 1

3





















1 0 1 1

49 40 73 147

− 80

(i)









1

2 − 1

(ii) 



(iii) 



















1 1 0 1

73 59 98 219 − 118









3 3

2









1 0 1 1

47 36 71 141

− 72

Zadanie 4. Ustal rząd macierzy obliczając wyznaczniki jej minorów:









111 22 3

2 1

3

4

5





2 − 1 3 − 2 4





















222 33 4

3 1

2

5

4

(i)









4 − 2 5

1

7

(ii) 



(iii) 



















333 44 5

5 2

5

9

10









2 − 1 1

8

2









444 55 6

1 0 − 1 2 − 1

Zadanie 5. W zależności od parametru λ wyznacz rząd macierzy:





3 1

1

4









1

λ

− 1 2

 λ

4 10 1





(i) 









 ,

(ii)

2 − 1

λ

2 .





1 4 17 3













1

10

− 6 1

2 2

4

3

Algebra liniowa z geometrią analityczną

Lista 9

Zadanie 1. Dla jakich wartości parametrów p, k podany układ posiada rozwiązania nieze-rowe:





4 px

px



1 + x 2 + x 3 + x 4

= 0



1 + x 2 + x 3 + x 4

= 0























2 x 1 + (2 + p) x 2 + x 3 + 2 x 4 = 0



x 1 + (1 + p) x 2 + x 3 + x 4 = 0

(i)

(ii)



x



x



1 + x 2 + (3 + p) x 3 + x 4

= 0



1 + x 2 + (2 + p) x 3 + x 4

= 0



















2 x 1 + 2 x 2 + (3 + p) x 3 + 2 x 4 = 0



2 x 1 + 2 x 2 + (3 + p) x 3 + 2 x 4 = 0



x



− ky − 3 z = 0













px + y + 5 z = 0

(iii)



2 x + ky + z = 0













x + y − z = 0

Zadanie 2. Dla jakich wartości parametru a rozwiązanie poniższego układu jest zbiorem jednoelementowym?





ax + y + z = 1







x + ay + z = a









x + y + az = a 2

Zadanie 3. Zbadaj warunki istnienia rozwiązania układu:





ax + by = 2 ab



bx + ay = a 2 + b 2

Zadanie 4. Rozwiąż układy korzystając z twierdzenia Kroneckera-Capelle’go:







2 x + 3 y − t = 1



x + y + z = 1













(i)

x − y + t = 1

(iv)

2 x + 2 y + 2 z = 3















3 x + 2 y = 2



3 x + 3 y + 3 z = 5







x − y + 3 z = 4



2 x − 3 y + 5 z = 4













(ii)

2 x − y + z = 3

(v)

x + 4 y − z = 3















x − 2 z = 7



3 x − 10 y + 11 z = 5





x + y + z = 2







(iii)

2 x + 2 y + 2 z = 4









3 x + 3 y + 3 z = 6