m a t e m a t y k a

M i c h a ł S z u r e k

TEKST

Podobno Stańczyk, błazen króla Zygmunta

temu, a materia³ wiêkszy. Co to jest nauczanie algoryt-

Starego, wykazał eksperymentalnie, że naj- miczne? To podawanie gotowych przepisów, bez ich uzasadniania. Trzeba du¿ej kultury i umiejêtnoœci

ŁATWY

więcej jest lekarzy. Udawał, że bolą go zęby... nauczyciela, ¿eby tak uczeni uczniowie polubili ma-i od każdego spotkanego przechodnia otrzy- tematykê.

Nie wchodz¹c w ma³o interesuj¹cy Czytelnika

!

mywał rady, co robić. Dzisiaj wszyscy „znają temat organizacji nauczania, pomyœlmy w ogóle o algo-

!

rytmach. Niektóre dawne Ÿród³a podawa³y, ¿e s³owo to

!

się” na oświacie. Każdy wie, jaki powinien

pochodzi od greckiego algiros (bolesny) i arithmos (liczbyć program szkolny. Wszyscy powtarzają

ba), bo przecie¿ ju¿ Euklides zna³... algorytm Euklidesa chórem, że szkoła ma uczyć myślenia. Taka

(to sposób wyznaczania najwiêkszego wspólnego dziel-

nika dwóch liczb, przypominamy go w ramce ni¿ej,

jednomyślność na ważne poglądy zdarzała

obok algorytmu na kleik). Dziœ jednak nikt nie kwestio-

się w PRL – przynajmniej według rządzących. nuje, ¿e termin pochodzi od nazwiska arabskiego mêdrca Al-Chwarizmiego.

We wczesnym i œrodkowym œredniowieczu arab-

scy zdobywcy mieli zwyczaj niespotykany przedtem

Jak w ogóle mo¿na podwa¿aæ pogl¹d, ¿e szko³a ma (irzadko potem) wœród wszelkiego rodzaju konkwista-uczyæ myœlenia? Przede wszystkim przez dzia³anie:

dorów. Mianowicie nie niszczyli oni zastanej kultury, nie przez stworzenie szkole takich warunków, ¿e zada-palili ksi¹g - a starali siê w³aœnie przyswoiæ zdobycze nie to stanie siê niewykonalne. To jest z powodzeniem

myœli tych, których podbili. Dlatego nie wyrzucili na

realizowane przez w³adze oœwiatowe. Ale nie o tym

œmietnik greckich papirusów, tylko po prostu prze³o¿yli chcia³em pisaæ.

je na arabski... i w ten sposób ocalili je dla kultury

Slogan „szko³a ma uczyæ myœlenia” jest podobny

europejskiej, zostawiaj¹c na pami¹tkê kilka terminów

do komunistycznego has³a „wszyscy bêd¹ szczêœliwi,

matematycznych, miêdzy innymi algebra i algorytm.

a ka¿demu bêdzie dane wed³ug jego potrzeb”. Piêkne

Algorytm to po prostu przepis na osi¹gniêcie

i s³uszne - tylko utopijne. Dlaczego? Z dwóch wzglê-

zamierzonego celu. Ma byæ niezawodny, ma dawaæ ja-dów. Po pierwsze, z powodu znacznego zró¿nicowania

sne instrukcje: zrób tak a tak, a efekt murowany. Z al-

poziomu uczniów. Wiersza wszyscy naucz¹ siê na pa-

gorytmami spotykamy siê zatem na co dzieñ. Jak dojœæ

miêæ, wszyscy w zbli¿onym czasie - no, mo¿e jedni dwa

na Œwinicê? Niebieskim szlakiem z KuŸnic na Halê G¹-

razy szybciej ni¿ inni. Skomplikowanych rozumowañ

sienicow¹, potem zielonym na Prze³êcz Œwinick¹ i czer-

niektórzy nie pojm¹ w ogóle, inni chwyc¹ w mgnieniu

wonym w lewo (uwaga: nie w prawo) pod górê. Gdy

oka. Ale z tym mo¿na by sobie daæ jakoœ radê. Praw-

ju¿ nie mo¿na iœæ pod górê, jesteœmy u celu wycieczki.

dziwa trudnoœæ jest w samej zasadzie. Zastanówmy

Algorytm zadzia³a³. A jak robimy bigos? Po najrozmait-

siê, co jest wa¿niejsze: umieæ myœleæ czy mieæ wiado-

sze algorytmy odsy³amy Czytelnika do ró¿nych ksi¹¿ek

moœci? Znów wszyscy powiedz¹, ¿e oczywiœcie „umieæ

kucharskich, a autor tej ksi¹¿ki ma w³asny przepis...

myœleæ”.

rodzina twierdzi, ¿e elegancki i efektywny.

Nie. Tak jak organizmowi nie wystarczy kroplów-

Czy pamiêtamy jak rozwi¹zuje siê równania

ka, tak i rozumowanie przeprowadzamy, kojarz¹c fa-

kwadratowe? Przypomnijmy: je¿eli równaniem jest

M

kty. Musimy te fakty znaæ. Nie mo¿na zas³aniaæ siê

ax 2 + bx + c = 0, gdzie a =/ 0, ŁODY

wykrêtem, ¿e rozumiemy tabliczkê mno¿enia. Musi

to je¿eli liczba ∆ = b 2 – 4 ac jest ujemna, rozwi¹zañ rze-byæ ona na bie¿¹co w naszej „pamiêci operacyjnej”.

czywistych nie ma. Je¿eli ∆ > 0, to mamy dwa rozwi¹-

Pogl¹d, ¿e „szko³a ma uczyæ myœlenia”, uwa¿am nawet

zania

TECHNIK

za szkodliwy! Tak. Nie dlatego, ¿e jest fa³szywy, a dlatego, ¿e realizowany bez nale¿ytej refleksji sprawi, ¿e 1 = - - D

, x

b

2 = - + D

x

b

,

a

2

a

2

wiedza ucznia bêdzie powierzchowna.

W matematyce skazani jestœmy na nauczanie

a je¿eli ∆ = 0, to mo¿na stosowaæ ka¿dy z obu wy¿ej

algorytmiczne - zw³aszcza w sytuacji, kiedy liczba go-podanych wzorów, bo dadz¹ ten sam pierwiastek. To

50

dzin lekcyjnych jest dwa razy mniejsza ni¿ 30-40 lat

ca³a (no, prawie) teoria równañ kwadratowych. W ka¿-

7/2004

„ s z k o ł a m a u c z y ć m y ś l e n i a ” t o p o g l ą d f a ł s z y w y i s z k o d l i w y dym razie to kompletny przepis na znajdowanie pier-Zupe³nie dobry jest natomiast stary sposób geo-

wiastków. Niekiedy nie najlepszy, ale zawsze doprowa-

metryczny: oblicz obwód kwadratu wpisanego w okr¹g dzaj¹cy do celu. Po prostu... algorytm.

o promieniu 1. WyprowadŸ wzór na d³ugoœæ boku 2 n-k¹-

ta wpisanego w okr¹g, je¿eli znana jest d³ugoœæ boku

Przepis na wyznaczenie najwiêkszego wspólnego

n-k¹ta foremnego. Obliczaj d³ugoœci boków kolejnych dzielnika dwóch liczb naturalnych

wielok¹tów foremnych: oœmiok¹ta, szesnastok¹ta, trzy-

Podzieliæ pierwsz¹ z liczb przez drug¹, otrzy-

dziestodwuk¹ta,..., a - sumuj¹c - otrzymasz dowolnie

muj¹c iloraz i resztê. Je¿eli reszta jest zerem, to NWD

dok³adne przybli¿enie π. Ju¿ 62 razy wystarczy do 35

jest równe drugiej liczbie. Jeœli nie, to przemianowaæ

miejsc po przecinku. Dziœ jest to kilkanaœcie sekund

drug¹ na pierwsz¹, zaœ resztê na drug¹. Dzieliæ dalej,

dla komputera, ale na pocz¹tku XVII wieku Holender

a¿ reszta stanie siê zerem. Podawaæ bez mas³a.

Ludolf van Ceulen wraz z ¿on¹ zu¿yli na to lata pracy.

Dlatego π nazywa siê niekiedy ludolfin¹.1)

Wzorem na d³ugoœæ boku 2 n-k¹ta foremnego w za-

Algorytm na kleik z kaszy manny (grysikowy)

le¿noœci od d³ugoœci boku n-k¹ta jest

Wodê zagotowaæ. Rozmieszaæ kaszê z ma³¹ ilo-

œci¹ zimnej wody. Wlaæ zawiesinê na wrz¹c¹ wodê.

2

x

xn

=

2- 2 - 1

Gotowaæ powoli, ci¹gle mieszaj¹c, osoliæ. Podawaæ

2 n

4

z mas³em.

Kuchnia Polska, PWE, W-wa 1975, str. 193.

Poniewa¿ dla kwadratu wpisanego w ko³o o pro-

mieniu 1 mamy x4 = 2 , wiêc oœmiok¹t foremny ma

Co jest wa¿ne w algorytmie? Po pierwsze, musi

bok d³ugoœci

byæ poprawny. Musi dawaæ gwarancjê, ¿e nic nie wy-

1

buchnie, nie wykipi, nigdzie nie pojawi siê zero w mia-

x8 =

-2 2 =

- 2

2 ,

nowniku. Zero w mianowniku to dla matematyka ni-

2

czym dla gospodyni domowej przypalenie indyka przed

a dla 64-k¹ta mamy efektownie wygl¹daj¹c¹ formu³ê:

obiadem, na który ma przyjœæ teœciowa: wszystko siê

wali. Algorytm musi byæ zatem sprawdzony i to nie tak,

¿e „a, piêtnaœcie razy siê uda³o, to i za szesnastym bê-

x 64 = 2- + 2 + 2 + 2

2 ;

dzie dobrze”. To kryterium - wystarczaj¹ce dla algoryt-

mów na bigos lub placek ze œliwkami - nie nadaje siê

co jest równe w przybli¿eniu 0,0981. Mno¿¹c to przez 32, ani do wycieczki na Zawrat (wspomnijmy choæby zimê

otrzymamy znan¹ przybli¿on¹ wartoœæ liczby π = 3,14.

i lawiny), ani tym bardziej do równañ matematycznych,

Pamiêtajmy, ¿e obwód ko³a o promieniu r to 2π r.

gdzie wszystko ma byæ przecie¿ dowiedzione z ca³¹

Podstawowym elementem algorytmu jest najczê-

precyzj¹, na jak¹ staæ logikê. Dowód poprawnoœci na-

œciej pêtla. Bardzo czêsto w algorytmach pojawia siê

wet prostego algorytmu mo¿e byæ trudnym zadaniem.

pêtla: powtarzalna czynnoœæ, wykonywana a¿ do uzy-

Ale zadanie to jest wa¿ne: matematyka musi dawaæ

skania ¿¹danego efektu (kolejne dzielenie w algoryt-

pewnoϾ...

mie Euklidesa, wyrabianie ciasta, jednostajny ruch

Algorytm musi byæ szybko zbie¿ny: szybko do-

pêdzlem lub wa³kiem z farb¹ po œcianie). Ju¿ pierwsze

prowadzaæ do celu. Gospodynie domowe te¿ chwal¹

„praprogramy” w „prehistorii prakomputerów” - mam

siê kole¿ankom: wiesz, mam fantastyczny przepis, bar-

tu na myœli silnik analityczny Charlesa Babbage’a z lat dzo szybki i sernik wychodzi znakomity. A ¿eby nie po-trzydziestych XIX wieku - by³y pisane w formie pêtli,

dawaæ tylko przyk³adów kulinarnych: dziêki postêpom

a programistk¹ by³a Augusta Ada Lovelace, córka...

technologii malowanie mieszkania mo¿e byæ dzisiaj

lorda Byrona.

przyjemnoœci¹, a nie udrêk¹ jak 30 lat temu.

Pomówimy natomiast dok³adniej o indukcji i re-

Ale mamy rozmawiaæ o matematyce. Wiadomo

kursji. Pierwszy termin pochodzi od ³aciñskiego induc-z analizy matematycznej, ¿e nastêpuj¹cy wzór móg³by

tio (= wp³yw, wszyscy uczyliœmy siê o indukcji elektro-s³u¿yæ do obliczenia liczby π:

magnetycznej, a na lekcjach matematyki w szkole o in-

dukcji zupe³nej). Algorytm indukcyjny to taki, w któ-

p

Szereg Leibniza:

=

- 1

1

+ 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - K

rym robi siê wszystko po kolei, systematycznie, w na-

4

3 5 7 9 11 13

turalnej kolejnoœci: obieramy ziemniaki, wstawiamy je

Ale uwzglêdniaj¹c tysi¹c pierwszych wyrazów,

do wody, solimy, zapalamy gaz. Wymaga to posiadania

uzyskamy wynik z dok³adnoœci¹ zaledwie do dwóch

od razu planu dzia³ania, a choæ w przypadku gotowa-

cyfr po przecinku. Kiepska dok³adnoœæ. Tylko trochê

nia ziemniaków jest on nieskomplikowany, moglibyœmy

lepszy jest sk¹din¹d ciekawy wzór Wallisa:

pomyœleæ tak: aha, widzia³em kiedyœ, jak mama goto-

M

wa³a kartofle, pamiêtam, ¿e woda musia³a zawrzeæ, no

Ł

p

2× 2× 4× 4× 6× 6× 8× 8× 10× 10× 12× 12× 14× 14×K

ODY

=

to nastawmy wodê. Aha, mówi³a, ¿eby osoliæ, no to

2

3× 3× 5× 5× 7 × 7 × 9× 9× 11× 11× 13× 13× 15×K

wsypmy sól. No, œwietnie, pocz¹tek ju¿ mamy, co te-

TECHNIK

Obliczenie dziesiêciu tysiêcy wyrazów tego ilo-

raz, aha, kartofle, gdzie¿ one s¹, o, mam, no, to wrzu-

czynu zajmie domowemu komputerowi, wyposa¿onemu

camy, stop, jakoœ dziwnie wygl¹daj¹, ju¿ wiem, trzeba

w nieskomplikowany program matematyczny, kilka mi-

je obraæ..., uff, nie wiedzia³em, ¿e to takie trudne, no, nut i otrzymamy wynik z dok³adnoœci¹ do... trzech cyfr

ale wszystko siê uda³o... To jest w³aœnie rekursja: za-

po przecinku.

czynamy od czynnoœci, któr¹ przy indukcji wykonujemy

na koñcu. ➪

dokończenie na stronie 54

51

7/2004

c h e m i a

S t e f a n S ę k o w s k i

I R Y Z O W A N I E S Z K £ A ,

temperaturê topnienia i rozk³adu ni¿sz¹ od temperatu-

C Z Y L I K O L O R Y T Ê C Z Y

ry miêkniêcia szk³a. Po wypaleniu powinny one two-

TEKST

rzyæ na szkle warstewkê dostatecznie wytrzyma³¹ na

Metoda termiczno-chemiczna

œcieranie i mieæ wystarczaj¹c¹ odpornoœæ na dzia³anie

Proponowana przez nas w poprzednim odcinku,

wody.

Ś

a opisywana teraz metoda zdobienia szk³a polega na

Aby uzyskaæ po¿¹dany efekt iryzacji, u¿yta sól

REDNIO TRUDNY

nadaniu gotowym ju¿ wyrobom szklanym, a wiêc na

metalu musi odpowiednio zmieniæ wspó³czynnik za³a-

przyk³ad dzbankom, kieliszkom, salaterkom, szklankom

mania œwiat³a.

czy kompotierkom, opalizacji, inaczej nazwanej iryzo-Dla powszechnie stosowanych popularnych ga-

waniem. Do ozdobienia tym sposobem równie¿ ko-

tunków szk³a wspó³czynnik za³amania œwiat³a zawiera

nieczny bêdzie piec ogrzewany elektrycznie lub ga-

siê w granicach 1,5-1,6. Natomiast wartoœæ wspó³czyn-

zowo, w którym da siê zdobione przedmioty szklane

nika za³amania œwiat³a warstewki musi byæ znacznie

ogrzewaæ powoli do temperatury 550-600°C, a nastêp-

wiêksza i przekraczaæ 2,2. Uzyskuje siê to w³aœnie

!!

nie studziæ je te¿ powoli do temperatury otoczenia.

przez wprowadzenie do zewnêtrznej warstewki iryzo-

Iryzowaniem

!

lub jeszcze inaczej - têczowaniem

wanego szk³a tlenków metali.

- nazywamy metodê zdobienia szk³a polegaj¹c¹ na wy-

A oto wspó³czynnik za³amania œwiat³a czystych

tworzeniu na jego powierzchni cienkiej przezroczystej

tlenków kilku metali:

warstewki o po³ysku mieni¹cym siê barwami têczy.

tlenek cyny SnO

1,86

St¹d jeszcze inne okreœlenie - têczowa gra œwiat³a.

dwutlenek tytanu TiO2

2,69

Podobn¹ grê œwiat³a obserwujemy np. na bañ-

trójtlenek cezu Cs2O3

2,20

kach mydlanych podczas ich wydmuchiwania lub na

trójtlenek antymonu Sb2O3 3,01

ka³u¿ach wody zanieczyszczonej produktami naftowy-

Oczywiœcie, ¿e do past stosowanych do iryzowa-

mi. Tê swoist¹ grê ró¿nobarwnych odcieni wywo³uje

nia szk³a nie s¹ stosowane same tlenki wymienionych

zjawisko interferencji promieni œwietlnych. Interferen-

tu metali, ale ich odpowiednie zwi¹zki. Podczas wypa-

cja i zwi¹zana z ni¹ gra kolorów jest nastêpstwem

lania zdobionych wyrobów szklanych zwi¹zki ulegaj¹

m.in. ró¿nych wspó³czynników za³amania œwiat³a dwu

termicznemu rozk³adowi z wytworzeniem aktywnych

ró¿nych oœrodków, a wiêc np. cienkiej warstewki pro-

tlenków, które natychmiast reaguj¹ ze szk³em.

duktów naftowych i wody lub, w naszym konkretnym

Poni¿ej w tabeli podajemy charakterystykê pod-

przypadku, ró¿nych wspó³czynników za³amania œwiat³a

stawowych w³aœciwoœci fizykochemicznych soli metali

samego szk³a i wytworzonej na nim warstewki iryzuj¹-

stosowanych do iryzacji szk³a, a wiêc metali, które w

cej.

wyniku termicznego rozk³adu daj¹ tlenki o wspó³czyn-

Iryzowanie jest doœæ ³atwym do wykonania i sto-

niku za³amania œwiat³a wiêkszym od wspó³czynnika

sunkowo tanim sposobem zdobienia szk³a. Wyniki s¹

za³amania œwiat³a przez szk³o.

efektowne i z te-

go powodu sto-

Tabela 1 - Dane fizykochemiczne soli metali stosowanych do iryzacji szk³a suje siê je do

oraz odpornoœæ na œcieranie powstaj¹cej barwnej warstewki.

zdobienia szkie³

gospodarczych

Stosowana sól metalu

Temperatura °C

Odpornoœæ na œcieranie warstewki

oraz rozmaitej

topnienia

wrzenia

galanterii szkla-

Chlorek cynawy SnCl2

247

623

b. du¿a

nej.

Chlorek tytanu TiCl4

440

rozk³ad

b. du¿a

Warstew-

Azotan bizmutawy Bi(NO3)3

30

80

du¿a

ka iryzuj¹ca do-

Azotan strontu Sr(NO3)2

570

rozk³ad

œrednia

statecznie moc-

Azotan cezu Cs(NO3)3

414

rozk³ad

b. du¿a

M

no przylega do

Tlenek antymonu Sb2O3

73,4

220

œrednia

Ł

powierzchni

ODY

szk³a, jest odporna na dzia³anie wody i doœæ wytrzy-

Podstawowymi solami metali przy iryzacji s¹

ma³a na œcieranie. Szk³o iryzowane zachowuje przezro-

zwi¹zki cyny i tytanu. Chlorki tych metali w stosunko-

TECHNIK

czystoœæ. Tylko promienie odbite od powierzchni szk³a

wo niskiej temperaturze ulegaj¹ rozk³adowi, a przy

s¹ ró¿nobarwne. Przez na³o¿enie na szk³o past zawie-

nadmiarze tlenu z powietrza lub z rozk³adu azotanów

raj¹cych odpowiednie sole metali i nastêpnie jego

³atwo przechodz¹ w aktywne ³¹cz¹ce siê ze szk³em

ogrzanie powodujemy wytworzenie siê na powierzchni

tlenki. Pozosta³e podane w tablicy sole metali spe³nia-

szk³a cieniutkiej, ale trwa³ej i odpornej warstewki iry-j¹ rolê pomocnicz¹, polegaj¹c¹ m.in. na dostarczaniu

zuj¹cej. Sole metali u¿ywane do iryzacji musz¹ mieæ

tlenu czy katalizie rozk³adu termicznego.

52

7/2004

s z k ł o , k t ó r e b a r w a m i t ę c z y s i ę m i e n i Na trwa³oœæ warstewki iryzuj¹cej, przede

czalniki. Samo wykonanie farb iryzuj¹cych sk³ada siê

wszystkim na jej nieœcieralnoœæ i odpornoœæ chemicz-

z nastêpuj¹cych czynnoœci:

n¹, wywiera dominuj¹cy wp³yw temperatura ogrzewa-

1. otrzymanie myd³a ¿ywicznego,

nia szk³a; nie mo¿e byæ ona ni¿sza od 550°C, a po¿¹da-

2. wprowadzenie do myd³a ¿ywicznego soli

ne jest osi¹gniêcie 600°C. Natomiast na gruboœæ war-

metalu,

stewki iryzuj¹cej wp³ywa czas osadzania par na szkle,

3. sporz¹dzenie farby.

który wynosi zwykle 10-15 sekund oraz iloœæ nak³ada-

Otrzymanie myd³a ¿ywicznego

nej pasty.

W 100 cm3 wody rozpuszczamy 1,3 g wodoro-

Chemiczny sk³ad szk³a nie wp³ywa w istotnym

tlenku sodu NaOH i po ogrzaniu do wrzenia dodajemy

stopniu na efekt iryzacji. Iryzowaæ wiêc mo¿emy za-

ma³ymi porcjami 15 g rozdrobnionej kalafonii. Powstaje

równo szk³a o dowolnym sk³adzie chemicznym, jak i in-

wtedy jednorodna szarawa masa myd³a ¿ywicznego. Po

ne wyroby ceramiczne, jak porcelanê i kamionkê.

ostudzeniu i skrzepniêciu myd³o kruszymy na ma³e

Stosowane s¹ trzy sposoby iryzowania szkie³:

kawa³eczki i dok³adnie przemywamy wod¹.

1) sposób hutniczy - polegaj¹cy na osadzeniu

Wprowadzenie soli metalu do myd³a ¿ywicznego

par zwi¹zków iryzuj¹cych na powierzchni gor¹cego

Do 100 g otrzymanego myd³a ¿ywicznego dole-

szk³a, dokonywany w warsztatach hutniczych bezpo-

wamy 200 cm3 wody i ca³oœæ ogrzewamy na ³aŸni pia-

œrednio po ukszta³towaniu szk³a,

skowej do rozpuszczenia. Na gor¹co, stale na ³aŸni pia-

2) sposób pró¿niowy - polegaj¹cy na osadzeniu

skowej, wprowadzamy nasycony wodny roztwór jednej

par zwi¹zków iryzuj¹cych na zdobionym szkle w apa-

z nastêpuj¹cych soli metali:

raturze pró¿niowej,

35 g chlorku ¿elaza FeCl3

3) sposób malarski - polegaj¹cy na nanoszeniu

50 g siarczanu miedzi CuSO4•5H2O

na zdobione szk³o warstwy odpowiednich past - farb

60 g azotanu kobaltu Co(NO3)2•6H2O

iryzuj¹cych i ogrzewaniu ca³oœci do temperatury bli-

50 g chlorku cyny SnCl2

skiej temperaturze miêkniêcia szk³a.

50 g siarczanu manganu Mn2SO4•5H2O

Do iryzowania szk³a sposobem hutniczym stoso-

60 g octanu o³owiu Pb(CH3COO)2•3H2O

wane s¹ nastêpuj¹ce mieszaniny soli metali:

1. chlorek cyny SnCl2

80 g

Po dodaniu roztworu soli ca³oœæ ogrzewa siê i do-

azotan strontu Sr(NO3)2

5 g

k³adnie miesza. Po uzyskaniu jednolitej masy myd³a ¿y-

chlorek wapnia CaCl2

15 g

wiczne z sol¹ studzimy, dok³adnie przemywamy wod¹,

2. chlorek cyny SnCl2

90 g

starannie rozdrabniamy i suszymy.

chlorek baru BaCl2

5 g

azotan bizmutu Bi(NO3)3

5 g

3. chlorek cyny SnCl2

45 g

chlorek tytanu TiCl4

30 g

azotan strontu Sr(NO3)2

10 g

azotan bizmutu Bi(NO3)3

15 g

Iryzowanie metod¹ hutnicz¹ polega na umiesz-

czeniu w specjalnym piecu gor¹cego, dopiero co ufor-

mowanego wyrobu szklanego, i na wprowadzeniu do

tego pieca na gor¹cej ¿eliwnej szufelce jednej z mie-

szanin iryzuj¹cych. Wysoka temperatura ¿eliwnej szu-

felki powoduje natychmiast rozk³ad termiczny soli me-

energia kwantu wzrasta

tali. W wyniku parowania i sublimacji pary metali osia-

daj¹ na gor¹cym szkle i wytwarzaj¹ iryzuj¹c¹ wars-

tewkê.

Oczywiœcie w warunkach amatorskich najodpo-

wiedniejszy jest trzeci z podanych sposobów iryzowa-

długość fali wzrasta

częstotliwość fali maleje

nia szk³a, a mianowicie przez ich pokrywanie odpo-

wiednimi pastami-farbami.

Każda cząsteczka związku metalu wtopionego w szkło w procesie iry-Przy tego rodzaju postêpowaniu na przedmioty

zacji działa jak pryzmat rozszczepiający światło białe na wielobarwne szklane nanosi siê specjalne farby, a po ich wyschniê-

widmo. Oczywiście, że analogia nie jest pełna, bo pryzmat rozszczepia ciu zdobione przedmioty ogrzewa siê (wypala) do tem-

światło na niego padające, natomiast iryzowane szkło rozszczepia peratury miêkniêcia szk³a, tj. do 500-550°C. Po wypale-

światło odbijające się od jego powierzchni. Przy zmniejszaniu się dłu-niu farby na szkle pozostaje cienka iryzuj¹ca warstew-

gości fali energia kwantu (fotonu) wzrasta.

M

ka bezbarwna lub o s³abym zabarwieniu, a niekiedy

ŁODY

o silnym po³ysku metalicznym, co zale¿y od rodzaju

u¿ytych farb.

Sporz¹dzanie farby

TECHNIK

Farby nanosi siê na szk³o szerokimi, miêkkimi

Ka¿de myd³o ¿ywiczne, w zale¿noœci od rodzaju

pêdzlami, rozprowadzaj¹c je tak, ¿eby powstaj¹ca war-

u¿ytych w nim soli metali, nadaje szk³u nieco inny od-

stewka by³a cienka, ale koniecznie równomierna. Od

cieñ. Natomiast zwi¹zki cyny i o³owiu nie tylko iryzuj¹

tego zale¿y póŸniej jednorodnoœæ barwy wyrobu. Farby

szk³o, ale przede wszystkim spe³niaj¹ rolê topników

stosowane do iryzowania szk³a zawieraj¹ myd³o ¿y-

umo¿liwiaj¹cych lepsze zwi¹zanie siê warstewki meta-

wiczne z solami metali, olejki ¿ywiczne oraz rozpusz-

li ze szk³em. Dlatego w³aœnie myd³a ¿ywiczne ze zwi¹z-

53

7/2004

c h e m i a

m a t e m a t y k a

kami cyny i o³owiu miesza siê koniecznie z myd³ami za-

➪ dokończenie ze strony 51

wieraj¹cymi sole innych metali.

Innymi s³owy, myd³o ¿ywiczne z solami cyny

i o³owiu miesza siê teraz w stosunku 1:1 z dowolnym

Co znaczy „zrozumieæ”?

pozosta³ym myd³em i wtedy rozrabia ca³oœæ na ciep³o

– Za mojej m³odoœci to jecha³o siê statkiem do Hame-

w terpentynie. I to jest w³aœnie nasza farba. Tak otrzy-ryki, a potem wysy³a³o list, ¿e wszystko dobrze,

man¹ farb¹ za pomoc¹ pêdzla pokrywamy przeznaczo-

a Jêdrzek od Galiców by³ za bryftrygiera we wsi.

ne do iryzowania wyroby szklane.

Teraz s¹ jakiesi telefony, co to siê w komórce przy

Podsumowanie czynnoœci

domu trzymie. Jak to wszystko dzia³a?

Na powierzchniê przedmiotów przeznaczonych

– Jak to jak, gaŸdzinko? Tak, jak Internet! I przez sa-

do zdobienia nak³ada siê cienk¹ warstwê odpowied-

telitê.

niej farby. Po dok³adnym i ca³kowitym wysuszeniu

– Jezusicku, gadacie, ¿e po prostu tak jak Internet???

masy, przedmioty umieszcza siê w piecu i zaczyna

I bez satelite? Na stare lata zrozumia³am!

powoli podnosiæ temperaturê. Po oko³o godzinie

powinna ona osi¹gn¹æ co najmniej 560°C. Od tej chwili

Indukcyjny algorytm na zdanie egzaminu pole-

ogrzewanie zmniejszamy tak, ¿eby studzenie odbywa³o

ga³by na uczeniu siê wszystkiego po kolei, w logicznej

siê bardzo powoli. Pamiêtajmy i tym razem, ¿e za szyb-

kolejnoœci: najpierw nauczê siê A, bo to jest potrzebne kie studzenie na przyk³ad szklanki wywo³a w niej bar-do B, a bez B nie zrozumiem C. Rekursja polega³aby na dzo silne naprê¿enie, które ju¿ przy lekkim tr¹ceniu

tym: biorê siê za C, ale po chwili odkrywam, ¿e muszê spowoduje rozsypanie siê jej w kawa³eczki.

opanowaæ B, wiêc rozgrzebujê zagadnienie B i nagle Oziêbione do temperatury otoczenia przedmioty

zauwa¿am, ¿e jeszcze nie umiem A. Uczê siê A, na ku-p³uczemy dok³adnie wod¹ po to, ¿eby zmyæ i usun¹æ

pie papierów znajdujê otwarte notatki do B i po opano-resztki farby. Po umyciu na szkle pozostanie mieni¹ca

waniu B wracam do C. Podobnie przy remoncie domu siê kolorami têczy warstewka iryzuj¹ca.

czy samochodu: mo¿na robiæ systematycznie, od pod-

Na tym koñczymy tematykê zdobienia szk³a. !

staw, lub zacz¹æ od rzeczy najbardziej widocznych,

a potem „zobaczymy, co tam w œrodku”.

Algorytmy zawsze nas otacza³y, ale teraz ataku-

j¹ ca³ym frontem. Coraz wiêcej jest urz¹dzeñ, które

umiemy obs³ugiwaæ, nie maj¹c pojêcia o ich naturze.

Jeœli przycisnê tu, to stanie siê to a to. Wszystko do-

brze, póki dzia³a, póki nie trzeba zacz¹æ myœleæ. Ale

skoro mo¿emy siê napiæ zimnej coca-coli, nie anga¿u-

j¹c zbytnio szarych komórek i sprytu, to mo¿e jednak

lepiej zachowaæ myœlenie do spraw powa¿niejszych?

To du¿y problem nie tylko dla najwa¿niejszych osób

w szkole, jakimi s¹ nauczyciele matematyki, ale dla

wszystkich. Czy uczyæ algorytmów (co obejmuje te¿

naukê wielu rzeczy na pamiêæ), czy preferowaæ myœle-

nie? Pozornie sprawa jest jasna: myœlenie, myœlenie

i jeszcze raz myœlenie, bo wszelkie dane mo¿na zna-

leŸæ w encyklopediach i Internecie.

Autor samokrytycznie przyznaje, ¿e powy¿ej

napisa³ bzdurê. Najwa¿niejsi w szkole s¹ rzecz jasna uczniowie. Ale obecnie chyba o tym siê zapomina.

Tylko starsi (co najmniej czterdziestoletni!) Czy-

telnicy pamiêtaj¹, ¿e matematyka i w ogóle nauka by³y

symbolem pewnoœci. „To naukowo stwierdzone”,

„pewne matematycznie”, „mocne jak dwa a dwa czte-

ry” - chwa³a pokoleniom uczonym, które wyrobi³y tak¹

reputacjê nauki. Dziœ powoli utrwala siê inny symbol

niezawodnoœci: „to obliczy³ komputer” Czy w matema-

tyce siê coœ zmieni³o? Czy 2 + 2 jest dalej równe czte-

ry?

Spieszê uspokoiæ zdenerwowanych Czytelników:

jest. Sprawdzi³em na moim domowym komputerze. !

1) O innych, bardziej wymyślnych algorytmach na π piszę na przykład w swoich książkach „Opowieści matematyczne” (WSiP, 1984) i „Opowie-

ści geometryczne” (WSiP, 1995).