1. Grupa Kleina:
• e a b c
e e a b c
a a e c b
b b c e a
c c b a e
Sprawdzić czy jest to grupa cykliczna? Odpowiedź uzasadnić.
2. Znajdź podgrupy grupy Kleina.
3. Obliczyć -1
-3
τ σ, τσ , gdzie
1 2 3 4 5 6 7
1 2 3 4 5 6 7
σ =
, τ =
,
6 3 4 2 5 7 1
3 2 4 6 7 5 1
4. Rozwiązać równania: f2x g-1 =h w grupie S6, gdzie
1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6
=
f
=
g
=
h
3 1 4 2 5 6
2
5 1
2
6
3
3 2
5
6 1
4
5. Przedstawić permutacja
1 2 3 4 5 6 7 8
π =
∈
8
S
3 4 5 2 1 8 7 6
w postaci rozłącznych cykli.
6. Sprawdzić parzystość permutacji
1 2 3 4 5 6 7 8
π =
∈
8
S
2 4 6 5 1 7 3 8
Obliczyć rząd permutacji
200
π. Obliczyć π
.
0
1
7. Obliczyć rząd elementu A =
w grupie SL2(R).
−
−
1
1
1 1
8. Obliczyć rząd elementu A =
w grupie GL2(R).
0 1
9. Jakiego rzędu podgrupy mogą istnieć w grupach addytywnych Z5, Z6, Z12 ? Znaleźć wszystkie podgrupy tych grup
10. Pokaż, że
a
b
H =
∈
≠
a, b
R, a
0
0 1/ a
jest podgrupą grupy GL2(R). Czy jest to podgrupa normalna?
11. Pokaż, że grupa pierwiastków n-go stopnia z 1 tworzy grupę.
12. Wykazać, które z podanych odwzorowań grupy addytywnej liczb całkowitych w siebie są homomorfizmami
f: x → 2x; g: x → x3 ; h: x → 2x+1
Podać jądra tych homomorfizmów.
1. Definicje:
• grupa, podgrupa, grupa abelowa, grupa cykliczna
• podgrupa normalna, warstwy, grupa ilorazowa
• homomorfizm, izomorfizm grupy
• jądro, obraz homomorfizmu
• grupa permutacji, grupa alternująca
• inwersja, cykl, parzystość permutacji