Politechnika Poznańska

Zakład Wytrzymałości Materiałów

Ćwiczenie nr 2

Charakterystyki geometryczne

najważniejsze

Bartosz Ruta

Grupa: 16 Rok akad.:2008 / 2009

Spis treści

1. Zadanie – dane do zadania ………………………………………………………………… 3

2. Kąt nachylenia osi głównych ……………………………………………………………… 4

3. Środkowe główne momenty bezwładności ………………………………………………... 4

4. Momenty bezwładności względem układu osi obróconych o kąt α = - 30º ……………… 4

5. Obliczenia niezmienników ………………………………………………………………… 5

6. Koło Mohra ………………………………………………………………………………... 6

7. Zestawienie wyników ……………………………………………………………………... 7

2

1. Zadanie:

Dla przekroju określonego przez środkowe momenty bezwładności: Ixo = 4 594 012 cm4

Iyo = 6 158 856 cm4

Ixoyo = - 2 839 853 cm4

Wyznaczyć najważniejsze charakterystyki geometryczne:

- kąt nachylenia osi głównych αgł

- środkowe główne momenty bezwładności Ixgł , Iygł

- momenty bezwładności względem układu obróconego od osi X0 o kąt α = - 30 º, Ixα , Iyα , Ixαyα

- niezmienniki w układzie osi X0Y0

- niezmienniki w układzie osi głównych

- niezmienniki w układzie osi obróconych.

Sprawdzenie obliczeń metodą graficzną (koło Mohra lub Landa).

3

2. Kąt nachylenia osi głównych.

− 2 I xoyo

− 2 ⋅ ( 2

− 839 85 )

3

tg 2α

gł =

=

= 3

- , 6

29 6

I

I

xo −

4 594 012

yo

− 6 158 856

arctg(− 6

,

3 29 6) = − 74 6

, 0

2α

/ :2

gł =

7

− ,

4 60

α

0

gl = −37,30

3. Środkowe główne momenty bezwładności.

1

1

I

= ( I + I ) + ( I − I )⋅cos α

2

− I

⋅sin α

2

xgl

xo

yo

xo

yo

gl

xoyo

gl

2

2

1

1

I

= (4 594 012 + 6 158 856) + (4 594 012 − 6 158 856) ⋅ cos( 7

− ,

4 60) − (−2 839 85 )

3 ⋅ sin(−7 ,

4 60) =

xgl

2

2

4

= 5 376 434 − 207 776 9

, 48 6 − 2 737 88 ,

9 226 = 2 430 767 8

, 25 cm

1

1

I

= ( I + I ) − ( I − I ) ⋅ cos α

2

+ I

⋅ sin α

2

ygl

xo

yo

xo

yo

gl

xoyo

gl

2

2

1

1

I

= (4 594 012 + 6 158 85 )

6 −

(4 594 012 − 6 158 85 )

6 ⋅ cos( 7

− ,

4 6 )

0 + ( 2

− 839 85 )

3 ⋅ sin( 7

− 4 6

, 0) =

ygl

2

2

4

= 5 376 434 + 207 776 9

, 48 6 + 2 737 88 ,

9 226 = 8 322 100 1

, 75 cm

4. Momenty bezwładności względem układu osi obróconych o kąt α = -30.

2α = 2 ⋅ (−30°) = −60°

1

1

I

I

I

I

I

I

xα =

( xo +

)

yo

+ ( xo −

)

yo

⋅ cos α

2 − xoyo ⋅ sin α

2

2

2

1

1

I α = (4 594 012 + 6 158 85 )

6 +

(4 594 012 − 6 158 85 )

6 ⋅ cos( 6

− 0 )

° − -

(

8

2 39 8

53 )

⋅ sin(−60 )

° =

x

2

2

4

= 2 525 8381

, 59 cm

1

1

I

I

I

I

I

I

yα =

( xo +

)

yo

− ( xo −

)

yo

⋅ cos α

2 + xoyo ⋅ sin α

2

2

2

1

1

I α = (4 594 012 + 6 158 856) − (4 594 012 − 6 158 856) ⋅ cos(−60 )

° + (−2 839 86 )

3 ⋅ sin(−60 )

° =

y

2

2

4

= 8 227 029 8

, 41 cm

1

I

I

I

I

xα yα =

( xo −

)

yo

⋅ sin α

2 + xoyo ⋅ cos α

2

2

1

4

I α α = (4 594 012 − 6 158 856) ⋅ sin(−60 )

° + ( 2

− 839 86 )

3 ⋅ cos(−60 )

° = −742 329 1

, 71 5 cm

x y

2

4

5. Obliczenie niezmienników:

I

1 = I

+ I

x

y

I I

x

xy

2

I =

= I ⋅ I − I

3

x

y

xy

I I

xy

y

a) Niezmienniki w układzie osi X0Y0: o

0

0

4

I = I

I

x +

y = 4 594 012 + 6 158 856 = 10 752 868 c m

1

o

0

0

2

2

13

12

I = I

I

I

x ⋅

y −

x y

= 4 594 012 ⋅ 6 158 856 − (−2 839 85 ) 3

= 2,829 385 837 ⋅10

8

- ,064 765 062 ⋅10

=

3

0 0

13

8

= 2,022 909 331⋅10 c

m

b) Niezmienniki w układzie osi głównych: gł

gł

gł

4

I

= I

I

x

+ y = 2 430 767 8

, 25 + 8 322 100 1

, 75 = 0

1 752 868 c

m

1

gł

gł

gł

13

8

I

= I

I

x

⋅ y = 2 430 767 8

, 25 ⋅ 8 322 100 1

, 7

5 = 2

,022 909 334 ⋅10 c

m

3

c) Niezmienniki w układzie osi obróconych: α

α

α

4

I

= I

I

x +

y

= 2 525 8381

, 59 + 8 227 029 8

, 41 = 0

1 752 868 c

m

1

α

α

α

2

2

13

I

= I

I

I

x ⋅

y −

α

x

α

y

= 2 525 838 1

, 59 ⋅ 8 227 029 8

, 41 − ( 7

− 42 329 1

, 71 )

5

= 2,078 014 591⋅10

5

-

,510 525 989

3

13

8

= 2

,022 909 331⋅10 c

m

5

Koło Mohra

Imax = 8 322 100,175 cm4

Imin = 2 430 767,825 cm4

Ixα = 2 525 838,159 cm4

Iyα = 8 227 029,844 cm4

Ixαyα = - 742 329 ,171 cm4

Ixo = 4 594 012 cm4

Iyo = 6 158 856 cm4

Ixoyo = - 2 839 853 cm4

α = - 37,300

6

Zestawienie wyników

Środkowe główne momenty

Momenty bezwładności względem układu Kąt nachylenia

bezwładności

obróconego

I

α

xgł

Iygł

Ixα

Iyα

Ixαyα

gł

cm4

cm4

- 37,300

2 430 767,825

8 322 100,175

2 525 838,159

8 227 029,844

- 742 329,171

Niezmienniki w układzie osi

Niezmienniki w układzie osi

Niezmienniki w układzie osi

X0Y0

głównych

obróconych

I 0

0

gł

gł

α

α

1

I3

I1

I3

I1

I3

cm4

cm8

cm4

cm8

cm4

cm8

10 752 868

2,022 909 331*1013

10 752 868

2,022 909 331*1013

10 752 868

2,022 909 331*1013

7