Wykład 01/2010N

Układy odniesienia.

Układy współrzędnych. Wektory

1) Posługujemy się koncepcją czasu i przestrzeni

zaproponowaną przez Newtona, Galileusza.

Największa prędkość mechaniczna Ziemia 30 km/s.

2

 V 

Czynnik 1

1 −  

−8

≈1+ 5

,

0

10

*

 c 

.

2) Położenie, ruch odnosimy do innych obiektów

posiadających masę. Układ odniesienia.

3) Proces tworzenia układu współrzędnych.

Powierzchnie (stałej wartości) współrzędnych.

Linie współrzędnej.

Styczne do linii współrzędnej są różne w różnych

punktach układów współrzędnych nie tworzonych

przez płaszczyzny (układów krzywoliniowych).

Nie należy mylić układu odniesienia z układem

współrzędnych!

4) Współrzędne kartezjańskie. Tworzone przez trzy

prostopadłe płaszczyzny. Rysunki – pliki .doc.

Wektor Bez matematyki

Obiekt abstrakcyjny, stosowany w fizyce.

Ma 3 atrybuty: kierunek, zwrot i wielkość (strzała).

Można mnożyć przez liczbę (my tylko ℜ ).

b

2 b

Można dodawać

d

b

c

Odejmowanie = = przemnóż przez (-1) i dodaj.

Za dzielenie przez wektor = rok więzienia oraz NDST.

Wektory można przez siebie mnożyć.

Nazwa wektor jednostkowy = taki, który ma długość 1.

Powrót do układu współrzędnych

Styczne do linii współrzędnych wektory jednostkowe,

zwrócone tak jak przyrasta współrzędna = wersory.

Triada bazowa (repery) z trójki wektorów.

Wykład w układzie współrzędnych kartezjańskich!

Powrót do wektorów (z matematyką)

Oznaczenie wersorów

r

r

r

r

r

r

i ≡ i ≡ i ≡ i

j ≡ i

j ≡ i

k ≡ i

k ≡ i

1

1;

≡

2

2;

≡

3

3;

r

Oznaczenie wektorów

b ≡ b.

r

r

r

r

3 r

r

b = i b + j b + k b ≡ ∑ i b ≡ i b

x

y

z

n

n

n

n

n =1

b = i bx + j by + k bz ≡ in bn (składowe wektora)

Ostatni znak tożsamości to konwencja Einsteina,

sumujemy po identycznych indeksach w iloczynie.

Nie można gubić symbolu strzałki nad wektorem!

r

Poprawny zapis to b = [ b , b , b lub [ b , b , b .

1

2

3 ]

x

y

z ]

Mnożenie wektora przez liczbę rzeczywistą L.

r

r

L b = ( L b ) i .

n

n

Dodawanie wektorów

(w tym samym układzie współrzędnych).

r

r

r

d = b + c ⇒ d = b + c , n = , 1

,

2 3

n

n

n

Iloczyn skalarny wektorów

r

r

r r

Oznaczenie b • c lub ( b, c ) Definicja: jest to forma biliniowa, taka, że

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

b • c = c • b ;

b • b ≥ 0; b • b = 0 ⇒ b = 0

Pamiętamy, że nie rozważamy wektorów zespolonych!

r

r

r

Wartość wektora (wielkość wektora) b ≡ b = b • b !

r

r

r

r

Właściwości: ( L b, c ) ≡ L ( b, c ).

Definicja iloczynu skalarnego (w układzie Kartezjusza) r

b • r

c = b c

n

n

Długość wektora

2

2

2

b =

b + b + b

1

2

3

r

r

r

r

Właściwość

b • c = b c cos(< b c ) r

r

Jeśli wektory są prostopadłe (ortogonalne) to b • c = 0 .

r

r

Wektor b = 0 jest prostopadły do dowolnego wektora.

Iloczyn wektorowy

r

r

r r

Oznaczenie

b × c lub [ b, c ]

r

r

r

i

j

k

r

r

r

Definicja

d = b × c = b

b

b ;

x

y

z

c

c

c

x

y

z

Właściwości: To jest wektor (?)

r

r

Prostopadły do wektorów składowych b oraz c .

Długość jest równa polu równoległoboku

r

r

rozpiętego na wektorach składowych b oraz c .

Zwrot taki jak kierunek wkręcania śruby

prawoskrętnej.

r

r r

d = b c sin(∠ b c )

d

c

b

Jeśli wektory są równoległe to ich iloczyn wektorowy 0!

Istnieje iloczyn diadowy lub kartezjański

 b c

b c

b c

1

1

1

2

1

3 

r r





b c ≡  b c b c b c To jest tensor.

2

1

2

2

2

3 

 b c b c

b c 

3

1

3

2

3

3 

Dlatego nie wolno gubić kropki w iloczynie skalarnym!

Niezmienniczość wektora.

Odbicie zwierciadlane. Pseudowektory.

Jeśli nie rozważamy transformacji układu zawierających odbicia zwierciadlane to wektory i wektory osiowe są

identyczne. Odbicie zwierciadlane np. zamiana układu

prawoskrętnego na lewoskrętny.

r

Wektor b można przedstawić jako sumę wektorów r

r

wzajemnie prostopadłych b r oraz b r

|| c

⊥

c

r

r

r

b = b r + b r

|| c

⊥

c

Jak? (jedna z metod)

r

r

r

c

1) Utworzyć z wektora c wektor jednostkowy C = .

c

r

r

2) Zrzutować wektor b na wektor jednostkowy C

r

r

r r

r

r

Rzut R = b • C ≡ b cos(∠ b C ). Mamy b r = R C

|| c

r

r

r

3) Odjąć b r = b − b r

⊥

.

c

|| c

c

C

b

R

równol.

b

bprost.

r

r

r

Iloczyn mieszany a • ( b × c ) to (+ /-) objętość.

Zastosowania użyteczne wiedzy o wektorach.

Linia w przestrzeni jest określona w zależności od

parametru t . x( t ), y( t ), z( t ).

r d x( t)

r d y( t)

r d z( t)

Wektor styczny i

d t + j

d t + k

d t

d t

d t

d t

Wektor styczny jednostkowy

r d x( t)

r d y( t)

r d z( t)

i

+ j

+ k

r

τ ( t)=

d t

d t

d t

 d x( t) 2



 d y( t) 2



 d z( t) 2





 + 

 + 



 d t 

 d t 

 d t 

z

z(t)

y

x(t)

y(t)

x

Płaszczyzna, nabla, normalna do płaszczyzny

Równanie płaszczyzny to jest forma liniowa

α x + β y + γ z − δ = 0

Współczynniki obliczamy korzystając z wiedzy o tej

płaszczyźnie, np.

• Płaszczyznę jednoznacznie określają trzy punkty

nie leżące na jednej prostej, które należą do tej

płaszczyzny.

• Płaszczyznę określa wektor do niej prostopadły.

„Operator” nabla

r ∂

r

∂

r ∂

∇ = i

+ j

+ k

∂ x

∂ y

∂ z

Działamy operatorem wektorowym na funkcję skalarną.

f ( x, y, z). To co powstanie to będzie przestrzeń w każdym punkcie której będzie określony wektor

r ∂

, ,

r ∂

, ,

r ∂

∇

, ,

f ( x, y, z)

f ( x y z)

f ( x y z)

f ( x y z)

= i

+ j

+ k

∂ x

∂ y

∂ z

Jeśli

f ( x, y, z)= α x + β y + γ z − δ

r

r

r

to ∇ f ( x, y, z)= i α + j β + k γ .

Normalna (prostopadła) do tej płaszczyzny to

r

r

r

r

i α + j β +

γ

n =

k

.

2

2

2

α + β + γ

Zwróćcie uwagę, że normalna nie zależy od składnika δ