Nazwisko
0
Imię
Indeks
ANALIZA 1A, KOLOKWIUM nr 11, 8.01.2013, godz. 10.15-11.00
Wykład: J. Wróblewski PODCZAS KOLOKWIUM NIE WOLNO UŻYWAĆ KALKULATORÓW
Zadanie 21. (9 punktów) W każdym z dziewięciu poniższych zadań podaj wartość granicy funkcji (liczba rze-czywista) lub granicy niewłaściwej (+ ∞ lub −∞).
Wpisz literkę R, jeśli nie istnieje granica ani granica niewłaściwa.
Za każdą poprawną odpowiedź otrzymasz 1 punkt.
Przypomnienie: Zapis {y} oznacza część ułamkową liczby y.
21.1.
lim { log x}
4
= 1
x→ 16 −
21.2.
lim { log x}
4
= 0
x→ 16+
21.3.
lim { log x}
8
= 1 / 3
x→ 16 −
21.4.
lim { log x}
8
= 1 / 3
x→ 16+
2 ! x
21.5.
lim
1 +
= e 2
x→+ ∞
x
3 ! x
21.6.
lim
1 +
= e 3
x→+ ∞
x
1 !( x+4) x 21.7.
lim
1 +
= ee 4
x→+ ∞
xx
1 ( x+27) x 21.8.
lim 1 +
= ee 27
x→+ ∞
xx
1 ( x+256) x 21.9.
lim 1 +
= ee 256
x→+ ∞
xx
Zadanie 22. (5 punktów) Dobrać odpowiednią liczbę wymierną dodatnią C i udowodnić, że dla dowolnej liczby rzeczywistej x zachodzą nierówności 18 x 6 + 19 x 4 + 20
C ¬
¬ 10 · C .
21 x 6 + 20 x 2 + 19
Rozwiązanie:
W przypadku, gdy |x| 1, wykonujemy następujące szacowania: 3
18
18 x 6 + 0 + 0
18 x 6 + 19 x 4 + 20
18 x 6 + 19 x 6 + 20 x 6
57
19
=
=
¬
¬
=
=
.
10
60
21 x 6 + 20 x 6 + 19 x 6
21 x 6 + 20 x 2 + 19
21 x 6 + 0 + 0
21
7
Natomiast w przypadku, gdy |x| < 1, oszacowania wyglądają następująco: 1
0 + 0 + 20
18 x 6 + 19 x 4 + 20
18 + 19 + 20
=
¬
¬
= 3 .
3
21 + 20 + 19
21 x 6 + 20 x 2 + 19
0 + 0 + 19
Zauważamy, że
3
1
<
10
3
oraz
19 < 3 .
7
Zatem dla dowolnej liczby rzeczywistej x zachodzą nierówności 3
18 x 6 + 19 x 4 + 20
¬
¬ 3 ,
10
21 x 6 + 20 x 2 + 19
można więc przyjąć C = 3 / 10.