RACHUNEK CAŁKOWY
FUNKCJI
JEDNEJ ZMIENNEJ
CZ. 2
Definicja 1 ( podziału przedziału)
Podziałem Pn przedziału a b
,
na n podprzedziałów, gdzie n ∈ N ,
nazywamy zbiór
P = { x , x .
, .. , x
, x }
n
0
1
n 1
−
n
przy czym a = x 0 < x 1 < x 2... < x −1 < x = b
n
n
.
Długość podprzedziału x
=
k
, x
1
−
k , k
.
,
2
,
1
.. n
, , oznaczana przez x
∆ k ,
jest równa ∆ xk = xk − xk 1
−
Liczbę δ (
) = max ∆
n
P
xk nazywamy średnicą podziału Pn.
≤
1 k ≤ n
CAŁKA OZNACZONA 2 / 37
k
xk , x
1
−
k oznacza punkt pośredni k-tego podprzedziału,
dla k =
.
,
2
,
1
.. n
, .
Definicja 2 ( sumy całkowej Riemanna)
Niech funkcja f będzie ograniczona na przedziale a b
,
oraz niech n
P
będzie podziałem tego przedziału. Sumą całkową Riemanna funkcji f
odpowiadającą podziałowi
n
P przedziału
a b
,
oraz punktom
pośrednim *
x
=
k dla k
.
,
2
,
1
.. n
, , tego podziału nazywamy liczbę
def
n
σ ( f
*
, n
P
) = ∑ f ( xk ) ⋅ ∆ xk .
k =1
CAŁKA OZNACZONA 3 / 37
Definicja 3 ( ciągu normalnego podziałów)
Ciąg ( n
P ) nazywamy ciągiem normalnym podziałów, jeżeli
odpowiadający mu ciąg średnic (δ ) = (δ ( P ))
n
n
dąży do zera, tj.
lim δ n = 0.
n→∞
Każdemu ciągowi podziałów ( n
P ) odpowiada ciąg sum całkowych
(σ )
σ = σ
n , którego wyraz ogólny
( f , P )
n
n zależy od wyboru
punktów pośrednich
(
* n)
( n)
( )
x
∈ x
,
n
x
, k =
.
,
2
,
1
.. n
, , n ∈ N \ }
1
{
k
k 1
−
k
CAŁKA OZNACZONA 4 / 37
Definicja 4 ( całki oznaczonej Riemanna )
Jeżeli dla każdego ciągu normalnego podziałów przedziału a b
,
ciąg
sum całkowych (σ )
n jest zbieżny do tej samej granicy właściwej,
niezależnej od wyboru punktów *
xk , to tę granicę nazywamy całką
oznaczoną, (Riemanna) funkcji f na przedziale a b
,
i oznaczamy:
b
∫ f ( x) dx.
a
b
def
n
tzn. ∫ f ( x) dx = lim ∑ f ( x* k) ⋅ ∆ x .
δn→
k
0
a
k =1
CAŁKA OZNACZONA 5 / 37
Pod pojęciem całki oznaczonej rozumiemy całkę oznaczoną Riemanna.
Przedział a b
,
nazywamy przedziałem całkowania
a
nazywamy dolną granicą całkowania
b
nazywamy górną granicą całkowania
f ( x)
nazywamy funkcją podcałkową
Definicja 5
Jeżeli istnieje całka oznaczona Riemanna dla funkcji f, to mówimy, że funkcja f jest R-całkowalna na przedziale a b
,
.
CAŁKA OZNACZONA 6 / 37
Twierdzenie 1 ( warunek konieczny R-całkowalności funkcji) Jeżeli funkcja f jest R-całkowalna na przedziale a b
,
, to jest funkcją
ograniczoną na tym przedziale.
Twierdzenie 2 ( warunek wystarczający całkowalności funkcji) Jeżeli funkcja f jest ograniczona na przedziale a b
,
i ma na tym
przedziale skończoną liczbę punktów nieciągłości pierwszego
rodzaju, to jest na tym przedziale całkowalna.
Wniosek 1
Funkcja ciągła na przedziale domkniętym jest na tym przedziale
całkowalna.
CAŁKA OZNACZONA 7 / 37
Twierdzenie 3 ( I twierdzenie główne rachunku całkowego) Jeśli funkcja f jest ciągła na przedziale a b
,
oraz F jest dowolną
pierwotną funkcji f na tym przedziale, to
b
∫ f ( x) dx = (
F b
)
− F(a).
a
Jest to wzór Newtona-Leibniza.
CAŁKA OZNACZONA 8 / 37
Twierdzenie 4 ( o całkowaniu przez części dla całek oznaczonych) Jeżeli funkcje u i v mają ciągłe pochodne u' i v' na przedziale a b
,
,
to
b
b
∫ u( x) ⋅ v′( x) dx = [ u( x)⋅ v( x)] x= b − u ( x) v( x) dx.
x= a
∫ ′ ⋅
a
a
CAŁKA OZNACZONA 9 / 37
Twierdzenie 5 ( o całkowaniu przez podstawienie dla całek oznacz. ) Jeżeli
1. funkcja ϕ ma pierwszą pochodną ciągłą na przedziale
domkniętym T o końcach α i β ,
2. funkcja f jest ciągła na zbiorze ϕ ( T ),
3. ϕ (α ) = a i ϕ (β ) = b,
to
b
β
∫ f ( x) dx = ∫ f ϕ
( ( t)) ⋅ϕ ′( t) dx.
a
α
CAŁKA OZNACZONA 10 / 37
Twierdzenie 6 ( o liniowości całki oznaczonej)
Jeżeli funkcje f i g są całkowalne na przedziale a b
,
, to
b
b
b
1.
∫[ f ( x) ± g( x)] dx = ∫ f ( x) dx ± ∫ g( x) dx, a
a
a
b
b
2.
∫α ⋅ f ( x) dx = α ⋅∫ f ( x) dx, α ∈ R.
a
a
CAŁKA OZNACZONA 11 / 37
Twierdzenie 7 ( addytywność całki względem przedziału całkowania) Jeżeli funkcja f jest całkowalna na przedziale a b
,
i c ∈ ( a , b), to
b
c
b
∫ f ( x) dx = ∫ f ( x) dx +
∫
f ( x) dx .
a
a
c
Definicja 6
Przyjmujemy
a
∫ f ( x) dx = 0
a
b
a
∫ f ( x) dx = −∫ f ( x) dx
a
b
CAŁKA OZNACZONA 12 / 37
Twierdzenie 8 ( całka funkcji nieparzystej i parzystej) Jeśli funkcja f jest całkowalna na przedziale − a a
,
oraz
a
1.
jest nieparzysta, to ∫ f ( x) dx = 0,
− a
a
a
2.
jest parzysta, to ∫ f ( x) dx = 2∫ f ( x) dx.
− a
0
CAŁKA OZNACZONA 13 / 37
Twierdzenie 9 ( całkowe o wartości średniej)
Jeżeli funkcja f jest ciągła w przedziale a b
,
, to istnieje punkt
c ∈ a b
,
, taki że
b
1
f ( x) dx = f ( c)
b − ∫
.
a a
CAŁKA OZNACZONA 14 / 37
Niech f będzie całkowalna na a b
,
i niech α ∈ a b
, będzie
dowolnie ustaloną liczbą. Dla dowolnego x ∈ a b
,
określamy funkcję
x
F ( x) = ∫ f ( t) dt
α
nazywaną funkcją górnej granicy całkowania.
Twierdzenie 10
Jeżeli funkcja f jest całkowalna na przedziale a b
,
i α ∈ a b
, , to
funkcja F ( x) jest funkcją ciągłą zmiennej x w tym przedziale.
CAŁKA OZNACZONA 15 / 37
Twierdzenie 11 ( II twierdzenie główne rachunku całkowego) Jeśli f jest funkcją całkowalną na przedziale a b
,
i α ∈ a b
, jest
dowolnie ustaloną liczbą, to funkcja
x
F ( x) = ∫ f ( t) dt
α
jest różniczkowalna i ma pochodną
F (
′ x) = f ( x)
w każdym punkcie x ∈ a b
,
, w którym funkcja f jest ciągła.
CAŁKA OZNACZONA 16 / 37
pierwszego rodzaju: całki o nieograniczonym przedziale całkowania
Definicja 1
Niech
funkcja
f
będzie określona na przedziale
a
, ∞)
(tzn. f : a ∞
,
) → R) i niech będzie całkowalna w każdym przedziale
domkniętym a , t ⊂ a ,∞) dla t > a .
t
Granicę
lim ∫ f ( x) dx nazywamy całką niewłaściwą pierwszego t→+∞ a
+∞
rodzaju na przedziale a
, ∞) i oznaczamy
∫ f ( x) dx.
a
CAŁKA OZNACZONA 17 / 37
+∞
t
∫ f ( x) dx = lim ∫ f ( x) dx.
t→+∞
a
a
Analogicznie definiujemy całkę niewłaściwą funkcji f na przedziale (−∞ a
,
:
a
a
∫ f ( x) dx = lim ∫ f ( x) dx.
t→−∞
−∞
t
CAŁKA OZNACZONA 18 / 37
Jeśli funkcja f jest określona na przedziale (−∞ ,+ ∞) oraz całkowalna na każdym przedziale domkniętym t t
1
, 2 ⊂ R, to jej
całkę niewłaściwą na przedziale (−∞ ,+ ∞) definiujemy następująco:
+∞
0
t 2
∫ f ( x) dx = lim ∫ f ( x) dx + lim ∫ f ( x) dx.
1
t →−∞
2
t →+∞
−∞
1
t
0
CAŁKA OZNACZONA 19 / 37
Definicja 2
Mówimy, że całka niewłaściwa jest zbieżna (istnieje) jeśli
odpowiednia granica w definicji 1 jest właściwa, natomiast całka
niewłaściwa jest rozbieżna (nie istnieje) jeśli granica ta jest
niewłaściwa lub nie istnieje.
CAŁKA OZNACZONA 20 / 37
drugiego rodzaju: całki niewłaściwe funkcji nieograniczonej Definicja 3
Jeśli funkcja f jest nieograniczona w lewostronnym sąsiedztwie punktu b i całkowalna w każdym przedziale domkniętym zawartym w a , b), tj. w przedziale a , b − ε ) dla dowolnego 0 < ε < b − a, to b−ε
granicę
lim ∫ f ( x) dx nazywamy całką niewłaściwą drugiego ε→ +
0
a
rodzaju funkcji f na przedziale a b
,
i zapisujemy
b
b−ε
∫ f ( x) dx = lim ∫ f ( x) dx.
ε→ +
0
a
a
CAŁKA OZNACZONA 21 / 37
Jeśli funkcja f jest nieograniczona w prawostronnym sąsiedztwie punktu a i całkowalna w każdym przedziale domkniętym zawartym w ( a b
, , tj. w przedziale ( a + ε b
,
dla dowolnego 0 < ε < b − a, to
b
granicę
lim ∫ f ( x) dx nazywamy całkę niewłaściwą drugiego ε→ +
0 a+ε
rodzaju funkcji f na przedziale a b
,
i zapisujemy
b
b
∫ f ( x) dx = lim ∫ f ( x) dx.
ε→ +
0
a
a+ε
CAŁKA OZNACZONA 22 / 37
Jeśli funkcja f jest nieograniczona zarówno w prawostronnym sąsiedztwie punktu a jak i w lewostronnym sąsiedztwie punktu b oraz całkowalna
w
każdym
przedziale
a + ε b −
1
,
ε2 zawartym
w przedziale ( a, b) dla dowolnego 0 < ε
0 < ε2 <
1 < b − a i
b − a, to
sumę granic
b
b−ε2
lim
∫ f ( x) dx i lim ∫ f ( x) dx ε
ε2→ +
1→ +
0
0
a+ε1
a
nazywamy całką niewłaściwą drugiego rodzaju funkcji f na
przedziale a b
,
i zapisujemy
b
b
b−ε2
∫ f ( x) dx = lim ∫ f ( x) dx + lim ∫ f ( x) dx.
ε
ε
1→ +
0
2 → +
a
a+
0
ε1
a
CAŁKA OZNACZONA 23 / 37
Całkę niewłaściwą drugiego rodzaju funkcji f na przedziale a b
,
zawierającym dokładnie jeden punkt c ∈ ( a b
, ), w sąsiedztwie którego
funkcja f jest nieograniczona definiujemy w sposób następujący
b
c−ε1
b
∫ f ( x) dx = lim ∫ f ( x) dx + lim ∫ f ( x) dx ε
ε
1→ +
0
2 → +
0
a
a
c+ε2
Definicja 6
Mówimy, że całka niewłaściwa drugiego rodzaju jest zbieżna
(istnieje) jeśli odpowiednia granica (suma granic) w powyższych
definicjach jest właściwa, natomiast całka niewłaściwa jest rozbieżna
(nie istnieje) jeśli granica ta jest niewłaściwa lub nie istnieje.
CAŁKA OZNACZONA 24 / 37
ZASTOSOWANIA GEOMETRYCZNE CAŁKI OZNACZONEJ
I. Pole figury płaskiej
Fakt 1
Niech dane będą funkcje f i g ciągłe na przedziale a b
,
o wartościach nieujemnych (tzn. f ( x) > 0 i g( x) > 0), spełniające nierówność f ( x) ≥ g( x) dla dowolnego x ∈ a b
,
.
Wtedy pole figury (trapezu krzywoliniowego) ograniczonej prostymi
x = a, x = b oraz krzywymi y = f ( x) i y = g( x) wyraża się wzorem b
| D =
| ∫ [ f ( x) − g( x) d
] x .
a
CAŁKA OZNACZONA 25 / 37
Niech dane będą funkcje
1
f i
1
g ciągłe na przedziale c d
,
o wartościach nieujemnych (tzn. f ( y) > 0
g y >
1
i
( )
0
1
), spełniające
nierówność f ( y) ≥ g ( y)
∈
1
1
dla dowolnego y
c d
,
.
Wtedy pole figury (trapezu krzywoliniowego) ograniczonej prostymi
y = c, y = d oraz krzywymi x = f ( ) 1 y i x = g ( )
1 y wyraża się wzorem
d
| D =
| ∫ [ f ( y)
1
− g ( y) d
] y
1
.
c
CAŁKA OZNACZONA 26 / 37
Jeżeli funkcja f ciągła na przedziale a b
,
dana jest parametrycznie
równaniami: x = x( t), y = y( t) dla t ∈ α β
,
,
przy czym x(α ) = a , x(β ) = b, funkcje x( t), y( t) oraz dodatnia dx
pochodna
są ciągle na przedziale α β
,
, to pole figury płaskiej,
dt
ograniczonej dana krzywą i osią OX, wyraża się wzorem
β
| D =
| ∫ y( t) ⋅ x′( t) dx.
α
CAŁKA OZNACZONA 27 / 37
Definicja 1 ( łuku zwykłego)
Łukiem zwykłym na płaszczyźnie nazywamy linię o równaniu
y = f ( x), x ∈ a b
,
gdzie f ( x) jest funkcją ciągłą. Punkty
(
A a
, f ( a)) i B( b
, f ( b))
nazywamy końcami łuku AB . Jeżeli A ≠ B, to łuk nazywamy otwartym, jeżeli A = B , to zamkniętym lub zwykłą krzywą zamkniętą.
Jeżeli funkcja f ( x) posiada ciągłą pochodną, to łuk zwykły nazywamy gładkim.
CAŁKA OZNACZONA 28 / 37
=
k
k
k , gdzie
y = f (
)
k
xk , k
.
,
2
,
1
,
0
.. n
, ,
A = 0
A i B = n
A . Łącząc punkty
k
A otrzymujemy łamaną
A , A ,...,
0
1
n
A
,
1
−
n
A wpisaną w łuk AB.
Weźmy pod uwagę długość łamanej A , A ,...,
0
1
n
A
,
1
−
n
A .
Definicja 2 ( długości łuku)
Długością L łuku AB nazywamy granicę (o ile istnieje) długości łamanej wpisanej w ten łuk przy ilości odcinków łamanej dążącej do
nieskończoności i długości najdłuższego odcinka łamanej dążącego
do zera.
CAŁKA OZNACZONA 29 / 37
Jeżeli funkcja f posiada ciągłą pochodną na przedziale a b
,
, to
długość łuku AB określonego równaniem y = f ( x), dla x ∈ a b
,
wyraża się wzorem
b
| L =
| ∫ 1+ [ f ′( x ]2
) dx .
a
CAŁKA OZNACZONA 30 / 37
Jeżeli funkcja f dana jest równaniami parametrycznymi x = x( t), y = y( t) dla t ∈ α ,β , przy czym x(α ) = a , x(β ) = b oraz funkcje x( t) i y( t) posiadają ciągłe pochodne w przedziale α ,β , to długość łuku AB wyraża się wzorem
β
| L =
| ∫ [ x′( t)]2 + [ y′( t)]2 dx.
α
CAŁKA OZNACZONA 31 / 37
Fakt 6.1
Niech funkcja nieujemna f będzie ciągła na przedziale a b
,
.
Ponadto niech T oznacza trapez krzywoliniowy ograniczony
wykresem funkcji
f , osią OX oraz prostymi x = a, x = b.
Wtedy
objętość
bryły
V
powstałej
przez
obrót
trapezu
krzywoliniowego T wokół osi OX wyraża się wzorem
b
| V =
|
∫ f 2
π
( x) dx .
a
CAŁKA OZNACZONA 32 / 37
Niech funkcja nieujemna f będzie ciągła na przedziale a b
,
, gdzie
a > 0. Ponadto niech T oznacza trapez krzywoliniowy ograniczony wykresem funkcji
f , osią OX oraz prostymi x = a, x = b.
Wtedy
objętość
bryły
V
powstałej
przez
obrót
trapezu
krzywoliniowego T wokół osi OY wyraża się wzorem
b
| V =
| 2π ∫ x f ( x) dx.
a
CAŁKA OZNACZONA 33 / 37
Jeżeli funkcja f dana jest równaniami parametrycznymi x = x( t), y = y( t) dla t ∈ α ,β , przy czym x(α ) = a , x(β ) = b oraz funkcje dx
x( t), y( t) i
są ciągłe w przedziale α ,β , to objętość bryły V
dt
powstałej przez obrót trapezu krzywoliniowego T wokół osi OX
wyraża się wzorem
β
| V =
| π ∫ y 2( t) ⋅ x′( t) dt.
α
CAŁKA OZNACZONA 34 / 37
IV. Pole powierzchni bocznej bryły obrotowej
Fakt 8.1
Niech funkcja nieujemna f będzie ciągła wraz z pierwszą pochodną na przedziale a b
,
. Ponadto niech T oznacza trapez krzywoliniowy
ograniczony wykresem funkcji f ( x), osią OX oraz prostymi x = a i x = b. Wtedy pole S powierzchni bocznej bryły powstałej przez obrót trapezu krzywoliniowego T wokół osi OX wyraża się wzorem: b
| S =
| 2π ∫ f ( x) 1+ [ f ′( x ]2
) dx .
a
CAŁKA OZNACZONA 35 / 37
Niech funkcja nieujemna f będzie ciągła wraz z pierwszą pochodną na przedziale a b
,
, gdzie a > 0. Ponadto niech T oznacza trapez
krzywoliniowy ograniczony wykresem funkcji f ( x), osią OX oraz prostymi x = a i x = b. Wtedy pole S powierzchni bocznej bryły powstałej przez obrót trapezu krzywoliniowego T wokół osi OY
wyraża się wzorem:
b
| S =
| 2π ∫ x 1 + [ f ′( x ]2
) dx .
a
CAŁKA OZNACZONA 36 / 37
Jeżeli funkcja f dana jest równaniami parametrycznymi x = x( t), y = y( t) dla t ∈ α ,β , przy czym x(α ) = a , x(β ) = b oraz y( t) ≥ 0, dx
dy
funkcje x( t), y( t),
i
są ciągłe w przedziale α ,β , to pole S
dt
dt
powierzchni
bocznej
bryły
powstałej
przez
obrót
trapezu
krzywoliniowego T wokół osi OX wyraża się wzorem
β
| S =
|
π
2 ∫ y( t) [ x′( t)]2 + [ y′( t)]2 dx.
α
CAŁKA OZNACZONA 37 / 37