Statystyka matematyczna
Zadania
ZESTAW 4
1. Producent samochodów wyposaża pewien model pojazdu w produkowane przez siebie silniki 1,6.
Producent wie, że średnio samochody te na 8 litrach paliwa przejeżdżały 100 km na autostradzie.
Odchylenie standardowe wynosi 0,5 litra. Producent chce wiedzieć czy zmiany wprowadzone ostatnio
w silnikach zmienią zużycie paliwa tego modelu. Wykonano losowo 30 jazd próbnych na autostradzie,
na podstawie których stwierdzono, że średnio pojazdy pokonywały 100 km na 7,6 litra benzyny. Przy
poziomie istotności 0,05 określ czy zużycie paliwa ulepszonych silników różni się od zużycia starszej
wersji silnika.
2. Firma doradztwa inwestycyjnego zapewnia, że przeciętny przychód z akcji w sektorze IT wynosi
15,5%. Inwestor chce sprawdzić tę opinię. Pobiera próbę złożoną z 50 akcji sektora IT i stwierdza, że
średni przychód z akcji wyniósł 14,8% a odchylenie standardowe 3,6%. Czy inwestor ma dostateczne
podstawy do odrzucenia zapewnień firmy doradczej przy poziomie istotności 0,05?
3. Przeprowadzono badania placówek bankowych o podobnej wielkości różnych banków obecnych na
rynku pod względem kosztów funkcjonowania. Pobrano próbę 26 placówek, dla których średni koszt
wyniósł 54 tys. złotych a odchylenie standardowe 16 tys. złotych.. Zakładając, że koszty działalności
mają rozkład normalny zweryfikuj hipotezę, że średni koszt dla wszystkich placówek tego typu
wynosi 60 tys. złotych, przy poziomie istotności wynoszącym 0,05.
4. Analityk finansowy chce porównać współczynniki zwrotu z akcji spółek z branży naftowej oraz
spółek określanych mianem blue chips. Powszechnie wiadomo, że odchylenie standardowe dla tych
współczynników w przypadku spółek naftowych wynosi 5,1%, a dla spółek blue chips - 6,7%.
Analityk pobrał próbę 32 spółek naftowych, dla których średni zwrot wyniósł 34,1%, oraz 49 spółek
blue chips, dla których średni zwrot wyniósł 34,9%. Poziom istotności został ustalony na 0,01. Czy
występuje istotna różnica w średnim zwrocie z akcji między tymi dwoma rodzajami spółek?
5. Pobrano próbę studentów, którzy pisali egzamin za statystyki. Wyniki egzaminu dla tych osób
przedstawiają się następująco: - mężczyz
ni: 72 , 69 , 98 , 66 , 85 , 76 , 79 , 80 , 77
- kobiety: 81 , 67 , 90 , 78 , 81 , 80 , 76
Na poziomie istotności 0,01 sprawdz
czy średni wynik kobiet jest wyższy niż średni wynik mężczyzn.
6. Producent żywności dla dzieci chce porównać przyrosty wagi niemowląt żywionych jej produktami
z przyrostami dzieci karmionych produktami konkurencji. W tym celu pobrano próbę 40 dzieci, które
odżywiały się jej produktami. Średni przyrost wagi po trzech miesiącach życia wyniósł 3,15 kg, przy
odchyleniu standardowym równym 1,04 kg. Druga próba obejmowała 55 niemowląt karmionych
produktami konkurencji. W tym przypadku średni przyrost wyniósł 3,65 kg, a odchylenie standardowe
1,31 kg. Na poziomie istotności 0,05 sprawdz
czy dzieci spożywające produkty producenta żywności
mają niższe przyrosty wagi? Oblicz i zinterpretuj prawdopodobieństwo testowe p.
7. Udział w rynku branży FMCG bardzo wyraz
nie reaguje na kampanie reklamowe. Jedna ze spółek
wie, że jej udział w rynku wynosił 21% i chce wiedzieć czy udział zmienił się wskutek ostatniej
kampanii reklamowej konkurentów oraz swoich działań marketingowych. W pobranej próbie 500
klientów 129 kupuje produkt tej spółki. Czy na poziomie istotności 0,01 są podstawy do wniosku, że
udział spółki rynku nie wynosi już 21%?
8. Na podstawie danych historycznych firma leasingowa podaje, że 70 procent samochodów
zwracanych po okresie leasingowym ma przebieg mniejszy niż 120 tys. km. W ostatnim czasie
pobrano próbę złożoną z 200 pojazdów, które zakończyły okres leasingowy. Okazało się, że w
przypadku 158 samochodów przebieg był niższy niż 120 tys. km. Sprawdz
czy w ostatnim czasie
frakcja samochodów z przebiegiem niższym niż 120 tys. wzrosła.
9. Przyjmuje się, że wariancja czasu oczekiwania przed okienkiem w banku przekracza 1,5 [minut do
kwadratu], to obsługi wymaga zmian (np. poprzez zwiększenie liczby otwartych okienek, szkoleń
pracowników itp.). Bank regularnie sprawdza, czy wariancja nie przekracza dopuszczalnego poziomu.
Pobrano losową próbę czasów oczekiwania 30 klientów i otrzymano wariancję równą 1,8 [minut do
kwadratu]. Czy na poziomie istotności 0,01 są podstawy do stwierdzenia, że wariancja czasu
oczekiwania przekroczyła 1,5?
10. Jeden z hoteli zlokalizowanych w centrum pewnego miasta planuje zaoferować swoim klientom
usługę przewozu na lotnisko. Hotel rozważa dwie trasy przejazdu na lotnisko. Firma przeprowadziła
badania na tych trasach odnośnie czasu przejazdu w minutach. Otrzymano następujące wyniki:
Trasa A: 52 , 67 , 56 , 45 , 70 , 54 , 64
Trasa B: 59 , 60 , 61 , 51 , 56 , 63 , 57 , 65
Sprawdz
na poziomie istotności 0,1 czy występuje istotna różnica w wariancjach czasu przejazdu na
tych trasach.
11. Analityk chce dowiedzieć się czy istnieje zależność między wielkością zatrudnienia a przychodami
oddziałów detalicznych banków w Polsce. Na podstawie próby 25 placówek bankowych oszacował
współczynnik korelacji liniowej, który wyniósł 0,5. Na poziomie istotności 0,05 sprawdz
czy między
zmiennymi zachodzi istotna zależność liniowa.
12. Przeprowadza się badania związku między czasem trwania reklamy telewizyjnej (X) a
zapamiętywaniem reklamowanego produktu przez telewidzów (Y). Pobrano próbę 23 osób. Na
podstawie analizy regresji otrzymano następujące równanie: w
= 0,5 + 3,48x . Standardowy błąd
szacunku D(b) wynosi 0,78. Na poziomie istotności 0,05 sprawdz
czy istnieją podstawy do przyjęcia,
że między tymi zmiennymi zachodzi związek liniowy.