GiK GP Sem 2 2010/11 Grupa 1
Zadania z Analizy Matematycznej cd.
Szeregi
84. Zbadać zbie\
ność szeregów i znalez
ć ich sumę
" " " "
a) b) (parametr) c) d)
!
"
e) arctg Wsk: arctg arctg arctg , 1. Pokazać indukcyjnie, \
e arctg .
85. Zbadać zbie\
ność szeregu
" " " "
a) arcsin b) 1 c) d)
" "
!
" " " " "
e) f) 1 g) h) i) 2 sin
"
"
"
" " "
j) tg k) tg l) arctg Wsk: tg 2 0,1 .
" " " "
" " " "
m) 1 1 (parametr) n) o) 1 sin
" "
!
" " " "
p) , 0 q) r) s) tg
! !
Wsk: Skorzystać z kryterium Dirichleta. Udowodnić indukcyjnie,
" " "
t) u1) u2)
" "
" "
\
e sin i cos
dla 2 , .
! !
" "
v1) v2) .
!
" "
86. Udowodnić, \
e je\
eli szereg , 0 , to szereg te\
jest zbie\
ny.
" "
87. Udowodnić, \
e je\
eli szereg jest zbie\
ny bezwzględnie, to szereg
jest zbie\
ny.
88. Zbadać rodzaj zbie\
ności szeregów (bezwzględnie/warunkowo)
" " " ! ! ! "
a) 1 · b) c) 1 · d) 1 · .
!
"
" "
89. Znalez
ć iloczyn Cauchy'ego szeregów · i na tej podstawie
"
obliczyć sumę szeregu .
" "
90. Oszacować bÅ‚Ä…d jaki popeÅ‚niamy zastÄ™pujÄ…c sumÄ™ szeregu 1 ·
- tą sumą częściową dla 15.
91. Ile wyrazów szeregu nale\
y zsumować, aby obliczyć jego sumę z dokładnością 0,01 ?
" " !
a) 1 · b) 1 ·
92. Obliczyć promień zbie\
ności szeregu
" " "
a) arctg b) arctg 1 c) sinh
!
" " "
d) e) f)
!
" " " "
g) h) 1 i)
· !
· ·
"
j) .
·
93. Znalez
ć przedział zbie\
ności szeregu
" " " "
a) b) 3 1 c) d) 3 · 2 2 · 3
·
94. Rozwinąć w szereg Mclaurina funkcję
a) sin b) c) d) .
95. Rozwinąć w szereg Taylora funkcję
a) , 2 b) cos , .
96. Wykazać, \
e wszystkie pochodne rzędu nieparzystego funkcji sin
są w punkcie 0 równe 0.
Wsk: Napisać szereg Maclaurina tej funkcji.