Wykład 14 i 15 ekonomia matematyczna
Krzywa kontraktowa to zbiór wszystkich punktów styczności izokwant producentów
Przypomnienie:
Na krzywej kontraktowej czynników produkcji -wzrost poziomu produkcji producenta X
Na krzywej kontraktowej czynników produkcji - wzrost poziomu produkcji producenta Y
Własności punktów leżących na krzywej kontraktowej czynników produkcji.
W ustalonym punkcie Q odczytujemy wartość czynników produkcji K,L jeśli przejdziemy do punktu R to
wówczas uległy zmianie nakłady czynników produkcji K i L .Poziom produkcji producenta X wzrósł w
porównaniu z poziomem produkcji w punkcie Q a poziom produkcji producenta Y zmalał w punkcie R w
stosunku do punktu Q
Podobnie jak przejdziemy do punktu P z punktu Q. Poziom produkcji producenta X zmalał natomiast poziom
produkcji producenta Y wzrósł
Każdy punkt krzywej kontraktowej czynników produkcji określa taki poziom nakładów czynników produkcji
KL między producentów XY którego zmiana jest niemożliwa bez zmniejszenia poziomu produkcji przez
jednego z producentów
inaczej:
Nie jest możliwe zwiększenie poziomu produkcji jednego dobra bez zmniejszenia poziomu produkcji drugiego
dobra.
Każdy punkt leżący na krzywej kontraktowej czynników produkcji określa maksymalne możliwe do
wytworzenia wielkości dóbr xy.
Krzywa kontraktowa czynników produkcji pozwala wyznaczyć granice możliwości produkcyjnych to
znaczy krzywą możliwości produkcyjnych
Krzywą kontraktową możliwości produkcyjnych rysujemy w prostokątnym układzie współrzędnych XY
odczytujemy z krzywej kontraktowej czynników produkcji poziomy produkcji.
Przykładowo bierzemy punkt Q
Poziom produkcji producenta X odczytujemy z izokwanty X
2
a poziom produkcji producenta Y z izokwanty Y
2
Z krzywej kontraktowej czynników produkcji odczytujemy poziomy produkcji obu producentów i zaznaczamy
je w prostokątnym układzie współrzędnych otrzymując krzywą możliwości produkcyjnych.
1
Na tej krzywej zachowujemy taką samą kolejność punktów PQR jak na krzywej kontraktowej czynników
produkcji
Punkty poziomów produkcji na krzywej możliwości produkcyjnych producenta X
Punkty poziomów produkcji na krzywej możliwości produkcyjnych producenta Y
Własność:
Każdy punkt krzywej możliwości produkcyjnych określa maksymalną ilość jednego dobra jakie może
być wyprodukowane przy danej ilości drugiego dobra. Oczywiście jeśli nakłady czynników produkcji
zostaną wykorzystane efektywnie
u nas: Jeśli zwiększa się ilość dobra x to konieczne jest ograniczenie poziomu
produkcji dobra y. Aby zaoszczędzone w ten sposób nakłady czynników produkcji w skutek ograniczenia ich
zużycia w produkcji dobra y mogły być zużyte na zwiększenie poziomu produkcji dobra x
Dobro y jest transformowane w dobro x lub inaczej dobro y jest zastępowane dobrem x i dlatego krzywą
możliwości produkcyjnych nazywa się krzywą transformacji.
Miara tej transformacji jest krańcowa stopa transformacji
Przypomnienie.
Fakt. Rozpatrujemy funkcję C zależną od XY która jest kosztem całkowitym produkcji (koszt całkowity produkcji
zależy od poziomu produkcji każdego dobra X,Y)
Ta funkcja C(XY) spełnia wszystkie postulaty które były czynione dla funkcji produkcji i użyteczności.
: dziedzina tej funkcji jest to zbiór tych punktów płaszczyzny dla których obie
współrzędne są dodatnie. Żąda się żeby pochodne cząstkowe rzędu pierwszego tej funkcji C były ciągłe w tej
dziedzinie i żeby były dodatnie w całej dziedzinie
interpretacja: tej pochodnej cząstkowej rzędu pierwszego C względem zmiennej X
jest to koszt krańcowy produkcji dobra X i analogicznie pochodna cząstkowa rzędu pierwszego C
względem zmiennej Y ( zamiast x wstawiamy y)
Jeśli rozpatrujemy ustalony dowolny punkt należący do dziedziny funkcji (X Y ) " C to możemy
0 0
zinterpretować koszty krańcowe
2
Mianowicie:
koszt krańcowy w ustalonym punkcie.
Interpretacja ekonomiczna orzeka ze jeśli produkcja dobra X wzrośnie o jednostkę od poziomu X przy
0
ustalonym poziomie produkcji dobra Y na poziomie Y to koszt całkowity produkcji w przybliżeniu wzrośnie o
0
Tyle jednostek ile wynosi ta pochodna od poziomu kosztu całkowitego C(X Y )
0 0
Analogicznie interpretujemy koszt krańcowy względem drugiej zmiennej zamieniamy
tylko role X i Y
Jest to krańcowa stopa transformacji X za Y lub Y w X
Definicja : Krańcowa stopa transformacji dobra X za dobro Y w ustalanym punkcie
X Y równa się z definicji
0 0
w liczniku pochodna rzędu pierwszego funkcji C w punkcie X Y względem zmiennej X
0 0
w mianowniku pochodna rzędu pierwszego funkcji C w punkcie X Y względem zmienne Y
0 0
wnioski.
Krańcowa stopa transformacji jest dodatnia
wynika to z warunku 1 dla funkcji C
interpretacja
Przyrost funkcji C w ustalonym punkcie X Y dla przyrostu argumentów
0 0
(delta )  X ( delta ) Y jest w przybliżeniu równy różniczce tej funkcji C w tymże punkcie X Y i również dla tych
0 0
przyrostów  X Y
jeśli rozpatrzymy z definicji każdą stronę to po stronie lewej otrzymamy
i otrzymamy stronę prawą czyli wyrażenie
warunek orzeka że koszt całkowity jest stały zatem przyrost występujący
po lewej stronie będzie równy ) bo funkcja przyjmuje stałą wartość a tą wartością jest wartość w punkcie
(X Y ) C=const=C(X Y ) stąd wniosek ze strona lewa która jest równa 0 będzie w przybliżeniu stronie prawej
0 0 0 0
z tego wyznaczamy iloraz który występuje w definicji krańcowej stopy transformacji
3
otrzymamy w przybliżeniu
u nas: poziom produkcji dobra Y spada więc przyrost produkcji będzie ujemny
poziom produkcji dobra X rośnie wiec przyrost produkcji dobra X będzie dodatni
Przekształcamy stronę prawą i otrzymujemy
Ponieważ Y jest ujemna więc mamy moduł tego przyrostu w
liczniku
wniosek:
Krańcowa stopa transformacji równa się ilorazowi
Krańcowa stopa transformacji X za Y w punkcie (X Y ) to jest iloraz
0 0
interpretacja przybliżona . Krańcowa stopa transformacji X za Y w punkcie (X Y )
0 0
informuje o ile jednostek należy w przybliżeniu zmniejszyć produkcję dobra Y od poziomu Y aby zwiększyć
0
produkcję dobra X o jednostkę od poziomu X przy stałym koszcie całkowitym produkcji równym wartości tej
0
funkcji X Y
0 0
Fakt
W warunkach konkurencji doskonałej koszt krańcowy produkcji danego dobra równa się cenie tego
dobra
P cena dobra X P cena dobra Y
x y
to znaczy .
korzystając z tego faktu i z definicji krańcowej stopy transformacji, w której to definicji występuje iloraz
tych pochodnych cząstkowych otrzymamy wniosek
Krańcowa stopa transformacji X za Y w punkcie (X Y ) jest równa ilorazowi cen dóbr.
0 0
zachodzi to dla każdego punktu należącego do krzywej transformacji
w każdym punkcie krzywej transformacji mamy taką relację
Współczynnik kierunkowy stycznej do krzywej transformacji ( jest to analogiczna sytuacja jak w
przypadku krzywej obojętności lub izokwanty produkcji)
4
Fakt.:
Współczynnik kierunkowy stycznej do krzywej transformacji jest równy krańcowej stopie transformacji
X za Y ze znakiem przeciwnym
W ekonomi matematycznej rozważa się równowagę cząstkową i ogólną
Równowaga ogólna
Równowaga cząstkowa jest to równowaga ustalonego rynku np. rynku dóbr konsumpcyjnych rynku czynników
produkcji.
Ta równowaga cząstkowa nie uwzględnia wzajemnych powiązań rynków bo mamy tylko jeden rynek.
Natomiast równowaga ogólna to równowaga całej gospodarki, w której wszystkie rynki osiągają równowagę
równocześnie zatem równowaga ogólna uwzględnia wzajemne powiązania rynków. jest to istotna różnica
między równowagą ogólną a cząstkową
Założenia
1. Rozpatruje się gospodarkę z dwoma rynkami.
Pierwszy rynek to rynek dóbr konsumpcyjnych- (już omawiany)
Drugi rynek to rynek czynników produkcji - (już omawiany)
2.Gospodarka jest doskonale konkurencyjna tzn. każdy z rozpatrywanych rynków jest doskonale
konkurencyjny
3.Gospodarka wytwarza dwa dobra X,Y dla dwóch konsumentów A i B przy użyciu dwóch czynników
produkcji K- kapitału L-praca
4.zasoby gospodarki są ograniczone i stałe a ich wykorzystanie jest pełne
5. Cała produkcja jest konsumowana.
(w równowadze ogólnej oba rynki muszą być równocześnie w równowadze będziemy żądać aby zachodziła
równowaga rynku dóbr konsumpcyjnych i rynku czynników produkcji)
Korzystamy z warunku równowagi na rynku dóbr konsumpcyjnych otrzymamy
Krańcowa stopa substytucji dobra X za Y dla konsumenta A ma się równać krańcowej stopie substytucji dla
konsumenta B wiemy ze każda z tych krańcowych stóp ma być ilorazem cen dóbr
oznaczamy ten warunek jako (a)
rozpatrujemy pierwsza równość oznaczamy ten warunek jako (1)
interpretacja:
Krańcowa stopa substytucji dobra X jest równa krańcowej stopie substytucji dobra Y czyli
Krańcowe stopy substytucji między dobrami są równe dla obu konsumentów
Gospodarka doskonale konkurencyjna zapewnia optymalny podział produktów między konsumentów
Z warunku równowagi na rynku czynników produkcji otrzymamy
Wspólna ich wartość równa się ilorazowi cen jednostkowych czynników
produkcji
5
 analogicznie rozpatrujemy drugą równość i oznaczamy jako (2)
ta równość orzeka że:
Krańcowe stopa technicznej substytucji pomiędzy czynnikami produkcji KL są równe w obu dziedzinach
wytwórczości
Interpretacja:
Gospodarka doskonale konkurencyjna zapewnia optymalny podział nakładów czynników produkcji między
producentów
Krańcowa stopa transformacji w każdym punkcie krzywej transformacji jest równa ilorazowi
cen dóbr konsumpcyjnych
Krańcowa stopa transformacji jest równa ilorazowi cen dóbr XY
oznaczmy to jako (b) W ekonomi ten warunek nosi nazwę warunku możliwości
. produkcyjnych
Warunki a i b prawe strony tych równań orzekają ,że mamy iloraz cen dóbr.
Skoro strony prawe są równe to strony lewe też są równe zatem otrzymamy następującą relację im
otrzymujemy podwójną równość
oznaczmy to jako (3)
Równowaga ogólna gospodarki doskonale konkurencyjnej to jest taka alokacja zasobów która spełnia
warunki 1,2,3 czyli dla której rynek dóbr konsumpcyjnych jest w równowadze(war.1) i rynek czynników
produkcji jest w równowadze(war.2) i zachodzi relacja między rynkami określona warunkiem trzecim.
Warunek trzeci wiąże oba rynki
Interpretacja warunku trzeciego:
Krańcowa stopa transformacji dóbr w procesie produkcji równa jest krańcowym stopom substytucji ,
substytucji dóbr obu konsumentów.
W ekonomi matematycznej nazywa się to wielkim kryterium jednoczesnej optymalizacji produkcji i
wymiany.
Interpretacja geometryczna równowagi ogólnej:
Równowaga na rynku dóbr konsumpcyjnych jest punktem na krzywej kontraktowej dóbr
konsumpcyjnych w którym krzywe obojętności konsumentów są styczne do linii budżetowej
Równowaga na rynku .
Równowaga na rynku czynników produkcji jest punktem na krzywej kontraktowej czynników
produkcji w którym izokwanty produkcji są styczne do linii jednakowego . Jest to taka kombinacja
czynników produkcji KL dla której poziomy produkcji producentów XY są maksymalne.
Jeśli wykorzystamy warunek trzeci i warunek [ a lub b] interpretacje geometryczne wielkości w nich
występujących to otrzymamy wniosek:
Równowaga ogólna jest takim punktem na krzywej transformacji w której
styczna do tej krzywej transformacji pokrywa się z linia budżetową.
6
Producenci produkują ilość dóbr X Y ponieważ znajdujemy się na krzywej kontraktowej to są
R R
maksymalne poziomy produkcji dla tych maksymalnych poziomów produkcji producenci uzyskują
maksymalny zysk. Jednocześnie te same wielkości produkcji dóbr są przez konsumentów
konsumowane i w ramach tej konsumpcji konsumenci osiągają maksymalną użyteczność. Wynika z
tego równowaga Popyt równa się Podaży
Optimum Pareto
Definicja
Mówimy, że alokacja zasobów jest optymalna w sensie Pareto jeżeli niemożliwa jest taka zmiana tej
alokacji, która zwiększyłaby korzyść co najmniej 1 osoby bez pogorszenia sytuacji dobrobytu co
najmniej 1 osoby
Np. jeśli całe zasoby posiada jedna osoba to jest to alokacja optymalna w sensie Pareto
Uzasadnienie.:
nie można już zwiększyć zasobów tej właśnie osoby gdyż posiada ona już całe zasoby i nie można
zwiększyć zasobów żadnej z pozostałych osób bez pogorszenia sytuacji tej właśnie osoby posiadającej
całe zasoby.
Istnieje nieskończenie wiele alokacji zasobów optymalnych w sensie Pareto
Przykład:
W przypadku gospodarki jednosektorowej z doskonale konkurencyjnym rynkiem dóbr
konsumpcyjnych, każdy punkt krzywej kontraktowej dóbr konsumpcyjnych jest
Optimum Pareto
W przypadku omawianym: gospodarki doskonale konkurencyjnej dwusektorowej istnieje
nieskończenie wiele Optimum Pareto
Natomiast równowaga ogólna jest realizacją szczególnego wariantu Optimum Pareto mianowicie
zachodzi twierdzenie: Równowaga ogólna gospodarki doskonale konkurencyjnej jest
Optimum Pareto
Repetytorium:
1.Równowaga konsumenta-analitycznie rozwiązujemy to zagadnienie i geometrycznie
2.Równowaga producenta  analitycznie i geometrycznie
3.Równowaga na rynku dóbr konsumpcyjnych- interpretacja geometryczna tej równowagi.- trzeba znać
elementy które występują w tej interpretacji
4.Równowaga na rynku czynników produkcji- interpretacja geometryczna - należy znać elementy w tej
interpretacji występujące i własności tych elementów
5.równowaga ogólna interpretacja geometryczna znać elementy tych interpretacji(krzywa transformacji,
linia budżetowa) i własności .znać definicje optimum Pareto i relacje między równowagą ogólnąa optimum
Pareto
6.Krańcowe stopy substytucji interpretacja
Uwaga krańcowa stopa substytucji - krańcowa stopa technicznej substytucji - krańcowa stopa
transformacji - wszystkie są dodatnie a
-
7
ich interpretacje sa przybliżone
-Dla krańcowej stopy substytucji zachodziła stała użyteczność i dlatego otrzymaliśmy interpretację
przybliżoną
-Dla krańcowej stopy technicznej substytucji był stały poziom produkcji i dlatego otrzymaliśmy
interpretację przybliżoną
-Dla krańcowej stopy transformacji był stały koszt produkcji i dlatego otrzymaliśmy interpretację
przybliżoną
7.Linia budżetowa  definicja jej własności , współczynnik kierunkowy
8.Linia jednakowego kosztu definicja własności i współczynnik kierunkowy
9.W jakich zagadnieniach brały udział linia budżetowa i linia jednakowego kosztu( w szczególności w
równowagach). Np. w przypadku równowagi ogólnej wystąpiła linia budżetowa wiedzieć gdzie te linie
występują
10.Krzywe obojętności definicja, własności, współczynnik kierunkowy do stycznej do krzywej obojętności.
11.Izokwanta produkcji definicja, własności, współczynnik kierunkowy stycznej do izokwanty produkcji
12.Krzywa kontraktowa dóbr konsumpcyjnych definicja, własności tej krzywej i w jakich zagadnieniach ona
występowała
13.Krzywa kontraktowa czynników produkcji- definicja , własności i w jakich zagadnieniach występuje
14.krzywa transformacji inaczej krzywa możliwości produkcyjnych definicja , własności i w jakich
zagadnieniach występuje
15.krańcowa użyteczność względem ustalonego dobra- definicja, interpretacja przybliżona
16.krańcowa produktywność względem ustalonego czynnika produkcji-definicja , przybliżona interpretacja
17.Elastyczność funkcji użyteczności względem ustalonego dobra definicja oraz przybliżona interpretacja
18 Elastyczność funkcji produkcji względem ustalonego czynnika produkcji - definicja , przybliżona
interpretacja
19.Efekt skali produkcji - definicja, interpretacja
20.Stopień jednorodności funkcji produkcji i jej związek z efektem skali produkcji
21.Warunek Eulera konieczny dostateczny jednorodności
22.Zmiana poziomu produkcji w zależności od zmian czynników produkcji
23.Elastyczność popytu-elastyczność łukowa jej interpretacja oraz jej obliczanie w przypadku ciągłym i
dyskretnym
Przypomnienie model równowagi statycznej
Cena równowagi wyraża się wzorem
Popyt i podaż zależą od ceny
Zależą od czasu
8
 w każdym momencie zmiana cen jest wprost proporcjonalna do przyrostu D-S występującego właśnie w tym
momencie
Jeśli cena jest niższa niż cena równowagi to mamy nadwyżkę popytu w przeciwnym przypadku mamy
nadwyżkę podaży
9