MB, Wykład 6, Cz.1
7. Obliczanie przemieszczeń ustrojów statycznie wyznaczalnych (USW)
7.1. Zasada pracy wirtualnej
Zajmujemy się wyznaczaniem uogólnionych przemieszczeń w USW wywołanych przez 3
przyczyny (działania):
p) obciążenia statyczne (statycznie przykładane) którymi są wszelkiego rodzaju siły
uogólnione,
t) zmiany temperatury, dla równomiernych lub nierównomiernych ogrzewań prętów,
g) wstępne przemieszczenia więzów , np. osiadania podpór, niedokładności montażu itp.
7.1.1 Praca wirtualna uogólnionych sił przekrojowych
Korzystamy z zasady prac wirtualnych dla pól sił przekrojowych w stanie i-tym
Mi (x), Ni (x), Qi (x) . (44)
W stanie j-tym działają 3 wymienione przyczyny wywołujące przemieszczenia
"M , "N , "Q . (45)
j j j
Praca wirtualna obciążeń
Uogólnione przemieszczenia wirtualne sił przekrojowych wynoszą:
M N � Qp
p p
"M = ds, "N = ds, "Q = . (46)
p p p
EI EA GA
i dają elementarna pracę wirtualna dla elementu długości pręta dx:
Mi M Ni N � Qi Qp
�ł �ł
p p
w
�ł �ł
dWip = (Mi "M + Ni "N + Qi "Q)= + + dx (48)
p p p
�ł �ł
EI EA GA
�ł łł
Całkowita praca wirtualna jest określona wzorem
Mi M Ni N � Qi Qp
p p
w
Wip = dx + dx + dx . (49)
" " "
+" +" +"
EI EA GA
u u u
(l) (l) (l)
Praca wirtualna od zmian temperatury
Zakładamy liniową zmianę temperatury T (y) wzdłuż wysokości przekroju. Dalej pola
temperatury dla wybranych brzegów prętów oznaczamy przez:
Td (x) =T (x; yd ), Tg (x) =T (x; yg ), "T (x) = Td (x) - Tg (x), T0(x) =T (x;0). (50)
25
Oznaczamy temperatury zaznaczono na Rys. 28a
Rys. 28
Z przyrostów temperatur i współczynnika rozszerzalności liniowej wynikają uogólnione
przemieszczenia wirtualne:
Tg - Td ą "T
M N Q
"T = ą ds = ds, "T = ą T0 ds, "T = 0 . (52)
h h
Całkowita praca wirtualna sił przekrojowych od zmiany temperatury jest określona wzorem:
ą "T
w
WiT = Mi ds + Nią T0ds (53)
" "
+" +"
h
u u
(l) (l)
Praca wirtualna od zadanych przemieszczeń więzów
Przemieszczenia więzów USW wywołują przemieszczenia ustroju jako ciała sztywnego.
Stąd wynika brak przemieszczeń przekrojów od znanych przemieszczeń więzów:
N
"M = 0, " = 0, "Q = 0, (54)
g g g
A więc praca wirtualna USW jest równa zeru:
w
Wig = 0 . (55)
Zasada pracy wirtualnej (ZPW)
Jeśli ustrój znajduje się w równowadze pod działaniem czynników zewnętrznych, to dla
każdego pola przemieszczeń wirtualnych praca uogólnionych sił zewnętrznych jest równa
pracy sił wewnętrznych (sił przekrojowych).
z w
Wij = Wij . (56)
ZPW jest jedną z najogólniejszych zasad mechaniki i obowiązuje zarówno w układach
liniowych jak też nieliniowych (w tym sprężystych i niesprężystych). ZPW obowiązuje zarówno
dla obciążeń potencjalnych (np. ciężar własny) jak też niepotencjalnych (np. parcie wiatru),
nazywanych problemami konserwatywnymi lub niekonserwatywnymi.
26
ZPZ stosuje się do wyprowadzenia równań równowagi dla dowolnych ustrojów (nie tylko
prętów, ale też płyt i powłok). Zasada pozwala też wyprowadzić spójne równanie równowagi i
warunki brzegowe.
2. Wzór Maxwella-Mohra
ZPW stosujemy do obliczania przemieszczeń USW. Pokazujemy to na przykładzie ramy
płaskiej, Rys. 29.
Rys. 29
Rozważamy 2 stany. W stanie j-tym (dla j = p, T, g ) USW jest poddany działaniu
czynników zewnętrznych (obciążenia, zmiany temperatury i osiadaniu podpór (na Rys. 29
podpora B osiada o wartość "B = "3 ). W stanie i- tym występuje tylko jedna uogólniona siła
Pi = 1, przyłożona w punkcie C i działająca w punkcie przyłożenia i po kierunku poszukiwanego
przemieszczenia i-tego. Uogólniony charakter siły Pi odpowiada uogólnionemu przemieszczeniu
(siła skupiona odpowiada przemieszczeniu przesuwnemu, moment, kątowi obrotu).
W stanie j-tym obliczamy pola sił wewnętrznych M (x), N (x), Q (x) od obciążeń
j j j
działających na USN. W stanie i-tym są obliczane reakcje Rk oraz pola sił wewnętrznych
M (x), N (x), Q (x) od siły jednostkowej Pi = 1. Przyjmujemy, że wykonują one pracę na
j j j
przemieszczeniach stanu j-tego, które traktujemy jako wirtualne. Dla takich stanów piszemy
Zasadę Prac Wirtualnych):
z w
Wij a" Pi"ij + Rk"k = Wij , (57)
"
k
która dla Pi = 1daje:
1
�łW - " Rk "k �ł
w
"ij = . (58)
�ł �ł
Pi ij
�ł k łł
W ten sposób jest wyprowadzony wzór Maxwella-Mohra (MM), który w postaci ogólnej
ma postać:
27
Mi M Ni N � Qi Qj
j j
"ij = dx + dx + dx +
" " "
+" +" +"
EI EA GA
u u u
(l) (l) (l)
(59)
ą "T
Mi dx + Ni ą T0 dx -"
Rk "k.
" "
+" +"
h
u u k
(l) (l)
Wzór podaje uogólnione przemieszczenie w kierunku i-tym od wszystkich zewnętrznych
przyczyn występujących w stanie j. We wzorze (8) wielkości z nadkreśleniami odnoszą się do i-
tego stanu jednostkowego, w którym ustrój jest obciążony tylko jedną jednostkową i
bezwymiarową uogólnioną siłą Pi = 1.
W zależności od przyczyn i typu USN wzór może zawierać tylko wybrane człony. Np. w
przypadku niepodatnych więzów wszystkie "k = 0 i znika ostatni człon w (59). Jeśli ustrój typu
ramowego jest złożony ze smukłych prętów to zachowujemy tylko człony z polami momentów.
Jeśli pręty będą krepe to uwzględniamy człon z siłami poprzecznymi. W kratownicach
zachowujemy tylko człony z siłami podłużnymi itd.
Przykład 1. Jako prostą ilustrację rozpatrujemy obliczanie ugięć belki przegubowo podpartej,
Rys.30. Zakładamy, że belka jest o przekroju prostokątnym b�h i moduł ścinania G = (3/ 8)E.
Zajmujemy się dwoma przypadkami obciążenia: a) obciążenie równomiernie rozłożone q , b)
siła skupiona P , Rys. 30a,b. Celem obliczenia ugięcia w środku belki przykładamy siłę P1 = 1 ,
Rys. 30c.
Rys. 30
Dla przypadków a, b, c) piszemy pola momentów i sił poprzecznych:
q l
�ł
a) M = (lx - x2), Qq = q - x�ł dla 0 d" x d" l
�ł �ł
q
2 2
�ł łł
x l
ńłP
P l
ńł
dla 0 d" x d"
dla 0 d" x d"
�ł
�ł
2 2
�ł �ł
2 2
b) M = , QP =
�ł �ł
P
�łP�ł l - x �ł dla l d" x d" l �ł- P dla l < x d" l
�ł �ł
�ł
�ł
2 2 2
ół 2 2
�ł łł
ół
28
x l 1 l
ńł ńł
�ł2 dla 0 d" x d" 2 �ł2 dla 0 d" x < 2
�ł �ł
c) Mi = Qi =
�ł �ł
l x l
�ł �ł- 1 dla l < x d" l
�ł2 - 2 dla 2 d" x d" l, �ł
ół ół 2 2 2
We wzorze (59) M-M zachowujemy wyrazy odpowiadające momentowi zginającemu i sile
poprzecznej
l l
M1M � Q1 Qp
p
"1p = dx + dx (60)
+" +"
EI GA
0 0
Dalej maksymalne ujęcie oznaczymy przez "1p = f i obliczamy je dla przypadków
a) i b):
l / 2 l
�ł
q x l x lx x2 �ł łł
�ł �ł�ł
a) f = (lx - x2)dx + - �ł�ł - �ł
+
�ł
�ł +" +"
EI 4 2 2
0 l / 2 �ł łł�ł 2 2 �łdxśł
�ł śł
�ł łł
�ł �ł
l
1.2q �łl / 2 1 l łł
�ł �ł- 1 l
�ł�ł
�ł - x�ł dx +
�ł �ł �ł�ł - x�łdxśł =
�ł
+" +"
�ł
3
2 2 2 2
0 �ł łł l / 2 �ł łł�ł łł
�ł �ł
EA
8
�ł
5 ql4 385 6 I 5 ql4 �ł
�ł1+ �" �" �ł
�ł1+ 2.56 h2 �ł
= =
�ł �ł
�ł
384 EI 15 A 384 EI
5l2 l2 �ł
�ł łł
�ł łł
(61)
2
�łl / 2 łł l
�łl / 2 łł
P x2 l l x 6 �"8 P 6 �"8 P 1 1
�ł �ł
b) f = �ł dx + - �ł
dx + + dx + dxśł =
śł
�ł
+" +" +" +"
�ł
EI 4 2 2 5�" 3 EA 5 �"3 EA 4 4
�ł łł
�ł 0 l / 2 śł �ł 0 l / 2 �ł
�ł �ł
Pl3 48 48 I Pl3 �ł h2 �ł
�ł1+ �" �" �ł
�ł1+ 3.2 �ł
=
�ł �ł
�ł
48EI 48EI
�ł l2 15 �" 4 A łł l2 �ł
�ł łł
W obliczeniach zginanych PUP często zachowujemy we wzorach M-M tylko człon z
momentami zginającymi. W rozwiązaniach (61) widać, że błąd popełniony przez pomijanie
wpływu sił poprzecznych dla belki obciążonej siłą skupioną wynosi:
h2
B = 3.2 �"100% (62)
2
l
a więc zależy od smukłości belki określanej stosunkiem wymiarów h / l . W tablicy 1 podano
wartości B(h / l). Widać, że dla h / l < 1/10 błąd wynosi B d" 3.2% . Dlatego iloraz l/h jest
oszacowaniem prętów smukłych (l / h > 10) od krępych(l / h < 8)
l/h 5 8 10 15 20
B [%] 12.8 5 3.2 1.42 0.8
Tablica 1
29
Przykład 3. Przykłady stanów jednostkowych
Rys. 31
Przykład 2. Obliczyć przemieszczenia uA, vA i � końca smukłego, płaskiego pręta kołowego o
A
sztywności na zginanie EI = const ., Rys. 32
Rys. 32
Pola momentów
M (�) = -P r sin� , M1(�) = 1� r sin� , M (�)= 1� r �(1- cos�), M (�) = -1.
p 2 3
We wzorze MM uwzględniamy jedynie człon od zginania
Ą / 2
Mi M
1
p
"ip = ds = Mi M r d�
+" +"
p
EI EI
(l) 0
30