Dynamika
Dynamika - dział mechaniki
®ð zwiÄ…zek miÄ™dzy wzajemnym
oddziaływaniem ciał
a zmianami ich ruchu.
Podstawy dynamiki
pð Zasady dynamiki
pð SiÅ‚y
pð Praca, moc, energia
Podstawy dynamiki
rð rð rð
pð opis ruchu za pomocÄ… wektorów ðð podejÅ›cie
r, v, a
geometryczne
pð przyczyny ruchu ðð dynamika ðð mechanika klasyczna
pð poznanie rodzaju i pochodzenia siÅ‚y dziaÅ‚ajÄ…cej na ciaÅ‚o
pð skutki dziaÅ‚ania siÅ‚y
pð oddziaÅ‚ywania wystÄ™pujÄ…ce w przyrodzie.
Podstawy dynamiki  wiadomości wstępne
pð m - masa punktu materialnego  dodatnia wielkość
skalarna, miara bezwładności ciała
ðð nie zależy od stanu ruchu tego ciaÅ‚a
ðð wielkość addytywna
ðð zasada zachowania masy,
pð p - pÄ™d  iloczyn jego masy i prÄ™dkoÅ›ci (wektor!)
rð rð
p =ð m ×ð v
pð F - siÅ‚a - miara oddziaÅ‚ywania na dane ciaÅ‚o ze
strony innych ciał (wektor!)
Zasady dynamiki
Podstawowa teoria, która pozwala nam przewidywać
ruch ciał
®ð zasady dynamiki Newtona (1687 r)
Newton Isaac Sir (1643-1727), fizyk,
matematyk, filozof i astronom angielski.
Profesor fizyki i matematyki uniwersytetu
w Cambridge 1669-1701, członek Royal
Society od 1672 i jego prezes od 1703,
członek paryskiej Akademii Nauk od 1699.
W 1705 otrzymał tytuł szlachecki.
(Zasada bezwładności)
I zasada dynamiki
Ciało, na które nie działa żadna siła (lub gdy siła
wypadkowa jest równa zeru) pozostaje w spoczynku
lub porusza się ze stałą prędkością po linii prostej.
Wnioski
rð
F wyp
Siła wypadkowa jest sumą wektorową wszystkich sił
działających na ciało
rð
rð
F =ð 0
ðð Jeżeli wyp to również przyspieszenie ciaÅ‚a
a =ð 0
a to oznacza, że nie zmienia się ani wartość ani kierunek prędkości,
tzn. ciało jest w stanie spoczynku lub porusza się ze stałą co do
wartości prędkością po linii prostej.
I zasada dynamiki
ðð Nie ma rozróżnienia miÄ™dzy ciaÅ‚ami spoczywajÄ…cymi i
poruszającymi się ze stałą prędkością.
ðð Nie ma też różnicy pomiÄ™dzy sytuacjÄ…, gdy nie
działa żadna siła i przypadkiem, gdy wypadkowa
wszystkich sił jest równa zeru.
ðð Jeżeli na ciaÅ‚o nie dziaÅ‚ajÄ… siÅ‚y zewnÄ™trzne to istnieje taki ukÅ‚ad
odniesienia, w którym to ciało spoczywa lub porusza się ruchem
jednostajnym prostoliniowym ðð ukÅ‚ad inercjalny.
ðð Każdy ruch musi być opisany wzglÄ™dem pewnego ukÅ‚adu
odniesienia.
ðð We wszystkich ukÅ‚adach inercjalnych ruchami ciaÅ‚
rządzą dokładnie te sama prawa.
II zasada dynamiki
Szybkość zmiany pędu ciała równa jest wpadkowej
sile działającej na to ciało (siła działająca na ciało
jest równa pochodnej pędu względem czasu)
rð
rð
dp
Fwyp =ð
dt
gdy
m =ð const
rð rð rð
rð
d p d (m×ð v) d v
rð
Fwyp =ð =ð =ð m×ð =ð m×ða
d t d t d t
Wnioski
II zasada dynamiki
rð
rð
rð
Fwyp
dp
rð
Fwyp =ð
a =ð
ðð Równania ruchu
dt
m
ðð Przyspieszenie ciaÅ‚a jest proporcjonalne do dziaÅ‚ajÄ…cej
na ciało siły wypadkowej (współczynnik proporcjonalności
to odwrotność masy).
ðð Im wiÄ™ksza jest masa, tym mniejsze przyspieszenie
wywołane przez siłę.
III zasada dynamiki
Gdy dwa ciała oddziałują wzajemnie, to siła
wywierana przez ciało drugie na ciało pierwsze jest
równa i przeciwnie skierowana do siły, jaką ciało
pierwsze działa na drugie.
rð rð
F =ð -ðF
A®ðB B®ðA
III zasada dynamiki
Wnioski
ðð Każdej akcji towarzyszy zawsze równa co do wartoÅ›ci, lecz
przeciwnie skierowana reakcja.
ðð OddziaÅ‚ywania wzajemne dwóch ciaÅ‚ sÄ… zawsze
równe co do wartości, ale przeciwnie skierowane.
ðð SiÅ‚y zawsze wystÄ™pujÄ… parami, ale sÄ… przyÅ‚ożone do
różnych ciał.
ðð Gdyby byÅ‚y przyÅ‚ożone do jednego ciaÅ‚a, to znosiÅ‚yby siÄ™
i w naszym świecie nie byłoby ruchów zmiennych.
Siła ciężkości
rð
Fg
Siła ciężkości (grawitacji) - siła, z jaką dane ciało jest
przyciągane przez inne ciało.
W przypadku Ziemi, przy założeniach:
Jednostka siły
- Ziemia - układ inercjalny
w układzie SI
- brak oporu powietrza
1 niuton (N)
Fg =ð mg
g = 9,80665 m/s2
gdzie g - przyspieszenie ziemskie
ðð Ciężar ciaÅ‚a W - wartość bezwzglÄ™dna siÅ‚y potrzebnej do
zapobieżenia spadkowi ciała, mierzonej przez obserwatora na Ziemi.
Ciężar W jest równy wartości bezwzględnej siły ciężkości Fg działającej na
to ciało W = mg
Ważenie ciała - wyznaczenie jego ciężaru
Siły kontaktowe
ðð WystÄ™pujÄ… przy dociskaniu do siebie dwóch ciaÅ‚.
ðð y
ródłem tych sił jest odpychanie pomiędzy atomami.
rð
F
ðð SiÅ‚a przyÅ‚ożona jest tylko do ciaÅ‚a m1,
ale nadaje przyspieszenie obu klockom.
rð
Fk
ðð SiÅ‚a kontaktowa , z jakÄ… klocek o masie m1
działa na klocek o masie m2, nadaje
przyspieszenie klockowi m2.
ðð Wartość siÅ‚y kontaktowej
rð
rð
Fk =ð m2 ×ð a
Siły tarcia
ðð ciaÅ‚a poruszajÄ…ce siÄ™ napotykajÄ… na opór ze strony
ośrodka, w którym się poruszają,
rð
Ft
ðð jednÄ… z siÅ‚ oporu jest siÅ‚a tarcia
F
Fn
ðð siÅ‚a jest proporcjonalna do siÅ‚y nacisku
t
oraz współczynnika tarcia poślizgu
mð
ðð współczynnik tarcia statycznego lub dynamicznego
(w przypadku ruchu) zależy od rodzaju powierzchni trących
ðð wartość siÅ‚y tarcia jest równa
Ft =ð mð ×ð Fn
Siły tarcia - przykład
Napisz równanie ruchu dla ciała o masie m zsuwającego się z
równi pochyÅ‚ej o kÄ…cie nachylenia að. Współczynnik tarcia miÄ™dzy
ciaÅ‚a a równia wynosi mð.
rð
rð rð rð
R
Q =ð Qn +ð Qs rð
FT
rð rð rð rð
rð
Fwyp =ð Q +ð FT +ð R
Qs
rð
rð
Qn
Q
Fwyp
rð
a =ð
m
Praca, moc, energia  praca
Praca W wykonana przez stałą siłę F jest iloczynem skalarnym tej
siły F i wektora przesunięcia s
rð
rð
W =ð F oð s =ð F ×ð s×ðcosað
ðð W > 0 gdy Ä… < 90°,
ðð W < 0 gdy Ä… > 90°,
ðð W = 0 gdy Ä… = 90°.
W trakcie podnoszenia ciała na wysokość h, człowiek działa
siłą F równą ciężarowi ciała ale przeciwnie skierowaną, więc
wykonuje "dodatniÄ…" pracÄ™ W = mgh
rð
h
F
" Praca wykonana przez człowieka jest równa co do
wartości "ujemnej" pracy wykonanej przez siłę ciężkości.
vð
Q
Praca, moc, energia  praca
Praca wykonana przez siłę zmienną -
ruch prostoliniowy
x2
n
DðWi =ð Fi ×ðDðx
W =ð lim
åðF ×ðDðx =ð
i
òðF(x)dx
Dðx®ð0
i=ð1
x1
n
Jednostką pracy w układzie SI - dżul (J);
W =ð
åðF ×ðDðx
i 1J = 1N·m.
W fizyce atomowej powszechnie używa się jednostki
i=ð1
elektronowolt (eV); 1eV = 1.6·10-19 J.
Praca, moc, energia  praca  przykład
Sprężyna zamocowana jednym końcem i
rozciąganą siłą F tak, że jej koniec
przemieszcza siÄ™ o x.
F(x)
Siła wywierana przez sprężynę jest siłą
przywracającą równowagę:
F=kx
F = -k x
kx
Aby rozciągnąć sprężynę, musimy przyłożyć
siłę równą co do artości, lecz przeciwnie
skierowanÄ…:
x
F = k x.
x
x
x x
kx2 kx2
Praca:
W =ð
òðFdx =ð òð(kx)dx =ð 2 =ð 2
0 0
0
Praca, moc, energia  moc
Moc P definiujemy jako ilość wykonanej pracy
do czasu w jakim została ona wykonana.
Jeżeli praca W zostaÅ‚a wykonana w czasie Dðt to
średnia moc jest dana wzorem:
DðW
P =ð
Dðt
Dla przedziaÅ‚u czasu Dðt ®ð O mówimy o mocy chwilowej:
Jednostką mocy w układzie SI - wat
DðW dW
P =ð =ð
lim (W)
Dðt dt
Dðt®ð0
1W = 1J/1s.
Dla stałej siły F wzór ten przyjmuje postać:
rð
rð
rð
dW F ×ðds rð
P =ð =ð =ð F oð v
dt dt
Praca, moc, energia  energia
ðð Energia kinetyczna ðð okreÅ›lona przez masÄ™ i prÄ™dkość ciaÅ‚a
ðð Energia potencjalna ðð okreÅ›lona przez masy ciaÅ‚ i ich wzajemne poÅ‚ożenie
Energią kinetyczna - iloczyn masy ciała i kwadratu prędkości podzielony
przez 2
m×ð v2
Ek =ð
2
Zależność między pracą i energią kinetyczną
Praca wykonana przez wypadkową siłę F działającą na punkt
materialny jest równa zmianie energii kinetycznej tego punktu.
W = Ek  Ek0
Praca, moc, energia  energia
Energia potencjalna w jednorodnym polu grawitacyjnym
Pole jednorodne -działa na ciało siłą o stałej wartości, kierunku i zwrocie
niezależnie od położenia ciała.
1
Energia potencjalna jest energią, którą dane
ciało, podlegające działaniu pewnej siły,
P
ma dzięki swemu położeniu w przestrzeni.
Energią potencjalną ciała w punkcie P względem punktu
O
2
O nazywamy pracę, jaką wykonuje siła zachowawcza
przy przesunięciu tego ciała od punktu P do punktu O.
GrawitacyjnÄ… energiÄ™ potencjalnÄ…
(przy powierzchni Ziemi) określamy
jako pracę siły ciężkości mg na pionowym
torze o wysokości h:
Ep =ð m×ð g ×ðh +ð E0
Praca, moc, energia  energia
Siłę jest zachowawcza, jeżeli praca wykonana przez nią nad punktem
materialnym poruszającym się między dwoma punktami zależy tylko od tych
punktów, a nie od łączącej je drogi.
Siła jest zachowawcza, jeżeli praca wykonana przez tę siłę nad punktem
materialnym, który porusza się po dowolnej drodze zamkniętej jest równa
zeru.
Praca siły ciężkości mg na drodze
zamkniętej jest równa zeru.
Energia potencjalna jest wielkością
niekierowaną, czyli skalarem. Może
przybierać wartości ujemne.
Siły bezwładności
Czy wszystkie zagadnienia możemy rozwiązać
w inercjalnych układach odniesienia?
Jeżeli układ odniesienia porusza się ruchem przyspieszonym względem
otoczenia (układ nieinercjalny), to dla obserwatora w tym układzie ciała też
poruszajÄ… siÄ™ ruchem przyspieszonym, lecz w przeciwnym kierunku. WyglÄ…da to
tak samo jakby dziaÅ‚aÅ‚a na nie jakaÅ› siÅ‚a ðð siÅ‚a bezwÅ‚adnoÅ›ci
Siły bezwładności - przykłady
Siła bezwładności podczas ruszania pojazdu - gdy samochód
rusza do przodu siła bezwładności wciska pasażerów w fotel,
Siła bezwładności podczas hamowania pojazdu - gdy samochód
(lub inny pojazd) nagle hamuje, wtedy siła bezwładności rzuca
pasażerem do przodu,
Siła odśrodkowa - gdy siedzimy na wirującej karuzeli siła
bezwładności (nazywana w tym przypadku "siłą odśrodkową")
wypycha nas i przedmioty przez nas trzymane na zewnątrz okręgu,
faktycznie działającą siłą na ciało jest  siła dośrodkowa .
Siły bezwładności w ruchu prostoliniowym
nieinercjalnego układu odniesienia
rð
położenie punktu m Związek między położeniem punktu m
r ®ð x(t)
w układzie XOY w obu układach odniesienia:
rðóð
położenie punktu m
óð
x (t) =ð x(t) -ð x0(t)
óð
r ®ð x (t)
w układzie X`O`Y`
Ponieważ przyspieszenie:
rð
położenie punktu O`
2
r0 ®ð x0(t)
dv(t) d x(t)
w układzie XOY
a =ð =ð
dt dt2
Układ X`O`Y` -
ruchomy wzgl.XOY
óð
a =ð a -ð a0
stÄ…d:
nieinercjalny
óð
ma =ð ma -ð ma0
a zatem:
rð
rðóð
r0 0`
rð óð
ma =ð F -ð FB
i ostatecznie:
r
r
rð
rð
0
FB =ð -ðm×ða0 siÅ‚a bezwÅ‚adnoÅ›ci.
Układ XOY 
rð rðóð rð
 nieruchomy
rð
r(t) =ð r (t) +ð r0(t)
a0 przyspieszenie unoszenia ciała
inercjalny
m w układzie X`O`Y`
Siły bezwładności - przykład
rðóð rð
Y`
a =ð -ða0 UkÅ‚ad
nieinercjalny
rð
FB m
rðX`
a0
Y
rð
Układ
a =ð 0
inercjalny
X
rð rðóð rð
Gdy:
a =ð 0 Þð a =ð -ða0
niezrównoważona siła bezwładności
rð
rð
FB =ð -ðm×ða0 dziaÅ‚ajÄ…ca na klocek w ukÅ‚adzie X`O`Y`
Siły bezwładności - przykłady
rð
rð
ao =ð 0
WINDA
ao
R`=mg
R` > mg
rð
rð
FB =ð -ðm ×ða0
FB
Q=mg R=mg
Q=mg R > mg
R`-ðQ
a0 =ð
W układzie inercjalnym Ziemi:
m
wskazanie wagi:
R =ð R`=ð ma0 +ð mg
rð rð rð
W układzie nieinercjalnym windy:
R`+ðFB +ð Q =ð 0Þð R`-ðma0 -ð mg =ð 0
wskazanie wagi:
R =ð R`=ð ma0 +ð mg
Siły bezwładności w ruchu obrotowym
Siła bezwładności odśrodkowa  przykład
rð
mv2
rð
Fo =ð
N
N
r
rð
rð
Fd
N
rð
r
Fo
rð
rð
rð
Q
Q
Q
Układ inercjalny -
Równowaga
siła przyłożona
Układ nieinercjalny
dośrodkowa Fd
- siła bezwładności
rð
vð
odśrodkowa FO
rð
Q +ð N =ð 0 rð
rð
Q +ð N
rð rð rð
rð Fd
a =ð =ð
Q +ð N +ð Fo =ð 0
m m
Siła bezwładności Coriolisa
rð
rð rðóð)
FC =ð -ð2×ðm×ð(wð ´ð v
Kiedy poruszamy się wzdłuż równika
w kierunku wschodnim lub zachodnim
doznajemy siły działającej odpowiednio
 w górę lub  w dół .
Przy ruchu w kierunkach na północ lub
południe, kierunek odchylenia zależeć będzie
od półkuli:
-na półkuli północnej FC działa  w prawo
Ciało spadające swobodnie (z wysokiej
względem kierunku prędkości
wieży) z prędkością v` , pod wpływem
- na półkuli południowej  odwrotnie
działania siły Coriolisa doznaje
®ð Silniejsza erozja prawych brzegów rzek na
odchylenia w kierunku wschodnim.
półkuli północnej i lewych na półkuli
południowej.
Siła bezwładności Coriolisa
Wpływ na ruch mas powietrza - wiatr
rð
passaty
rð
FC^ðv
pn.-wschód
rð
FC
równik
wð
v
pd.-wschód
Siła bezwładności Coriolisa
- wahadło Foucaulta
Zmiana płaszczyzny ruchu wahadła
względem Ziemi dowodzi jej obrotu
wokół własnej osi.
Jean Bernard Léon Foucault -
demonstracja wahadła w lutym
1851 roku w Paryskim
Obserwatorium Astronomicznym.
Siła bezwładności Coriolisa
- wahadło Foucaulta
Dziedziniec Politechniki Gdańskiej
Szybkość obrotu płaszczyzny wahań zależy od szerokości geograficznej Ć
i wynosi 15°·sin(Ć) na godzinÄ™.
Druga zasada dynamiki w układach nieinercjalnych
rð rð
rð rð rð
rðóð rð
m×ð a =ð F +ð F0 +ð FC
FB =ð F0 +ð FC
Jeżeli w układzie nieinercjalnym ciało spoczywa to:
rð rð
zasada d`Alamberta
F +ð FB =ð 0
Grawitacja  prawo powszechnego ciążenia
Każde dwa ciała o masach m1 i m2 przyciągają się
wzajemnie siłą grawitacji wprost proporcjonalną
do iloczynu mas, a odwrotnie proporcjonalnÄ… do
kwadratu odległości między nimi.
rð
rð
m1 ×ðm2 Ć r =ð r
Ć
F =ð -ðG ×ð ×ðr
r
r2
Wartość współczynnika proporcjonalności G, nazywanego stałą
grawitacji wynosi 6.67·10-11 Nm2/kg2 i jest równa liczbowo sile, z jakÄ…
oddziaływają na siebie dwa kilogramowe ciała z odległości jednego
metra.
Grawitacja  stała grawitacji
Doświadczenie Cavendisha (1798 r.)
W swoim pomiarze Cavendish wykorzystał fakt,
że siła potrzebna do skręcenia długiego,
cienkiego włókna kwarcowego jest bardzo mała.
Na takim włóknie zawiesił pręt z dwiema małymi
kulkami ołowianymi (m) na końcach. Następnie
w pobliżu każdej z kulek umieścił większą kulę
ołowianą (M) i zmierzył precyzyjnie kąt ą o jaki
obrócił się pręt.
MF =ð F ×ð r =ðtð ×ðað
Grawitacja  ciężar ciała
rð
rð
Q =ð m×ð g
SiÅ‚a ciężkoÅ›ci Q ®ð Ciężar ciaÅ‚a
g = 9,80665 m/s2
ðð siÅ‚a ciężkoÅ›ci (ciężar) ðð wyrażana w niutonach (N)
ðð masa ðð wyrażana w kilogramach (kg)
ðð masa bezwÅ‚adna ðð popychamy ciaÅ‚o po pÅ‚askiej powierzchni,
ðð masa grawitacyjna ðð utrzymujemy klocek uniesiony w górÄ™
w stanie spoczynku,
ðð masa bezwÅ‚adna jest równa masie grawitacyjnej ðð zasada
równoważności.
Grawitacja  ciężar ciała
wpływ ruchu wirowego Ziemi na wartość ciężaru ciała
ðð najwiÄ™kszÄ… wartość siÅ‚a
odśrodkowa ma na równiku,
ðð na biegunach ma wartość zero,
ðð na równiku siÅ‚a ta najefektywniej
zmniejsza ciężar,
ðð tylko skÅ‚adowa siÅ‚y odÅ›rodkowej
równoległa do promienia powoduje
zmniejszanie ciężaru.