Dynamika
Dynamika - dział mechaniki
�� związek między wzajemnym
oddziaływaniem ciał
a zmianami ich ruchu.
Podstawy dynamiki
p� Zasady dynamiki
p� Siły
p� Praca, moc, energia
Podstawy dynamiki
r� r� r�
p� opis ruchu za pomocą wektorów �� podejście
r, v, a
geometryczne
p� przyczyny ruchu �� dynamika �� mechanika klasyczna
p� poznanie rodzaju i pochodzenia siły działającej na ciało
p� skutki działania siły
p� oddziaływania występujące w przyrodzie.
Podstawy dynamiki  wiadomości wstępne
p� m - masa punktu materialnego  dodatnia wielkość
skalarna, miara bezwładności ciała
�� nie zależy od stanu ruchu tego ciała
�� wielkość addytywna
�� zasada zachowania masy,
p� p - pęd  iloczyn jego masy i prędkości (wektor!)
r� r�
p =� m �� v
p� F - siła - miara oddziaływania na dane ciało ze
strony innych ciał (wektor!)
Zasady dynamiki
Podstawowa teoria, która pozwala nam przewidywać
ruch ciał
�� zasady dynamiki Newtona (1687 r)
Newton Isaac Sir (1643-1727), fizyk,
matematyk, filozof i astronom angielski.
Profesor fizyki i matematyki uniwersytetu
w Cambridge 1669-1701, członek Royal
Society od 1672 i jego prezes od 1703,
członek paryskiej Akademii Nauk od 1699.
W 1705 otrzymał tytuł szlachecki.
(Zasada bezwładności)
I zasada dynamiki
Ciało, na które nie działa żadna siła (lub gdy siła
wypadkowa jest równa zeru) pozostaje w spoczynku
lub porusza się ze stałą prędkością po linii prostej.
Wnioski
r�
F wyp
Siła wypadkowa jest sumą wektorową wszystkich sił
działających na ciało
r�
r�
F =� 0
�� Jeżeli wyp to również przyspieszenie ciała
a =� 0
a to oznacza, że nie zmienia się ani wartość ani kierunek prędkości,
tzn. ciało jest w stanie spoczynku lub porusza się ze stałą co do
wartości prędkością po linii prostej.
I zasada dynamiki
�� Nie ma rozróżnienia między ciałami spoczywającymi i
poruszającymi się ze stałą prędkością.
�� Nie ma też różnicy pomiędzy sytuacją, gdy nie
działa żadna siła i przypadkiem, gdy wypadkowa
wszystkich sił jest równa zeru.
�� Jeżeli na ciało nie działają siły zewnętrzne to istnieje taki układ
odniesienia, w którym to ciało spoczywa lub porusza się ruchem
jednostajnym prostoliniowym �� układ inercjalny.
�� Każdy ruch musi być opisany względem pewnego układu
odniesienia.
�� We wszystkich układach inercjalnych ruchami ciał
rządzą dokładnie te sama prawa.
II zasada dynamiki
Szybkość zmiany pędu ciała równa jest wpadkowej
sile działającej na to ciało (siła działająca na ciało
jest równa pochodnej pędu względem czasu)
r�
r�
dp
Fwyp =�
dt
gdy
m =� const
r� r� r�
r�
d p d (m�� v) d v
r�
Fwyp =� =� =� m�� =� m��a
d t d t d t
Wnioski
II zasada dynamiki
r�
r�
r�
Fwyp
dp
r�
Fwyp =�
a =�
�� Równania ruchu
dt
m
�� Przyspieszenie ciała jest proporcjonalne do działającej
na ciało siły wypadkowej (współczynnik proporcjonalności
to odwrotność masy).
�� Im większa jest masa, tym mniejsze przyspieszenie
wywołane przez siłę.
III zasada dynamiki
Gdy dwa ciała oddziałują wzajemnie, to siła
wywierana przez ciało drugie na ciało pierwsze jest
równa i przeciwnie skierowana do siły, jaką ciało
pierwsze działa na drugie.
r� r�
F =� -�F
A��B B��A
III zasada dynamiki
Wnioski
�� Każdej akcji towarzyszy zawsze równa co do wartości, lecz
przeciwnie skierowana reakcja.
�� Oddziaływania wzajemne dwóch ciał są zawsze
równe co do wartości, ale przeciwnie skierowane.
�� Siły zawsze występują parami, ale są przyłożone do
różnych ciał.
�� Gdyby były przyłożone do jednego ciała, to znosiłyby się
i w naszym świecie nie byłoby ruchów zmiennych.
Siła ciężkości
r�
Fg
Siła ciężkości (grawitacji) - siła, z jaką dane ciało jest
przyciągane przez inne ciało.
W przypadku Ziemi, przy założeniach:
Jednostka siły
- Ziemia - układ inercjalny
w układzie SI
- brak oporu powietrza
1 niuton (N)
Fg =� mg
g = 9,80665 m/s2
gdzie g - przyspieszenie ziemskie
�� Ciężar ciała W - wartość bezwzględna siły potrzebnej do
zapobieżenia spadkowi ciała, mierzonej przez obserwatora na Ziemi.
Ciężar W jest równy wartości bezwzględnej siły ciężkości Fg działającej na
to ciało W = mg
Ważenie ciała - wyznaczenie jego ciężaru
Siły kontaktowe
�� Występują przy dociskaniu do siebie dwóch ciał.
�� y
ródłem tych sił jest odpychanie pomiędzy atomami.
r�
F
�� Siła przyłożona jest tylko do ciała m1,
ale nadaje przyspieszenie obu klockom.
r�
Fk
�� Siła kontaktowa , z jaką klocek o masie m1
działa na klocek o masie m2, nadaje
przyspieszenie klockowi m2.
�� Wartość siły kontaktowej
r�
r�
Fk =� m2 �� a
Siły tarcia
�� ciała poruszające się napotykają na opór ze strony
ośrodka, w którym się poruszają,
r�
Ft
�� jedną z sił oporu jest siła tarcia
F
Fn
�� siła jest proporcjonalna do siły nacisku
t
oraz współczynnika tarcia poślizgu
m�
�� współczynnik tarcia statycznego lub dynamicznego
(w przypadku ruchu) zależy od rodzaju powierzchni trących
�� wartość siły tarcia jest równa
Ft =� m� �� Fn
Siły tarcia - przykład
Napisz równanie ruchu dla ciała o masie m zsuwającego się z
równi pochyłej o kącie nachylenia a�. Współczynnik tarcia między
ciała a równia wynosi m�.
r�
r� r� r�
R
Q =� Qn +� Qs r�
FT
r� r� r� r�
r�
Fwyp =� Q +� FT +� R
Qs
r�
r�
Qn
Q
Fwyp
r�
a =�
m
Praca, moc, energia  praca
Praca W wykonana przez stałą siłę F jest iloczynem skalarnym tej
siły F i wektora przesunięcia s
r�
r�
W =� F o� s =� F �� s��cosa�
�� W > 0 gdy ą < 90�,
�� W < 0 gdy ą > 90�,
�� W = 0 gdy ą = 90�.
W trakcie podnoszenia ciała na wysokość h, człowiek działa
siłą F równą ciężarowi ciała ale przeciwnie skierowaną, więc
wykonuje "dodatnią" pracę W = mgh
r�
h
F
" Praca wykonana przez człowieka jest równa co do
wartości "ujemnej" pracy wykonanej przez siłę ciężkości.
v�
Q
Praca, moc, energia  praca
Praca wykonana przez siłę zmienną -
ruch prostoliniowy
x2
n
D�Wi =� Fi ��D�x
W =� lim
��F ��D�x =�
i
��F(x)dx
D�x��0
i=�1
x1
n
Jednostką pracy w układzie SI - dżul (J);
W =�
��F ��D�x
i 1J = 1N�m.
W fizyce atomowej powszechnie używa się jednostki
i=�1
elektronowolt (eV); 1eV = 1.6�10-19 J.
Praca, moc, energia  praca  przykład
Sprężyna zamocowana jednym końcem i
rozciąganą siłą F tak, że jej koniec
przemieszcza się o x.
F(x)
Siła wywierana przez sprężynę jest siłą
przywracającą równowagę:
F=kx
F = -k x
kx
Aby rozciągnąć sprężynę, musimy przyłożyć
siłę równą co do artości, lecz przeciwnie
skierowaną:
x
F = k x.
x
x
x x
kx2 kx2
Praca:
W =�
��Fdx =� ��(kx)dx =� 2 =� 2
0 0
0
Praca, moc, energia  moc
Moc P definiujemy jako ilość wykonanej pracy
do czasu w jakim została ona wykonana.
Jeżeli praca W została wykonana w czasie D�t to
średnia moc jest dana wzorem:
D�W
P =�
D�t
Dla przedziału czasu D�t �� O mówimy o mocy chwilowej:
Jednostką mocy w układzie SI - wat
D�W dW
P =� =�
lim (W)
D�t dt
D�t��0
1W = 1J/1s.
Dla stałej siły F wzór ten przyjmuje postać:
r�
r�
r�
dW F ��ds r�
P =� =� =� F o� v
dt dt
Praca, moc, energia  energia
�� Energia kinetyczna �� określona przez masę i prędkość ciała
�� Energia potencjalna �� określona przez masy ciał i ich wzajemne położenie
Energią kinetyczna - iloczyn masy ciała i kwadratu prędkości podzielony
przez 2
m�� v2
Ek =�
2
Zależność między pracą i energią kinetyczną
Praca wykonana przez wypadkową siłę F działającą na punkt
materialny jest równa zmianie energii kinetycznej tego punktu.
W = Ek  Ek0
Praca, moc, energia  energia
Energia potencjalna w jednorodnym polu grawitacyjnym
Pole jednorodne -działa na ciało siłą o stałej wartości, kierunku i zwrocie
niezależnie od położenia ciała.
1
Energia potencjalna jest energią, którą dane
ciało, podlegające działaniu pewnej siły,
P
ma dzięki swemu położeniu w przestrzeni.
Energią potencjalną ciała w punkcie P względem punktu
O
2
O nazywamy pracę, jaką wykonuje siła zachowawcza
przy przesunięciu tego ciała od punktu P do punktu O.
Grawitacyjną energię potencjalną
(przy powierzchni Ziemi) określamy
jako pracę siły ciężkości mg na pionowym
torze o wysokości h:
Ep =� m�� g ��h +� E0
Praca, moc, energia  energia
Siłę jest zachowawcza, jeżeli praca wykonana przez nią nad punktem
materialnym poruszającym się między dwoma punktami zależy tylko od tych
punktów, a nie od łączącej je drogi.
Siła jest zachowawcza, jeżeli praca wykonana przez tę siłę nad punktem
materialnym, który porusza się po dowolnej drodze zamkniętej jest równa
zeru.
Praca siły ciężkości mg na drodze
zamkniętej jest równa zeru.
Energia potencjalna jest wielkością
niekierowaną, czyli skalarem. Może
przybierać wartości ujemne.
Siły bezwładności
Czy wszystkie zagadnienia możemy rozwiązać
w inercjalnych układach odniesienia?
Jeżeli układ odniesienia porusza się ruchem przyspieszonym względem
otoczenia (układ nieinercjalny), to dla obserwatora w tym układzie ciała też
poruszają się ruchem przyspieszonym, lecz w przeciwnym kierunku. Wygląda to
tak samo jakby działała na nie jakaś siła �� siła bezwładności
Siły bezwładności - przykłady
Siła bezwładności podczas ruszania pojazdu - gdy samochód
rusza do przodu siła bezwładności wciska pasażerów w fotel,
Siła bezwładności podczas hamowania pojazdu - gdy samochód
(lub inny pojazd) nagle hamuje, wtedy siła bezwładności rzuca
pasażerem do przodu,
Siła odśrodkowa - gdy siedzimy na wirującej karuzeli siła
bezwładności (nazywana w tym przypadku "siłą odśrodkową")
wypycha nas i przedmioty przez nas trzymane na zewnątrz okręgu,
faktycznie działającą siłą na ciało jest  siła dośrodkowa .
Siły bezwładności w ruchu prostoliniowym
nieinercjalnego układu odniesienia
r�
położenie punktu m Związek między położeniem punktu m
r �� x(t)
w układzie XOY w obu układach odniesienia:
r�ó�
położenie punktu m
ó�
x (t) =� x(t) -� x0(t)
ó�
r �� x (t)
w układzie X`O`Y`
Ponieważ przyspieszenie:
r�
położenie punktu O`
2
r0 �� x0(t)
dv(t) d x(t)
w układzie XOY
a =� =�
dt dt2
Układ X`O`Y` -
ruchomy wzgl.XOY
ó�
a =� a -� a0
stąd:
nieinercjalny
ó�
ma =� ma -� ma0
a zatem:
r�
r�ó�
r0 0`
r� ó�
ma =� F -� FB
i ostatecznie:
r
r
r�
r�
0
FB =� -�m��a0 siła bezwładności.
Układ XOY 
r� r�ó� r�
 nieruchomy
r�
r(t) =� r (t) +� r0(t)
a0 przyspieszenie unoszenia ciała
inercjalny
m w układzie X`O`Y`
Siły bezwładności - przykład
r�ó� r�
Y`
a =� -�a0 Układ
nieinercjalny
r�
FB m
r�X`
a0
Y
r�
Układ
a =� 0
inercjalny
X
r� r�ó� r�
Gdy:
a =� 0 �� a =� -�a0
niezrównoważona siła bezwładności
r�
r�
FB =� -�m��a0 działająca na klocek w układzie X`O`Y`
Siły bezwładności - przykłady
r�
r�
ao =� 0
WINDA
ao
R`=mg
R` > mg
r�
r�
FB =� -�m ��a0
FB
Q=mg R=mg
Q=mg R > mg
R`-�Q
a0 =�
W układzie inercjalnym Ziemi:
m
wskazanie wagi:
R =� R`=� ma0 +� mg
r� r� r�
W układzie nieinercjalnym windy:
R`+�FB +� Q =� 0�� R`-�ma0 -� mg =� 0
wskazanie wagi:
R =� R`=� ma0 +� mg
Siły bezwładności w ruchu obrotowym
Siła bezwładności odśrodkowa  przykład
r�
mv2
r�
Fo =�
N
N
r
r�
r�
Fd
N
r�
r
Fo
r�
r�
r�
Q
Q
Q
Układ inercjalny -
Równowaga
siła przyłożona
Układ nieinercjalny
dośrodkowa Fd
- siła bezwładności
r�
v�
odśrodkowa FO
r�
Q +� N =� 0 r�
r�
Q +� N
r� r� r�
r� Fd
a =� =�
Q +� N +� Fo =� 0
m m
Siła bezwładności Coriolisa
r�
r� r�ó�)
FC =� -�2��m��(w� �� v
Kiedy poruszamy się wzdłuż równika
w kierunku wschodnim lub zachodnim
doznajemy siły działającej odpowiednio
 w górę lub  w dół .
Przy ruchu w kierunkach na północ lub
południe, kierunek odchylenia zależeć będzie
od półkuli:
-na półkuli północnej FC działa  w prawo
Ciało spadające swobodnie (z wysokiej
względem kierunku prędkości
wieży) z prędkością v` , pod wpływem
- na półkuli południowej  odwrotnie
działania siły Coriolisa doznaje
�� Silniejsza erozja prawych brzegów rzek na
odchylenia w kierunku wschodnim.
półkuli północnej i lewych na półkuli
południowej.
Siła bezwładności Coriolisa
Wpływ na ruch mas powietrza - wiatr
r�
passaty
r�
FC^�v
pn.-wschód
r�
FC
równik
w�
v
pd.-wschód
Siła bezwładności Coriolisa
- wahadło Foucaulta
Zmiana płaszczyzny ruchu wahadła
względem Ziemi dowodzi jej obrotu
wokół własnej osi.
Jean Bernard L�on Foucault -
demonstracja wahadła w lutym
1851 roku w Paryskim
Obserwatorium Astronomicznym.
Siła bezwładności Coriolisa
- wahadło Foucaulta
Dziedziniec Politechniki Gdańskiej
Szybkość obrotu płaszczyzny wahań zależy od szerokości geograficznej Ć
i wynosi 15��sin(Ć) na godzinę.
Druga zasada dynamiki w układach nieinercjalnych
r� r�
r� r� r�
r�ó� r�
m�� a =� F +� F0 +� FC
FB =� F0 +� FC
Jeżeli w układzie nieinercjalnym ciało spoczywa to:
r� r�
zasada d`Alamberta
F +� FB =� 0
Grawitacja  prawo powszechnego ciążenia
Każde dwa ciała o masach m1 i m2 przyciągają się
wzajemnie siłą grawitacji wprost proporcjonalną
do iloczynu mas, a odwrotnie proporcjonalną do
kwadratu odległości między nimi.
r�
r�
m1 ��m2 Ć r =� r
Ć
F =� -�G �� ��r
r
r2
Wartość współczynnika proporcjonalności G, nazywanego stałą
grawitacji wynosi 6.67�10-11 Nm2/kg2 i jest równa liczbowo sile, z jaką
oddziaływają na siebie dwa kilogramowe ciała z odległości jednego
metra.
Grawitacja  stała grawitacji
Doświadczenie Cavendisha (1798 r.)
W swoim pomiarze Cavendish wykorzystał fakt,
że siła potrzebna do skręcenia długiego,
cienkiego włókna kwarcowego jest bardzo mała.
Na takim włóknie zawiesił pręt z dwiema małymi
kulkami ołowianymi (m) na końcach. Następnie
w pobliżu każdej z kulek umieścił większą kulę
ołowianą (M) i zmierzył precyzyjnie kąt ą o jaki
obrócił się pręt.
MF =� F �� r =�t� ��a�
Grawitacja  ciężar ciała
r�
r�
Q =� m�� g
Siła ciężkości Q �� Ciężar ciała
g = 9,80665 m/s2
�� siła ciężkości (ciężar) �� wyrażana w niutonach (N)
�� masa �� wyrażana w kilogramach (kg)
�� masa bezwładna �� popychamy ciało po płaskiej powierzchni,
�� masa grawitacyjna �� utrzymujemy klocek uniesiony w górę
w stanie spoczynku,
�� masa bezwładna jest równa masie grawitacyjnej �� zasada
równoważności.
Grawitacja  ciężar ciała
wpływ ruchu wirowego Ziemi na wartość ciężaru ciała
�� największą wartość siła
odśrodkowa ma na równiku,
�� na biegunach ma wartość zero,
�� na równiku siła ta najefektywniej
zmniejsza ciężar,
�� tylko składowa siły odśrodkowej
równoległa do promienia powoduje
zmniejszanie ciężaru.